第14讲 特殊的四边形（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）（原卷版）

第14讲特殊的四边形（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）【考纲要求】1.会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题【知识导图】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定四边形性质判定边角对角线矩形对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形.中心、轴对称图形菱形四条边相等对角相等，邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形中心对称图形正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形考点二、中点四边形相关问题中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．考点三、重心1.线段的中点是线段的重心；三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心；三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍.平行四边形对角线的交点是平行四边形的重心。【典型例题】题型一、特殊的平行四边形的应用例1.如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作笫三个正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的边长记为a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，则an=___________．【变式】长为1，宽为a的矩形纸片（），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为________．第一次操作第二次操作第一次操作第二次操作例2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，BD=8，点P是AC延长线上的一个动点，过点P作PE⊥AD，垂足为E，作CD延长线的垂线，垂足为E，则|PE﹣PF|=．题型二、梯形的应用例3．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F．（1）若点F与B重合，求CE的长；（2）若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长；（3）设CE=x，BF=y，写出y关于x的函数关系式（直接写出结果可）．【变式】如图为菱形ABCD与正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD上，AD与GH相交于I点，且AD∥HE．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，则梯形HEDI的面积为（）.Ａ．Ｂ．Ｃ．10-Ｄ．10+题型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用例4.正方形ABCD边长为2，点E在对角线AC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°至DF的位置，连接AF，EF．（1）证明：AC⊥AF；（2）设AD2=AE×AC，求证：四边形AEDF是正方形；（3）当E点运动到什么位置时，四边形AEDF的周长有最小值，最小值是多少？例5．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．

（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．例6.如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD．已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5．

（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值；

（2）记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1-S2是常数；

（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．【变式】如图，E是矩形ABCD边BC的中点，P是AD边上一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H．

（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？请予以证明；

（2）在（1）中，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？

【中考过关真题练】一、单选题1．（2019·上海·中考真题）下列命题中，假命题是(

)A．矩形的对角线相等 B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等C．矩形的对角线互相平分 D．矩形对角线交点到四条边的距离相等2．（2020·上海·统考中考真题）下列命题中，真命题是()A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形3．（2018·上海·统考中考真题）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC4．（2017·上海·中考真题）已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（

）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB二、填空题5．（2019·上海·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点.将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，联结DF，那么∠EDF的正切值是________________.6．（2016·上海·中考真题）如图，矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转90°，点、分别落在点、处，如果点、、在同一条直线上，那么的值为__________．三、解答题7．（2020·上海·统考中考真题）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF．8．（2019·上海·中考真题）已知：如图，、是的两条弦，且，是延长线上一点，联结并延长交于点，联结并延长交于点．（1）求证：；（2）如果，求证：四边形是菱形．9．（2018·上海·统考中考真题）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）连接BF，如果=．求证：EF=EP．10．（2017·上海·中考真题）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．11．（2020·上海·统考中考真题）如图，在直角梯形ABCD中，，∠DAB=90°，AB=8，CD=5，BC=3．（1）求梯形ABCD的面积；（2）连接BD，求∠DBC的正切值．12．（2022·上海·统考中考真题）平行四边形，若为中点，交于点，连接．(1)若，①证明为菱形；②若，，求的长．(2)以为圆心，为半径，为圆心，为半径作圆，两圆另一交点记为点，且．若在直线上，求的值．【中考挑战满分模拟练】一、单选题1．（2022·上海嘉定·统考二模）下列命题中，真命题的是（

）A．如果一个四边形两条对角线相等，那么这个四边形是矩形B．如果一个四边形两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形C．如果一个四边形两条对角线平分所在的角，那么这个四边形是菱形D．如果一个四边形两条对角线互相垂直平分，那么这个四边形是矩形2．（2022·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）下列命题中，假命题是（）A．对角线垂直的平行四边形是菱形B．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分且平分一组内角的四边形是菱形D．对角线相等且垂直的四边形是菱形3．（2022·上海虹口·统考二模）下列命题中，假命题是（

）A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D．有一组对角相等的平行四边形是菱形4．（2022·上海·上海市娄山中学校考二模）依次连接等腰梯形各边的中点得到的四边形是（

）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形5．（2022·上海长宁·统考二模）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当时，四边形是菱形B．当时，四边形是菱形C．当时，四边形是矩形D．当时，四边形是正方形6．（2022·上海普陀·统考二模）顺次联结直角梯形各边中点所得到的四边形可能是（

）A．菱形； B．矩形； C．梯形； D．正方形．7．（2021·上海嘉定·统考二模）下列命题：①等腰梯形的两个底角相等；②两个底角相等的梯形是等腰梯形；③等腰梯形的对角线等；⑤对角线相等的梯形是等腰梯形，其中真命题的个数是（

）A．0 B．2 C．3 D．48．（2022·上海静安·统考二模）下列说法中，不正确的是（

）A．周长相等的两个等边三角形一定能够重合 B．面积相等的两个圆一定能够重合C．面积相等的两个正方形一定能够重合 D．周长相等的两个菱形一定能够重合9．（2021·上海宝山·统考三模）下列命题中正确的是（

）A．对角线相等的梯形是等腰梯形B．有两个角相等的梯形是等腰梯形C．一组对边平行的四边形一定是梯形D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形10．（2021·上海青浦·统考二模）下列命题中，真命题是（

）A．一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形B．一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形C．一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形D．一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形二、填空题11．（2021·上海崇明·统考二模）如果一个等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，那么这个梯形的中位线长为_____厘米．12．（2022·上海普陀·统考二模）菱形的两条对角线长分别为5和12，那么这个菱形的面积为___________13．（2022·上海·统考模拟预测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若a=4，b=3，则大正方形的面积是______．14．（2022·上海·二模）如图，将长方形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在BC边上点A′处，点D的对应点为D′，连接A'D′交边CD于点E，连接CD′，若AB＝9，AD＝6，A'点为BC的中点，则线段ED'的长为_____．15．（2023·上海静安·统考一模）在矩形内作正方形（如图所示），矩形的对角线交正方形的边于点P．如果点F恰好是边的黄金分割点，且，那么_________．16．（2022·上海奉贤·统考二模）如图，在矩形中，，点E在边上，联结，将矩形沿所在直线翻折，点D的对应点为P，联结．如果，那么的长度是____________．17．（2021·上海静安·统考二模）如图，已知在梯形ABCD中，ADBC，AB＝CD，矩形DEFG的顶点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，如果DE＝5，tanC＝，那么AE的长为_____．18．（2022·上海·校联考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在Rt△ABC内部作正方形D1E1F1G1，其中点D1，E1分别在AC，BC边上，边F1G1在BC上，它的面积记作S1；按同样的方法在△CD1E1内部作正方形D2E2F2G2，它的面积记作S2，S2=______，…，照此规律作下去，正方形DnEnFnGn的面积Sn=______．三、解答题19．（2022·上海徐汇·统考二模）如图，四边形ABCE中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF⊥CE于点F，点D为BF上一点，且∠BAD＝∠CAE．(1)求证：AD＝AE；(2)设BF交AC于点G，若，判断四边形ADFE的形状，并证明．20．（2022·上海奉贤·统考二模）已知：如图，在矩形中，点E在边的延长线上，，连接，分别交边、对角线于点F、G，．(1)求证：；(2)求证：．21．（2022·上海闵行·统考二模）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，此时点A落在点F处，线段EF交CD于点M．过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G．(1)求证：BE=FG；(2)如果AB•DM=EC•AE，连接AM、DE，求证：AM垂直平分DE．22．（2022·上海嘉定·统考二模）如图，已知在菱形ABCD中，E为边AD的中点，CE与BD交于点G，过点G作GF⊥CD于点F，∠1＝∠2．(1)若DF＝3，求AD的长；(2)求证：BG＝GF＋CE．23．（2022·上海青浦·统考二模）如图，已知在梯形中，，对角线、交于，平分，点在底边上，连结交对角线于，．(1)求证：四边形是菱形；(2)连结，求证：．24．（2022·上海金山·校考一模）已知四边形是正方形，点是边的中点，点在边上．联结、、．(1)如图1，如果，求证：；(2)如图2，如果，求证：．25．（2022·上海·上海市娄山中学校考二模）已知:如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，点M是CD中点，联结EM并延长，交∠DCB的外角∠DCN的平分线于点F．(1)求证:ME=MF；(2)联结DF，如果AB2=EB·BD，求证:四边形DECF是正方形．26．（2021·上海宝山·统考三模）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=5，对角线BD平分∠ABC，（1）求边BC的长；（2）过点A作AE⊥BD，垂足为点E，求的值．27．（2021·上海·统考一模）已知：如图，在四边形中，，、相交于点，（1）求证：；（2）如果，求证：．28．（2021·上海崇明·统考二模）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E在下底BC上，∠AED＝∠B．（1）求证：CE•AD＝DE2；（2）求证：．【名校自招练】一．选择题（共1小题）1．（2016•宝山区校级自主招生）四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，以下能推出ABCD是菱形的是（）A．OA＝OB＝OC＝OD B．AC＝BD C．AB＝BC＝CD＝DA D．AB∥CD，AD∥BC二．填空题（共10小题）2．（2012•长宁区校级自主招生）如图，两个完全相同的等腰直角三角形，左图中正方形的面积是2004平方厘米，那么右图中正方形的面积是平方厘米．3．（2017•杨浦区校级自主招生）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，点D为斜边AB上的一个动点，过D作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则线段EF长度的最小值为．4．（2005•上海自主招生）如图，已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝4，AD＝BC，E是AD的中点，EB⊥BC，则梯形ABCD的面积是．5．（2002•闵行区校级自主招生）对角线长分别为6cm和8cm的菱形的边长为cm．6．（2020•宝山区校级自主招生）直线l1∥l2∥l3∥l4，其中l1，l2之间距离和l3，l4