3.3 垂径定理（7大题型）（分层练习）（原卷版）

第3章圆的基本性质3.3垂径定理（7大题型）分层练习考查题型一垂径定理的概念1．（2023春·黑龙江大庆·九年级大庆外国语学校校考阶段练习）下列命题是假命题的是（）A．平行四边形的对角线互相平分 B．平分弦的直径垂直于弦C．垂直于弦的直径平分这条弦 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形2．（2023·浙江·九年级假期作业）下列几个命题：①圆是轴对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③平分弦的直径垂直于这条弦；④三点确定一个圆．其中是真命题的是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④3．（2023·浙江·九年级假期作业）请完善本课时的知识结构．垂径定理（1）定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径，并且．∵是直径，，垂足为点，∴，∴．

4．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）用准确的文字语言描述“垂径定理”：垂直于弦的直径平分．5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，的两条弦（AB不是直径），点E为AB中点，连接EC，ED．（1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；（2）求证：．考查题型二垂径定理的推论1．（2023·浙江·九年级假期作业）下列说法中正确的个数有（）①平分弦的直径一定垂直于弦；②圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；③直径是弦；④长度相等的弧是等弧A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023·浙江·九年级假期作业）下列语句中不正确的有（）

①长度相等的弧是等弧；②垂直于弦的直径平分弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧；⑤半圆是圆中最长的弧；⑥不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆.A．5个 B．4个 C．3个 D．2个3．（2023春·九年级课时练习）垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦所对的．4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是．5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，已知在半圆中，，，，求的长．考查题型三利用垂径定理求值1．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，的半径为5，弦，，垂足为点P，则CP的长等于（

）

A．2 B．2.5 C．3 D．42．（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知的半径为5，是的弦，点P在弦上，若，则（）A． B． C． D．3．（2023秋·湖南长沙·九年级统考期末）已知的直径为，圆心O到弦AB的距离为，则．4．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，是的直径，弦，垂足为，连接，若，，则弦的长为．

5．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求的面积．考查题型四利用垂径定理求平行弦问题1、（2021春·九年级课时练习）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC,那么弧AB与弧CD的数量关系是（)A．弧AB=弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．无法确定2．（2022春·九年级课时练习）如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（）A．若平分，则 B．若，则平分C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分3．（2023·全国·九年级专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是．4．（2022·九年级单元测试）设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为．5．（2021春·九年级课时练习）如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB与弦CD平行，它们之间距离为5，AB=6，求弦CD的长．考查题型五利用垂径定理求同心圆问题1．（2023春·九年级课时练习）已知△ABC的边BC=，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（）A．60° B．120° C．60°或120° D．90°2．（2022春·九年级课时练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.A．6 B． C． D．3．（2021·湖南长沙·统考中考真题）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为．4．（2022浙江杭州·九年级）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是．5．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．(1)求证：．(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．考查题型六利用垂径定理求解其他问题1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）

A． B． C． D．2．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（

）

A．8 B．4 C．3.5 D．33．（2022·浙江·九年级专题练习）如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为60cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为cm．4．（2022春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是．5．（2022秋·江西南昌·九年级深圳市南山外国语学校校联考阶段练习）如图，中，，，，以为半径的交于D，求的长．考查题型七垂径定理的实际应用1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（

）

A．① B．② C．③ D．④2．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期中）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（

）

A．厘米/分 B．厘米/分 C．厘米/分 D．厘米/分3．（2023·浙江·九年级假期作业）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，是的直径，弦，垂足为E，寸，寸．则直径的长为寸．

4．（2023·浙江·九年级假期作业）课堂上，师生一起探究用圆柱形管子的内径去测量球的半径．嘉嘉经过思考找到了测量方法：如图，把球置于圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高，底面内径，球的最高点到瓶底的距离为，则球的半径为．

5．（2022秋·山东临沂·九年级临沂第九中学校考期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，求点C到弦所在直线的距离．1．（2022·广东湛江·岭师附中校联考一模）如图，是的直径，是弦，于点，则下列结论中不成立的是（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，是的弦，且，垂足为，连接．若，，则的长为（）

A．10 B．5 C． D．3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，的弦垂直于，点为垂足，连接．若，，则的值是（）

A． B． C． D．4．（2023·陕西·统考中考真题）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（

）

A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm5．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为(

)

A． B．7 C．8 D．6．（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，是的直径，弦于点，，，则．

7．（2023秋·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，的半径为6cm，是弦，于点C，将劣弧沿弦折叠，交于点D，若D是的中点，则的长为．

8．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，的半径是，是的内接三角形，过圆心分别作，，的垂线，垂足为，，，连接．若，则．9．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为2，将劣弧（虚线）沿弦折叠后交弦于点D，连接．若，则线段的长为．

10．（2023·广东东莞·虎门五中校联考一模）如图，是直径，点C在上，垂足为D，点E是上动点（不与C重合），点F为的中点，若，，则的最大值为．11．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，．

(1)求的长；(2)若大圆半径为，求小圆的半径．12．（2023·江苏盐城·统考二模）已知：如图，是的直径，点C在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）．

(1)如图①，若M是半圆的中点，且与C点在同侧，画出的平分线．并说明理由；(2)如图②，若，画出的平分线．13．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方．且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．

(1)求该圆的半径；(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？14．（2023春·吉林松原·八年级校考阶段练习）如图，有两条公路相交成角，沿公路方向离点160米处有一所学校，当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以为圆心，100米为半径的圆形区域