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文档简介
2024届陕西省西安市第25中学高考考前提分数学仿真卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知抛物线的焦点为,准线与轴的交点为,点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于,则的最大值为A. B. C. D.2.棱长为2的正方体内有一个内切球,过正方体中两条异面直线,的中点作直线,则该直线被球面截在球内的线段的长为()A. B. C. D.13.已知双曲线的左、右顶点分别为,点是双曲线上与不重合的动点,若,则双曲线的离心率为()A. B. C.4 D.24.已知满足,则的取值范围为()A. B. C. D.5.若集合,则()A. B.C. D.6.的展开式中的系数为()A. B. C. D.7.已知椭圆:的左、右焦点分别为,,过的直线与轴交于点,线段与交于点.若,则的方程为()A. B. C. D.8.函数在上单调递减的充要条件是()A. B. C. D.9.我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽比为.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”,该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台,塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比,第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”,若两展望台间高度差为100米,则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是()A.400米 B.480米C.520米 D.600米10.设,是非零向量,若对于任意的,都有成立,则A. B. C. D.11.若不等式对恒成立,则实数的取值范围是()A. B. C. D.12.欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,表示的复数位于复平面中的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.正方体中,是棱的中点,是侧面上的动点,且平面,记与的轨迹构成的平面为.①,使得;②直线与直线所成角的正切值的取值范围是;③与平面所成锐二面角的正切值为;④正方体的各个侧面中,与所成的锐二面角相等的侧面共四个.其中正确命题的序号是________.(写出所有正确命题的序号)14.如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为的正方形,上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,则此四棱锥的体积为_____.15.若展开式中的常数项为240,则实数的值为________.16.已知点是抛物线的焦点,,是该抛物线上的两点,若,则线段中点的纵坐标为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知分别是椭圆的左、右焦点,直线与交于两点,,且.(1)求的方程;(2)已知点是上的任意一点,不经过原点的直线与交于两点,直线的斜率都存在,且,求的值.18.(12分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2(1)求椭圆C的方程;(2)假设直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点.①若A为椭圆的上顶点,M为线段AB中点,连接OM并延长交椭圆C于N,并且ON=62OM,求OB的长;②若原点O到直线l的距离为1,并且19.(12分)设等差数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)求的前项和及使得最小的的值.20.(12分)已知函数,,使得对任意两个不等的正实数,都有恒成立.(1)求的解析式;(2)若方程有两个实根,且,求证:.21.(12分)如图,四棱锥中,平面,,,.(I)证明:;(Ⅱ)若是中点,与平面所成的角的正弦值为,求的长.22.(10分)已知圆:和抛物线:,为坐标原点.(1)已知直线和圆相切,与抛物线交于两点,且满足,求直线的方程;(2)过抛物线上一点作两直线和圆相切,且分别交抛物线于两点,若直线的斜率为,求点的坐标.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
求出抛物线的焦点坐标,利用抛物线的定义,转化求出比值,,求出等式左边式子的范围,将等式右边代入,从而求解.【详解】解:由题意可得,焦点F(1,0),准线方程为x=−1,
过点P作PM垂直于准线,M为垂足,
由抛物线的定义可得|PF|=|PM|=x+1,
记∠KPF的平分线与轴交于
根据角平分线定理可得,,当时,,当时,,,综上:.故选:A.【点睛】本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用,直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键.考查学生的计算能力,属于中档题.2、C【解析】
连结并延长PO,交对棱C1D1于R,则R为对棱的中点,取MN的中点H,则OH⊥MN,推导出OH∥RQ,且OH=RQ=,由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长.【详解】如图,MN为该直线被球面截在球内的线段连结并延长PO,交对棱C1D1于R,则R为对棱的中点,取MN的中点H,则OH⊥MN,∴OH∥RQ,且OH=RQ=,∴MH===,∴MN=.故选:C.【点睛】本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.3、D【解析】
设,,,根据可得①,再根据又②,由①②可得,化简可得,即可求出离心率.【详解】解:设,,,∵,∴,即,①又,②,由①②可得,∵,∴,∴,∴,即,故选:D.【点睛】本题考查双曲线的方程和性质,考查了斜率的计算,离心率的求法,属于基础题和易错题.4、C【解析】
设,则的几何意义为点到点的斜率,利用数形结合即可得到结论.【详解】解:设,则的几何意义为点到点的斜率,作出不等式组对应的平面区域如图:由图可知当过点的直线平行于轴时,此时成立;取所有负值都成立;当过点时,取正值中的最小值,,此时;故的取值范围为;故选:C.【点睛】本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题,解题时作出可行域,利用目标函数的几何意义求解是解题关键.对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在.5、A【解析】
先确定集合中的元素,然后由交集定义求解.【详解】,.故选:A.【点睛】本题考查求集合的交集运算,掌握交集定义是解题关键.6、C【解析】由题意,根据二项式定理展开式的通项公式,得展开式的通项为,则展开式的通项为,由,得,所以所求的系数为.故选C.点睛:此题主要考查二项式定理的通项公式的应用,以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能,属于中低档题,也是常考知识点.在二项式定理的应用中,注意区分二项式系数与系数,先求出通项公式,再根据所求问题,通过确定未知的次数,求出,将的值代入通项公式进行计算,从而问题可得解.7、D【解析】
由题可得,所以,又,所以,得,故可得椭圆的方程.【详解】由题可得,所以,又,所以,得,,所以椭圆的方程为.故选:D【点睛】本题主要考查了椭圆的定义,椭圆标准方程的求解.8、C【解析】
先求导函数,函数在上单调递减则恒成立,对导函数不等式换元成二次函数,结合二次函数的性质和图象,列不等式组求解可得.【详解】依题意,,令,则,故在上恒成立;结合图象可知,,解得故.故选:C.【点睛】本题考查求三角函数单调区间.求三角函数单调区间的两种方法:(1)代换法:就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角(或),利用基本三角函数的单调性列不等式求解;(2)图象法:画出三角函数的正、余弦曲线,结合图象求它的单调区间.9、B【解析】
根据题意,画出几何关系,结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离,进而由比例即可求得该塔的实际高度.【详解】设第一展望台到塔底的高度为米,塔的实际高度为米,几何关系如下图所示:由题意可得,解得;且满足,故解得塔高米,即塔高约为480米.故选:B【点睛】本题考查了对中国文化的理解与简单应用,属于基础题.10、D【解析】
画出,,根据向量的加减法,分别画出的几种情况,由数形结合可得结果.【详解】由题意,得向量是所有向量中模长最小的向量,如图,当,即时,最小,满足,对于任意的,所以本题答案为D.【点睛】本题主要考查了空间向量的加减法,以及点到直线的距离最短问题,解题的关键在于用有向线段正确表示向量,属于基础题.11、B【解析】
转化为,构造函数,利用导数研究单调性,求函数最值,即得解.【详解】由,可知.设,则,所以函数在上单调递增,所以.所以.故的取值范围是.故选:B【点睛】本题考查了导数在恒成立问题中的应用,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.12、A【解析】
计算,得到答案.【详解】根据题意,故,表示的复数在第一象限.故选:.【点睛】本题考查了复数的计算,意在考查学生的计算能力和理解能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、①②③④【解析】
取中点,中点,中点,先利用中位线的性质判断点的运动轨迹为线段,平面即为平面,画出图形,再依次判断:①利用等腰三角形的性质即可判断;②直线与直线所成角即为直线与直线所成角,设正方体的棱长为2,进而求解;③由,取为中点,则,则即为与平面所成的锐二面角,进而求解;④由平行的性质及图形判断即可.【详解】取中点,连接,则,所以,所以平面即为平面,取中点,中点,连接,则易证得,所以平面平面,所以点的运动轨迹为线段,平面即为平面.①取为中点,因为是等腰三角形,所以,又因为,所以,故①正确;②直线与直线所成角即为直线与直线所成角,设正方体的棱长为2,当点为中点时,直线与直线所成角最小,此时,;当点与点或点重合时,直线与直线所成角最大,此时,所以直线与直线所成角的正切值的取值范围是,②正确;③与平面的交线为,且,取为中点,则即为与平面所成的锐二面角,,所以③正确;④正方体的各个侧面中,平面,平面,平面,平面与平面所成的角相等,所以④正确.故答案为:①②③④【点睛】本题考查直线与平面的空间位置关系,考查异面直线成角,二面角,考查空间想象能力与转化思想.14、【解析】
画图直观图可得该几何体为棱锥,再计算高求解体积即可.【详解】解:如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为的正方形,上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,此四棱锥中,是边长为的正方形,是边长为的等边三角形,故,又,故平面平面,的高是四棱锥的高,此四棱锥的体积为:.故答案为:.【点睛】本题主要考查了四棱锥中的长度计算以及垂直的判定和体积计算等,需要根据题意15、-3【解析】
依题意可得二项式展开式的常数项为即可得到方程,解得即可;【详解】解:∵二项式的展开式中的常数项为,∴解得.故答案为:【点睛】本题考查二项式展开式中常数项的计算,属于基础题.16、2【解析】
运用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离,然后求解结果.【详解】抛物线的标准方程为:,则抛物线的准线方程为,设,,则,所以,则线段中点的纵坐标为.故答案为:【点睛】本题考查了抛物线的定义,由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离,需要熟练掌握定义,并能灵活运用,本题较为基础.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】
(1)不妨设,,计算得到,根据面积得到,计算得到答案.(2)设,,,联立方程利用韦达定理得到,,代入化简计算得到答案.【详解】(1)由题意不妨设,,则,.∵,∴,∴.又,∴,∴,,故的方程为.(2)设,,,则.∵,∴,设直线的方程为,联立整理得.∵在上,∴,∴上式可化为.∴,,,∴,,∴.∴.【点睛】本题考查了椭圆方程,定值问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18、(1)x22+y2【解析】
(1)根据椭圆的几何性质可得到a2,b2;(2)联立直线和椭圆,利用弦长公式可求得弦长AB,利用点到直线的距离公式求得原点到直线l的距离,从而可求得三角形面积,再用单调性求最值可得值域.【详解】(1)因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形,所以a=2又由右准线方程为x=2,得到a2解得a=2,c=1,所以所以,椭圆C的方程为x2(2)①设B(x1,y1∵ON=6因为点B,N都在椭圆上,所以x122+y12所以OB=x②由原点O到直线l的距离为1,得|m|1+k2联立直线l的方程与椭圆C的方程:y=kx+mx2设A(x1,y1OA=(1+k2)所以k△OAB的面积S==1因为S=2λ(1-λ)在[并且当λ=45时,S=225所以△OAB的面积S的范围为[10【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法:(1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决;(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑:①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;②利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;③利用基本不等式求出参数的取值范围;④利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.19、(1)(2);时,取得最小值【解析】
(1)设等差数列的公差为,由,结合已知,联立方程组,即可求得答案.(2)由(1)知,故可得,即可求得答案.【详解】(1)设等差数列的公差为,由及,得解得数列的通项公式为(2)由(1)知时,取得最小值.【点睛】本题解题关键是掌握等差数列通项公式和前项和公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.20、(1);(2)证明见解析.【解析】
(1)根据题意,在上单调递减,求导得,分类讨论的单调性,结合题意,得出的解析式;(2)由为方程的两个实根,得出,,两式相减,分别算出和,利用换元法令和构造函数,根据导数研究单调性,求出,即可证出结论.【详解】(1)根据题意,对任意两个不等的正实数,都有恒成立.则在上单调递减,因为,当时,在内单调递减.,当时,由,有,此时,当时,单调递减,当时,单调递增,综上,,所以.(2)由为方程的两个实根,得,两式相减,可得,因此,令,由,得,则,构造函数.则,所以函数在上单调递增,故,即,可知,故,命题得证.【点睛】本题考查利用导数
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