专题31新定义与阅读理解创新型问题-备战2024年中考数学必刷真题考点分类专练（全国）含解析

备战2024年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题31新定义与阅读理解创新型问题一．选择题（共3小题）1．（2022•娄底）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（）A．5 B．2 C．1 D．02．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33．（2022•常德）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共1小题）4．（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为．三．解答题（共23小题）5．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．①当MN＝6a时，求点P的坐标；②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．6．（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．7．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．8．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．9．（2022•盐城）【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为．【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．【深度思考】小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．10．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．（1）求双曲线y＝上的“黎点”；（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．11．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1＝和k2＝两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k＜，请直接写出a的取值范围．12．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM；（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．13．（2022•青岛）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．【性质探究】如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′，∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性质应用】（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝；（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝，S△CDE＝；（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝．14．（2022•常州）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．（1）正方形“等形点”（填“存在”或“不存在”）；（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝4，OA＝5，BC＝12，连接AC，求AC的长；（3）在四边形EFGH中，EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求的值．15．（2022•青海）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD＝CE；（2）解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由．16．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．17．（2022•兰州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，M为AB边上一动点，BN⊥CM，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（0≤x≤5），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/cm00.511.51.822.533.544.55y/cm43.963.793.47a2.992.401.791.230.740.330请你通过计算，补全表格：a＝；（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：；（4）解决问题：当BN＝2AM时，AM的长度大约是cm．（结果保留两位小数）18．（2022•深圳）二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．y＝2x2y＝2（x﹣3）2+6（0，0）（3，m）（1，2）（4，8）（2，8）（5，14）（﹣1，2）（2，8）（﹣2，8）（1，14）（1）m的值为；（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标；（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1＞y2，则x1x2．（填不等号）19．（2022•潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017﹣2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如图．小亮认为，可以从y＝kx+b（k＞0），y＝（m＞0），y＝﹣0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．（1）小莹认为不能选y＝（m＞0）．你认同吗？请说明理由；（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？20．（2022•潍坊）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点（﹣1，﹣1），且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．【观察发现】请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．【思考交流】小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．请你探究这个方法，写出探究过程．21．（2022•临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；若0＜y＜48，求x的取值范围．（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．x/kg……0.250.5124……y/cm…………22．（2022•赤峰）阅读下列材料定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a．例如：min|﹣1，3|＝﹣1；min|﹣1，﹣2|＝﹣2．完成下列任务（1）①min|（﹣3）0，2|＝；②min|﹣，﹣4|＝．（2）如图，已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝﹣2x+b的图象交于A、B两点．当﹣2＜x＜0时，min|，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2，求这两个函数的解析式．23．（2022•赤峰）【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．【问题解决】（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是（可省略单位），水池2面积的最大值是m2；（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是，此时的x（m）值是；（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是；（4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值．24．（2022•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1．【基础训练】（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：，．【技能训练】（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；【能力提升】（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；【拓展升华】（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点．如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．25．（2022•贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在▱ABCD中，AN为BC边上的高，＝m，点M在AD边上，且BA＝BM，点E是线段AM上任意一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得△FBE．（1）问题解决：如图①，当∠BAD＝60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则＝；（2）问题探究：如图②，当∠BAD＝45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；（3）拓展延伸：当∠BAD＝30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．26．（2022•呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：；（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF；（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．设＝k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．27．（2022•潍坊）【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．备战2024年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题31新定义与阅读理解创新型问题一．选择题（共3小题）1．（2022•娄底）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（）A．5 B．2 C．1 D．0【分析】首先根据定义运算提取公因式，然后利用定义运算计算即可求解．【解析】原式＝lg5（lg5+lg2）+lg2＝lg5×lg（5×2）+lg2＝lg5lg10+lg2＝lg5+lg2＝lg10＝1．故选：C．2．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据“加算操作”的定义可知，当只给x﹣y加括号时，和原式相等；因为不改变x，y的运算符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，因为z，m，n中只有加减两种运算，求出即可．【解析】①（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，与原式相等，故①正确；②∵在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，无法改变x，y的符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；故②正确；③在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，加括号后只有加减两种运算，∴2×2×2＝8种，所有可能的加括号的方法最多能得到8种不同的结果．故选：D．3．（2022•常德）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】将（4，12），（9，91）代入验证即可判断①②；将（a，380）代入公式，建立方程可得出结论；若（x，y）是完美方根数对，则满足给出公式，化简可得出结论．【解析】将（4，12）代入＝4，＝4，＝4，…，∴（4，12）是完美方根数对；故①正确；将（9，91）代入＝10≠9，＝，∴（9，91）不是完美方根数对，故②错误；③∵（a，380）是完美方根数对，∴将（a，380）代入公式，＝a，＝a，解得a＝20或a＝﹣19（舍去），故③正确；④若（x，y）是完美方根数对，则＝x，＝x，整理得y＝x2﹣x，∴点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，故④正确；故选：C．二．填空题（共1小题）4．（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为．【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．【解析】由题意得：＝1，解得：x＝．经检验，x＝是原方程的根，∴x＝．故答案为：．三．解答题（共23小题）5．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．①当MN＝6a时，求点P的坐标；②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出C2的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出C2的顶点坐标；（2）①设点P的横坐标为m，则可表达点M和点N的坐标，根据两点间距离公式可表达MN的长，列出方程，可求出点P的坐标；②分情况讨论，当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，分别得出C2的最大值和最小值，进而列出方程，可求出a的值．【解析】（1）根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为：y＝ax2+4ax+4a﹣3，∵y＝ax2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2﹣3，∴C2的顶点坐标为（﹣2，﹣3）；（2）①设点P的横坐标为m，∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N，∴M（m，4am2+am+4a﹣3），N（m，am2+4am+4a﹣3），∴MN＝|4am2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2﹣3am|，∵MN＝6a，∴|3am2﹣3am|＝6a，解得m＝﹣1或m＝2，∴P（﹣1，0）或（2，0）．②∵C2的解析式为：y＝a（x+2）2﹣3，∴当x＝﹣2时，y＝﹣3，当x＝a﹣4时，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3，当x＝a﹣2时，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3，根据题意可知，需要分三种情况讨论，Ⅰ、当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，0＜a≤2，且当0＜a≤1时，函数的最大值为a（a﹣2）2﹣3；函数的最小值为﹣3，∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝2﹣或a＝2+（舍）；当1≤a≤2时，函数的最大值为a3﹣3；函数的最小值为﹣3，∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝或a＝﹣（舍）；Ⅱ、当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，a≥2，函数的最大值为a3﹣3，函数的最小值为a（a﹣2）2﹣3；∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a，解得a＝（舍）；Ⅲ、当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，a≤0，不符合题意，舍去；综上，a的值为2﹣或．6．（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①由题意求出M＝6066，N＝2022，再由定义可求h的值；②分两种情况讨论：②当k＞0时，M＝kt+k+b，N＝kt﹣k+b，h＝k；当k＜0时，M＝kt﹣k+b，有N＝kt+k+b，h＝﹣k；（2）由题意t﹣≥1，M＝，N＝，则h＝，所以h有最大值；（3）分四种情况讨论：①当2≤t﹣时，M＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，h＝t﹣2；②当t+≤2时，N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝﹣（t+﹣2）2+4+k，h＝2﹣t，；③当t﹣≤2≤t，即2≤t≤，N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，M＝4+k，h＝（t﹣）2；④当t＜2≤t+，N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝4+k，h＝（t﹣）2，画出h的函数图象，结合图象可得＝4+k，解得k＝﹣．【解析】（1）①∵t＝1，∴≤x≤，∵函数y＝4044x，∴函数的最大值M＝6066，函数的最小值N＝2022，∴h＝2022；②当k＞0时，函数y＝kx+b在t﹣≤x≤t+有最大值M＝kt+k+b，有最小值N＝kt﹣k+b，∴h＝k；当k＜0时，函数y＝kx+b在t﹣≤x≤t+有最大值M＝kt﹣k+b，有最小值N＝kt+k+b，∴h＝﹣k；综上所述：h＝|k|；（2）t﹣≥1，即t≥，函数y＝（x≥1）最大值M＝，最小值N＝，∴h＝，当t＝时，h有最大值；（3）存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值，理由如下：∵y＝﹣x2+4x+k＝﹣（x﹣2）2+4+k，∴函数的对称轴为直线x＝2，y的最大值为4+k，①当2≤t﹣时，即t≥，此时M＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，∴h＝t﹣2，此时h的最小值为；②当t+≤2时，即t≤，此时N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝﹣（t+﹣2）2+4+k，∴h＝2﹣t，此时h的最小值为；③当t﹣≤2≤t，即2≤t≤，此时N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，M＝4+k，∴h＝（t﹣）2，④当t＜2≤t+，即≤t＜2，此时N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝4+k，∴h＝（t﹣）2，h的函数图象如图所示：h的最小值为，由题意可得＝4+k，解得k＝﹣；综上所述：k的值为﹣．7．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．【分析】（1）根据“和倍数”的定义依次判断即可；（2）设A＝（a+b+c＝12，a＞b＞c），根据“和倍数”的定义表示F（A）和G（A），代入中，根据为整数可解答．【解析】（1）∵357÷（3+5+7）＝357÷15＝23……12，∴357不是“和倍数”；∵441÷（4+4+1）＝441÷9＝49，∴441是9的“和倍数”；（2）设A＝（a+b+c＝12，a＞b＞c），由题意得：F（A）＝，G（A）＝，∴＝＝＝，∵a+c＝12﹣b，为整数，∴＝＝＝＝7+（1﹣b），∵1＜b＜9，∴b＝3，5，7，∴a+c＝9，7，5，①当b＝3，a+c＝9时，（舍），，则A＝732或372；②当b＝5，a+c＝7时，，则A＝156或516；③当b＝7，a+c＝5时，此种情况没有符合的值；综上，满足条件的所有数A为：732或372或156或516．8．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是2022；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．【分析】（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以80，81，82，83，再把所得结果相加即可得解；（2）根据n进制数和十进制数的计算方法得到关于n的方程，解方程即可求解．【解析】（1）3746＝3×83+7×82+4×81+6×80＝1536+448+32+6＝2022．故八进制数字3746换算成十进制是2022．故答案为：2022；（2）依题意有：n2+4×n1+3×n0＝120，解得n1＝9，n2＝﹣13（舍去）．故n的值是9．9．（2022•盐城）【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为（﹣3，4）或（3，4）．【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．【深度思考】小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．【分析】【分析问题】根据题意可知：该点的纵坐标为4，利用勾股定理，即可求出该点的横坐标，进而可得出点的坐标；【解决问题】设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（n﹣1），利用勾股定理可得出该点的坐标为（﹣，n﹣1）或（，n﹣1），结合点横、纵坐标间的关系，可得出该点在二次函数y＝x2﹣的图象上，进而可证出小明的猜想正确；【深度思考】设该点的坐标为（±，n﹣1），结合⊙M的圆心坐标，利用勾股定理，即可用含n的代数式表示出m的值，再结合m，n均为正整数，即可得出m，n的值．【解答】【分析问题】解：根据题意，可知：所描的点在半径为5的同心圆上时，其纵坐标y＝5﹣1＝4，∵横坐标x＝±＝±3，∴点的坐标为（﹣3，4）或（3，4）．【解决问题】证明：设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（n﹣1），∴该点的横坐标为±＝±，∴该点的坐标为（﹣，n﹣1）或（，n﹣1）．∵（±）2＝2n﹣1，n﹣1＝，∴该点在二次函数y＝（x2﹣1）＝x2﹣的图象上，∴小明的猜想正确．【深度思考】解：设该点的坐标为（±，n﹣1），⊙M的圆心坐标为（0，m），∴＝m，∴m＝＝＝＝n﹣1+2+．又∵m，n均为正整数，∴n﹣1＝1，∴m＝1+2+1＝4，∴存在所描的点在⊙M上，m的值为4．10．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．（1）求双曲线y＝上的“黎点”；（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．【分析】（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m，﹣m），构建方程求解即可；（2）抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解，即ax2﹣6x+c＝0，Δ＝36﹣4ac＝0，可得结论．【解析】（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m，﹣m），则有﹣m＝，∴m＝±3，经检验，m＝±3的分式方程的解，∴双曲线y＝上的“黎点”为（3，﹣3）或（﹣3，3）；（2）∵抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，∴方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解，即ax2﹣6x+c＝0，Δ＝36﹣4ac＝0，∴ac＝9，∴a＝，∵a＞1，∴0＜c＜9．11．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1＝和k2＝两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k＜，请直接写出a的取值范围．【分析】（1）根据“倾斜系数”k的定义直接计算即可；（2）①根据“倾斜系数”k的的定义分情况得出结论即可；②根据“倾斜系数”k的的定义求出P点坐标，进而求出OP的值即可；（3）根据k的取值，分情况求出a的取值范围即可．【解析】（1）由题意知，k＝＝3，即点P（6，2）的“倾斜系数”k的值为3；（2）①∵点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，∴＝2或＝2，即a＝2b或b＝2a，∴a和b的数量关系为a＝2b或b＝2a；②由①知，a＝2b或b＝2a∵a+b＝3，∴或，∴OP＝＝；（3）由题意知，当P点与D点重合时，且k＝时，a有最小临界值，如下图：连接OD，延长DA交x轴于E，此时＝，则，解得a＝；当P点与B点重合时，且k＝时，a有最大临界值，如下图：连接OB，延长CB交x轴于F，此时＝，则＝，解得a＝3+，综上所述，若点P的“倾斜系数”k＜，则+1＜a＜3+．12．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM；（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．【分析】（1）①根据定义，先求出P'的坐标，从而得出Q的位置；②连接PP'，利用三角形中位线定理得NT＝PP'，从而证明结论；（2）连接PO，并延长至S，使OP＝OS，延长SQ到T，使ST＝OM，由题意知，PP1∥OM，PP1＝OM，P1N＝NQ，利用三角形中位线定理得QT的长，从而求出SQ的长，在△PQS中，PS﹣QS＜PS+QS，则PS的最小值为PS﹣QS，PS的最大值为PS+QS，从而解决问题．【解析】（1）①由题意知，P'（﹣2+1，0+1），∴P'（﹣1，1），如图，点Q即为所求；②连接PP'，∵∠P'PO＝∠MOx＝45°，∴PP'∥ON，∵P'N＝QN，∴PT＝QT，∴NT＝PP'，∵PP'＝OM，∴NT＝OM；（2）如图，连接PO，并延长至S，使OP＝OS，延长SQ到T，使ST＝OM，由题意知，PP1∥OM，PP1＝OM，P1N＝NQ，∴TQ＝2MN，∵MN＝OM﹣ON＝1﹣t，∴TQ＝2﹣2t，∴SQ＝ST﹣TQ＝1﹣（2﹣2t）＝2t﹣1，在△PQS中，PS﹣QS＜PS+QS，∴PS的最小值为PS﹣QS，PS的最大值为PS+QS，∴PQ长的最大值与最小值的差为（PS+QS）﹣（PS﹣QS）＝2QS＝4t﹣2．13．（2022•青岛）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．【性质探究】如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′，∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性质应用】（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝3：4；（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝，S△CDE＝；（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝．【分析】（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案；（2）同（1）的方法即可求出答案；（3）同（1）的方法即可求出答案．【解析】（1）∵BD＝3，DC＝4，∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，故答案为：3：4；（2）∵BE：AB＝1：2，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，∵S△ABC＝1，∴S△BEC＝；∵CD：BC＝1：3，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，∴S△CDE＝S△BEC＝×＝；故答案为：，；（3）∵BE：AB＝1：m，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，∵S△ABC＝a，∴S△BEC＝S△ABC＝；∵CD：BC＝1：n，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，∴S△CDE＝S△BEC＝•＝，故答案为：．14．（2022•常州）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．（1）正方形不存在“等形点”（填“存在”或“不存在”）；（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝4，OA＝5，BC＝12，连接AC，求AC的长；（3）在四边形EFGH中，EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求的值．【分析】（1）根据“等形点”的定义可知△OAB≌△OCD，则∠OAB＝∠C＝90°，而O是边BC上的一点．从而得出正方形不存在“等形点”；（2）作AH⊥BO于H，由△OAB≌△OCD，得AB＝CD＝4，OA＝OC＝5，设OH＝x，则BH＝7﹣x，由勾股定理得，（4）2﹣（7﹣x）2＝52﹣x2，求出x的值，再利用勾股定理求出AC的长即可；（3）根据“等形点”的定义可得△OEF≌△OGH，则∠EOF＝∠HOG，OE＝OG，∠OGH＝∠OEF，再由平行线性质得OE＝OH，从而推出OE＝OH＝OG，从而解决问题．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∵△OAB≌△OCD，∴∠OAB＝∠C＝90°，∵O是边BC上的一点．∴正方形不存在“等形点”，故答案为：不存在；（2）作AH⊥BO于H，∵边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”，∴△OAB≌△OCD，∴AB＝CD＝4，OA＝OC＝5，∵BC＝12，∴BO＝7，设OH＝x，则BH＝7﹣x，由勾股定理得，（4）2﹣（7﹣x）2＝52﹣x2，解得，x＝3，∴OH＝3，∴AH＝4，∴CH＝8，在Rt△CHA中，AC＝＝＝4；（3）如图，∵边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，∴△OEF≌△OGH，∴∠EOF＝∠HOG，OE＝OG，∠OGH＝∠OEF，∵EH∥FG，∴∠HEO＝∠EOF，∠EHO＝∠HOG，∴∠HEO＝∠EHO，∴OE＝OH，∴OH＝OG，∴OE＝OF，∴＝1．15．（2022•青海）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD＝CE；（2）解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由．【分析】（1）根据△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，证明△ABD≌△ACE（SAS），即可得BD＝CE；（2）根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得△ACD≌△BCE（SAS），即有AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，从而可得∠BEC＝∠ADC＝135°，即知∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°，由CD＝CE，CM⊥DE，∠DCE＝90°，可得DM＝ME＝CM，故AE＝AD+DE＝BE+2CM．【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由如下：如图：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝90°＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，∴∠BEC＝∠ADC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME，∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM，∴DE＝2CM，∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．16．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明，再利用AC＝AP，即可得出结论；（2）①由题意可得：∠CAB＝∠B＝45°，∠ACB＝90°，AC＝AP＝BC，再求解∠ACP＝∠APC＝67.5°，∠CPB＝112.5°，证明∠DPE＝∠CPB＝112.5°，从而可得答案；②先证明△ADP∽△ACB，可得∠APD＝45°，DP∥CB，再证明MP＝MD＝MC＝MN，∠EMP＝45°，∠MPE＝90°，从而可得出结论．【解析】（1）赞同，理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，∴cos45°＝，∵AC＝AP，∴，∴点P为线段AB的“趣点”．（2）①由题意得：∠CAB＝∠B＝45°，∠ACB＝90°，AC＝AP＝BC，∴＝67.5°，∴∠BCP＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠CPB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，∵△DPE∽△CPB，D，A重合，∴∠DPE＝∠CPB＝112.5°，∴∠CPE＝∠DPE+∠CPB﹣180°＝45°；②点N是线段ME的趣点，理由如下：当点D为线段AC的趣点时（CD＜AD），∴，∵AC＝AP，∴，∵，∠A＝∠A，∴△ADP∽△ACB，∴∠ADP＝∠ACB＝90°，∴∠APD＝45°，DP∥CB，∴∠DPC＝∠PCB＝22.5°＝∠PDE，∴DM＝PM，∴∠MDC＝∠MCD＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴MD＝MC，同理可得MC＝MN，∴MP＝MD＝MC＝MN，∵∠MDP＝∠MPD＝22.5°，∠E＝∠B＝45°，∴∠EMP＝45°，∠MPE＝90°，∴＝，∴点N是线段ME的“趣点”．17．（2022•兰州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，M为AB边上一动点，BN⊥CM，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（0≤x≤5），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/cm00.511.51.822.533.544.55y/cm43.963.793.47a2.992.401.791.230.740.330请你通过计算，补全表格：a＝3.2；（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：y随x的增大而减小；（4）解决问题：当BN＝2AM时，AM的长度大约是1.67cm．（结果保留两位小数）【分析】（1）先求出AB边上的高，进而求出AM'，判断出点M与M'重合，即可得出答案；（2）先描点，再连线，即可画出图象；（3）根据图象直接得出结论；（4）利用表格和图象估算出AM的长度．【解析】（1）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得，AC＝5，过点C作CM'⊥AB于M，∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CM'，∴CM'＝，在Rt△ACM'中，根据勾股定理得，AM'＝＝1.8，当x＝1.8时，点M与点M'重合，∴CM⊥AB，∵BN⊥CM，∴点M，N重合，∴a＝BN＝BM＝AB﹣AM＝3.2，故答案为：3.2；（2）如图所示，（3）由图象知，y随x的增大而减小，故答案为：y随x的增大而减小；（3）借助表格和图象得，当BN＝2AM时，AM的长度大约是1.67cm，故答案为：1.67．18．（2022•深圳）二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．y＝2x2y＝2（x﹣3）2+6（0，0）（3，m）（1，2）（4，8）（2，8）（5，14）（﹣1，2）（2，8）（﹣2，8）（1，14）（1）m的值为6；（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标；（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1＞y2，则x1＜或＞x2．（填不等号）【分析】（1）根据平移的性质分析对应点的坐标；（2）利用描点法画函数图象，联立方程组求得两函数的交点坐标；（3）结合二次函数图象的性质分析求解．【解析】（1）将（0，0）先向上平移6个单位，再向右平移3个单位后对应点的坐标为（3，6），∴m＝6，故答案为：6；（2）平移后的函数图象如图：联立方程组，解得，∴y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标为（，），（﹣，）；（3）∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，当P，Q两点同在对称轴左侧时，若y1＞y2，则x1＜x2，当P，Q两点同在对称轴右侧时，若y1＞y2，则x1＞x2，故答案为：＜或＞．19．（2022•潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017﹣2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如图．小亮认为，可以从y＝kx+b（k＞0），y＝（m＞0），y＝﹣0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．（1）小莹认为不能选y＝（m＞0）．你认同吗？请说明理由；（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？【分析】（1）由当m＞0时，y＝的性质可得答案；（2）观察①号田和②号田的年产量变化趋势可知，①号田为y＝kx+b（k＞0），②号田为y＝﹣0.1x2+ax+c，用待定系数法可得模拟①号田的函数表达式为y＝0.5x+1，模拟①号田的函数表达式为y＝﹣0.1x2+x+1；（3）设①号田和②号田总年产量为w吨，w＝0.5x+1+（﹣0.1x2+x+1）＝﹣0.1x2+1.5x+2＝﹣0.1（x﹣7.5）2+7.625，根据二次函数性质可得答案．【解析】（1）认同，理由是：当m＞0时，y＝中，y随x的增大而减小，而从图中描点可知，x增大y随之增大，故不能选y＝（m＞0）；（2）观察①号田和②号田的年产量变化趋势可知，①号田为y＝kx+b（k＞0），②号田为y＝﹣0.1x2+ax+c，把（1，1.5），（2，2.0）代入y＝kx+b得：，解得，∴y＝0.5x+1；把（1，1.9），（2，2.6）代入y＝﹣0.1x2+ax+c得：，解得，∴y＝﹣0.1x2+x+1，答：模拟①号田的函数表达式为y＝0.5x+1，模拟②号田的函数表达式为y＝﹣0.1x2+x+1；（3）设①号田和②号田总年产量为w吨，由（2）知，w＝0.5x+1+（﹣0.1x2+x+1）＝﹣0.1x2+1.5x+2＝﹣0.1（x﹣7.5）2+7.625，∵﹣0.1＜0，抛物线对称轴为直线x＝7.5，而x为整数，∴当x＝7或8时，w取最大值，最大值为7.6，答：①号田和②号田总年产量在2023年或2024年最大，最大是7.6吨．20．（2022•潍坊）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点（﹣1，﹣1），且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．【观察发现】请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．【思考交流】小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．请你探究这个方法，写出探究过程．【分析】由题意写出一个符合条件的函数解析式即可；【观察发现】画出一个符合条件的函数图象即可；【思考交流】由题意可知抛物线的对称轴可以在y轴的左侧，也可以在y轴的右侧，或者是y轴，抛物线的图象一定在x轴的下方；【概括表达】设经过点（﹣1，﹣1）的函数解析式为y＝a（x+1）2+m（x+1）﹣1，则b＝2a+m，c＝a+m﹣1，由a＜0，c≤0，a﹣b+c＝﹣1，可得b＜1．【解析】y＝﹣x2（答案不为唯一）；【观察发现】如图：【思考交流】∵抛物线的对称轴为x＝﹣，a＜0，∴抛物线的对称轴可以在y轴的左侧，也可以在y轴的右侧，或者是y轴，例如：y＝﹣x2；∴小亮的说法不正确；∵抛物线不经过第一象限，∴抛物线的图象一定在x轴的下方，∴小莹的说法不正确；【概括表达】设经过点（﹣1，﹣1）的函数解析式为y＝a（x+1）2+m（x+1）﹣1，∴y＝ax2+（2a+m）x+a+m﹣1，∵y＝ax2+bx+c，∴b＝2a+m，c＝a+m﹣1，∵二次函数的图象不经过第一象限，∴a＜0，c≤0，∵经过点（﹣1，﹣1），∴a﹣b+c＝﹣1，∴a+m﹣1≤0，∴a+m≤1，∴b＝2a+m＝a+a+m≤a+1，∴b＜1，综上所述：a＜0，b＜1，c≤0且a﹣b+c＝﹣1．21．（2022•临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；若0＜y＜48，求x的取值范围．（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．x/kg……0.250.5124……y/cm……421……【分析】（1）根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂解答即可；（2）根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂求出解析式，然后根据列表、描点、连线的步骤解答．【解析】（1）∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，∴重物×OA＝秤砣×OB，∵OA＝2cm，重物的质量为xkg，OB的长为ycm，秤砣为0.5kg，∴2x＝0.5y，∴y＝4x，∵4＞0，∴y随x的增大而增大，∵当y＝0时，x＝0；当y＝48时，x＝12，∴0＜x＜12；（2）∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，∴秤砣×OA＝重物×OB，∵OA＝2cm，重物的质量为xkg，OB的长为ycm，秤砣为0.5kg，∴2×0.5＝xy，∴y＝，当x＝0.25时，y＝＝4；当x＝0.5时，y＝＝2；当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝；当x＝4时，y＝；故答案为：4；2；1；；；作函数图象如图：22．（2022•赤峰）阅读下列材料定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a．例如：min|﹣1，3|＝﹣1；min|﹣1，﹣2|＝﹣2．完成下列任务（1）①min|（﹣3）0，2|＝1；②min|﹣，﹣4|＝﹣4．（2）如图，已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝﹣2x+b的图象交于A、B两点．当﹣2＜x＜0时，min|，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2，求这两个函数的解析式．【分析】（1）根据定义运算的法则解答即可；（2）根据反比例函数和一次函数图象的性质解答即可．【解析】（1）由题意可知：①min|（﹣3）0，2|＝1，②min|﹣，﹣4|＝﹣4；故答案为：1，﹣4．（2）当﹣2＜x＜0时，min|，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2＝﹣2x﹣3，∵一次函数y2＝﹣2x+b，∴b＝﹣3，∴y2＝﹣2x﹣3，当x＝﹣2时，y＝1，∴A（﹣2，1）将A点代入y1＝中，得k＝﹣2，∴y1＝﹣．23．（2022•赤峰）【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．【问题解决】（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是3≤x＜6（可省略单位），水池2面积的最大值是9m2；（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是C，E，此时的x（m）值是1或4；（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是0＜x＜1或4＜x＜6；（4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值．【分析】（1）依据函数图象和函数解析式，利用二次函数的性质解答即可；（2）利用图象交点的数学意义解答即可；（3）依据图象，利用数形结合法解答即可；（4）在1＜x＜4范围内，求得两个水池面积差的解析式，利用二次函数性质解答即可；（5）令y3＝y2，得到关于x的一元二次方程，解Δ＝0的方程即可求得b值．【解析】（1）∵y2＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，又∵﹣1＜0，∴抛物线的开口方向向下，当x≥3时，水池2的面积随EF长度的增加而减小，∵0＜x＜6，∴当3≤x＜6时，水池2的面积随EF长度的增加而减小，水池2面积的最大值是9m2．故答案为：3≤x＜6；9；（2）由图象可知：两函数图象相交于点C，E，此时两函数的函数值相等，即：x+4＝﹣x2+6x，解得：x＝1或4，∴表示两个水池面积相等的点是：C，E，此时的x（m）值是：1或4．故答案为：C，E；1或4；（3）由图象知：图象中点C的左侧部分和点E的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，即当0＜x＜1或4＜x＜6时，水池1的面积大于水池2的面积，故答案为：0＜x＜1或4＜x＜6；（4）在抛物线上的CE段上任取一点F，过点F作FG∥y轴交线段CE于点G，则线段FG表示两个水池面积差，设F（m，﹣m2+6m），则G（m，m+4），∴FG＝（﹣m2+6m）﹣（m+4）＝﹣m2+5m﹣4＝﹣+，∵﹣1＜0，∴当m＝时，FG有最大值为．∴在1＜x＜4范围内，两个水池面积差的最大值为，此时x的值为；（5）∵水池3与水池2的面积相等，∴y3＝y2，即：x+b＝﹣x2+6x，∴x2﹣5x+b＝0．∵若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×b＝0，解得：b＝．∴若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，b的值为米．24．（2022•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1．【基础训练】（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：（0，），y＝﹣．【技能训练】（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；【能力提升】（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；【拓展升华】（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点．如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．【分析】（1）根据焦点的坐标公式和准线l的方程直接得出结论即可；（2）可求出点P的纵坐标，从而确定P点的横坐标；（3）作AG⊥l于G，作BK⊥l于K，由BK∥FH∥AG得△CBK∽△CFH，△CBK∽△CAG，从而，，进一步求得结果；（4）设点M（m，m2），根据＝2列出方程，求得m的值，进一步求得结果．【解析】（1）∵a＝2，∴＝，故答案为：（0，），y＝﹣；（2）∵a＝，∴﹣＝﹣2，∴准线为：y＝﹣2，∴点P的纵坐标为：4，∴＝4，∴x＝±4，∴P（4，2）或（﹣4，2）；（3）如图，作AG⊥l于G，作BK⊥l于K，∴AG＝AF＝4，BK＝BF，FH＝，∵BK∥FH∥AG，∴△CBK∽△CFH，△CBK∽△CAG，∴，，∴＝＝，，∴a＝；（4）设点M（m，m2），∵＝，∴＝2，∴＝2，∴m1＝﹣2，m2＝2（舍去），∴M（﹣2，1），∵E为线段HF的黄金分割点，∴EH＝＝﹣1或EH＝2﹣（﹣1）＝3﹣，当EH＝﹣1时，S△HME＝＝＝﹣1，当EH＝3﹣时，S△HME＝3﹣，∴△HME的面积是﹣1或3﹣．25．（2022•贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在▱ABCD中，AN为BC边上的高，＝m，点M在AD边上，且BA＝BM，点E是线段AM上任意一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得△FBE．（1）问题解决：如图①，当∠BAD＝60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则＝；（2）问题探究：如图②，当∠BAD＝45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；（3）拓展延伸：当∠BAD＝30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．【分析】（1）根据等边三角形的性质，平行四边形的性质可得，根据特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据折叠的性质即可求得∠AEB的度数，由三角形内角和定理可得∠ABE的度数，根据点M在AD边上，当AD＝AM时，m取得最小值，从而求解；（3）连接FM，设AN＝a，然后结合勾股定理分析求解．【解析】（1）∵BA＝BM，∠BAD＝60°∴△ABM是等边三角形，∴AB＝AM＝BM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ABN＝∠BAM＝60°，∵AN为BC边上的高，∴＝＝，故答案为：；（2）∵∠BAD＝45°，BA＝BM，∴△AMB是等腰直角三角形，∴∠MBC＝∠AMB＝45°，∵EF∥BM，∴∠FEM＝∠AMB＝45°，∴∠AEB＝∠FEB＝（180°+45°）＝112.5°，∵AD∥NC，∴∠BAE＝∠ABN＝45°，∴∠ABE＝180°﹣∠AEB﹣∠BAE＝22.5°，∵＝m，△AMB是等腰直角三角形，AN为底边上的高，则AN＝AM，∵点M在AD边上，∴当AD＝AM时，m取得最小值，最小值为＝2，（3）如图，连接FM，延长EF交NC于点G，∵∠BAD＝30°，则∠ABN＝30°，设AN＝a，则AB＝2a，NB＝a，∵EF⊥AD，∴∠AEB＝∠FEB＝（180°+90°）＝135°，∵∠