2020-2021学年四川省内江市高一（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

2020-2021学年四川省内江市高一（下）期末数学试卷（理科）

一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）.

]/c兀、兀

1.cos(2x----)cios2x+sin(2x----)sin2x=:()

66

B.-返D.返

A.--c.—

2222

2.若a>b,则一定有()

A.—<—B.\a\>\b\cD.〃3〉拄

ab-后

3.记S八为等差数列｛斯｝的前〃项和.若〃4+。5=0,46=3,则S7=（)

A.-12B.-7C.0D.7

4.已知向量；=（1,2)，b=(1,0)，c=(3,4）•若（a+入b）”c（XER）-则实数入

=()

A.2B.1C.—D.—

24

5.设a为锐角，若cos(a+-^-)=性，则sin（2a+年）的值为（)

65

A.12“24c「.--24D.-卫

25252525

6.已知x>0,y>0.且若2x+y>M恒成立，则实数机的取值范围是（）

xy

A.(-8,7]B.(-8,7)C.(-8,9]D.(-8,9)

7.已知AABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S.若asinqt=6sinA,2S

=V3BAr'ci,则△ABC的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.正三角形D.等腰直角三角形

8.中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为

难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思

为：“有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天

的一半，走了6天后到达目的地，则最后一天走了（）

A.4里B.16里C.64里D.128里

9.将函数y=sin（x-胃）的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，再向右平移—个单

位长度，得到函数y=/（x）的图象.在AABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,

若f（2A）二-坐，且a=4,b=叙历，则△ABC的面积为（）

A.4B.6C.8D.10

10.已知等比数列｛斯｝的各项均不相等，且满足〃2+2〃I=6,的2=2〃6,则该数列的前4项和

为（）

A.120B.-120C.3D.-22.5

222222

11.在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，.2土=3上b=且

cb

宇”上£2卢，若点。是△ABC外一点，0A=2,OB=1.则平面四边形0AC8的面

sinAcosA

积的最大值是（）

A.B.C.3D.

442

12.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若仍=昌返，b+3acosC=0,则

2

当角2取得最大值时，石在正方向上的投影是（）

A.B.c.D.-710

555

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.已知平面向量Z=（2,5）,E=（1°，X），若则兀=.

14.计算：sin60°cosl5O-2sin215°cosl5°=.

15.设。>0,/?>0,且5次?+/?2=1,则q+b的最小值为.

16.已知正项等比数列｛〃〃｝中，“4-42=6,〃5-〃1=15,则斯=,又数列｛为｝满足

力卷，b^i二不?；若S〃为数列｛斯+也｝的前〃项和，那么.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、推演步骤.）

17.已知等比数列｛〃〃｝的前〃项和为S〃,若S4=15,S6=9S3.

（1）求数列｛为｝的通项公式；

（2）若d=log2a2〃,求数列｛瓦｝的前H项和4.

18.已知|；|=2,后|=3,W-3百•（2彳+1）=-7.

（1）若Z-E与37十%芯垂直，求女的值；

（2）求之与Z+E夹角的余弦值.

19.解关于x的不等式：“N+（1-〃）%-1>0.

c，c

20.在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且满足2a^b，C0Sl°sB,

cosA+cosA

（1）求出角A的值；

（2）若a=2,求△ABC的周长的范围.

21.在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，2扶=Cb2+c2-a2）（1-tanA）.

（1）求角C；

（2）若C=2JI5,D为BC中点,在下列两个条件中任选一个，求AO的长度.

条件①：△ABC的面积S=4且2>4；

条件②：cosB=2g.

D

22.已知数列｛斯｝的前〃项和为S〃，且满足〃i=l,当〃三2（吒N*）时，（几+1）

（n3-n）«

o

（1）计算：CL2,〃3；

（2）求｛斯｝的通项公式；

（3）设瓦=tanj^,求数列｛瓦+i瓦｝的前〃项和7k

参考答案

一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）.

(2x-^~)cos2x+sin(2x-^~)sin2x=()

1.cos

66

1B.考D.李

A.c

~24

../兀(71./兀、•/兀、

解:・COS(2X--^)=COS(_7-_2X)»，

6666

兀71,兀./冗、.

cos(2x------)cos2x+sin(2x------)sin2x=cos(-^-2x)cos2x-sinH^-2x)sin2x

6666

/兀、兀«

=COS(-7-2x+2x)=COS-7-=-7--

662

故选：D.

2.若a>b,则一定有（）

A.—<^B.\a\>\b\C.D.〃3〉拄

解：对于A,若〃>0>。，则［故A错误；

ab

对于8,若0>〃>4则⑷〈回，故8错误；

对于C,若。>a>b,则°2<62,则故C错误；

对于。，若a>b,则。3>加显然成立，故。正确.

故选：D.

3.记S〃为等差数列｛斯｝的前〃项和.若〃4+。5=0,06=3,则$7=（）

A.-12B.-7C.0D.7

软《+@5=2软1+7d-0,

解：因为《

=a]+5d-3,

软广一7,

所以《

d=2,

7(7-1)

S=(-7)X7+2X

72

故选：B.

4.已知向量a=(1,2)，b=(150)，c=(3,4)-右(a+人b)#c(入€RM则实数入

()

1

A.2B.1c4D.z

解：:向量a=（l,2），b=（l,0），c=（3,4）.

・•・a+入b=（1，2）+入（1，0）=（1+A,2）,

,•*(a+b)//c(入CR)，

；.4(1+A)-3X2=0,解得入营.

故选：C.

设a为锐角，若cos（a+?）=《，则sin（2a+g）的值为（

5.)

653

A送R24C.-2412

D.---------D.

252525

/兀、4

解：:a为锐角，cos(a^r)=r

*e(0,会

2,兀、_3

••sin(al-coS(0.4^-)1T

贝！Jsin(2a+"~^")=2sin(a+-^-)cos(a)=2X-1-X424

525

故选：B.

已知兀>0,y>0.且2上1，若2x+y>m恒成立，则实数m的取值范围是（）

6.

xy

A.(8,7]B.8,7)C.(-8,9]D.8,9)

解：—Ll,

且1>0,y>0,

xy

•(2二)=4+1+红+叁力5+2

2x+y=(2x+y)

xyyx

当且仅当区=里，即冗=尸3时，等号成立,

yx

・・・2x+y的最小值为9,

故选：D.

一A+T

7.已知△ABC内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,面积为S.若asin-六=/?sinA,2s

=«而•瓦，则△ABC的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.正三角形D.等腰直角三角形

解：因为asinA"=bsinA,

2

所以asin--)=acos-=Z^sinA,

222

由正弦定理可得sinAcos—=sinBsinA,

2

因为sinAWO,可得cos—=sinB=2sin—cos—,

222

因为BE(0,it),—G(0,----),cos—^0,

222

所以可得sin掾=《，可得掾=3,可得8=二，

22263

又2S=J^五•衰，可得2X•^■6csinA=J^・bccosA,即tanA=

因为Ae(0,n),可得A=二，

o

JT

所以Cnir-A-Buf,则△ABC的形状是正三角形.

故选：C.

8.中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为

难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思

为：“有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天

的一半，走了6天后到达目的地，则最后一天走了（）

A.4里B.16里C.64里D.128里

解：有一个人走252里路，第一天健步行走,

从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地,

则第n天走的里程数｛斯｝是公比为£的等比数列,

••S6=-千=252,

解得。1=128,

则最后一天走了4Z6=128X~V=4.

25

故选：A.

9.将函数y二sin（x-《-）的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，再向右平移〒个单

OO

位长度，得到函数y=/(x)的图象.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是〃，b,c,

若f(2A)=-堂，且a=4,b=l/2>则△ABC的面积为()

A.4B.6C.8D.10

解：由题意可得,f(x)=sin[|(x-y-)-^]=sin(1-y)=-coSf

f(2A)=-cosA=cosA=^^-.

兀

V0<A<ir,A=—.

4

a=4,b=472，由余弦定理得42=(蚯)2+c2-2x4如cX号，

整理得c2-8c+16=0,得c=4.

•••S^ABC4ABXACXsinAW，♦・•△ABC的面积为8,

故选：C.

10.已知等比数列｛。〃｝的各项均不相等，且满足的+20=6,俏2=2疑，则该数列的前4项和

为()

A.120B.-120C.3D.-22.5

解：等比数列｛斯｝的各项均不相等，且满足42+241=6,的2=2〃6,

%]q+2a]=6

-J(a1q2)2=2%q5,

q^l

解得ai=-6,q=-3,

・•・该数列的前4项和为：

$4=逸[包在尸]=120.

1-(-3)

故选：A.

222222

11.在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，,士邑二P_=a+b-c且

cb

丝这_=l-co：B,若点。是△age外一点，0A=2,02=1.则平面四边形0AC2的面

sinAcosA

积的最大值是()

A,经返B.空运C,3D.空运

442

解：由型_上££或，

sinAcosA

所以sinBcosA+sinAcosB=sinA,

所以sin(A+B)=sinA,即sinC=sinA,

所以C=A,

又记上止=史也±_,可得2accosB=2abcosC,可得cosB=cosC,可得8

cbcb

=c,

所以△ABC为等边三角形,

由余弦定理得«2=12+22-2X2cos0,

贝1!SOACB=LX1X2sin8+^^42=sin8+^^（5-4cos0）=2sin（8-兀）+5y,

24434

当e=器时，四边形OACB面积取得最大值空返.

64

故选：A.

12.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为〃、b、c,若曲=刍7°,Z?+3“cosC=0,则

2

当角5取得最大值时，源在以方向上的投影是（）

A.B.C.-D.--/10

555

解：由/?+3〃cosC=0,得cosCVO,

由正弦定理可得sinB+3sinAcosC=0,

由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,可得4sinAcosC+cosAsinC=0,

.\tanC=-4tanA,由角。为钝角，可得角A为锐角，即tanA>0,

从而tanB=-tan(A+C)=-tanA+tan,=3tanA=丁^------

1-tanAtanCl+4tanA~—^+4tanA

<1当且仅当tanA制时等号成立,

*4tanA

Q1

此时角3取最大值，且tanB=左，tanC=-4义彳"=-2,

V5_4

则cosC=—,cos6R.

55

375

ab=

2'解得k邛

联立4

a=0

庠D

CB在BA方向上的投影是，3^：=a，cos（冗-B）=-a,cosE=2师

IBAI

故选：B.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)

13.已知平面向量之=(2,5),己=(1°，X)，若则＞=-4

解：根据题意，向量(2,5),己=(1。，X)，

若彳_19则Z，E=20+5X=0,解可得X=-4；

故答案为：-4.

14.计算：sin60°cosl5°-2sin215°cosl5°=.

—2―

解：Vsin30°=2sinl5°cosl5°,sin30°=cos60°，

sin60°cosl5°-2sin215°cosl5°=sin60°cosl5°-cos60°sinl5°=sin(60°-

15°)=sin45°=返.

2

故答案为：返.

2

A

15.设a>0,b>Q,且5"+62=1,贝|a+6的最小值为—.

一5一

解：因为a>0,b>0,且5"+62=1,

所以a=l-b,

5b

因为〃>0,

所以0V5VL

当且仅当4造，即。=提时取等号,

5b5210

，一4.

则a+b的取小值

5

故答案为：

5

n1

16.已知正项等比数列｛斯｝中，44-42=6,45-41=15,则an=2~,又数列｛。〃｝满足

11Qn_1

bi=y，b4/彳石-；若S〃为数列｛斯+ib〃｝的前"项和，那么$3“=_色皆_.

a,(q3-q)=6

解：设正项等比数列｛斯｝的公比为q,由题设可得：\,

a/q4-1)=15

ap-16

a,1=1

解得：＜赤](舍)，・••斯=2〃%

,q=2

'•"1节，bn4-l=l-b，bi=—岳=2,63=-1,b4=~~>65=2,bf>="1,

n22

数列｛瓦｝是周期为3的周期数歹U,

-2n,n=3k,k€N*

=_J

an+\bn-n=3k2,k€N*:・a3k-lb3k-2+a3kb3k-l+a3k+lb3k=l?k-3+》k-2?k=8k

2n+1.n=3k-l,k€N*

-1

nn

•…•-_-l---8----_-8------l-,

1-87

故答案为：2"\止1

7

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、推演步骤.）

已知等比数列｛斯｝的前“项和为若

17.S”S4=15,S6=9S3.

（1）求数列｛小｝的通项公式；

（2）若儿=log2a2"，求数列｛a｝的前〃项和7“

解：（1）由S6=9S3,可得公比q不为1,

由S4=15,S6=9S3,可得的（1-q）=15,（1-q）=9・4（1-q）,

1-q1-q1-q

解得m=l,q=2,

所以—=1・2〃F=2〃F；

(2)bn—log2a2〃=log222n-1=2〃-1,

所以｛为｝是首项为1,公差为2的等差数列，

故数列｛瓦｝的前n项和.J（1+y1）=洛

18.已知|m=2,后|=3,（2；-31）•（2；+石）=-7.

（1）若Z-E与3；+显垂直,求k的值；

（2）求之与Z+E夹角的余弦值.

解：⑴因为|京=2，1b1=3-

所以（2a-3b）•（2a+b）=4a2-41-b-3b2=16-4a27=-7,

所以7•%=-1,

因为a-b与3a+%b垂直，所以（a-b）•（3a+kb）=0,

即3a+ka・b-3a・b-kb=0'

所以12-Z+3-9仁0,即k1■.

2

故k的值为宏

⑵lZ+0保”=用荔^=日丽FT1，

设向量:与二+E的夹角为0>

贝ijcos0=a，（a+b）=a+a・b=4-1=M11,

|a|-|a+b|2X®27n22

所以向量不与一的夹角的余弦值为岑工1.

19.解关于x的不等式：”1+（1-〃）1_i>o.

解：根据题意，对于QN+（1-4）X-1>0,

分3种情况讨论：

当〃=0时，不等式等价于x-1>0,其解集为｛%|%>1｝,

当。>0时，不等式变形可得（%+工）（x-1）>0,

a

不等式对应方程的两个实数根为-工和1,且-工<1,不等式的解集为｛x|x<-工或x>

aaa

1｝，

当x<0时，不等式变形可得G+工）（x-1）<0,

a

不等式对应方程的两个实数根为-工和1,

a

当-l<a<0时，-2>1,不等式的解集为｛x|l<x<-1｝；

aa

当。=7时，-」=1,不等式为（X-1）2<0,其解集为0；

a

当a<-l时，-工<1,不等式的解集为｛无卜工<x<l｝；

aa

综合可得：当。>0时，不等式的解集为｛x|x<-!或无>1｝,

a

当4=0时，不等式解集为｛x|x>l｝,

当-1V〃VO时，-不等式的解集为｛x[l<x<~;

a

当〃=一1时，不等式为（x-1）2<0,其解集为0；

当。<-1时，不等式的解集为｛R-2<x<l｝.

a

20.在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且满足26/=b，CQSl-+-.

cosAcosA

(1)求出角A的值;

(2)若〃=2,求△ABC的周长的范围.

解：(1)在△A3C中，三个内角A、B、C所对的边分别是。、b、c,且满足2a=

b・cosCfcosB

cosAcosA

sinBcosC+sinCcosB

利用正弦定理:2sinA=

cosA

整理得：cosA=］，

由于：OVAVTT,

所以人==，

3

(2)由于〃2=5+。2-2bccosA=/?2+c2-反=(0+c)2-3/?c=4,

由于bc4(等)2，

所以4》(b+c)2」(b；c)2,

整理得b+cW4,当且仅当6=c=2时，等号成立.

故6+c+aW6

由于b+c>a,

所以a+b+c>2a=4,

故周长的取值范围为(4,6],

21.在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，2〃=(^2+c2-6z2)(1-tanA).

(1)求角C;

(2