《常微分方程》答案 习题4.2

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习题4.2

1.解以下方程

(4)*5*4*0〔1〕

解：特征方程45240有根12，22，31，41

2t2ttt

cececece故通解为*=1234

23

*3a*3a*a*0(2)

解：特征方程33a23a2a30

有三重根a

故通解为*=c1eatc2teatc3t2eat

(5)*4*0〔3〕

解：特征方程5430

有三重根0，42，5-2故通解为*c1e

2t

c2ec3tc4tc5

2t2

〔4〕*2*10*0

解：特征方程22100有复数根1-1+3i,2-1-3i

故通解为*c1etcos3tc2etsin3t(5)***0

解：特征方程210有复数根11故通解为*c1e

1

t2

3i

2

,2

1i

,2

costc2e

2

1t2

3sint

2

《常微分方程》习题答案

(6)sa2st1

解：特征方程2a20有根

1a,2-a

当a0时，齐线性方程的通解为s=c1eatc2eat

~sABt

代入原方程解得AB

1

(t1)2a

1a2

故通解为s=c1eatc2eat-

11

当a=0时,~st2(1t2)代入原方程解得1,2

6

2

故通解为s=c1c2t-

12

t(t3)6

(7)*4*5*2*2t3

解：特征方程4520有根2,两重

3

2

1

根1

齐线性方程的通解为*=ce

12t

c2etc3tet

又由于0不是特征根，故可以取特

*ABt代入原方程解得A=-4，解行如~

B=-1

故通解为*=cececte-4-t(8)*2**t3

2重根1解：特征方程210有2重根1，

2t

t

t

1

2

3

(4)

2

42

故齐线性方程的通解为

《常微分方程》习题答案

*=cectececte

*At取特解行如~

t

t

t

t

1

2

3

4

2

Btc

代入原方程解得

A=1，B=0,C=1

故通解为*=cectececte+t1

(9)**cost

解：特征方程10有复数根

t

t

t

t

2

1234

3

1

13i1i

,2,3122

故齐线性方程的通解为

*c1e

1t2

t3costc2e2sintc3et

22

1

*AcostBsint代入原方程解得取特解行如~

1,BA=122

故通解为*ce

1

1

t2

t1costc2e2sintc3et(costsint)

222

1

(10)**2*8sin2t

解：特征方程20有根-2,1

2

12

故齐线性方程的通解为*=cece

t

2t

1

2

由于+-2i不是特征根

《常微分方程》习题答案

*Acos2tBsin2t代入原方程解取特解行如~

26

,B得A=5

5

故通解为*=cece

t1

2

2t

26

cos2tsin2t55

〔11〕**e

t

解：特征方程

1

13i1i

,2,3122

310

有复数根

故齐线性方程的通解为

*c1e

1t2

t3costc2e2sintc3et

22

1

1是特征方

1

*Ate代入原方程解得A=程的根，故~

3

t

故通解为*ce

1

1t2

tcostc2e2sintc3et

22

1

te+1

3

t

〔12〕s2asase

2

t

解：特征方程

2

2aa20

有2重根-a

当a=-1时，齐线性方程的通解为s=cecte,

1是特征方程的2重根，*Ate代入故~

t

t

1

2

2

t

《常微分方程》习题答案

原方程解得A=12

t,通解为s=cecte12

t

t

2

1

2

当a-1时，齐线性方程的通解为s=cecte,

1不是特征方程的根，故~*Ae代入原

at

at

1

2

t

方程解得A=(a11)

2

故通解为s=ce

1

at

c2teat

+(a11)e

t2

〔13〕*6*5*e

2t

解：特征方程

2

650

有根-1,-5

1

2

故齐线性方程的通解为*=ce

1

t

c2e5t

*Ae代入原2不是特征方程的根，故~

2t

1方程解得A=21

故通解为*=ce

1

t

c2e5t

1

e+21

2t

〔14〕*2*3*e

t

cost

2230

解：特征方程

有根

《常微分方程》习题答案

-1+2i,-1-2i

故齐线性方程的通解为*cecos

1

2

t

1

2tc2etsin2t

1i

不是特征方程的根,取特解行如

54,B代入原方程解得A=41

41

t

~*(AcostBsint)et

故通解为*cecos

1

2tc2etsin2t

54

costsint)e+(41

41

t

(15)**sintcos2t

解：特征方程10有根i,-i

2

12

故齐线性方程的通解为*ccostcsint

1

2

**sint

,i,是方程的解

1

~*t(AcostBsint)

代入

原方程解得

1~*tcostA=1B=0故22**cos2t

~*Acos2tBsin2t

代入原方程解

得

1

*cos2tA=13B=0故~

3

故通解为*c1costc2sint1tcost1cos2t

2

3

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《常微分方程》习题答案

习题4.2

1.解以下方程

(4)*5*4*0〔1〕

解：特征方程45240有根12，22，31，41

2t2ttt

cececece故通解为*=1234

23

*3a*3a*a*0(2)

解：特征方程33a23a2a30

有三重根a

故通解为*=c1eatc2teatc3t2eat

(5)*4*0〔3〕

解：特征方程5430

有三重根0，42，5-2故通解为*c1e

2t

c2ec3tc4tc5

2t2

〔4〕*2*10*0

解：特征方程2210