2015年新课标人教a版高中数学（选修2-2）全册教案

第一章导数及其应用

课题：1.1.1变化率问题第课时总序第

个教案

课型：新授课编写时时间：一年—月一日执行时间:年_月

日

教学目标：批

1.理解平均变化率的概念：注

2.了解平均变化率的几何意义；

3.会求函数在某点处附近的平均变化率。

教学重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率;

教学难点:平均变化率的概念.

教学用具:多媒体

教学方法:讨论，归纳

教学过程:

一.创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，

随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处

理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速

度等;

二、求曲线的切线；

三、求已知函数的最大值与最小值；

四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）

值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程

度.

二.新课讲授

（一）问题提出

问题1气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的

增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？

■气球的体积厂（单位1）与半径《单位力⑼之间的函数关系是修代）=

3P

■如果将半径r表示为体积V的函数，那么F（r）=3——

V4乃

分析：r（r）

⑴当V从0增加到1时，气球半径增加了r（l）-r（0）«0.62（加）

气球的平均膨胀率为"1）一"°）X0.62（而〃）

1—0

⑵当V从1增加到2时，气球半径增加了尸⑵-〃⑴。0.16（而）

气球的平均膨胀率为‘0）一"1）x0.16（M/A）

2—1

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.

思考：当空气容量从匕增加到匕时,气球的平均膨胀率是多少？

仍）-尸（匕）

七一匕

问题2高台跳水

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度双单位：

⑼与起跳后的时间，（单位：s）存在函数关系〃⑺=

-4.9/2+6.5/+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v

度粗略地描述其运动状态？

思考计算：04/M0.5和14/42的平均速度；

在0W/W0.5这段时间里，

-/?（0.5）-A（0）/、

v=-----------=4.05（w/s）；

0.5-0

在14,42这段时间里，，==_8.2（m/s）

探究：计算运动员在04/V竺这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数/?（/）=-4.9/2+6.5/+10的图像，结合图形可知，

嗡=〃（0）,

_仁）-阳）

所以U=-^L------=0（5/加），

65八

虽然运动员在0WtV后这段时间里的平均速度为0（$/加）,但实际情况是运动

员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.

（二）平均变化率概念：

1.上述问题中的变化率可用式子/02）二/区）表示,称为函数人刈从片

x2-x,

到X2的平均变化率

2.若设Ar=X2-X],旷=/（%2）—/（须）（这里Ax看作是对于J的一个“增

量”可用两+Ar代替冷洞样△，=切=/（七）-/（王））

3.则平均变化率为电=竺=八少/区）=/3+—为）

AxAxx2-x{Ax

思考：观察函数兀c）的图象

平均变化率竺=/（”2）-）（再）表示什么？

AxX2-%1

8(-1+©,-2+.),则包=.

Ax

解：-2+Ay=—(―1+Ax)2+(―1+Ax),

.Av_-1+Axf+(-1+Ax)-2_

»•——3―/\X

AxAx

例2.求y=f在x=x0附近的平均变化率。

22

22

解：Aj；=（x0+Ar）-x0,所以包=（、°+&）

_x2+2xAx+Ax2-x2

000=2x+Ax

Ar0

所以y=、2在x=x0附近的平均变化率为2x0+Ax

四.课堂练习

1.质点运动规律为s="+3,则在时间（3,3+A/）中相应的平均速度

为.

2.物体按照s（/）=3,+/+4的规律作直线运动，求在4s附近的平均变化率.25+3A/

3.过曲线月（x）=d上两点尸（1,1）和。（1+Ax,l+△刃作曲线的割线，求出当

△x=0.1时割线的斜率.

五.回顾总结

1.平均变化率的概念

2.函数在某点处附近的平均变化率

六.布置作业

教学后记：

课题：1.1.2导数的概念第一课时总序第一个

教案

课型：新授课编写时时间：―年_月_日执行时间：一年一月

日

教学目标：批

1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；注

2.理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

3.会求函数在某点的导数。

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

教学难点：导数的概念.

教学用具：多媒体

教学方法：探究，归纳

教学过程：

一.创设情景

（―）平均变化率

（二）探究：计算运动员在04/4竺这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数的）=-4.9/+6.5/+10的图像，结合图形可知，依||）=。（0）,

啧i（o）

所以v=—------=0（§/加），

65八

虽然运动员在0wtW而这段时间里的平均速度为0（s/〃?）,

但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速

度不能精确描述运动员的运动状态.

新课讲授

1.瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度“运动员的平均速度不能反映

他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，/=2时

的瞬时速度是多少？考察/=2附近的情况：

4<0时,在［2+4,2］这段时间内4>0时，在［2,2+4］这段时间内

-力⑵一为(2+&)4.9A?+13,1AZ-力(2+4)—a(2)—4.9△尸一13.14

V——V——

2—(2+A/)—Az(2+4)-2Lt♦=

=­13.1=-4.94-13.1

当Af=-0.01时,A/=—13.051；当位=0.01时，A/=-13.051；.

当小£=一0.001时，AZ=-13.0951；.当4=0.001时，AZ=-13.0951；.

当AZ=-0.001时,A/=-13.09951,•当4=0.001时，4=73.09951；<

当4=-0.0001时,Az=-13.099951；.当4=0.0001时，A/=-13.099951；<

当位=-0.00001时，4=73.099951,*当加=0.00001时，位=-13.099951一

...,■...

思考：当趋近于0时•，平均速度3有什么样的变化趋势?

结论：当△/趋近于0时，即无论，从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近

于2时，平均速度工都趋近于一个确定的值-13.1.

从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度5就无限趋近于史的瞬时

速度，因此，运动员在7=2时的瞬时速度是-13.1/M/S

为了表述方便，我们用lim〃（2+4）-〃（2）=—［3］

A/f0△t

表示“当/=2,趋近于0时，平均速度，趋近于定值-13.1”

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从

瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

2导数的概念

从函数y=y（x）在x=x（）处的瞬时变化率是：

lim/（xo+Ax）-/（xo）^.mV

A”。AxAx

我们称它为函数y=/（x）在X=X。出的导数，记作/（X。）或丁人。，即

/(玉+©)-/(七)

/"(%)=lim

AXTOAx

说明：（1）导数即为函数5）在E。处的瞬时变化率

(2)Ar=x-x,当Ax—>0时，xrx。，所以/'(%)=lim~

0Ar->0%—X。

三.典例分析

例L（1）求函数尸3,在产1处的导数.

分析：先求△户ApyX1+Ax)^f(1)=6AX+(AX)2

再求竺=6+Ac再求lim丝=6

AxAx

解：法一定义法(略)

2222

法二：VI-=lim—3x_-_3—-1=lim3(x_-I)=lim3(x+1)=6

xTX—1IX—1—

(2)求函数负x)=-x2+x在x=-l附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.

Ay_(l+Ax)2+(-l+Ar)2_3_©

解:

AxAx

,,Ay—(—1+Ax)~+(—1+Ax)—2

/(-1)=lim—=--------------------------------=lim(3-Ax)=3

©-0AxAx&s0

例2.(课本例D将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原

油进行冷却和加热，如果第动时，原油的温度(单位：℃)为

/(x)=x2-7x+15(O<x<8),计算第2。时和第6〃时，原油温度的瞬时变化率,

并说明它们的意义.

解：在第2〃时和第672时，原油温度的瞬时变化率就是/'(2)和/(6)

根据导数定义，V=./(2+Ax)-/(x0)

ArAx

(2+Ar)2-7(2+Ax)+15-(22-7x2+15).

=--------------------------------------------------=/xAx-3

Ax

所以/'(2)=lim"=lim(Ax-3)=-3

A.V->OA,AXTO

同理可得：/'(6)=5

在第2〃时和第66时，原油温度的瞬时变化率分别为—3和5,说明在2。附近,

原油温度大约以39/A的速率下降，在第6。附近，原油温度大约以5℃/〃的速率

上升.

注：一般地，/(%)反映了原油温度在时刻与附近的变化情况.

四.课堂练习

1.质点运动规律为5=产+3,求质点在/=3的瞬时速度为.

2.求曲线产加)=/在x=1时的导数.

3.例2中，计算第3〃时和第5〃时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

五.回顾总结

1.瞬时速度、瞬时变化率的概念

2.导数的概念

六.布置作业

教学后记：

课题：1.1.3导数的几何意义第一课时总序第一个

教案

课型：新授课编写时时间：―年_月_日执行时间：一年一月

日

教学目标：批

1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；注

2.理解曲线的切线的概念；

3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题。

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；

教学难点：导数的几何意义.

教学用具：多媒体，直尺

教学方法：培养学生的计算能力与数形结合的能力。

教学过程：

一.创设情景

(一)平均变化率、割线的斜率

(-)瞬时速度、导数

我们知道，导数表示函数问x)在处的瞬时变化率，反映了函数月㈤在x=x0

附近的变化情况，导数/'(%)的几何意义是什么呢？

新课讲授

（-）曲线的切线及切线的斜率：如图1.1-2,当月（乙,/（七,））（〃=1,2,3,4）沿着曲

线/（%）趋近于点P（x0,/（x0））时，割线PP„的变化趋势是什么？

我们发现,当点匕沿着曲线无限接近点P即Ax-0时，割线P匕趋近于确定的位

置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

问题：⑴割线的斜率尤与切线P7的斜率左有什么关系？

⑵切线尸7的斜率左为多少？

容易知道，割线PP”的斜率是kn=-0小。）.当点Pn沿着曲线无限接近点

X”-X。

P时，kn无限趋近于切线PT的斜率左，即左=lim/生+.匕〃血）=f'（x0）

AVTOAX

说明：（1）设切线的倾斜角为a,那么当小一0时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处

的切线的斜率.

这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；

②切线斜率的本质一函数在X=/处的导数.

（2）曲线在某点处的切线:1）与该点的位置有关;2）要根据割线是否有极限位置

来判断与求解.如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无

切线;3）曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个.

（二）导数的几何意义：

函数y+x）在x=*o处的导数等于在该点（x0,/（x。））处的切线的斜率，

即八）;Hm/（%之4r）-=k

°A—。Ax

说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：

①求出P点的坐标；

②求出函数在点为处的变化率f\x.)=lim./(/+一)一(/)=k，得到曲

-Ax

线在点(x°,/(Xo))的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程.

(二)导函数：

由函数y(x)在X=Xo处求导数的过程可以看到，当时，/'(5)是一个确定的数，那

么，当X变化时，便是X的一个函数，我们叫它为/(X)的导函数.记作：/'(X)或",

即：/“⑴=y=lim/.(廿一)-/(»

AVTOAX

注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.

(三)函数/(X)在点X。处的导数,/"(X。)、导函数/'(X)、导数之间的区别与联系。

(1)函数在一点处的导数/'(X。)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量

之比的极限，它是一个常数，不是变数。

(2)函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数

(3)函数/(x)在点/处的导数/(%)就是导函数/'(x)在x=x0处的函数值，这也

是求函数在点与处的导数的方法之一。

三.典例分析

例1:(1)求曲线月a)=/+1在点尸(1,2)处的切线方程.

(2)求函数受3,在点(1,3)处的导数.

22

M八、,,[(l+ZSx)+l]-(l+l)2AX+A?

解：⑴yL-,=lim--------———-------=hm-------------=2,

—Ax-Ax

所以，所求切线的斜率为2,因此，所求的切线方程为歹-2=2(x-l)即

2x-y=0

3x2-3-I23(x2-I2)

(2)因为~--=lim^——<=lim3(x+1)=6

IX—11।X—131

所以，所求切线的斜率为6,因此，所求的切线方程为y-3=6(x-1)即

6x-y-3=0

（2）求函数外）=一'2+》在x=—l附近的平均变化率，并求出在该点处的导

解：包=-（-1+词2+（-1+词-2=3…

AxAx

-5=唔=«心:…-2lira(3—Ax)=3

A->0

例2.（课本例2）如图1.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

线比较平坦，几乎没有升降.

(2)当f=4时,曲线〃⑺在G处的切线4的斜率”也）＜0,所以,在7=4附近

曲线下降,即函数％（x）=-4.9x2+6.5x+10在/=）附近单调递减.

(3)当/=%时，曲线〃⑺在G处的切线4的斜率〃«2）＜0,所以，在/=4附

近曲线下降,即函数〃（》）=-4.9炉+6.5》+10在1=，2附近单调递减.

从图1.1-3可以看出，直线4的倾斜程度小于直线4的倾斜程度，这说明曲线在4

附近比在乙附近下降的缓慢.

例3.（课本例3）如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度c=/（7）（单位:

〃陪/〃辽）随时间/（单位：min）变化的图象.根据图像，估计/=0.2,0.4,0.6,0.8

时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）.

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度/(7)在此时刻的导数,

从图像上看，它表示曲线/(7)在此点处的切线的斜率.

如图1.14,画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得

到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.

作/=0.8处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91),(1.0,0.48),则它的

0.48-0.91

斜率为:

1.0—0.7

所以/'(0.8)。—1.4

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:

四.课堂练习

1.求曲线y=/(x)=x3在点(1,1)处的切线;

2.求曲线歹=正在点(4,2)处的切线.

五.回顾总结

1.曲线的切线及切线的斜率；

2.导数的几何意义

六.布置作业

教学后记：

课题：1.2.1几个常用函数的导数第一课时总序第一个教

案

课型：新授课编写时时间：―年_月_日执行时间：一年一月

日

教学目标：批

1.使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数^=。、y=x、注

.1

y=y=—的导数公式；

2.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.

教学重点：四种常见函数》=。、歹=x、y=Y、歹=上的导数公式及应用。

X

11

教学难点：四种常见函数N=c、y=x、y=x\歹=上的导数公式。

x

教学用具：多媒体

教学方法：归纳，类比

教学过程：

一.创设情景

我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运

动物体在某一时刻的瞬时速度.那么，对于函数丁=/（X）,如何求它的导数呢？

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来

定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，

为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数

的方法，下面我们求儿个常用的函数的导数.

二.新课讲授

1.函数y=/（x）=c的导数

根据导数定义，因为包二〃土+.）一/（X）♦二=0

AxAxAx

所以/=1而包=lim0=0

AXTOArA.V->O

函数导数

y=cy=0

y=O表示函数N=c图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0.若y=c

表示路程关于时间的函数，则_/=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,

即物体一直处于静止状态.

2.函数y=/（x）=x的导数

因为丝=/（x+Ax）/（x）=x+Ax—x=]

AxAxAx

所以/=lim^=lim1=1

A》一>O八丫At->o

函数导数

y=xy=1

/=1表示函数^=x图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1.若y=x

表示路程关于时间的函数，则歹'=1可以解释为某物体做瞬时速度为I的匀速

运动.

3.函数_y=/(x)=x2的导数

Ay_/(x+Ax)-f\x)_(x+Ax)2-x1

因为

AxAxAr

x2+2xAx+(Ar)2-x2

=2x+Ar

Ax

所以y'=lim—=lim(2x+Ax)=2x

—A.A.V->O

函数导数

尸X2yf=2x

了=2%表示函数歹=/图像(图323)上点(x,y)处的切线的斜率都为2x,

说明随着x的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点

的瞬时变化率来看，表明：当x<0时，随着x的增加，函数歹=刀2减少得越

来越慢；当x〉0时，随着x的增加，函数歹=》2增加得越来越快.若歹=/表

示路程关于时间的函数，则,=2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x

的瞬时速度为2x.

4.函数y=f(x)=’的导数

X

1___j_

因为包=/(x+Ax)-/(x)=x+AxX

AxAxAx

_x-(x4-Ax)_1

x(x+Ax)Axx2+x-Ax

所以V=lim丝=lim(--z--------)=--r

As°AxX4-X-ArX

函数导数

1

y=

X

5.函数y=/(x)=4的导数

Ay_/(x+Ax)—f(x)_Jx+Ax-y[x

ArArAx

_(Jx+Ar-y/x)(Jx+Ax+Vx)

AY(VX+AY+Vx)

(x+Ax)-x

Ax(J\+Ax+Vx)

所以V=lim电1

lim

Ax->0MAv->0Vx+Ax+Vx

函数导数

y=4x

(2)推广：若y=/(x)=x"(〃e。*),则/"(x)=〃x"T

三.课堂练习

1.课本P13探究1

2.课本P14探究2

四.回顾总结

函数导数

y=cy=0

y=xy=i

y=x2y=2x

1,1

y=-y=-x2

X

y=4x厂夫

V=/(x)=x"(〃e。*)y-nxn~x

五.布置作业

教学后记:

课题：1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则第一课时总序第一个教案

课型：新授课编写时时间：一年一月一日执行时间：一年一月一日

教学目标：批注

1.熟练掌握基本初等函数的导数公式；

2.掌握导数的四则运算法则；

3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则。

教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用。

教学用具：多媒体

教学方法：归纳，类比，分析总结

教学过程：

一.创设情景

五种常见函数y=c、y=x,y=x*2,歹=,、y=4的导数公式及应用。

二.新课讲授

(-)基本初等函数的导数公式表

函数导数

y=cy=0

y=f(x)=x\neQ*)y=nxn~]

y=sinxy=cosx

y=cosxy=-sinx

y=f(x)=axy=ax-In<7(<7>0)

y=/(x)=，y=ex

/(x)=log„VW=/(a〉o月々Hl)

/(x)=log“X

xma

,1

/(x)=lnx/«=

X

(二)导数的运算法则

导数运算法则

"(x)±g(x)]=/'(x)±g'(x)

2."(x)-g(x)]=/'(x)g(x)±/(x)g(x)

/'(x)g(x)—/(x)g'(x)

3.(g(x)HO)

[g(x)『

⑵推论：[(/(x)]=/(x)

(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)

三.典例分析

例L假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位：元)与时

间/(单位：年)有如下函数关系p(7)=Po(l+5%)',其中p°为7=0时的物价.假定

某种商品的p0=l，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确

到0.01)?

解：根据基本初等函数导数公式表，有p(/)=LO5'lnl.O5

所以),(10)=1.05"In1.05ao.08(元/年)

因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨.

例2.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数.

(1)y=x3-2x+3

(2)尸

(3)y=x-sinx-\nx；

(4)

1-lnx

(5)

1+lnx

(6)y=(2x2-5x+l)-ex；

/、sinx-xcosx

(7)y=-----------

cosx+xsinx

解：⑴y=(x3-2x+3)=(x3)-(2x)+(3)=3x2-2,

24_______2&=_Lr_+___\i

(1+Vx)2(1-A/X)22y[x(1+Vx)2(1-Vx)2

1(1+4)2+(1—4)2(1+x)五

-H(If-X(l-X)2

1(1+X)y[x

y=-----------

x(l-x)2

(3)y=(x-sinx-lnx)'=[(x-lnx)-sinx]

=(x-Inx)-sinx+(x•Inx)­(sinx)

=(1-Inx+x•—).sinx4-(x•Inx)•cosx

x

=sinx+Inx-sinx+x-Inx-cosx

y=sinx+Inx-sinx+x-Inx-cosx

/、./X、，x-4x-x\4x)'b4A-x-4vln4l-xln4

(4)y=(—)=----------r2----=-------------------=----------,

4〃(4")2(4、月4V

，l-xln4

y=----------o

/4r

/八•1-lnx.,工2、，〜1、，c2

(5)y=Z(-------)x=(-1+--------)=2(--------)=2-------v-----=-----------

1+lnx1+lnx1+lnx(1+Inx)2x(l+lnx)~

.2

y=-------------

x(l+lnx)2

(6)y=(2x2—5x+1),ex+(2x2—5x+1),(cx)

=(4x-5)-ev+(2x2-5x+l)-eJ=(2x2-x-4)-ev,

2x

y=(2x-x-4)-eo

/、.sinx-xcosx..

⑺y=(z------------)

cosx+xsinx

(sinx-xcosx)•(cosx+xsinx)-(sinx-xcosx)•(cosx+xsinx)

一/(cosx+xsi•nx)\2

_(cosx-cosx+xsinx)-(cosx4-xsinx)-(sinx-xcosx)-(-sinx4-sinx4-xcos.

(cosx+xsinx)2

_xsinx-(cosx+xsinx)-(sinx-xcosx)•xcosx

(cosx+xsinx)2

x2X2

2

(cosx+xsinx)2■'(cosx+xsinx)

【点评】

①求导数是在定义域内实行的.

②求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心.

例3日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不

断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为

c(x)=5284780Vx<100)

100-x

求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：(1)90%(2)98%

解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.

,(5284、，_5284'x(100—x)-5284x(100一x)'

,，-100—x-(100-x)2

_0x(100-x)-5284x(-l)_5284

(100-x)2-(100-x)2

(1)因为c'(90)=—"84=52.84,所以，纯净度为90%时，费用的瞬时

(100-90)2

变化率是52.84元/吨.

(2)因为c'(98)=—"84=1321,所以，纯净度为98%时;费用的瞬时

(100-90)2

变化率是1321元/吨.

函数/(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知，

c(98)=25。(90).它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度

为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍.这说明，水的纯净度越高，需要的净化费

用就越多，而且净化费用增加的速度也越快.

四.课堂练习

1.课本P18练习

2.已知曲线C：y=3X4-2X3-9?+4,求曲线C上横坐标为1的点的切线方程:

(y=-12x+8)

五.回顾总结

(1)基本初等函数的导数公式表

(2)导数的运算法则

六.布置作业

教学后记：

课题：1.2.2复合函数的求导法则第一课时总序第一个

教案

课型：新授课编写时时间：―年_月_日执行时间：一年一月

日

教学目标：批

理解并掌握复合函数的求导法则.注

教学重点：复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对

中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积.

教学难点：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确.

教学用具：多媒体

教学方法：探究

教学过程：

一.创设情景

(-)基本初等函数的导数公式表

_______M_______导数

y=cy=o

y=/(x)=x"(〃e。*)y=ax"”

y=sinxy-cosx

y-cosxy=-sinx

y=/(x)=a'y=ax-Ina(a>0)

y=f(x')=exy-ex

/(x)=log。X/(x)=log,,xf(x)=(a>0且a丰1)

xma

,/'(x)=lnx/(x)=1

X

(二)导数的运算法则

导数运算法则

L"(X)±g(X)]=/(X)±g'(X)

2."(X>g(X)]=/'(X)g(X)±/(X)g'(X)

./■(x)g(x)-./(x)g(x)

3.

[gM凶

(2)推论：=/1'")

(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)

二.新课讲授

复合函数的概念一般地，对于两个函数歹=/(“)和“=g(x),如果通

过变量〃，歹可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数丁=/(〃)和

M=g(X)的复合函数，记作丁=./'(g(X))。

复合函数的导数复合函数丁=/(g(X))的导数和函数卜=/(")和

U=g(x)的导数间的关系为匕'=瑞’•〃；，即N对X的导数等于N对"的导数

与〃对X的导数的乘积.

若y=/(g(x)),则y'=[/(g(x))J=/'(g(x))-g'(x)

三.典例分析

例1(课本例4)求下列函数的导数：

(1)y=(2x+3)2；(2)y=e~0Mx+'；

(3)y-sin(>rx+(p)(其中肛9均为常数).

解：(1)函数y=(2x+3)2可以看作函数y=1和“=2x+3的复合函数。

根据复合函数求导法则有

2

y'x-yt'-u^=(U)\2X+3)=4〃=8x+12。

(2)函数y="0°5向可以看作函数y=e"和”=—0.05x+1的复合函数。

根据复合函数求导法则有

£=£0.05x+l)'=-0.005e"=-0.005/0°53。

(3)函数y=sin(乃x+夕)可以看作函数y=sin〃和〃=不》+夕的复合函

数。根据复合函数求导法则有

歹：=匕;•Ux=(sinw)(71X+0)=7CCOSU=兀COS(〃X+(P)c

例2求歹=sin(tanx2)的导数.

解:y=[sin(tanx2)]=cos(tanx2)-sec2(x2)•2x

=2xcos(tanx2)•sec2(x2)

y=2xcos(tanx2)-sec2(x2)

【点评】

求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由

外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并

及时化简计算结果.

x-a

例3求y的导数.

y]x2-lax

1-Jx2-2ax-(x-a)-----J"

-2ax

解:y

x2-2ax

_Q4々2-u~—2.CIX

=---------------=-------------------,y=----------------------

x2-2ax\]x2-lax，-2ax)~(x2-2ax)~

【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数.求导数后要予以化简整理.

例4求y=sin4x+cos4_r的导数.

【解法一=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2—2sin2cos2x=1——sin22x

131

=1——(1-cos4x)=—+—cos4x.yf=—sin4x.

444

【解法二】y'=(sin4x)/+(cos4x)/=4sin3x(sinx)f+4cos\(cosx),

=4sin3.rcosx+4cos(-sinx)=4sinxcosx(sin2x-cos2x)

=-2sin2xcos2x=—sin4x

【点评】

解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确.解法二是利用

复合函数求导数，应注意不漏步.

例5曲线y=x(x+1)(2-x)有两条平行于直线歹=工的切线，求此二

切线之间的距离.

【解】y——x3+x2+2xy'=-31+2x+2

令y'=1即3x2—2x—1=0,解得x=—；或x=1.

114

于是切点为P(l,2),Q-——),

327

过点P的切线方程为，y-2=x-1BPx—y+1=0.

显然两切线间的距离等于点。到此切线的距离，故所求距离为

,114,,

---—11

327

V2

四.课堂练习

1.求下列函数的导数(1)y=sinx3+sin33x；(2)

sin2%,.,,,〜、

y=~~~-；(3)log„(x-2)

2x-l

2.求ln(2/+3x+l)的导数

五.回顾总结

六.布置作业

教学后记:

课题：131函数的单调性与导数(第1课时)第一课时总序第一个

教案

课型：新授课编写时时间：―年_月_日执行时间：一年一月

日

教学目标：批

1.了解可导函数的单调性与其导数的关系；注

2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数•般不

超过三次。

教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调

区间。

教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调

区间。

教学用具：多媒体

教学方法：引导学生自我探究。