2015年湖北省高考数学试卷(理科)

1.（5分）（2015•湖北）i为虚数单位，i6°7的共规复数为（）

A.iB.-iC.1D.-1

2.（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分"题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验

得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）

A.134石B.169石C.338石D.1365石

3.（5分）（2015•湖北）已知（1+x）11的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为

（）

A.212B.211C.210D.29

4.（5分）（2015•湖北）设X〜N（m，a,2）,Y〜N（凶，/?），这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正

确的是（）

A.P（Y小2）2P（Y>m）B.P（X<a2）<P（X<oi）

C.对任意正数t,P（X<t）>P（Y<t）D.对任意正数3P（X>t）>P（Y>t）

222222

5.（5分）（2015•湖北）设apa2,…,anGR,n>3.若p：a]，a2，…，an成等比数列;q：（a]+a2+...+an-j）（a2+a3+...+an）

=（a]a2+a2a3+.・・+an-laQ，贝!J（）

A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C.p是q的充分必要条件

D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

’1,x>0

6.（5分）（2015•湖北）已知符号函数sgnx=J0,x=0，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）-f（ax）（a

-1,x<C0

>1）,则（）

A.sgn[g（x）]=sgnxB.sgn[g（x）]=-sgnxC.sgn[g（x）]=sgn[f（x）]D.sgn[g（x）]=-sgn[f（x）]

7.（5分）（2015♦湖北）在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记Pi为事件"x+y22”的概率，P2为事件“|x-y区工”的概

22

率，P3为事件"x"工"的概率，则（）

2

A.P|<P2Vp3B.P2Vp3VpiC.P3<P1<P2D.P3Vp2Vpi

8.（5分）（2015•湖北）将离心率为ei的双曲线Cl的实半轴长a和虚半轴长b（a*b）同时增加m（m>0）个单位

长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）

A.对任意的a,b,ej>e2

B.当a>b时，ei>e2；当aVb时，ei<e2

C.对任意的a,b,ei<e2

D.当a>b时，ej<e2；当aVb时，ei>e2

9.（5分）（2015•湖北）已知集合A={（x,y）|x2+y2<l,x,yEZ},B={（x,y）||x|<2,|y|<2,x,yGZ）,定义集

合A㊉B={（xi+x2，yi+y2）I（xi，yi）GA,（X2，y2）EB},则A+B中元素的个数为（）

A.77B.49C.45D.30

10.（5分）（2015•湖北）设xER,[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数3使得[t]=l,产]=2,…，[t"]二n同时

成立，则正整数n的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

11.（5分）（2015•湖北）已知向量赢，蓝，|赢=3,则赢•费.

12.（5分）（2015•湖北）函数f（X）=4COS2^COS（2L-X）-2sinx-|ln（x+1）|的零点个数为.

22

13.（5分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西

偏北30。的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75。的方向上，仰角为30。，则此山的高度CD=_

m.

14.（5分）（2015•湖北）如图，圆C与x轴相切于点TQ,0）,与y轴正半轴交于两点A,B（B在A的上方）,

且|AB|=2.

（1）圆C的标准方程为；

（2）过点A任作一条直线与圆O：x?+y2=l相交于M,N两点，下列三个结论:

③迪1+国1=2后

ffl|NA|=|MA|.⑦网_|MA|=2.

|NB|IMBI|NAIIMBI「NA||MBI'

则也

AC-

17.（11分）（2015•湖北）某同学用“五点法"画函数f（x）=Asin（wx+4»（u）>0,|巾|〈工）在某一个周期内的图

2

象时，列表并填入了部分数据，如表：

U)X+(|)0JTn3712n

~2F

X715兀

飞

Asin(u)x+4))05-50

（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；

（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动e（e>0）个单位长度，得到y=g（x）的图象.若y=g（x）图象的一

个对称中心为（旦L,0）,求e的最小值.

12

18.（12分）（2015•湖北）设等差数列｛aj的公差为d,前n项和为等比数列｛、｝的公比为q,已知H=ai,b2=2,

q=d,Sio=lOO.

（1）求数列｛an｝,｛bn｝的通项公式

当d>l时，记Cn=围，求数列｛Cn｝的前n项和Tn.

(2)

bn

19.（12分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个

面都为直角三角形的四面体称之为鳖膈.如图，在阳马P-ABCD中，侧棱PDL底面ABCD,且PD=CD,过棱PC

的中点E,作EF_LPB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.

（1）证明：PB_L平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖膈，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若

不是，说明理由；

（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为工，求理的值.

3BC

20.（12分）（2015•湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使

用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元.要求每天B产

品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜

牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为

W121518

P0.30.50.2

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量.

（1）求Z的分布列和均值；

（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.

21.(14分)(2015•湖北)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN

通过N处钱链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1,MN=3,当栓子D在滑槽AB内作

往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C,以。为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2

所示的平面直角坐标系.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设动直线1与两定直线li：x-2y=0和12：x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线1总与椭圆C有且只有一个公

共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.

n

22.(14分)(2015•湖北)已知数列｛a3的各项均为正数，bn=n(1+A)an(n€N+),e为自然对数的底数.

n

(1)求函数f(x)=l+x-eX的单调区间，并比较(1+1)n与e的大小；

n

bbbb]b2bbbb

(2)计算」，—-------由此推测计算——2的公式，并给出证明；

3.।31a22a3।2",

2

(3)令/=(aia2...an)n,数列｛a/｛.｝的前n项和分别记为Sn，Tn,证明：Tn<eSn.

2015年湖北省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（5分）（2015•湖北）i为虚数单位，i6°7的共输复数为（）

A.iB.-iC.1D.-1

【考点】虚数单位i及其性质.

【专题】数系的扩充和复数.

【分析】直接利用复数的单位的基运算求解即可.

【解答】解：i6°7=i604+3=j3=T,

它的共辗复数为：i.

故选：A.

【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的哥运算以及共轨复数的知识，基本知识的考查.

2.（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验

得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）

A.134石B.169石C.338石D.1365石

【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用.

【专题】计算题；概率与统计.

【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论.

【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534、空169石，

254

故选:B.

【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础.

3.（5分）（2015•湖北）已知（1+x）”的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为

（）

A.212B.211C.210D.29

【考点】二项式定理；二项式系数的性质.

【专题】二项式定理.

【分析】直接利用二项式定理求出n,然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可.

【解答】解：已知（1+x）11的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，

可得煌=或，可得n=3+7=10.

1Q9

（1+x）1°的展开式中奇数项的二项式系数和为：1X2=2-

2

故选：D.

【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力.

4.（5分）（2015•湖北）设X〜NCm，oi2）,Y〜N（凶，/?），这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正

确的是（）

A.P（Y电2）>P（Y>m）B.P（X<o2）<P（X<O!）

C.对任意正数t,P（X<t）>P（Y<t）D.对任意正数t,P（X>t）>P（Y>t）

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专题】概率与统计.

【分析】直接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可.

【解答】解：正态分布密度曲线图象关于x+对称，所以内<凶，从图中容易得到p(X<t)>P(Y<t).

【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数J和标准差。这两个关键量，

结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质.

222222

5.(5分)(2015•湖北)设apa2,.・.，anGR,n>3.若p：ai,a2,an成等比数列；q：(ai+a2+...+an-j)(a2+a3+...+an)

2

=(a]a2+a2a3+...+an-两),贝I()

A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C.p是q的充分必要条件

D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

【考点】等比数列的性质.

【专题】等差数列与等比数列；简易逻辑.

2222222

【分析】运用柯西不等式,可得：(ai+a2+...+an-1)(a2+a3+...+an)>(aia2+a2a3+...+an-网).讨论等号成立的

条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到.

【解答】解：由ai，a2，an€R,n>3.

运用柯西不等式，可得：

222\2222

(ai+@2+...+3n-1)(@2+@3+...+3n)-(@佻+@2a3+.・・+an-同)

a。

若ai，a2，...»an成等比数列，即有一=―=...=-----,

ala2an-1

2022222

则(ai+a2+...+an-1)(a2+a3-+...+an)=(a।a2+a2a3+...+an-1an)，

即由p推得q,

但由q推不到p比如a产a2=a3=...=an=0,则ai，a2，…，an不成等比数列.

故p是q的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不等式解题是关键.

1,x>0

6.(5分)(2015•湖北)已知符号函数sgnx=J0,x=0，f(x)是R上的增函数，g(x)=f(x)-f(ax)(a

-1,x<C0

>1),则()

A.sgn[g(x)]=sgnxB.sgn[g(x)]=-sgnxC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]

【考点】函数与方程的综合运用.

【专题】函数的性质及应用.

【分析】直接利用特殊法，设出函数f(x),以及a的值，判断选项即可.

1,x>0

【解答】解：由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数sgnx=，0,x=0，f(x)是R上的增函数，g(x)

~1,x<0

=f(x)-f(ax)(a>l),

不妨令f(x)=x,a=2,

则g(x)=f(x)-f(ax)=-x,

sgn[g(x)]=-sgnx.所以A不正确，B正确,

sgn[f(x)]=sgnx,C不正确；D正确;

对于D,令f(x)=x+l,a=2,

则g(x)=f(x)-f(ax)=-x,

x>-1

sgn[f(x)]=sgn(x+1)=<0,x=-1:

~1,X<-1

x>0

sgn[g(x)]=sgn(-x)=<0,x=0,

x<0

1,x〉-1

-sgn[f(x)]=-sgn(x+1)=<0,x=-1；所以D不正确;

1,X<-1

故选：B.

【点评】本题考查函数表达式的比较,选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题.

7.(5分)(2015•湖北)在区间［0,1］上随机取两个数x,y,记P］为事件"x+yN工的概率，P2为事件"|x-y|£”的概

22

率，P3为事件"xy£1"的概率，则()

A.P|<P2Vp3B.P2Vp3VpiC.P3<Pi<P2D.P3Vp2Vpi

【考点】几何概型.

【专题】概率与统计.

【分析】作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可.

【解答】解：分别作出事件对应的图象如图(阴影部分)：

Pl：D(0,A),F(1,0),A(0,1),B(1,1),C(1,0),

22

则阴影部分的面积S,-lxl-1x-X-1-工工

22288

S2=lxl-2XAx—X1-1.1_3

22244

1

S3=lx_l+f，2dx=」+」nx|!=A-Aln-l=_l+A]n2,

2-lx22i22222

22

；.S2Vs3VS1，

即P2Vp3<P1，

故选：B.

【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键.本题也可以直接通过图象比较面积

的大小即可比较大小.

8.（5分）（2015•湖北）将离心率为ei的双曲线Ci的实半轴长a和虚半轴长b（awb）同时增加m（m>0）个单位

长度，得到离心率为e2的双曲线C2,则（）

A.对任意的a,b,ei>e2

B.当a>b时,ei>e2；当aVb时,ei<e2

C.对任意的a,b,ei<eo

D.当a>b时，ei<e2；当a<b时，ei>e2

【考点】双曲线的简单性质.

【专题】计算题；圆链曲线的定义、性质与方程.

【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论.

【解答】解：由题意，双曲线Ci：c2=a?+b2,5=£

2(a+in)(b+lD)2

双曲线C2：/=(a+m)2+(b+m),

a+m

■2_2=ba_(b+m)2(b~a)(2abnrt~bm[+am2)

612222

%a(a+m)a(a+m)

・••当a>b时，ei<e2；当aVb时，ei>e2,

故选：D.

【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础.

9.(5分)(2015•湖北)已知集合A={(x,y)|x2+y2<l,x,yGZ},B={(x,y)||x|<2,|y|<2,x,yGZ},定义集

合A㊉B={(xi+x2，yi+y2)I(xi，yi)eA,(X2，yi)EB},则A㊉B中元素的个数为()

A.77B.49C.45D.30

【考点】集合中元素个数的最值.

【专题】新定义；开放型；集合.

【分析】由题意可得，A={(0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0),B={(0,0),(0,1),(0,2),(0,

-1),(0,-2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,-1),(1,-2)(2,0),(2,1),(2,2)(2,-1),(2,-2),

(-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(*1,1),(-1,2),(-2,-2),(-2,-1)((-2,0),(-2,1),(-

2,2)},根据定义可求

【解答】解：解法一：

VA={(x,y)|x2+y2<l,x,yeZ)={(0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0),

B={(x,y)||x|<2,|y|<2,x,y€Z}={(0,0),(0,1),(0,2),(0,-1),(0,-2),(1,0),(1,1),(1,2)

(1,-1),(1,-2)(2,0),(2,1),(2,2)(2,-1),(2,-2),(-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-

1,1),(-1,2),(-2,-2),(-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-2,2)}

VA®B={(X|+X2»yi+y2)I(xi,yi)GA,(X2，y2)eB},

；.A㊉B={(0,0),(0,1),(0,2),(0,-1),(0,-2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,-1),(1,-2)(2,

0),(2,1),(2,2),(2,-1),(2,-2),(-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(-2,

-2),(-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-2,2),

(-2,3),(-2,-3),(0,-3),(2,-3),(-1,3),(-1,-3),(1,3),(2,3),(0,3),(3,-1),(3,

0)(3,1),(3,2),(3,-2)(-3,2)(-3,1),(1,-3),(-3,-1),(-3,0),(-3,-2)}共45个元

素；

解法二：

因为集合A={(x,y)|x2+y2<l,x,yGZ),所以集合A中有5个元素，即图中圆中的整点，B={(x,y)||x|<2,|y|<2,

x,yeZ},中有5x5=25个元素，即图中正方形ABCD中的整点，A®B={(X|+x2,yi+y2)I(xi，yi)GA,(x2,y2)

6B}的元素可看作正方形AiBQiDi中的整点(除去四个顶点)，即7x7-4=45个.

【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素.

10.（5分）（2015•湖北）设xeR,［x］表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得［t］=l,［『］=2,［tn］=n同时

成立，则正整数n的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

【考点】进行简单的演绎推理.

【专题】创新题型；简易逻辑.

【分析】由新定义可得t的范围，验证可得最大的正整数n为4.

【解答］解:若则任"，2）,

若出］=2,则t4血，遥）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），

若［a=3,则任［加，如），

若在。=4,则任［如，场），

若［钟=5,则七［妮,妮），

其中75=1.732,嗝=1.587,我=1.495,1.431<1.495,

通过上述可以发现，当t=4时，可以找到实数t使其在区间［I,2)nh/5V3>。［加，羽)可/，场)上，

但当t=5时，无法找到实数t使其在区间［1,2)n［我，^3)。［加，如)可如，烟)。［妮，既)

上，

正整数n的最大值4

故选：B.

【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题.

二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置

上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

11.(5分)(2015•湖北)已知向量丞，屈，|赢=3,则示•福9.

【考点】平面向量数量积的运算.

【专题】平面向量及应用.

【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案.

【解答】解：由OA_LAB，得0A・A&=0,即0A・(丽5P=。，

♦.向=3,

A0A-0B=|0A|2=9-

故答案为：9.

【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题.

12.(5分)(2015•湖北)函数f(x)=4COS2^5COS(--x)-2sinx-|ln(x+1)|的零点个数为2.

22

【考点】根的存在性及根的个数判断.

【专题】函数的性质及应用.

【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，求出函数的定义域，画出函数的图象，求出交点个数即可.

【解答】解：函数f(x)的定义域为：{x|x>-l}.

f(x)Ecos23os(--x)-2sinx-|ln(x+1)|

22

2--,n

=2sinx(2cos-|1)l(x+1)|

=sin2x-|ln(x+1)|)

分别画出函数y=sin2x,y=|ln(x+1)|的图象，

由函数的图象可知，交点个数为2.

所以函数的零点有2个.

故答案为：2.

【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用.

13.(5分)(2015•湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西

偏北30。的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75。的方向上，仰角为30。，则此山的高度CD=_

IOOA/Rm.

【考点】解三角形的实际应用.

【专题】计算题；解三角形.

【分析】设此山高h(m),在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC,进而在△ABC中利用正弦定理求得h.

【解答】解：设此山高h(m),则BC=J不，

在△ABC中，/BAC=30°,ZCBA=105%ZBCA=45",AB=600.

根据正弦定理得我2=600,

_sin30sin45

解得h=100加(m)

故答案为：100注.

【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过

正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解.

14.(5分)(2015•湖北)如图，圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方)，

且|AB|=2.

(1)圆C的标准方程为(x-1)2+(y-\/)2=2；

(2)过点A任作一条直线与圆O：x,yJl相交于M,N两点，下列三个结论：

①INAIJMAI：②ML-MU③皿

^|NB|IMBI^|NA|IMBI^|NA|IMBI"

其中正确结论的序号是①②⑶.(写出所有正确结论的序号)

【考点】命题的真假判断与应用；圆与圆的位置关系及其判定.

【专题】创新题型；简易逻辑.

【分析】(1)取AB的中点E,通过圆C与x轴相切于点T,利用弦心距、半径与半弦长之间的关系，计算即可;

(2)设M(cosa,sina),N(cosp,sinp),计算出I、।NA|.、_NB|的值即可.

IMBIiNBlNAI

【解答】解：(1)•••圆C与x轴相切于点T(1,0),

圆心的横坐标x=l,取AB的中点E,

V|AB|=2,，|BE|=1,

则|BC|=&,即圆的半径r=|BC|=a,

圆心C(1,&),

则圆的标准方程为(x-1)2+(y-a)2=2,

故答案为：(x-1)2+(y-\[2)2=2.

(2);圆心C(1,a),AE(0,A/2),

又•..|AB|=2,且E为AB中点,

AA(0,1),B(0,扬1),

；M、N在圆O：x2+y2=l±,

,可设M(cosa,sina),N(cosp,sin。)，

•**lNAl=V(cosp-o)2+[sinP-(V^-1)]2

Fcos2S+sin*-2(a-1)sinB+3-2加

=V4-2V2-2(V2-l)sinP

二'2近(&-1)-2(.近-1)sinB

=、2(&-1)(&-sinB)，

网Bl=J(cosB-0)2+[sinB—(a+1)产

Feos：B+siYB-2sinb+3+2&

=Q4+2&-2(6+1)sinB

R2(&+1)~(&-sinB)'

•|NA|=/2(&7)(e一sinB)~~=慰-L反-1,

INBIy2(5/2M)(V2-sinP)vV2+1

同理可得如-1,

IMBI

.•一叫幽,①成立，

NB||MB

JNB_L.IMAJ^1_-(&-1)=2,②正确.

INAI|MB|V2-I

jNB_L+|MA|1_+(&-1)=2后，③正确.

INAIIMBIV2-1

故答案为：①②③.

【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累,

属于难题.

选修4-1：几何证明选讲

15.（5分）（2015•湖北）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB,则坞1.

AC-2—

【考点】与圆有关的比例线段.

【专题】推理和证明.

【分析】利用切割线定理推出PA=2PB,利用相似三角形求出比值即可.

【解答】解：由切割线定理可知：PA2=PB»PC,又BC=3PB,

可得PA=2PB,

在4PAB与APAC中，ZP=ZP,NPAB=NPCA（同弧上的圆周角与弦切角相等）,

可得△PAB^APAC,

.AB^PB-PB-l

*'AC=PA-2PB-2,

故答案为：1

【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力.

选修4-4：坐标系与参数方程

16.（2015•湖北）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线1的极坐标方

x=t--

程为p（sin0-3cose）=0,曲线C的参数方程为，%t为参数），1与C相交于A,B两点，则|AB|=_2/心.

y=t+；

【考点】简单曲线的极坐标方程；双曲线的参数方程.

【专题】坐标系和参数方程.

【分析】化极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标，由两

点间的距离公式得答案.

【解答】解：由p（sin6-3cos6）=0,得y-3x=0,

x=t-A

t(t为参数)，两式平方作差得：x2-y2=-4.

由c的参数方程为，

y=t+-

?y2=_4'得即乂=±孚

联立，x3

，A哮挈,B(一冬一岁,

二|AB|=V(V2)2+(3V2)2=2V5-

故答案为：2A/^.

【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础

的计算题.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(11分)(2015•湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(u)x+4»(w>0,I4>|<—)在某一个周期内的图

2

象时，列表并填入了部分数据，如表：

UJX+4)0JIn3兀2R

~2F

XK5兀

T"T

Asin(u)x+4))05-50

(1)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；

(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动9(0>0)个单位长度，得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一

个对称中心为(旦L,0),求e的最小值.

12

【考点】由y=Asin(3X+6)的部分图象确定其解析式；函数y=Asin(3x+巾)的图象变换.

【专题】三角函数的图像与性质.

【分析】(D根据表中已知数据，解得A=5,3=2,6=-工.从而可补全数据，解得函数表达式为f(x)=5sin(2x

6

-工).

6

(2)由(I)及函数y=Asin(3x+4))的图象变换规律得g(x)=5sin(2x+26-—令2x+2e-2Lkn,解得

66

x=k兀兀_8,kez.令些+工-8=空，解得kez.由e>o可得解.

【解答】解：(1)根据表中己知数据，解得A=5,3=2,<t)=-2L.数据补全如下表：

6

3X+巾0兀713兀2瓦

~2

x兀兀7兀5打13冗

123126~12

Asin(u)x+(t))：050-50

且函数表达式为f(x)=5sin(2x-—).

6

(2)由(I)知f(x)=5sin(2x-得g(x)=5sin(2x+20-—L).

66

因为y=sinx的对称中心为(kn,0),kGZ.

令2x+20-2L=kn,解得-e,kGZ.

62F

由于函数y=g（x）的图象关于点（且L,0）成中心对称，令里L+工-。=且£,

1221212

解得。=K2L-2Lkez.由6>0可知，当K=1时，。取得最小值1L.

236

【点评】本题主要考查了由y=Asin（3x+4））的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（3x+巾）的图象变换规律的应

用，属于基本知识的考查.

18.（12分）（2015•湖北）设等差数列｛aj的公差为d,前n项和为Sn，等比数列｛bj的公比为q,已知b尸ai，b2=2,

q=d,Sio=lOO.

（1）求数列｛an｝,｛bn｝的通项公式

（2）当d>l时，记Cn=2\求数列｛.｝的前n项和Tn.

%

【考点】数列的求和.

【专题】等差数列与等比数列.

【分析】（I）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；

（2）当d>l时，由（1）知小=生二，写出Tn、2Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即

2n-12

可.

【解答】解：（1）设ai=a,由题意可得10a+45d=100

ad=2

a=9

解得a=l或<

d=2

当a=l时,an=2n-1，bn=2n1；

d=2

a=9

n-1

当4卜j,an=A(2n+79),bn=9»(-1)

n1

(2)当d>1时，由(1)知an=2n-1>bn=2

.ajn-l

..cn=—5=-------

bn2n-1

；.Tn=l+3+5・工+7・工+9・工+...+(2n-1)•―—,

22223242n-1

』n=l・-1+3•—+5•—+7•—+...+(2n-3)•--+(2n-1)•-i-,

222223242n-12n

-(2n-1).工3-

+I1+I1'+1■■+~|■■1'+I...I.-

22223242n-22n2n

.\Tn=6-^2i^-.

2n-1

【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题.

19.（12分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个

面都为直角三角形的四面体称之为鳖席.如图，在阳马P-ABCD中，侧棱PDL底面ABCD,且PD=CD,过棱PC

的中点E,作EF_LPB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.

（1）证明：PB_L平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖席，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若

不是，说明理由；

（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为三，求理的值.

3BC

【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定.

【专题】空间位置关系与距离；空间向量及应用.

【分析】解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PBLEF,DEnFE=E,所以PB,平面DEF,

即可判断DE_L平面PBC,PBJ_平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，确定直角.

（2）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线.利用直线平面的垂直判断出DGJ_DF,DG1DB,根

据平面角的定义得出NBDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可.

解法2）

（1）以D为原点，射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断

即可.

2）由PDL底面ABCD,所以尾（0,0,1）是平面ACDB的一个法向量；由（I）知，PBL平面DEF,所以尾

（-A.-1,1）是平面DEF的一个法向量.根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案.

【解答】解法1）（1）因为PDJ_底面ABCD,所以PD_LBC,

由底面ABCD为长方形，有BCLCD,而PDnCD=D,

所以BCJ_平面PCD.而DEu平面PDC,所以BC_LDE.

又因为PD=CD,点E是PC的中点，所以DEJ_PC.

而PCnCB=C,所以DE_L平面PBC.而PBu平面PBC,所以PB_LDE.

又PB_LEF,DEcFE=E,所以PB_L平面DEF.

由DEJ_平面PBC,PBJ_平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，

即四面体BDEF是一个鳖席，其四个面的直角分别为NDEB,ZDEF,ZEFB,ZDFB.

（2）如图1,

在面BPC内，延长BC与FE交于点G,则DG是平面DEF与平面ACBD的交线.

由（I）知，PB_L平面DEF,所以PBLDG.

又因为PD_L底面ABCD,所以PD_LDG.而PDnPB=P,所以DG_L平面PBD.

所以DG_LDF,DG±DB

故/BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，

设PD=DC=1,BC=入，有BD=4]+入2,

在RSPDB中，由DF_LPB,WZDGF=ZFDB=—,

3

则tan于tan/DPF=^']+入2=如,解得入王/^.

所以匹=』立

CBX2_

故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为四九匹返.

3BC2

（解法2）

（1）以D为原点，射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设PD=DC=1,BC=L

则D（0,0,0）,P（0,0,1）,B（入，1,0）,C（0,1,0）,PB=（XI,-1）,点E是PC的中点，所以E（0,1,

2

于是福,币=0，SPPB1DE.

又已知EF1.PB,而EDnEF=E,所以PB_L平面DEF.

因尾（0,1,-1）,DE-PC=0,则DE_LPC,所以DE_L平面PBC.

由DEL平面PBC,PBJ_平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，

即四面体BDEF是一个鳖嚅，其四个面的直角分别为NDEB,ZDEF,ZEFB,ZDFB.

（2）由PDL底面ABCD,所以而=（0，0,1）是平面ACDB的一个法向量；

由（I）知I,PB，平面DEF,所以而=（-入，-1,1）是平面DEF的一个法向量.

若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为工，

3

则运