导数放缩资料

第5页（共10页）导数的放缩的应用1.已知数列满足．（Ⅰ）设，，证明：；（Ⅱ）证明：（为自然对数底数）；（Ⅲ）设，，试比较与与的大小关系，并说明理由．解：（Ⅰ）即证：，即证：，设，，∵当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，∴（当且仅当时等号成立），即时，有，∴，∴……………4分（用数学归纳法给分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当且时，有，即当且时，有，因为，所以，即………8分（Ⅲ），理由如下：解法一：由（Ⅱ）知：，设，因为，，所以………………12分解法二：因为，且，所以下面用数学归纳法证明：时，，即，①当时，左边，即当时不等式成立；②假设当时不等式成立，即，则当时，，，，，由(2)知1＜eq\f(c－1,lnc)＜c，故0＜x0＜1.又g(0)＝g(1)＝0，故当0＜x＜1时，g(x)＞0.所以当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.5、已知函数，其中a为实数，若，求函数的最小值；若方程在上有实数解，求a的取值范围；设均为正数，且，求证：．【答案】（1）0（2）（3）见解析【解析】（1）f'（x）=ex1，由f'（x）=0得x=0当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）内递增；当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）在（∞，0）内递减；故函数f（x）在x=0处取得最小值f（1）=0．（2）f'（x）=exa（0＜x≤2）①当a≤1时，f'（x）＞0，f（x）在（0，2]内递增；f（x）＞f（0）=0，方程f（x）=0在（0，2]上无实数解；②当a≥e2时，f'（x）≤0，f（x）在（0，2]内递减；f（x）＜f（0）=0，方程f（x）=0在（0，2]上无实数解；③当1＜a＜e2时，由f'（x）=0，得x=lna，当0＜x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）递减；当lna＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）递增；又f（0）=0，f（2）=e22a1由f（2）=e22a1≥0得故a的取值范围为（3）由（1）知，当x（0，+∞）时，ex＞x+1，即ln（x+1）＜x．∵ak，bk＞0，从而有lnak＜ak1，得bklnak＜akbkbk（k=1，2，…，n），求和得即，故．3.已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围．（1）由于

故

当时，，．从而恒成立．

在上单调递减

当时，令，从而，得．单调减极小值单调增综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）由（1）知，当时，在上单调减，故在上至多一个零点，不满足条件．

当时，．

令．

令，则．从而在上单调增，而．故当时，．当时．当时

若，则，故恒成立，从而无零点，不满足条件．

若，则，故仅有一个实根，不满足条件．

若，则，注意到．．

故在上有一个实根，而又．

且．

故在上有一个实根．

又在上单调减，在单调增，故在上至多两个实根．

又在及上均至少有一个实数根，故在上恰有两个实根．

综上，．4.设实数，整数，。（Ⅰ）证明：当且时，；（Ⅱ）数列满足，。证明：。（Ⅰ）①当时，，原不等式成立；②假设时不等式成立，当时，，所以时，原不等式也成立。综合①②可知，当且时，对一切整数，不等式均成立。（Ⅱ）证法1：先用数学归纳法证明。①当时，由题设知成立。②假设时，不等式成立。由易知。当时，因为，由得，由（Ⅰ）中的结论得，因此，即，所以当时，不等式也成立；综合①②可知对一切正整数，不等式均成立。再由可得，即；综上所述，。证法2：设，，则，并且；由此可知在单调递增，当时，。①当时，由，即可知，并且，从而，故当时，不等式成立；②假设时不等式成立，则当时，，即有，所以当时，原不等式也成立。综合①②可知对一切正整数，不等式均成立。5.函数。（Ⅰ）讨论的单调性。（Ⅱ）设，，证明：。（Ⅰ）的定义域为，。

（i）当时，若，则，在是增函数；若，则，在是减函数；若，则，在是增函数。（ii）当时，，成立当且仅当，在是增函数。（iii）当时，若，则，在是增函数；若，则，是减函数；若，则，在是增函数。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在是增函数。当时，，即（）。又