导数、解析几何大题及答案

．已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为P，与抛物线的交点为Q，且．（1）求抛物线的方程；（2）如图所示，过F的直线l与抛物线相交于A，D两点，与圆x2+（y﹣1）2=1相交于B，C两点（A，B两点相邻），过A，D两点分别作我校的切线，两条切线相交于点M，求△ABM与△CDM的面积之积的最小值．解：（1）由题意可知P（4，0），Q（4，），丨QF丨=+，由，则+=×，解得：p=2，∴抛物线x2=4y；（2）设l：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得：x2﹣4kx﹣4=0，则x1x2=﹣4，由y=x2，求导y′=，直线MA：y﹣=（x﹣x1），即y=x﹣，同理求得MD：y=x﹣，，解得：，则M（2k，﹣1），∴M到l的距离d==2，∴△ABM与△CDM的面积之积S△ABM•S△CDM=丨AB丨丨CD丨•d2，=（丨AF丨﹣1）（丨DF丨﹣1）•d2，=y1y2d2=•×d2，=1+k2≥1，当且仅当k=0时取等号，当k=0时，△ABM与△CDM的面积之积的最小值121．已知函数f（x）=lnx﹣x．（1）证明：对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有|f（x1）|＞；（2）设m＞n＞0，比较与的大小，并说明理由证明：因为f′（x）=，故f（x）在（0，1）上是增加的，在（1，+∞）上是减少的，f（x）max=f（1）=ln1﹣1=﹣1，|f（x）|min=1，设G（x）=，则G′（x）=，故G（x）在（0，e）上是增加的，在（e，+∞）上是减少的，故G（x）max=G（e）=＜1，G（x）max＜|f（x）|min，所以|f（x1）|＞对任意的x1，x2∈（0，+∞）恒成立；解：==•，且=×，∵m＞n＞0，∴﹣1＞0，故只需比较ln与的大小，令t=（t＞1），设G（t）=lnt﹣=lnt﹣，则G′（t）=﹣=，因为t＞1，所以G′（t）＞0，所以函数G（t）在（1，+∞）上是增加的，故G（t）＞G（1）=0，所以G（t）＞0对任意t＞1恒成立，即ln＞，从而有＞．21．已知函数f（x）=axex﹣（a﹣1）（x+1）2（a∈R，e为自然对数的底数，e=2.7181281…）．（1）当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）仅有一个极值点，求a的取值范围．解：（1）由题知，f（x）=﹣xex+2（x+1）2，f'（x）=﹣ex﹣xex+4（x+1）=（x+1）（4﹣ex），由f'（x）=0得到x=﹣1或x=ln4，而当x＜ln4时，（4﹣ex）＞0，x＞ln4时，（4﹣ex）＜0，列表得：x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，ln4）ln4（ln4，+∞）f'（x）﹣0+0﹣f（x）↘极大值↗极小值↘所以，此时f（x）的减区间为（﹣∞，﹣1），（ln4，+∞），增区间为（﹣1，ln4）；（2）f'（x）=aex+axex﹣2（a﹣1）（x+1）=（x+1）（aex﹣2a+2），由f'（x）=0得到x=﹣1或aex﹣2a+2=0（*）由于f（x）仅有一个极值点，关于x的方程（*）必无解，①当a=0时，（*）无解，符合题意，②当a≠0时，由（*）得ex=，故由≤0得0＜a≤1，由于这两种情况都有，当x＜﹣1时，f'（x）＜0