2015年上海市高考数学试卷(理科)解析

2015年上海市高考数学试卷（理科）

一、填汽施（本大题共有14题，满分48分,）考生应在答即

纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否

则一律得零分.

1.（4分）（2015?上海）设全集U=R.若集合A={1,2,3,

4},B={x|2WxW3},则AA?B=..

2.（4分）（2015?上海）若复数z满足3z+=l+i,其中i是〉虚

数单位，则片.

（23cf

I。1cj

若线性方程组的增广矩阵为解2015?上海）3.（4分）

（x=3

（1尸5.c=为，则C・----------------------

4.（4分）（2015?上海）若正三棱柱的所有楼长均为a,且其

体积为16,则a=.V3---------------------

5（4分）（2015?上海）抛物线y=2px（p>0）上的动点Q

到焦点的距离的最小值为I,则p=.

6.（4分）（2015?上海）若圆锥的侧面积。过轴的截面面积

之比为2",则其母线与轴的夹角的大小

为._______________

……7.（4分）（2015?上海）方程log（9-5）=log（3-2）

口+2的解为----------------

8.（4分）（2015?上海）在报名的3名男老肺和6名女教师

中，选取5人参加义务献血，要求男、女教帅都有，则不同

的选取方式的种数为（结果用数值表

示）._____________

9.（2015?上海）已知点P和Q的横坐标相同,P的纵坐标

是Q的纵坐标的2倍,P和Q的航迹分别为双曲线C和C.若

的渐近线方程为y=±x,则C的渐近线方程的马

为._______________

2

2

：”10.（4分）（2015?上海）设f（X）为f（x）=2+,x£[0,

.（X）+f（X）的最大值为2]的反函数，则y=f

2015

2mx上海）在（的展开式中，l+x+）（ll.4分）（2015?.（结

果用数值表示）项的系数为

上海）赌博有陷阱.某种贴博每局的规则?4分）（201512.（的

标片中随机摸取一张，5,4,是：贴客先在标记有I,2,3：

随后放回该卡片,将卡片上的数字作为其贴金（单位：元）

L4可随机摸取两张,将这两张卡片上数字之差的绝对值的分

别表示赌《.若随机变量4和倍作为其奖金（单位：元卜=

Eg-E，客在一局赌博中的赌金和奖金,则“

-------------（元）.

,=sinx.若存在x上海）已知函数f（x）4l3.（分）（2015?，|+|3

X）-f（xW6R,且|f（xVW,X…，X满足OxVxV■心•，

£N）12|=I2（m^»m（+|f）-（xf（x）|+…（x）-fx）-

1

*..的最小值为m则-------------2

BC为边中，tanA=,D20⑸4.（?上海）在锐角三角形ABCA

DE±.2和4过D作的面枳分别为BD上的*,Z\A与4

ACD.?FDF于E,_LAC于,则=BDFDE

）每题有且只审题，满分415分.二、选择题（本大题共有

•个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案

5的小方格涂黑，选对得分，否则一律得零分.......

15.（5分）（2015?上海）设z,zee则“z、z中至少有一

肾“个数是虚数”是“Z-Z是虚数”的（）nA,充分非必

要条件B,必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分乂非必要条件

16.（5分）（2015?上海）已知点A的坐标为（4,I）,将通

7T

TOA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,则点B的纵坐标为

（）~2~~

11

2

D.C.A.B.

二17.（2015?上海）记方程①:x+ax+l=0r方程②：x+ax+2=0,

"方程③：x+ax+4=O,其中a,a,a是正实数.当a,a，2Mi.ua

成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是式）

有实根，有有实根，无

C.方程①无实根，且②有实D.方程①无实根，且②无

实

根根

n

7+1

18.（5分）（2015?上海）设P（x,y）是直线2x・y=（n£

N）…8%・1工（）与圆x+y=2在第,象限的交点，则极

限2

D.2C-1B..1A.-

三、名师解答题（本大题共有5题，满分74分）名师解答下

列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步

骤.

19.（12分）（2015?上海）如图,在长方体ABCD・ABCD

中，““AA=1,AB=AD=2,E、F分别是AB、BC的中点,证

明A、C…F、E四点共面，并求直线CD与平面ACFE所

成的角的大小..»......

三地有直道相通，，C上海）如图，A.B?20.（14分）（2015

千米.现甲、乙两警员同时从千米，BC=4AB=5千米，AC=3f

小时，他们之间的距离为B地出发匀速前往地，经过IA小

时，/5千米（单位：千米）I）.甲的路线是AB,速度为（地

后原地等B乙到达千米/小时.8乙的路线是ACB,速度为

地.时乙到达Ci=i待.设，）的值；if与）求（11（.......

（2）已知警员的对讲机的药效通话距离是3「米.当tWl

WL时，求fU）的表达式，并判断f（D在口，1J上的最大

c

，值是否超过3?说明理由.

u21.（14分）（2015?上海）已知椭圆x+2y=l,过原点的两

条直线1和1分别于椭圆交『A、B和C、D,记得到的平行

：河边形ABCD的面积为S.

（1）设A（x,y）»C（x,y）,用A、C的坐标表示点C1到

■直线I的距离，并证明S=2|xy-xy|：iin；2的斜率之积为一,

求面积S的值.与2()设II”

22.(16分)(2015?上海)已知数列⑶与｛b｝满足a-a=2…

(b-b).n£N.…(1)若b=3n+5,且a=l,求数列｛a｝的

通项公式；(2)设|a)的第n项是最大项，即a2a(nE

N),求证：现…数列住|的第n项是最大项；…(3)设a=

X<0,b=X(nGN),求人的取值范围，使得且£

(-2,2).有最大值M与最小值m

23.(18分)(2015?上海)对于定义域为R的函数g(x),

若存在正常数丁使得cosg(x)是以T为周期的函数，则

称g(x)为余弦周期函数，旦称T为其余弦周期.已知f(x)

是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R.设f(X)

单调递增，f(0)=0,f(T)=4n.1

内+5是以611为周期的余弦周期函数：3)骐证g(x)

⑵设aVb,证明对任意c£[f(a),f(b)],存在x£[a,

.b],使得f(x)=c：»(3)证明："u为方程cosf(x)=1在

[0,T]上得解，”的充,分条件是“u+T为方程cosf(x)=1

在区间[T,2T]上的解”，。并证明对任意x£[0,TJ.都有f

(x+T)=f(x)+f(T).

2015年上海市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

・、填空题（本大题共杓14题，满分48分.）考生应在答期

纸相应编号的空格内自接填写结果，每个空格填对4分，否

则一律得零分.

I.（4分）（2015?上海）设全集U=R.若集合A={1,2,3,

4},B={x|2WxW3},则AC?B={1,4}..：__________

知识归纳：交、并、补集的混合运算.

名帅分析：本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，

故直接运算得出答案即可.

名和讲解：解：・.•全集U=R,集合A=[1,2,3,4},B={X|2

<x<3）,

:.（?B）=（x|x>3或xV2},u/.AFI<?B）={1.4},u故

答案为：（I，4}.

名师点评：本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌

握集合的交并补的运算规则是解本题的关键.本题考杳r推

理判断的能力.

2.（4分）（2015?上海）若复数z满足3z+=l+i,其中i是彳H5

z=虚数单位，则.-----

知识归纳：复数代数形式的乘除运算..普优网版权所有

名师分析：设z=a+bi.R!l=a-bi（a»b^R）,利用复数的z运

算法则、复数相等即可得出.

名师解答：解：设z=a+bi,则二2-忻（a,b£R），z

又3z+=l+i,z

・'・3（a+bi）+（a-bi）=l+i,

化为4a+2bi=l+i,

上工

4a=1,2b=1,42

b=.,解得a=

.............・・・z二/，故答案为：.屈于基复数相等,

名师点评：本题考查了◎数的运算法则、础区.I01

（x=3

解若线性方程组的增广用阵为?上海）（4分）（20153.i尸5

16.,则c-c=为.

普优网版权所TI二阶行列式与逆矩阵.知识归纳：

,2i+3y=cj

根据增广矩阵的定义得到名师分析：，是方程组［产。2

的解，解方程组即

可.

|2H3y«C|

［尸.

八=3

［尸5，是方程组的解，名帅解答：解：由题意知卜2.，

即5=16,c=21-则cIJ6.故答案为：根据条件建立方本

题主要考杳增广矩阵的求解，名师点评I

程组关系是解决本题的关键.

,且32015?上海）若正三三柱的所有行长均为・（4分）（4.a=

4具体积为16,则6

1

棱锥的结构特征知识归纳：2,由此

求?a=16sin600）a名师分析:由题意可得（??a?x/5的值.得

a的a由题意可得,正棱柱的底面是变长等于解：名师解答:

I

2

1

a,?sin60°,正棱柱的高为?等边三角形，面积为?a式一

a

.-.a=4a=16）sin60aa（A????<3.故答案为;4......

名师点评：本题主要考杏正棱柱的定义以及体积公式，属于

基础题.

5（4分）（2015?上海）抛物线y=2px（p>0）上的动点Q

到焦点的距离的最小值为1,则p=2.

知识办纳：抛物线的简单性质

名师分析：利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出

结论.

:名师解答：解：因为抛物线y=2px（p>0）上的动点Q到

焦点的距离的最小值为I,2

所以二1,

所以p=2.

故答窠为:2.

名师点评：本题考杳抛物线的方程与性质，考直学生的计算

能力，比较基础.

6.（4分）（2015?上海）若圆锥的恻面积与过轴的截面面积

7T

T,则其母线与轴的夹角的大小为.之比为2又-----

知识以纳；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）.

名师分析：设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为1.由

已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2n，可得

l=2h,进而可得其:母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案.

名牌解答：解：设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为

I,

则圆锥的侧面枳为：nd,过轴的截面面积为：rh.

•・•圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为231.

r.l=2h,

设母线与轴的夹角为o,^2

n

=»cos0=贝fy=,0故

八

~3

故答案为：.其中根据已知求出本题考查的知识点是旋转体,

名师点评：圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是名师解答的

关键.

u…）-2=log（3（?上海）方程k）g9-5）7.（4分）（2015”

2.+2的解为

对数的运算性质,普优网版权所有知识归纳：

解出并利用对数的运熨性质化为指数类型方程，名师分析：

验证即可..--.Jog/.）+2,=log（3-2）名师解答:解：V

log（9-5如…）］X（3-2（9-5）=log-，），-

5=4（32-z+27=0,-12?3化为（3）-9）（3-3）（3

因式分解为：，3・・・，，3=9=3.x=l或2解得不满足条件，

舍去.经过验证：x=l..\x=2.故答案为：2本题考查了

对数的运算性侦及指数运算性质及名师点评：其方程的解

法，考查了计算能力，属于基础题.

名女教师名男老师和6?上海）在报名的348.《分》（2015人

参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同5中，选取.120

（结果用数值表示）的选取方式的种数为

排列、组合的实际应用.普优网版权所有知识归纳：名老

师先在9名师分析：根据题意，运用排除法名师分析，山组

合数公式可得其选法数目，参加义务献血，中选取5人，再

排除其中只Tf女教师的情况；即可得答案.名女教6报名的

有3名男老师和根据题意，名师解答：解：名老师，师，

共9...........

s=l26种：9名老师中选取5人，参加义务献血，有C在，=6

种情况：其中只有女教师的有C06=120种：则男、女教师都

有的选取方式的种数为126・120.故答案为：本题适宜用

排除法本题考查排列、组合的运用，名师点评：

(何接法)，可以避免分类讨论，简化计算.

的纵坐标的横坐标相同，P上海)已知点P和Q9,《2015?

若.和Q的轨迹分别为双曲线CC是Q的纵坐标的2倍，P

和,产土下*的渐近线方程为.C的渐近线方程为y=±x,

则CW2._____

双曲线的简单性质.普优网版权所有知识归纳：

然，利用坐标间的关系，=%y-3x名师分析：设C的方程为

(的渐近线方程.求出Q的物迹方程，即可求出w,=-3x

X名师解答：解：设C的方程为y-二入4y\,可得-3x

(x,2y),代入y-3x”J设Q(x,y),P尸瑶，.，

即的渐近线方程为4y-3x=O,尸土坐x.故答案为：名师点评:

本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力,比较

基础.

2

…10.(4分)(2015?上海)设f(X)为f(x)=2+,xe|0,

-.4.x)+f(x)的最大值为2］的反函数，则y=f(

反函数.知识归纳：1

…上为增函数可得其2］xW|0,(由fx)=2+在名师分析：T2

在值域，得到产f(x上为增函数，由函数的单调上性求

得y=f(X)+f(X)的最大值.2

.名师解答：解：由f(x)=2+在xW［0,2］上为增函数，%2

口,得其值域为

J上为增函数」可得y=f(x)层,21|)在+f(X因此y=f

(x)］上为增函数，“/.y=f(x)+f(x)的最大值为f<2)

+f(2)=l+I+2=4.

故答案为：4.

名师点评：本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系,

考查了函数的单调性，属中档题.

1

^2015

N+X+)的展开式中,x(2015?上海)在(11.(4分)项的

系数为45(结果用数值表示).

知识归纳：二项式系数的性质.普优网版权所有

名牌分析：先把原式前两项结合展开，名师分析可知仅有.展

，开后的第一项含有X项，然后写出第一项二项展开式的通项,

由X的指数为2求得「值•则答案可求.产15

C0（14»）,0»（―°

CIOsX''20152十+

x

=,

:x・••仅在第•部分中出现项的系数.，可得，再由，令r=2

TE=C；。/,.x项的系数为味M5

故答案为：45.

名师点评：本题考杏了二项式系数的性质，关键是对二项展

开式通项的记忆与运用，是基础题.

12.（4分）（2015?上海）赌博有陷阱.某种贴博每局的规则

是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的«片中附机摸取一张，

将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，

再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的L4

倍作为其奖金（单位；元）.若随机变量&和&分别表示赌

“客在一局赌博中的赌金和奖金，则E«-E€=0.2（元）.“

知识归纳：离散型随机变病的期望与方差.普优网版权所有

......计算出分别求出赌金的分布列和奖金的分布列，名

师分析：对应的均值，即可得到结论.解：赌金的分布列

为名师解答:5412355555

1

P5

,1+2+3+4+5)=3所以EE=G奖金的分布列为5.64.21.4

2.8

5

]

胃

1321

TolO55

±2_31

===P=105105

)=2.8.2+X3+X4所以E4=1.4X(X1+X?2.8=02元.-

EC=3-E则SQ2故答案为：本题主要考查离散型随机变

埴的分布列和期望名册点评：

的计算，根据概率的公式分别进行计算.是解决本题的关犍.

r.若存在xf(x)=sinxl3.(4分)(2015?上海)己知函数4+|fx))

-f(W6”，Fl|f(xWx,…，X满足OxVxV…Vx：iarN)»

m£x)|=12(m^l2f)-(xf(x)|+―+|f<x>-w8.m

的最小值为则

正弦函数的图象.普优网版权所有知识归纳：

,i,X(由正弦函数的有界性可得，对任意名师分析：XJ

-x)fx)区(-…m),都有|f(x)-f(j=l»2r3Tli=l=2»

3,・・・，2(x)要使m取得最小值，尽可能多让x(,i值.)

取得最高点，然后作图可得满足条件的最小mm,,…2,3,

对任意x,x(i.j=l名师解答：Vy=sinx).»x)=2(x)

-f(()m,都有|f(x)-fx)取，m-2,3,(要

使m取得最小值，尽可能多让xi=l-得最高点，fiO・)(x|<

(f(6VxW考虑OxVV…xW兀，|fx)-^1=12,)xf)-

«-)X(K+lfX^-n,按卜图取值即可满足条件.......

・・・m的最小值为8.

故答案为:8.

名珅点评：本题考查正弦函数的图象和性质，考查名师分析

问题和解决问题的能力，考较数学转化思想方法，正确理解

对任意x,x(i,j=l,2,3,…，m),都有|f(x)-f(x)

M《f(x)-f(x)=2是名师解答该题的关键,是难题.一

2

2

14.（2015?上海）在锐角三角形ABC中,lanA=,D为边BC

上的点，Z\ABD与4ACD的面枳分别为2和4.过D作DE

16

IA而

BTE,DF_LAC于F,则？=-.DFDE

275

知识归纳：平面向量数量积的运算,普优网版权所有T

名师分析：由题意画出图形，结合面积求出coW=,

际“而।节，然后代入数量积公式得答案.

名师解答：解；如图，

||ABl-|DE|=2•/△ABD与4ACD的面积分别为2和4,・•・,

元|・画=4，应”同言需而同涡

可得•・•・•・・・・・♦•・・・

sinA*吟里

5cosA22

22,得A=1..联立又sintanA=.A+cosS.cosA=

|lABl-|AC|SinA=6得由同•麻图2-成〔•原［书.则

型/________一一曲

15515.=.\?=DEDFIDEI-1DF|cos<DE.DF>15

枚答案为：.名师点评：本题考查平面向量的数量积运算.・

考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与

求值，是中档题.

一、选择题（本大题共有4题，满分15分，）每题有II只有

•个正确答案，考生应在答题纸的相应编号匕将代表答案

的小方格涂盘，选对得5分，否则一律得零分.

15.（5分）（2015?上海）设z,zee,则“z、z中至少有一

.个数是虚数”是“Z・Z是虚数”的（）nA,充分非必

要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分乂非必要条件

知识归纳：必要条件、充分条件与充要条件的判断

名牌分析：根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关

概念进行判断即可.

名师解答：解：设片l+i,Z=i,满足Z、Z中至少有一个一

数是虚数，则z-z=l是实数，则z・z是虚数不成立，如若

z、Z都是实数，则z・z一定不是虚数，因此当是虚

数时，

则z、z中至少有一个数是虚数，即必要性成立，』故2、Z

中至少一个数是虚数”是“Z-Z是虚数”的必要不加充分

条件，

故选:B.

名师点评；本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据

复数的有关概念进行判断是解决本眶的关键.

16.（5分）（2015?上海）己知点A的坐标为（4,I）,将会

万逆时针旋转至OB.则点绕坐标原点OB的纵坐标为OA

1311诉

（）TT~

汨

2

DC..A.B.

知识小纳：任意角的三角函数的定义.著优网版权所有

名师分析：根据三角函数的定义，求出/xOA的三角函数

值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可.

名师解答：解：・・•点A的坐标为（4.I）,名出2=39

1

7

二设/xOA=。，则sinO==,八+仃）?cos0=,

将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,T

i--------------71

则OB的倾斜角为0+,则|QB|=|OA|=,"+（响，赤=7-y

V3_.W3137T17T11

=7+）B的纵坐标为y=|OP|sin（0则点下入〒下土工，

+X）=+6=sin0cos+cos0sin）=7（（.故选：D根据三角函

数本题主要考查三角函数值的计算，名师点评：

的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键.

以，x+ax+2=0x+1=0x+a,方程②：?17.（2015上海）记方程

①：：巧，aa,a是正实数.当ax+4=0方程③：x+a,其中a,

刈“无实根的是③a成等比数列时，下列选项中,能推出方程

,）（

②无实方程①有实根，旦.有实根，旦A.方程①②有实

B根根

无实根，且②无实①方.有实无实根,且程C.方①②D程

根根......

知识归纳：根的存在性及根的个数判断.普优网版权所行

24,a之间的关系求出名师分析：根据方程根与判别式△

•V8,结合a,a,a成等比数列求出方程③的判别式△的3

取值即可得到结论.

:名师解答：解：当方程①有实根，且②无实根时，△二a”：

-420,A=a-8<（）,回24,a<8,即a-,a,a成等

2.42

a2与空空

比数列，g；.a二aa,«iai=»即a^i‘a］、4=（）

则a=n即方程③的判别式Z^a-16V0,此时方程③无实根,

”故选；B

名师点评：本题巨要考查方程根存在性与判别式△之间的关

系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系是

解决本题的关键.

-y=（nGN）x（设Py）是宜线2x・，518.1分）（2015?上

海）2-8%-1+（与圆x+y=2）在第一象限的交点，则极

PH2

D.IBC.I.2-A.

知识出纳：极限及其运完.普优网版权所有备

名师分析：当n—+8时，直线2x-y=趋近于2x・y=l.

利用圆的1）,与回x+y=2在第•象限的交点无限靠近（1切

线的斜率、斜率计算公式即可得出.嗫,-y=12x2x+—8

yJ

时，直线-y=趋近于n解：名师解答：当XnT=可，在第一

象限的交点无限靠近（+y与圆x=21l,而）......

看作点P（x,y）与（L1）连线的斜率，其值会无限接7

近圆x+y=2在点（I,1）处的切线的斜率，兑斜率为-

.*.=-1.

故选：A.

名师点评：本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率十

算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档座.

三、名师解答题（本大题共有5期，满分74分）名师解答下

列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步

骤.

19.（12分）（2015?上海）如图，在长方体ABCD-ABCD

中，”“AA=1,AB=AD=2,E、F分别是AB、BC的中点，证

明A、C、，“F、E四点共面，并求直线CD与平面ACFE所

成的角的大小....

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名师分析：利用长方体的集合关系建立直角坐标系.利用法

向量求出二面角.

名师解答：解：连接AC,因为E,F分别是AB,BC的中

点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF〃AC.由长方体

的性质知AC〃AC,u所以EF〃AC,u所以A、C、F、E

四点共面.u以D为坐标原点，DA、DC、DD分别为xyz

轴，建立空间直角，坐标系，易求得

Djc=(0.2,-1)

,不=(0，1.-1)-2.2.0)

的法向量为EFCA设平面不(X，y，z).........

n-A|Cj=0r2x+2y=0(x.y,z)-(-2,2.0)=0

.........n*A]E=0[y-1=0(x.y.t)(0.1.-1)=0

则,所以，即,

z=L得x=l,y=l,所以，n:(1.1.1)

IK.取＞|=罂丝1

|c.llD|Cr

I(1,1,1)­(0,2,-1)IV15

V3V515

，所以=15.所以直线CD与平面ACFE所成的角的大小

arcsinu,师点评：本题主要考杏利用空同直角坐标系求出

二面角的方法，属高考常考题型.

20.(14分)(2015?上海)如图，A,B,C三地有直道相通,

AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米.现甲、乙两警员同时

从A地出发匀速前往B地，经过I小时，他们之间的距离为

f⑴(单位：「米).甲的路线是AB,速度为5「米7小时，

乙的路线是ACB,速度为8千米川、时.乙到达B地后原地

等待.设t=t时乙到达C地.।(1)求［与f(I)的值：..

(2)已知警员的对讲机的有效通话距寓是3千米.当iWi

WL时，求f(I)的表达式,并判断f(D在［I,1］上的最大

.值是否超过3?说明理由.

AC3

知识办纳：余弦定理的应用.普优网版权所有三互

名师分析：(1)由题意可得1Hh,由余弦定理可得G(t)

7

22

=PC=,代值计算可得；VAC+AP-2AC-AP-COSA,8(2)当

7

W时，由已知数据和余弦定理可得f(I),,=PQ=,当VtWl

,~5--------沂3

时，f(t)=PB=5-5l,综合可425t2-42H18-可得结

论.得当＜忘1时，f(t)e［Q,...........

坨3

v乙8

315

=h,)由题意可得1=名师解答：解：(I>8T=千米，(AP=v=5

X设此时甲运动到点P,则“，f(I)=PC=VAC24AP2-2AC-AP-COSA

产伊货，喏)2・2X3X1x.千米:==5近时，乙在CBh

的Q点，设甲在P2)当Wt点,(.AQB=AC+CB-8t=7-

83PB=AB-AP=5-5tr

,\f(()=PQ=VQP-2+PB2-2QB-PB»COSB

=V(7-8t)2+(5-5t)2-2(7-8X)(5-5t)0.8

t-z---?

=,V25t2-42t+18fi

当Vt《l时，乙在B点不动，设此时甲在点P,

425--42t+18・太1号

Af(t)=PB=AB-AP=5-5t5-5t,

W413

=(t)t)€[().,.当VlWl时，f(故f(t)的

最大值超过了3千米.

名帅点评：本题考杳解二角形的实际应用，涉及余弦定理和

分段函数，属中档题.

Q.(14分)(2015?上海)已知椭圆x+2y=l,过原点的两

条直线1和I分别「椭圆交FA、B和c、D,记得到的平行

"四边形ABCD的面枳为S.

(1)设A(x,y)，C(x,y),用A、C的坐标表示点C到

1

加直期的龙离，并证明S=2|xy-xy|：心工的斜率之枳为一,

求面积S的值.)设21与I(2,

知识归纳：立线与圆锥曲线的综合问腮；点到直线的电离公

V】

式.打

y二X的方程为1（）依题息，直线1,利用点名帅分析：，到

直线间的距离公式可求得点C到直线1的距离........

|y*・打叼

............JU

d=,再利用|AB|=2|AO|=2,可证得Jxj+y/s=|AB|d=2|xy・xy|：

.：13i<2）方法•：设直畿i的斜率为k,则直线।的斜率为

■，）1

2al

可得直线1与I的方程，联立方程组，可求得X、⑴，继而

1121211121

可求得答案.、yx、力产逐2打。工=-,利、方法二：设直

线II的斜率分别为、，则初用A（X,y）、C（x,y）在椭圆

X+2y=l上，可求得面积nnS的

值.

名师解答：解：（1）依题意，直线1的方程为丫=乂，由点,

到直线间的距离公式得：点C到直线I的距离V'

ViWd==.

，所以S=|AB|d=2|xy-xy|；因为|AB|=2|AO|=2^而?盛

(2)方法一：设立线I的斜率为k,则直线1的斜率为・，”

"y=kx

.«*2i2y2=l设直线1的方程为丫=1＜乂，联立方程组，消去y解得

I

7n2k?

.爽

kI2

±,x=Vl+2k2Ji+2k2根据对称性,设x=,则y=,uVl+2k2

摩yty2y,

Vl+2k2同理可得x=,y=,所以S=2|xy-xy|=.V2皿3EE

21

y22=-＞方法二：设直线I、I的斜率分别为、，则“所以

xx=-2yy»«n=4=-2xxyy,v^v2x12x22aiuxx(VA=lx)

在椭圆,xC)y,、(y+2y.h»»n.....

・・.（）（）=+4+2（+»2%2yjy??x，2yjx?2.2yJnx、2

=1»

2222]

xzxz

即-4xxyy+2+（）=1,2ti2JIUT2：|=,-xy=-xy>,

即|xy所以（xyiHuq所以S=2|xy-xy|=.如皿名师力:评：本

题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考杳方程思想、等价转

化思想与综合运算能力，属于难题.

22.(16分)(2015?上海)已知数列⑶与⑸满足a-a=2…/

(b-b),nWN.3(1)若b=3n+5,fta=l.求数列｛a｝的

通项公式：n»i-(2)设［u］的第n项是最大项，即a2a(n£

N),求证：、…数列伸］的第n项是最大项；5(3)设a二

AVO,b=X(nEN),求入的取值范围，使得|a1，，且w

(-2,2).有最大值M与最小值m

知识归纳：数列递推式；数列的函数特性

名师分析：(1)把b=3n+5代入已知递推式可得a-a=6.i

由此得到｛a｝是等差数列，则a可求："2)由a=(a-a)+

(a-a)+,,,+(a-a)+a»结5+2如aj,

求得2b,=2b+a-合递推式累加得到a.u

(a、+2b「aj号g.2b「a/进一步得到得答案;

，然后分-1VAV0,入=・)可得(3)由(21,Xan=2Xn-X

N

7再由E(-2,的最大值M和最小值m,V-1三种情况求

得出2)列式求得人的范围.

名师解答:⑴解:Va-a=2(b-b),b=3n+5,....,.a

-a=2(b-b)=2(3n+8-3n-5)=6,「.｛a｝是等差数

列，首项为a=1,公差为6，/则a=l+(n-l)X6=6n-5；

“(2)Va=(a-a)+(a-a)+•,,+(a-a)+「-”=2(b

~b)+2(b-b)+…+2(b-b)+a口…......

=2b+a-2b....b«4(a^2bi-a»)

(a%+2b「aj号(、+2b「力)

.二，数列｛b｝的第n项是最大项：5(3)由(2)可得，

4=2入hX

①当-IVXV0时，单调递减，有最大值出工(入2)n—:

-2=2入2-xX,单调递增，有最小值m=a=%-i=2入2n7-x

大”-1),2,2)ex,/.

入'(2'②当'=T时，a=3,a=-I»g.・.M=3,

,奥・3年

m二-I»n

(-2,2),不满足条件.

③当入V-1时，当n—+8时，a-*-+°°,无最大值：：(当n

1

一+8时，a--8,无最小值.一/(-,0)时满足条件.综

上所述，Xe

名师点评：本题考杳了数列递推式，考杳了等差关系的确定,

考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式,

对(3)的求解运用了极限思想方法.是中档题.

23.(18分)(2015?上海)对于定义域为R的函数g(x),

若存在正常数『使得cosg(x)是以T为周期的函数，则

称g(x)为余弦周期函数，且称T为其余弦周期.已知f(x)

是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R.没f(x)

单调递增，f(0)=0,f(T)=4n.3

=x+sin是以6n为周期的余弦周期函数：)验证ig(x)«2)

设a〈b,证明对任意c£[f(a),f(b)]»存在<b],

使汨f(x)=c；.......

(3)证明:“u为方程cosf(x)=1在[0,T]上得解，”的充。

分条件是“u+T为方程cosf(x)=1在区间|T，2T]上的解”,

•并证明对任意x£[0,T),都有f(x+T)=f(井+f(T).

知识归纳：函数与方程的综合运用.

名师分析：(1)根据余弦周期函数的定义，判断cosg(x+6

兀)是否等于cosg(x)即可：

(2)根据f(x)的值域为R,便可汨到存在x，使得f(x)

M=c,而根据f