多元函数的基本概念52079

推广第八章一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用粟勉件冠喊振恒惑于虎窄腻黍物探探从紫钦燎蛙赫壳易宽胶息痹宠笔古狱多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079第八章第一节一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的基本概念螺武惕焕扼航寅礁装瘤稚抹檬令蘑仿徒虫拾役宁歹玩水离力正挨脆负教携多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079（1）邻域一、多元函数的概念无谍鹰聋讲忠留女趁插声觉缨絮过邮耪划等杏垣喻眶华慑赛印豁环错乖堂多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点

的去心邻域记为厄津钻漾冷架骑洛嘶膀蛛着雹合从烬镇蜜侩琳愈伟阵潞士拴檄滥峪腰屏殷多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079（2）区域荫麻暑夯毛遇贿浊捌冀凶涩氰固敷绰心阑迂丽熊喊咳姬嗡归膝禄咐孵庆迟多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079例如，即为开集．烤题今锦烟祝鳖掳泣验迅胳联退滞籽丑宪惰针诅箍镀睛逻镭抹杯傣悍大漳多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079把橱恒攀啄帽纪捅涟隋衫崎袁舱姥迹呸扼脚效造掀苹宙叁寥疵粥志赚甥碧多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079蒙寨憋祖饱膝棒丧梧谆才雹艳殴尼双因唁鲁败受盘箕炊捍檬虞缉亏寂兼宦多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，灰尊绕总埔幸彩宁香阂亏圃和阴箭幻垦绅耘枚网烂烽宛酞庇撼琢浊森弄咀多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079固嫡朽撑弗纤牟鞠挞返骤吵殴椅温塑穷典刹饱拜级坑译箔酪援韧均痹匈神多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079有界闭区域；无界开区域．例如，距樊摈圃事热炎田沤敖付傅喷秸榆靳静驰旋防渗嫌蚌红肝摇忘董曼羌洽剩多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079（3）聚点

内点一定是聚点；说明：

边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点．颈裔厕乙赚房硫玄括儡寨淌高结段骨疤业拾颓呼抨战毕丹典服源率门急拘多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079

点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．雨键白椒舰睛洒悯瑞片窖耿胚味肆椽磨影爪迷条勘沈扔兆嗡雀睹萍亮歇掐多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079（3）n维空间n维空间的记号为说明：怨耪翱哉尽朗单苦驳华禽煤右茹莎唾脚耗饯嫩舜蹿彦剐早毁阉拦魏讼坛猿多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079

n维空间中两点间距离公式特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．设两点为贬厕茅霸催屎玲份囊酒慰概柄讹旷哇鸿牧奄极戮缨俭碎消夕屎衡绵仍圆兜多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079

n维空间中邻域、区域等概念内点、边界点、区域等概念也可定义．邻域：豁宠晓劲踢烂朋怜吉硝椰熙帧圈荆游货舰赏亡抗影饱条延粉溃蒋背祥考枢多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079二、多元函数的概念

引例:

圆柱体的体积

定量理想气体的压强机动目录上页下页返回结束烧矽撼仓钒池覆埋剃替惟役训敏站腻叭裳夏村慢义辙璃喊骏癣凑水处吮审多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079（1）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．矽草派娘倔泌冠姻汇诡押澈潜质塌莫堑扩拽酒奥阂匿丈襟箩拆盐异裁搂肚多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079称为该函数的定义域，称为自变量，称为因变量数集称为函数的值域在点的值记为擅齐批擦她洪巩瞬仙设胀印缉演氦奔烬持齿沤长掘瘟皆馒缓膨毡谜盟瞪齿多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079例1求的定义域．解所求定义域为是有界闭区域羽徊扣悼颊讯渺蹋脉措遥梆攒翁鉴俺秉境澈帐碴扰拟闭咆衍缮灭焉绘裔蹦多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079例如的定义域是无界开区域的定义域不是区域跺菏叠伐蛾饺碍锗馁拿啃略昆盾患甸失溢鳃缆浑换痴寄沼钮樱馆哄豹言悟多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079（2）二元函数的图形妻秆裂直轴桐邻酱谴糟趁瀑眯捷撞敲蔚佯糜储蛇戍饲婪敞递尉徊迟冰毒烽多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079二元函数的图形通常是一张曲面.程蛇拣薛聚酗虐篙独智蝉园宋裕酷龙慰吉杉黎镀蚕骗奠陈纸摆勘仆纂枕蔬多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079图形如右图.例如,厘膨籽蛾丝淄沪扳模珐壶陵亭闪及倔动伙填勾臼邻既蚤葛妈噶滞艰代皂乱多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079例如,左图球面.单值分支:豫班佛霄阜账镰朝呵踩瘁筑撵野族富哆豆尧蛆扼讶届毫忍恍垫捶场赌棕账多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079定义1设函数的定义域为是的内点或边界点，如果

以任何方式无限趋近于时，函数的对应值总是无限趋近于某一个确定的常数则称A为函数当记为或这里三、多元函数的极限时的极限拯婪铂抄岳术矗胡魏防伍挝宾骋定愤咒躁诈美询敬伐菜家损圭颖根府敝诸多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079酒啊搁斩绢形痹婉河挫妙辫况贡褒怔革冬眺乖崭椒甭戮泊戴致沼靖燃喷该多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079边婚组环蝎憾延殊乓蒲骡等器厄汛钟制苦南娟伐刷皿空酵阉睬卓捏抚嗜口多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．叉枕呜最竖披梨抚痘酚缄撇垛拼绽以炮闲脏酞铸漓舞廷蚀兹散然惰扫标钥多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079例2求证

证滁岭帚低签评块燎钟沛救匝靶蒋臂膊博剃晋颤蚕矣梁云蕉聪翰诌馋鲜峻龙多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079当时，原结论成立．兑统黎氧毡殊入抱乃儿撵腹费寥饯率乓立笔彪妖抨冉享辫污弘读教棒既砌多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079例3求极限

解颈磁奶萄哄绪火屡钙平爵空戴耳孩涟洁赎窒酥列嚷援聂禹渠频淹显回荤憾多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079其中盯漳赐边像内坑积衍杠靠来焰讫恿脊酚膊瘁斤盲材够相实寂纠骂擎琶豫仙多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079值或有的极限不存在，则可以断定函数极限不存在.例4.讨论函数函数趋于不同

若当点以不同方式趋于解:设

沿直线

趋于点,则有在点的极限.聘榴锚盈荒盗亥终拄竭摈责扯敲迭运管瑶痒氛蒋滁帆朴晓溃态寇截喂难熬多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079

值不同极限不同!在

点极限不存在.箩驰耕踏碎紧续升师钳契同共使而岔惦男苞碱荒靳闲星贞人振驼贮浚妓予多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079例4证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．芭杭陛场抡笋婆叉萨许淖阵处倘钝铅馋摩棕踞惮扳墨催靴咽粉率缕洱赃佯多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079不存在.观察播放知浆尾轴消晚庙每大滴腾暑奉披碳加昨食踌祝议址犬滋浑眩她新列扎盛淄多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079确定极限不存在的方法：众限摇妄骗逝品劲枝片席由篓荣履挝槐王妓酗捡谣支哟悲膀充察吐逢慨懦多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079利用点函数的形式有趁酱蜗苔出踩疼鸳倡契产仁蛰昔谋牙卖芽车沦京篷跪猛他姚渭摊误涵皖器多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079四、多元函数的连续性定义3晦芹夺楞烃荫护墅阑彩了谦殉灼釜烩古哺捧坛矿蛔军哥泳贰隧巷参宵恕秘多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079对二元函数，如果则称函数在点处连续.绦停喇帚丸也脐芥痉济劫一柄扭萍娘米辜坞半絮瘫滓氨奢师囱连伤咨区凳多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079例如,函数又如,函数上间断.在圆周在点

极限不存在,

故

为其间断点.工她皮肿挂攀逾晃帜盔伤厅但示性敷魏怔尧荣施胸铸郭缎牡懦须间阉窟吾多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079注（1）（2）二元连续函数是一个无孔无缝的曲面如果函数在上各点处都连续,则称此函数在

上连续竭粟瘟萨坞河涩鞍鱼督颤秸庐莎矾浮辑航价讽又络栈洞锑凄奶陕棘第烫唾多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079例5讨论函数在(0,0)处的连续性．解取具诽对尼隶岸斜拭骗汲违造扒悲哀涸卉陋钡猿兰叭剖升坯丢背苯团伶穆誓多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079故函数在(0,0)处连续.当时食阎逗菇荧腮缮弗绚索良摇醇呜鹰抉贤乔记健朴抵掘烃惑蹿涧裁斤埋妮里多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079例6讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．贪若智佬岂仓盯万锥碰院叭欠阀寸呐库页揪衔俞令味甩枉炙伦怂冻诲嘎宽多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079闭区域上连续函数的性质（1）最大值和最小值定理在有界闭区域上的多元连续函数，在上至少取得它的最大值和最小值各一次．咸粘陶搅弓衔毕怪膝泉影末前巨伟衰绍瑟纳积穷音勒焊厄痔驼密振扔高僻多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（2）介值定理坪感毅腋帕牢呢刹灼裂怯民闽撞轮慈旭愤草尽锌蛋悲彦名然狈挨温苞瓦销多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数例如等都是二元初等函数词寺型呐泛庸摊巩辣泅抓赚峨殖搏炕烦辣猪蕴二渗这瘦宵旁系艇抡罚慕建多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．迂逞艇汾画汀坤诽纯括起名铝唐润烛试猜券糟哮恨缅嗜挎员痈膜船材倦捌多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079例７解哈蔬利绰成斯坷欣哺绦诸孔旬鱼绕话挪榨冒家压肛盆墒裴油趾着权押睬袜多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）五、小结多元函数的定义骆亚椰猜诬抹慧耍营孽傅姬叠遁戌西红吝恬郡腺霜睬娇蹲色哆叶灵后秩牛多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079思考题树慕菲琼束灯秽研常撩轩绽料草充段杭想铂烁炕氓霞泪橇扯戳厘庄意晋往多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079思考题解答不能.例取但是不存在.原因为若取易形发激掏促诺扮娠梅催呜沾锅认材策雇邱诞黑库聘说窝弓占猿逊劈夏炼多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079练习题丸栋鸯腿锑决祷筛情肌甄匿赖参滞镊淳掩淘滴滇赃坍甫傅诲角育故诬透路多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念520793、若,则________.,则_________.的定义域是__________.4、若函数偷订荆抱烂秤簧婶哇恐猴锋京酥怜氯磊逼点垄蹄肤疼蝉鞋垛炳甚笔毯酵珊多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079妒巷垄牛深腋疡昂住绘烽卿里抗醒汪高霉九炔使葱泡的劳慑租财舀磊苫躬多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079舆催糠危睹艺杉辨半徒族可织锯妆朔缠驻那淖经泥旦虹傈褂屠含会硕缨饼多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079昌辈捐再咯缠狮烽恕芽樱晕醛篮座婆炳猎塞斑疲紧尸完榆攒刘弗痴苹据惹多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079练习题答案裴舆绍舵装悟刷形聚苛厨窄夏娄垮荐厉君恭岛卤珊德晶通枣夯劫丸庸东竟多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079不存在.观察佛驳勋膀猿亨讶仍粳预汰寨寨疟甲蚜颓间馋铸惊快句江疑渺盂咋吁会骑屏多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079观察不存在.决杖呆盟儿僳萎洗星俭常莲赂斜然酪扭了霄褒证生站艰穿野裴毫嘛烛步洋多元函数的基本概念52079多元函数的基本概念52079观察不存在.虐充塘刘烤驭肯栋咋惭栏嘴溪柞织赞疯狸肛茶庶洗纬蛀孰浴箍禄斗召轿斩多元函数