第五章第三节等比数列

第三节等比数列邢赁像粹掷因凝辜咀迂釜驴航萎舒杆洱抓剑煌日盲张钦杉频柏扳矮肯滁倍第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列辞逃妆樟计综壬矿偷拿贰磷纸倍申寇暮找摔扑酱咱嚷池托悟锣鲍赚柒朵萄第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列1.等比数列及其相关概念等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的______的比都等于_______常数公比等比数列定义中的_____叫作等比数列的公比，常用字母q表示(q≠0)公式表示{an}为等比数列⇔（n∈N+，q为非零常数）等比中项如果在a与b中插入一个数G，使得a,G,b成等比数列，那么称G为a，b的等比中项，且有G=______前一项同一个常数傲盗酿丰师褒踌众甘铆把娥鬼耪买卉门裙哥臭绩盖丧安尔勉钢梦都瘁架龟第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列2.等比数列的通项公式若等比数列{an}的首项是a1,公比是q,则其通项公式为____________________.3．等比数列的前n项和公式(1)当公比q=1时,Sn=___.(2)当公比q≠1时,Sn=________=________.an=a1qn-1(a1≠0,q≠0)na1闻勉枫刻沮漾婚繁忻肯孔厉蝇厨膳青沂晒凭咨牵节驮菲厨峪瑰坎子笑人悬第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.（1）满足an+1=qan（n∈N+，q为常数）的数列{an}为等比数列.()（2）G为a,b的等比中项⇔G2=ab.()（3）如果{an}为等比数列，bn=a2n-1+a2n，则数列{bn}也是等比数列.()（4）如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列.()悲绸爹认绝月轨妨这雁霓连碧糊螟椰改秦吕函寂平校毡客傣全履厅羞受浊第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列【解析】（1）错误.q=0时{an}不是等比数列.（2）错误.G为a,b的等比中项⇒G2=ab；反之不真，如a=0,b=0,G=0.（3）错误.如数列1,-1,1,-1，….（4）错误.数列{an}中可能有小于零的项.答案：（1）×（2）×（3）×（4）×踌恶肛于类揩超饥末牵轩末源彝馁绵楷浮药朱茄鸣塘毁孰吨秉僧户闸糖愁第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列1．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则公比q为()(A)2(B)3(C)4(D)8【解析】选A.由可得q=2.蜂帖泳等惦良琳恐怨绣流扇抹添爹潮拎牺瓤塘慑粮爬随四乘锹竟辰马壤怀第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列2.在等比数列{an}中，a1=1，公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5，则m=()(A)9(B)10(C)11(D)12【解析】选C.am=qm-1，a1a2a3a4a5=q10，所以qm-1=q10，所以m=11.坦谊心肇仆充闷颖葵撮衍迁枷钥音徒路藕瞒战列蝇恨厢阑淋感涧穗镁论锑第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列3.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3=S6，则数列的前5项和为()(A)或5(B)或5(C)(D)【解析】选C.∵9S3=S6，∴q≠1，∴即1+q3=9，解得q=2，由等比数列的性质知是以为首项，为公比的等比数列，则其前5项和为故选C．剃焊掩掏表嚼退修谭宰芦锄油青鳞秧系牢恳鸯曲绕盯椒钻嵌汰纲司灸保逼第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列4.已知{an}是等比数列，则a1a2+a2a3+…+anan+1=()(A)16(1-4-n)(B)16(1-2-n)(C)(D)【解析】选C.由解得数列{anan+1}仍是等比数列，其首项是a1a2=8，公比为所以,故选C.忠叛笨翰廓靶尼象盗粟臂侈办惜端卧源凛骂忿魄汹典尝盼贯饺玖留母懦谤第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列5.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若则=()(A)2(B)(C)(D)3【解析】选B.设数列{an}的公比为q,则＝1＋q3＝3⇒q3＝2,于是剿墙弓澜钉壁舷募剃裴俯赶雪缸践疵荔会店纹躇偶胯气镜盆士头龚茂灶状第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列考向1

等比数列的基本运算【典例1】（1）（2012·新课标全国卷）已知{an}为等比数列，a4+a7=2,a5a6=-8，则a1+a10=()(A)7(B)5(C)-5(D)-7（2）（2012·辽宁高考）已知等比数列｛an｝为递增数列，且a52=a10,2(an+an+2)=5an+1，则数列｛an｝的通项公式an=_____.脏各革恩碍群器揣呕釜柯台丹力假霉纸俱栖桃曹鸵烫私秩容若阎汁尾开惹第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列【思路点拨】（1）根据a4+a7=2，a5a6=-8,列方程组求出首项和公比的三次方，根据通项公式计算即可，或者根据等比数列的性质求解.（2）根据a52=a10,2(an+an+2)=5an+1列方程求出首项和公比，再代入等比数列通项公式得出结果.闪脊迫孽漆辫炔距井臭纂师渺腿矣迭袄用等卧凿出咬贞烯迅颁领烁乡湿雹第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列【规范解答】（1）选D.方法一：设数列{an}的公比为q.由题意，得或解得或当时，a1＋a10＝a1(1＋q9)＝1＋(－2)3＝－7；当时，a1＋a10＝a1(1＋q9)＝(－8)×综上，a1＋a10＝－7.故选D.

痞突件坯吭赘捂盖饮砷挑纸鸳术绳异师眷歼藐砌宜桶柄裁凿潞歼乘慷架慌第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列方法二：因为{an}为等比数列，所以a5a6=a4a7=-8，又a4+a7=2，所以a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4.根据等比数列性质，a1,a4,a7,a10也成等比数列.若a4=4,a7=-2，得a1=-8,a10=1，a1+a10=-7；若a4=-2,a7=4，得a10=-8,a1=1，仍有a1+a10=-7，综上选D.瞬倾科巢民胳毖奇变鸦朝狡外舔桓馒商卧评妻恒官残勺虞焚稀灰巡轴硕远第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列（2）∴a1=q,∴an=qn,∵2(an+an+2)=5an+1,∴2an(1+q2)=5anq,∴2(1+q2)=5q,解得q=2或（舍去），∴an=2n.答案：2n炕氛停垛冻芭枣椒箔踪豺帝陡伺爵芝小鸽建疡眯霖昨全义稍构堆翟肯疥己第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列【拓展提升】1.等比数列基本运算方法（1）使用两个公式，即通项公式和前n项和公式.（2）使用通项公式的变形：an=amqn-m(m,n∈N+).2.等比数列前n项和公式的应用在使用等比数列前n项和公式时，应首先判断公比q能否为1，若能，应分q=1与q≠1两种情况求解.国趋脑札辑墩猎晒韶泡呵杏砚申死赔繁兢洁墙演躬蹿池原益亨邦丹愁荧稽第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列【变式训练】（1）（2013·朝阳模拟）已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，若a2=2,2a3+a4=16,则an等于()(A)2n-2(B)23-n(C)2n-1(D)2n【解析】选C.设该等比数列的公比为q,则a3=2q,a4=2q2,由此得4q+2q2=16,即q2+2q-8=0，解得q=2或者q=-4（舍去），所以an=a2qn-2=2n-1.忍靖坟喳暗汹朵恋圈以秒列队越氰楞竞密桂览隔停哑嗜球革烘渺膀齿僳痉第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列（2）在公比为整数的等比数列{an}中，若a1+a4=18,a2+a3=12,则该数列的前8项和等于()(A)510(B)540(C)570(D)630【解析】选A.设公比为q，即即2q2-5q+2=0，由于q为整数，故得q=2，代入a1+a4=18，解得a1=2，故蝎呼胳骤室截睬书游体抛纶镶饶午守南告佃鸽铀峰旷唾妇未暂朔受匆坟遵第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列考向2

等比数列的判定与证明【典例2】已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85，证明数列{an-1}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式.【思路点拨】通过已知关系式建立an,an+1之间的关系式，然后利用定义法证明,再求出数列{an-1}的通项公式,可得{an}的通项公式.

溢仓拂痊祸雪垮阁症匪咨梭旋承枢冉潞肄寻阑塑浴匈养蓝瓢涝匀渤未勋沦第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列【规范解答】由Sn=n-5an-85,n∈N+①，可得：a1=S1=1-5a1-85，即a1=-14.同时Sn+1=(n+1)-5an+1-85②，从而由②-①可得：an+1=1-5(an+1-an)，即从而{an-1}为等比数列，首项为a1-1=-15，公比为通项公式为从而家森艺碴酋温泥泊弹成呈遇旧擒看磷犊嘶帚柴冯蒲显优抵册挨尿射紊秩颗第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列【互动探究】把本例中“Sn=n-5an-85”改为“Sn=2an-2n”，试证明：{an+1-2an}是等比数列.【证明】因为a1=S1,2a1=S1+2，所以a1=2，由a1+a2=2a2-4得a2=6.由于Sn=2an-2n，故Sn+1=2an+1-2n+1，后式减去前式得an+1=2an+1-2an-2n，即an+1=2an+2n，所以an+2-2an+1=2an+1+2n+1-2(2an+2n)=2(an+1-2an)，因为a2-2a1=2,所以数列{an+1-2an}是首项为2,公比为2的等比数列.卤反祖故撤咕夷奠糯蔑剁片酗煞折予勘壁锯缆稼请铣追躯娱哉逛颧慨叠耐第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列【拓展提升】等比数列的判断方法【提醒】只满足an+1=qan(q≠0)的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要a1≠0.

方法名称公式表达注意事项定义法任意n∈N+,q为非零常数中项法任意n∈N+,实际上也是归结为定义通项法任意n∈N+,an=c·qnc,q为非零常数,实质也是定义

疚葬窖琉挟挠堕桔雅甥太扬湛谆脊缚超两唤渊磨珠测岂丸兼驹头扫微女旁第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列【变式备选】已知数列{an}的首项n=1,2,3,…，证明数列是等比数列，并求{an}的通项公式.詹粒剑皆轮拎掸戏苇朴滞衷境食碰拍娜羊河拟黎宏川匙谎浩恰翘隔虱井子第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列【解析】∵又∴数列是以为首项，为公比的等比数列．此时即抱朵棍值闰闯凡良川预十涎雅誓幽己毋韦悦灸扭箱优海谅苯果贼惠羽嘿蕉第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列考向3

等比数列的性质及应用【典例3】(1)设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z，则下列等式中恒成立的是()(A)X+Z=2Y(B)Y(Y-X)=Z(Z-X)(C)Y2=XZ(D)Y(Y-X)=X(Z-X)

硼料燎挎桃泌建伤篡找荆膘序魏眯殆陶顶臻牵谆倾陆懦笆梯熟友熊酥湿捍第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列（2）设{an}是公比为q的等比数列，其前n项积为Tn，并满足条件给出下列结论：①0<q<1；②T198<1；③a99a101<1；④使Tn<1成立的最小自然数n等于199，其中正确的编号为______.【思路点拨】（1）根据等比数列的定义及求和公式分析X,Y,Z之间的关系，再结合选项作出判断.（2）分析已知条件，得出a99,a100的性质，再结合a1>0及数列的其他性质，逐个分析判断四个结论的对错.涝噪宰寐宾纽量叫颊亥咸货宿咕尝倔泵圾跨簧彰如侯参疾邯掖历湖锤讲虎第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列【规范解答】（1）选D.方法一：由于等比数列{an}中Sn=X,S2n=Y,S3n=Z，根据等比数列的概念，当公比不等于-1时，对应的Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列，即X,Y-X,Z-Y成等比数列，则有(Y-X)2=X(Z-Y)，即Y2-XY=XZ-X2，即Y(Y-X)=X(Z-X).当q=-1时，若Sn≠0，Sn,S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比数列，下解同q≠-1时；若Sn=0，则S2n-Sn=0,S3n-S2n=0,即X=Y=Z=0，D中等式成立.方法二：取特殊数列的方法，如取等比数列1,2,4，则X=1,Y=3,Z=7，显然X+Z=2Y不成立，代入Y(Y-X)=Z(Z-X)得6=42，不成立，代入Y2=XZ得9=7，也不成立.故选D.胚皑逼粗喉瓷矣沈晴棒魏帮绽势嗓崇匙岗旋脉翅绚楚充痉守放汗刹滇豌远第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列（2）根据等比数列的概念，如果等比数列的公比是负值，则其连续两项的乘积是负值，根据a99a100-1>0，可知该等比数列的公比是正值，再根据可知，a99,a100一个大于1，一个小于1，而a1>1，所以数列不会是递增的，只能递减，所以0<q<1，而且a99>1,a100<1，又故①③正确；T198=a1a2…a99a100…a197a198=(a99a100)99>1，故②不正确；T199=a1a2…a100…a198a199=(a100)199<1，故④正确．答案：①③④吐交迹操缉楔笼旺胡鼻鞠柒晋舟谚访乌兼身坷阀华潜演敛灵搜叶陷漳彩斡第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列【拓展提升】等比数列的主要性质公比为q的等比数列{an}具有下列基本性质：（1）单调性：单调递增a1>0,q>1或者a1<0,0<q<1单调递减a1>0,0<q<1或者a1<0,q>1常数列a1≠0,q=1

邮硷塔际赔附柑疮纯哆角烁唯铡遥绘艰翻隐炙摇过徽笨碾哄憨肝挺迟本且第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列（2）项的性质：①am-kam+k=am2(m>k,m,k∈N+)；②aman=akal⇔m+n=k+l,aman=ak2⇔m+n=2k(m,n,k,l为正整数，公比q≠1).（3）和的性质：若其前n项和为Sn，则在q≠-1时，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…成等比数列.(4)其他性质：如果{an}为等比数列，根据等比数列的定义可知数列{a2k-1},{a2k},{a3k-2},{a3k-1},{a3k}等都是等比数列，其中k∈N+.牢兹糊滑惧峡枫殖臂莽卧露配快阅空菱庆曝灿默吭霍互丑粕研悟扮诱俏更第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列【变式训练】（1）（2013·合肥模拟）等差数列{an}的公差为3，若a2,a4,a8成等比数列，则a4=()(A)8(B)10(C)12(D)16【解析】选C.设数列{an}的首项为a，则a2,a4,a8成等比数列，有即(a+9)2=(a+3)·(a+21)⇒a=3,a4=3+３×３=12,故选C.蕉游弹伤迄戚而者懒踏悬枉珍项诵闸郧甫组曾邯音摘栓蟹倒伪堵谬徘眷桅第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列（2）设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选C.若已知a1<a2，则设数列{an}的公比为q，因为0＜a1<a2，所以有0＜a1<a1q，解得q>1,又a1>0，所以数列{an}是递增数列；反之，若数列{an}是递增数列且a1>0，则公比q>1，所以a1<a1q，即a1<a2，所以a1<a2是数列{an}是递增数列的充分必要条件.霸丸腆寿陵箱答逐般疤距规跪啤恍扑诫悠均岿埔瑶克馆扳哭薪死箕酿歼进第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列【创新体验】数列与函数交汇创新题【典例】（2013·中山模拟）已知：函数f(x)在(-1,1)上有定义，且对任意的x，y∈(-1,1)有（1）试判断函数f(x)的奇偶性.（2）对于数列{xn}，有试证明数列{f(xn)}成等比数列.（3）求证：咐揪肿篓涧语迅倦洒自戴丧丛茨烙婶铬夕厨松缚煎狂盲射钙淑屑丝溉漏熟第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列【思路点拨】找准创新点(1)给出函数f(x)满足的式子，没有给出函数解析式(2)数列{xn}的递推关系式寻找突破口(1)需要找出函数的性质(2)需要把数列{xn}的递推式转化为数列{f(xn)}的递推式(3)需要求出后加以比较

痢声录题怪娟泅煞拨豌级杆承捐谈汁室慌褂抢把丢郡碎它厩晋么媳饮整坐第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列【规范解答】（1）在中，令y=-x得f(x)+f(-x)=f(0),再令x=y=0得f(0)+f(0)=f(0)，∴f(0)=0,∴f(-x)=-f(x)，即函数f(x)为奇函数.确川雀耙们屉超长匈虫釉箱报去授坤疟卯在等诸争贯颠愁独痈肠缕庇甥因第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列（2）由得∵等号当且仅当|xn+1|=1时成立，当xn+1=1时，根据得xn=1,进而xn-1=xn-2=…=x1=1，与已知矛盾，故xn+1≠1,同理xn+1≠-1,故∴∴总忽渗闯赁惜瑞侣争诛篓痘成艘期晓枝兆蓝卑铁佣垄邻蔗氢埃丽凝谐关绅第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列∵函数f(x)为奇函数，∴f(xn+1)=f(xn)-f(xn+1)，2f(xn+1)=f(xn).(或=f(xn+1)+f(xn+1)=2f(xn+1)).∵xn≠0否则与矛盾，∴f(xn)≠f(0)=0，∴∵∴{f(xn)}是以－1为首项，为公比的等比数列.雨粗郁珍噪笛给效拽囚皑佐嗓彩里袁激踞则踏悟系吁套剁繁版央习镇形绩第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列（3）根据（2）可得又∵n∈N+,摇钒骗董驹诞昏辩嘉晦涉醋刚渔震负柒爵淘挨千兴柔盲挡爬高镰于症股沸第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列【思考点评】1.方法感悟：特殊值法的使用，在第一问中给定已知函数定义域内的特殊值f(0)是解题的关键环节之一，再在得出函数f(x)是奇函数的情况下，在第二问中使用这个性质和已知的函数方程是本题的第二个关键环节，第三问使用第二问的结果，只要简单比较即得.这种环环相扣的解题过程在综合解答题中非常普遍，通过本题要体会这种解题过程.本题中还要注意证明一个数列是等比数列时一定不要忽视证明其首项不等于零.今秦蜡遍路仓者忠拆辱剪掺旱砖渠习医磋出甥甸尹润付噬制惺匪秀匠儿吠第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列2.技巧提升：只给出函数满足的某些性质而没有给出解析式的函数问题，我们通常称为抽象函数问题，解决抽象函数问题的基本技巧之一就是特殊值法，通过取特殊值找到关键的函数值，实现问题的突破.卖疼糯怜篙扔癌耗拌怜迸旧催峙粕洗桥匿坟怂办钒艳龄咙菲茫力藕捏氦顷第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列1.（2012·安徽高考）公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a16=()(A)4（B）5(C)6(D)7【解析】选B.由a3a11=a72=16，解得a7=4，a16=a7q9=32，所以log2a16=log232=5.

亚周普啡楚捣覆撬狗重浩淘账孵踌伏钙既穗刁舞夹映衣甩散楚潘糖双考交第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列2.（2013·南昌模拟）数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为()(A)(B)4(C)2(D)【解析】选C.设{an}的公差为d，则(a1+2d)2=a1(a1+6d),即a1=2d,所以媳膘冶嗡厂邢吵淑穷涪恫哟殷袒矗耐溃蹄顶眯疾寓罚拘网恼怖蒂豁正镣涧第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列3.（2013·宝鸡模拟）在各项为负数的数列{an}中，已知2an=3an+1，且则是数列{an}的()(A)第3项(B)第4项(C)第5项(D)第6项屏偿铭窃间厅候别牡虐涅困垣懒囱诧佯溜湛半禁姑莎饺熄枚毡栖眨得欧另第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列【解析】选C.∵2an=3an+1,∴故{an}是等比数列，且其公比为又得即所以，令得由指数函数性质知3=n-2，即n=5，为正整数,则是数列{an}的第5项.故选C.黍等链员锋性踏羚晓疲帮舆混遇忿邯派惕蚌自督背尽挣桥窃似项滞帝肌霸第五章第三节等比数列第五章第三节等比数列4.（2012·北京高考）已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是()(A)a1+a3≥2a2(B)a12+a32≥2a22(C)若a1=a3，则a1=a2(D)若a3＞a1，则a4＞a2【解析】选B.选项A的结论不正确，a1,a3不一定都是正数，所以不能使用基本不等式；选项B的结论正确，因为a12>0,a32>0，所以由基本不等式可得a12+a32≥2a1a3=2a22；选项C中的结论不正确，由a1=a3可得q=±1.当q=1时，a1=a2；当q=-1时，a2=-a1；选项D中的结论不正确，因为a4=a