浅析动点轨迹问题

以静制动洞察本质—浅析动点轨迹问题动点轨迹问题综合了众多知识点，蕴含了丰富的数学思想，对数学思维分析和逻辑推理能力都有着较高的要求.本文就2017年无锡市一道中考试题分析研究如下，以期对读者在解题中有所启发.题目在平面直角坐标系中，已知.(1)四边形的周长的最小值为，此时四边形的形状为.(2)在(1)的情况下，设为的中点，为上一动点，连，作交四边形的边于点.在点从运动到的过程中，①求的值;②若的中点为，在整个运动过程中，请直接写出点所经过的路线长.一、问题简析第(1)问中，考察的是四边形的周长的最小值，由于线段的长是确定的，只需要求出线段的和的最小值，该问题就转化为了典型的线段和的最值问题.如图1，分别作点关于轴的对称点,点关于轴的对称点.由对称的性质可知:.由两点之间线段最短可知，当四点共线时，的和最小，此时四边形ABCD的周长取最小值，求得此时，并且四边形的周长为，四边形为矩形.第(2)问①要求的值，也就是的值，可构建三角形的相似，利用相似比求解，易得，故可知.对于②中点的运动路径长度，必须首先研究一下点的运动轨迹.本题中有一个非常显著的特征:直角较多，并且不难发现，点是与斜边上的中点，故有，即点至点与点的距离相等，因此点的轨迹是一条直线，如图2.研究点的起始和终点位置可以发现，所要求的路径长即为，其中点是点的起始位置，点是点的终点位置.在中，,且,故，因此点的运动路径长为.二、深度剖析本题综合了线段最值问题、三角函数问题和动点的运动轨迹问题，整体难度较大，特别是最后一问中的动点运动路径，需要先判断运动轨迹，再求出运动路径的长度.下面从几个方面对该题进行深度剖析.1.表象透析本题作为压轴题，是中考中常见的几何问题.本题分为三个小问题，三者之间存在递进关联，第(1)问从点的坐标出发，要求四边形的周长的最小值，实际是对点的对称性和线段最值问题的考察，需要学生对基本定理和“饮马问题”有深刻的理解，能够基于“两点之间，线段最短”定理求解出若干条线段的最值.第(2)问中的②是本题的难点，需要求出动点的运动路径，实际上需要学生能够判断出动点的运动轨迹到底是何图形，只有正确判断其运动轨迹，才能计算出运动路径的长.2.解法探究本题的难点主要集中在求出动点的运动路径的长度上，求解过程主要分为两个部分:第一是判断点的运动轨迹;第二是确定其在运动过程中轨迹的长度.第一点是对于轨迹的判定与构建.在初中阶段接触较多的轨迹是直线与圆，这两种轨迹的判定不妨从基本定义出发.一般地，到两个定点的距离相等的点的集合是直线;到一个定点的距离相等的点的集合是圆.同时，还要能够熟练应用“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”，据此不难判断出本题中的运动轨迹是一条直线的一部分，即线段.第二点需要求出运动路径也就是线段的长度，这里需要注意以下几个基本步骤:①确定线段的两个端点，也就是动点的起点和重点的位置;②构建特殊三角形，计算出线段长度;③运用转化思想，转化为其它易求的线段.上述问题中利用了中位线的性质，将求的长转化为求的长，简化了计算.整个问题综合了众多几何知识，遵循了中考试题的命题规律，实现了条件和问题的有效连接.3.思想提炼对于中考数学压轴题而言，其综合性不仅仅是体现在问题的复杂性与数学知识的综合上，更体现在深层次的数学思维上.事实上，在解题过程中，任何一个复杂的数学问题，通过数学思想的剖析，都可以将复杂的问题简单化，如同抽丝剥茧，最终解决问题.正是在不同的思想方法的指导下，实现了问题由无形向有形、由复杂到简单的转化.再者，综合问题题型多样，只有巧用数学思想方法和基本定义，方能做到万变不离其宗.正如本题中要求动点的轨迹，必须要熟悉直线和圆的基本定义，才能做到以静制动，洞悉问题的本质.本题中涉及了众多关键知识，这也给初中数学复习提供了方向，在教学中强调综合知识训练的同时，不能忽视基础知识的巩固和提炼，只有真正掌握了基础知识，才能更好地洞悉数学本质.另外