2024年中考数学几何模型24专题专题17 动圆相切问题含解析

2024年中考数学几何模型专题17动圆相切问题一、圆心为动点解题思路：确定圆心到直线的距离d=r即可．【引例】如图，直线l的解析式为，点P坐标为，以点P为圆心，1为半径作圆，当点P以每秒2个单位的速度向右移动时，时间t为何值时圆P与直线l相切？（2017·百色）以坐标原点为圆心，作半径为2的圆，若直线与相交，则的取值范围是A． B． C． D．（2015·烟台）如图，直线与坐标轴交于，两点，点是轴上一动点，以点为圆心，2个单位长度为半径作，当与直线相切时，则的值为．

（2019·菏泽）如图，直线交轴于点，交轴于点，点是轴上一动点，以点为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线相切时，点的坐标是．（2016·无锡）如图，中，，，，点从点出发，在边上以的速度向点运动，与此同时，点从点出发，在边上以的速度向点运动，过的中点作的垂线，则当点运动了时，以点为圆心，为半径的圆与直线相切．（2019·宁波）如图，Rt△ABC中，，，点在边上，，．点是线段上一动点，当半径为6的与的一边相切时，的长为．如图，点的坐标是，点是以为直径的上一动点，点关于点的对称点为．当点在上运动时，所有这样的点组成的图形与直线有且只有一个公共点，则的值等于．【动圆相切-与多边形相切】（2018·宁波）如图，正方形的边长为8，是的中点，是边上的动点，连结，以点为圆心，长为半径作．当与正方形的边相切时，的长为．

（2015·连云港）已知如图：在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，是直线上一动点，的半径为1．（1）判断原点与的位置关系，并说明理由；（2）当过点时，求被轴所截得的劣弧的长；（3）当与轴相切时，求出切点的坐标．

（2016·苏州）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作圆O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（）．（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为；（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3，在运动过程中，当QM与圆O相切时，求t的值；并判断此时PM与圆O是否也相切？说明理由．二、动点为直径解题思路：由切线的性质-垂直于过切点的半径，得垂直关系，再由三角函数值求得线段长．【引例】在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，连接BD，点P从D点出发以每秒1个单位向点C运动，点Q从点B出发以每秒2个单位向点D运动，以PQ中点O为圆心，PQ为直径作圆，运动时间t为何值时，圆O与BD相切？【与多边形边相切，三角函数解线段关系】（2018·相城区一模）如图，在Rt△ABC中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点也从点出发，沿以每秒的速度匀速运动，运动时间为秒，连接，以为直径作．（1）当时，求的面积；（2）设的面积为，求与的函数关系式；（3）当点在上运动时，与Rt△ABC的一边相切，求的值．

三、交点个数的分析圆与线段或图形交点个数问题，考虑交点个数变化的位置，当①圆与线段相切、②圆过线段端点时，交点个数会发生改变．【引例】如图，在坐标系中，点A坐标为（1，0），点B坐标为（0，3），以点P（m，0）（m<0）为圆心，4为半径作圆，m为何值时，圆P与线段AB只有1个交点？

（2017·吴中区一模）如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿着方向以1个单位长度秒的速度匀速运动，同时动点从点出发，沿着对角线方向也以1个单位长度秒的速度匀速运动，设运动时间为秒，以为圆心，长为半径的与、的另一个交点分别为、，连结、．（1）填空：（用的代数式表示）；（2）当为何值时，点与点相遇？（3）当线段与有两个公共点时，求的取值范围．（2013·连云港）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、的坐标分别为、．动点从点、动点从点同时出发，分别沿着方向、方向均以1个单位长度秒的速度匀速运动，运动时间为（秒．以为圆心，长为半径的与、的另一个交点分别为、，连接、．（1）求当为何值时，点与点重合？（2）设的面积为，试求与之间的函数关系式，并求的最大值；（3）若与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围．（2019·河北）如图1和2，中，，，．点为延长线上一点，过点作切于点，设．（1）如图1，为何值时，圆心落在上？若此时交于点，直接指出与的位置关系；（2）当时，如图2，与交于点，求的度数，并通过计算比较弦与劣弧长度的大小；（3）当与线段只有一个公共点时，直接写出的取值范围．

【与多边形交点个数问题】（2018·镇江）如图1，平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的与对角线交于，两点．（1）如图2，当与边相切于点时，求的长；（2）不难发现，当与边相切时，与平行四边形的边有三个公共点，随着的变化，与平行四边形的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的的值的取值范围．

（2012·无锡）如图，菱形的边长为，．点从点出发，以的速度，沿向作匀速运动；与此同时，点也从点出发，以的速度，沿射线作匀速运动．当运动到点时，、都停止运动．设点运动的时间为．（1）当异于、时，请说明；（2）以为圆心、长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，为怎样的值时，与边分别有1个公共点和2个公共点？

四、构造相切求最值【线段最值】（2011·河池）如图，在Rt△ABC中，是直角，，，是边上的动点，设，若能在边上找到一点，使，则的取值范围是．

【米勒问题-相切构造最大角】如图，在平面直角坐标系中，A（1，0）、B（5，0）直线l经过点C（-1，2），点P是直线l上的动点，若∠APB的最大值为45°，求直线l的解析式． 专题17动圆相切问题一、圆心为动点解题思路：确定圆心到直线的距离d=r即可．【引例】如图，直线l的解析式为，点P坐标为，以点P为圆心，1为半径作圆，当点P以每秒2个单位的速度向右移动时，时间t为何值时圆P与直线l相切？【分析】过点P作PH⊥直线l，垂足为H点，当PH=r=1时，即可得圆P与直线l相切．当点P坐标为或时，PH=1，，，综上所述，t的值为1或3．（2017·百色）以坐标原点为圆心，作半径为2的圆，若直线与相交，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】确定两个相切的时刻，当时，直线与圆相切，故若直线与圆相交，则b的取值范围是，故选D．（2015·烟台）如图，直线与坐标轴交于，两点，点是轴上一动点，以点为圆心，2个单位长度为半径作，当与直线相切时，则的值为．【分析】点M到直线l的距离为2，即可得圆M与直线l相切．过点M作MH⊥AB交AB于H点，当圆M与直线l相切时，MH=r=2，，∴BH=4，，M点在B点左侧时，点M坐标为，M点在B点右侧时，点M坐标为，综上，M点坐标为或．

（2019·菏泽）如图，直线交轴于点，交轴于点，点是轴上一动点，以点为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线相切时，点的坐标是．【分析】若圆P与AB相切，则点P到直线AB的距离为1，可得，又点A坐标为，故点P坐标为或．（2016·无锡）如图，中，，，，点从点出发，在边上以的速度向点运动，与此同时，点从点出发，在边上以的速度向点运动，过的中点作的垂线，则当点运动了时，以点为圆心，为半径的圆与直线相切．【分析】易证CD∥AB，当圆C与直线EF相切时，，，，，∴，（2019·宁波）如图，Rt△ABC中，，，点在边上，，．点是线段上一动点，当半径为6的与的一边相切时，的长为．【分析】当圆P与BC边相切时，过点P作PH⊥BC交BC，则PH=6，易证△DHP∽△DCA，，解得：，∴．当圆P与AB边相切时，过点P作PM⊥AB交AB于M点，则PM=6，过点D作DN⊥AB交AB于点N，易证△BND∽△BCA，可得：，解得：，易证△AMP∽△AND，，解得：．综上，AP的长为或．如图，点的坐标是，点是以为直径的上一动点，点关于点的对称点为．当点在上运动时，所有这样的点组成的图形与直线有且只有一个公共点，则的值等于．【分析】确定点P轨迹，考虑AP=2AC始终成立，可得点P轨迹是以点O为圆心，OA为半径的圆，若圆与直线相切，则半径等于点O到直线的距离，用面积法可求，故，则．【动圆相切-与多边形相切】（2018·宁波）如图，正方形的边长为8，是的中点，是边上的动点，连结，以点为圆心，长为半径作．当与正方形的边相切时，的长为．【分析】圆不可能与AB、BC边相切．当圆P与CD相切时，即PM=PC如图所示，设BP=x，则，，则，解得：x=3．当圆P与AD相切时，即PM=r=8，解得．综上，BP的长为3或．

（2015·连云港）已知如图：在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，是直线上一动点，的半径为1．（1）判断原点与的位置关系，并说明理由；（2）当过点时，求被轴所截得的劣弧的长；（3）当与轴相切时，求出切点的坐标．【分析】（1）过点O作OH⊥AB于点H，可得，∴，故点O在圆外．（2）记圆P与y轴另外一交点为C，连接PC，则∠BPC=120°，则，故圆P被y轴截得的弧长为．（3）圆P与x轴相切，即点P到x轴距离为1即可，，当时，，解得：，当时，，解得：，故切点的坐标为或．

（2016·苏州）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作圆O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（）．（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为；（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3，在运动过程中，当QM与圆O相切时，求t的值；并判断此时PM与圆O是否也相切？说明理由．【分析】（1）由题意得：PB=4t，PQ=3t，BQ=5t，CQ=8-5t，若DQ平分∠BDC，则CQ=PQ，即8-5t=3t，解得：t=1，故t的值为1；（2）过点M作MH⊥BC交BC边于点H，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，则H为CQ中点，则，，易证，代入得：，解得：，故t的值为．（3）①由于点O与直线MQ均为运动的，可取对角线BD为参照物．过点O作OE⊥BD交BD于点E，则OD=3t，，又，∴，∴点O始终在QM所在直线的左侧．②过点O作FG⊥BD交BD于点F，则FG⊥MQ，垂足记为G，若圆O与四边形相切，则，解得：，即当s时，圆与QM相切，此时若圆O与MP也相切，则MO平分∠PMQ，即，，又，∴，，∴，又OG=r=0.8cm，∴，∴此时PM与圆O不相切．二、动点为直径解题思路：由切线的性质-垂直于过切点的半径，得垂直关系，再由三角函数值求得线段长．【引例】在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，连接BD，点P从D点出发以每秒1个单位向点C运动，点Q从点B出发以每秒2个单位向点D运动，以PQ中点O为圆心，PQ为直径作圆，运动时间t为何值时，圆O与BD相切？【分析】当PQ⊥BD时，圆O与BD相切，由题意得：DP=t，DQ=5-2t，若PA⊥BD，即，代入得：，解得：，故当t的值为时，圆O与BD相切．

【与多边形边相切，三角函数解线段关系】（2018·相城区一模）如图，在Rt△ABC中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点也从点出发，沿以每秒的速度匀速运动，运动时间为秒，连接，以为直径作．（1）当时，求的面积；（2）设的面积为，求与的函数关系式；（3）当点在上运动时，与Rt△ABC的一边相切，求的值．【分析】当时，cm，cm，∴cm²．（2）当时，，∴，，；当时，，，∴，∴（3）当点Q在AB上时，，当圆O与BC边相切时，即PQ⊥BC，，，，代入得：，解得：t=1；当圆O与AB相切时，即PQ⊥AB，，代入得：，解得：；当圆O与AC边相切时，过点O作ON⊥AC交AC于点N，则，，，由得：，解得：，（舍）．故综上所述，t的值为1或或．

三、交点个数的分析圆与线段或图形交点个数问题，考虑交点个数变化的位置，当①圆与线段相切、②圆过线段端点时，交点个数会发生改变．【引例】如图，在坐标系中，点A坐标为（1，0），点B坐标为（0，3），以点P（m，0）（m<0）为圆心，4为半径作圆，m为何值时，圆P与线段AB只有1个交点？【分析】考虑圆P与AB相切：过点P作PH⊥AB，当PH=4时，圆P与AB相切，易证△PHA∽△BOA，∴，此时；当圆P过点A时，m=-3；当圆P过点B时，，故；综上，当或时，圆P与线段AB只有1个交点．

（2017·吴中区一模）如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿着方向以1个单位长度秒的速度匀速运动，同时动点从点出发，沿着对角线方向也以1个单位长度秒的速度匀速运动，设运动时间为秒，以为圆心，长为半径的与、的另一个交点分别为、，连结、．（1）填空：（用的代数式表示）；（2）当为何值时，点与点相遇？（3）当线段与有两个公共点时，求的取值范围．【分析】（1）BE=2t，．（2），若点Q与点F相遇，则AQ+BF=6，即，解得：，故t为时，点Q与点F相遇．（3）考虑何时QE与圆P相切，即当QE⊥BD时，，又，BE=2t，代入得：，解得：．从相切开始，至点Q与点F重合，有2个交点，故t的取值范围是．（2013·连云港）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、的坐标分别为、．动点从点、动点从点同时出发，分别沿着方向、方向均以1个单位长度秒的速度匀速运动，运动时间为（秒．以为圆心，长为半径的与、的另一个交点分别为、，连接、．（1）求当为何值时，点与点重合？（2）设的面积为，试求与之间的函数关系式，并求的最大值；（3）若与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围．【分析】（1），，若点Q与点D重合，则，即，解得：．（2）当时，，，，当时，则，∴，综上，．当t=5时，S的最大值为15．（3）1个交点：在CQ与圆P相切及之前，在Q、D相遇之后，OQ=t，AC=2t，，，解得：，故当或时，圆P与线段QC只有1个交点．（2019·河北）如图1和2，中，，，．点为延长线上一点，过点作切于点，设．（1）如图1，为何值时，圆心落在上？若此时交于点，直接指出与的位置关系；（2）当时，如图2，与交于点，求的度数，并通过计算比较弦与劣弧长度的大小；（3）当与线段只有一个公共点时，直接写出的取值范围．

【分析】（1），∴，∴PC=12，PB=9，∴x的值为9时，点O落在AP上．此时PE⊥BC，∵PE⊥AD，AD∥BC，∴可得PE⊥BC．（2）过点C作CH⊥AP交AP于点H，设PH=x，则，∵，∴，∴，，∴AH=3+12=15，∴AH=CH，∴∠CAP=45°．过点O作ON⊥AP交AP于点N，则，易证△PNO∽△CHP，又PH=5，CH=12，∴CP=13，∴，代入得：，解得：，，∵，∴弦AP长度大于弧PQ长度．（3）．当BP=18时，圆O与DA相切，当BP>18时，圆O与AD边只有一个交点A．

【与多边形交点个数问题】（2018·镇江）如图1，平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的与对角线交于，两点．（1）如图2，当与边相切于点时，求的长；（2）不难发现，当与边相切时，与平行四边形的边有三个公共点，随着的变化，与平行四边形的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的的值的取值范围．【分析】（1）连接PF，则PF⊥CD，且PA=PF，设PA=x，则PF=x，PD=10-x，，解得：，∴AP的长为．（2）从圆P与CD边相切开始，有4个交点，直到圆P与BC边相切于点M，此时PM⊥BC，易求，∴．之后交点个数大于4，直到如下图，圆P过点D，则过点C，且与BC边有1交点，此时PA=PD=．综上所述，公共点个数为4时，或．

（2012·无锡）如图，菱形的边长为，．点从点出发，以的速度，沿向作匀速运动；与此同时，点也从点出发，以的速度，沿射线作匀速运动．当运动到点时，、都停止运动．设点运动的时间为．（1）当异于、时，请说明；（2）以为圆心、长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，为怎样的值时，与边分别有1个公共点和2个公共点？【分析】（1）由题意得：cm，cm，AB=2cm，cm，∴，∴△APQ∽△ACB，∴∠APQ=∠ACB，∴PQ∥BC．（2）当圆P与BC相切时，有1个公共点，AQ=t，PH=PQ=AQ=t，，，，∴s；当圆P过点B时，圆P与BC边有2个交点，此时△PBQ是等边三角形，点P为AC中点，∴cm，t=1s；当圆P过点C时，，解得：，∴，则；当点P与点C重合时，圆P与BC边有1个交点，此时t=2；当或或t=2时，圆P与BC边有1个交点；当时，圆P与BC有2个交点．

四、构造相切求最值【线段最值】（2011·河池）如图，在Rt△ABC中，是直角，，，是边上的动点，设，若能在边上找到一点，使，则的取值范围是．【分析】点Q满足∠BQP=90°，则以BP为直径作圆，与AC边交点即为点Q，存在这样的点Q即圆与AC有交点．求x的取值范围即分别确定BP的最大值和最小值．当圆与AC相切时，BP最小，圆心记为点O，连接OQ，则OQ=OB，由，得，∴，∴，，当点P与点C重合时，BP最大，最大值为4，故x的取值范围是．

【米勒问题-相切构造最大角】如图，在平面直角坐标系中，A（1，0）、B（5，0）直线l经过点C（-1，2），点P是直线l上的动点，若∠APB的最大值为45°，求直线l的解析式．【分析】考虑到直线l未知但∠APB的最大值已知为45°，故构造圆．记△ABP外接圆圆心为M点，则∠AMB=2∠APB=90°，故可确定M点位置．根据A（1，0）、B（5，0），不难求得M点坐标为（3，2），连接MC、MP，考虑到圆M与直线CP相切，故MP⊥CP，△CPM是直角三角形．∵MC=4，MP=MA=，∴，即△CPM是等腰直角三角形，易求P点坐标为（1，4），又C点坐标为（-1，2），可求直线l的解析式为y=x+3．专题18隐形圆及最值问题本文主要从以下四个方面去介绍：一、从圆的定义构造圆（折叠类问题）二、定边对直角三、定边对定角四、四点共圆一、从圆的定义构造圆（折叠类问题）圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．1、几个点到某个定点距离相等可用圆（定点为圆心，相等距离为半径）例：如图，若AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是_______例：如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为__________2、动点到定点距离保持不变的可用圆（先确定定点，定点为圆心，动点到定点的距离为半径）例：木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是．二、定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直角．构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．图形释义：例：若AB是一条定线段，且∠APB=90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（）A．1 B． C．2 D．例：如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（）A．π B．π C．π D．2π三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆．例：（2018•日照）如图，已知点，，在抛物线上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线上方的抛物线上求一点，使面积为1；（3）在轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点，使？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．四、四点共圆若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D在以AD中点E为圆心、EA长为半径的圆上（可证）．若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D在以AC中点E为圆心、EA为半径的圆上（可证）．若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆．证明条件：线段同侧张角相等．若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆．证明条件：1．四边形对角互补；2．四边形外角等于内对角．两条线段被一点分成（内分或外分）两段长的乘积相等，则这两条线段的四个端点共圆．四边形ABCD的对角线AC、BD交于H，若，则四点共圆.四边形ABCD的对边BA、C