2023年中考数学复习 规律探究压轴题真题训练（原卷版）

挑战2023年中考数学选择、填空压轴真题汇编

专题01规律探究压轴题真题训练

一.尾数特征（共1小题）

1.（2022•内蒙古）观察下列等式:7°=1,7'=7,72=49,73=343,74=2401,

75=16807,…，根据其中的规律可得70+7472+…+72。22的结果的个位数字是

（）

A.0B.1C.7D.8

二.算术平方根（共1小题）

2.（2022•烟台）如图，正方形ABCD边长为1,以AC为边作第2个正方形ACER,

再以C尸为边作第3个正方形FCGH,…，按照这样的规律作下去，第6个正

方形的边长为（）

C.(&)5D.(&)6

三.规律型：数字的变化类（共12小题）

3.（2022•西藏）按一定规律排列的一组数据：工，-3,1,-于崇-晋…•则

252

按此规律排列的第10个数是（）

A.-旦B.-2LC,-12

10110182

4.（2022•新疆）将全体正偶数排成一个三角形数阵:

按照以上排列的规律，第10行第5个数是（）

2

46

81012

14161820

2224262830

A.98B.100C.102D.104

5.（2022•云南）按一定规律排列的单项式：x,3r,5炉，7/,9好,,第

n个单项式是（）

A.（2〃-1）炉B.（2/?+1）x1'C.（a-1）炉D.（〃+1）x1'

6.（2021•十堰）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第

4行第3列的数为27,则位于第32行第13列的数是（）

A.2025B.2023C.2021D.2019

7.（2021•随州）根据图中数字的规律，若第八个图中的夕=143,则〃的值为

（）

8.（2020•娄底）下列各正方形中的四个数具有相同的规律，根据规律，x的值

9.（2022•鄂尔多斯）按一定规律排列的数据依次为2，1,J-,12……按此

251017

规律排列，则第30个数是.

10.（2022•泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：

若有序数对（小m）表示第〃行，从左到右第九个数，如（3,2）表示6,

则表示99的有序数对是

第1行1

第2行234

笫3行56789

第4行10111213141516

笫5行171819202122232425

11.（2021•荆门）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第

行第列.

1

23

456

78910

1112131415

12.（2020•德阳）将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2）,（4,6）,

（8,10,12）,（14,16,18,20）,…，我们称4是第2组第1个数字,

16是第4组第2个数字，若2020是第〃z组第〃个数字，则m+〃=.

13.（2020•泰安）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”.其规律是：从第

三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和.表

中两平行线之间的一列数：1,3,6,10,15,…，我们把第一个数记为0，

第二个数记为ai,第三个数记为。3,…，第〃个数记为an,则04+4200=.

14.(2022•安徽)观察以下等式：

第1个等式：(2X1+1)2=(2X2+1)2-(2X2)2,

第2个等式：(2X2+1)』(3X4+1)2-(3X4)2,

第3个等式:(2X3+1)2=(4X6+1)2-(4X6)2,

第4个等式：(2X4+1)2=(5X8+1)2-(5X8)2,

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第5个等式：；

（2）写出你猜想的第〃个等式（用含〃的式子表示），并证明.

四.规律型：图形的变化类（共10小题）

15.（2022•济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形.第一幅图4

个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……

按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（）

第一幅图第二幅图第三幅图第四幅图

A.297B.301C.303D.400

16.（2022•江西）将字母“C”，"H”按照如图所示的规律摆放，依次下去,

则第4个图形中字母“H”的个数是（）

HHHHHH

—

III——-

―

CH

-C-C-HH-C-cC

—

——

—

II—一H

HH

HHHH

①②③

A.9B.10C.11D.12

17.（2022•重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1

个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规

律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）

A.15B.13C.11D.9

18.（2021•玉林）观察下列树枝分叉的规律图，若第〃个图树枝数用匕表示,

则的-丫4=（）

第1个图匕=1第2个图巧=3第3个图47第4个图匕=15

A.15X24B.31X24C.33X24D.63X24

19.（2020•十堰）根据图中数字的规律，若第〃个图中出现数字396,则〃=（）

A.17B.18C.19D.20

20.（2022•青海）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第〃

个图中共有木料根.

第1个第2个第3个第4个

21.（2022•聊城）如图，线段43=2,以为直径画半圆，圆心为4,以

为直径画半圆①；取的中点A2,以A/2为直径画半圆②；取43的中点

小，以AM3为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出

的8个小半圆的弧长之和为.

22.（2022•绥化）如图，ZAOB=60°，点Pi在射线04上，且OPi=l,过点

Pi作PiKi.LOA交射线OB于Ki,在射线OA上截取P1P2,使PR=PiKi；

过点尸2作P2K2IOA交射线OB于K2,在射线OA上截取P2P3,使P2P3=P2K2…

按照此规律，线段P2023K2023的长为

23.（2022•黑龙江）如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个

图形中所有正三角形的个数有.

24.（2021•黑龙江）如图，正方形AoBoGoAi的边长为1,正方形Ai8GA2的边

长为2,正方形A232c2A3的边长为4,正方形A333c3A4的边长为8…依次规律

继续作正方形且点Ao,Ai,A2,A3,…，4+1在同一条直线上,

连接AoCi交，AiBi于点Di,连接AiCi,交A2B2于点©2,连接A2C3,交A3B3

于点…记四边形AoBoCoDi的面积为Si,四边形AiBiCiDi的面积为S2,

四边形A2B2C2D3的面积为S3,…，四边形An-iBn-\Cn-\Dn的面积为Sn＞则§2021

五.完全平方公式(共2小题)

25.(2020•贺州)我国宋代数学家杨辉发现了(a+b)〃(〃=0,1,2,3,…)

展开式系数的规律:

1展开式系数和为1

(a-b)1=a-b11展开式系数和为14-1

(a-b)2=o2-%。一核121展开式系数和为1+2+1

3-0)3=APTWA3出一方1331展开式系数和为14-34-3+1

(a-b)'=#Ta^Ya^Ta^一"14641展开式系数和为1+4+6+4+1

以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律,(〃+〃)8展开式的系数

和是()

A.64B.128C.256D.612

26.(2019•烟台)南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+b)

“为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表

称为“杨辉三角”

(“+/?)°=1

(«+/?)i=a+b

(a+Z?)2=a2+2ab+b2

(a+Z?)i=c^+3a2b+3ab1+bi

(“+/?)4=a4+4a3b+6a2b2+Aab3+b4

54325

Ca+b)5=a+5ab+10ab+1Oc^b^ab^+b

则(a+匕)9展开式中所有项的系数和是()

1

11

121

1331

14641

15101051

A.128B.256C.512D.1024

六.点的坐标（共1小题）

27.（2004•南宁）如图，一个机器人从。点出发，向正东方向走3米到达4

点，再向正北方向走6米到达4点，再向正西方向走9米到达加点，再向正

南方向走12米到达A4点，再向正东方向走15米到达4点、按如此规律走下

去，当机器人走到A6点时，离。点的距离是米.

北

七.规律型：点的坐标（共9小题）

28.（2019•日照）如图，在单位为1的方格纸上，△AIAM3,Z\A34A5,4A5A朗7,…，

都是斜边在龙轴上，斜边长分别为2,4,6,…的等腰直角三角形，若△AiA滔3

的顶点坐标分别为4（2,0）,A2（1,1）,A?（0,0）,则依图中所示规

律，A2019的坐标为（）

A.(-1008,0)B.(-1006,0)C.(2,-504)D.(1,505)

29.(2014•威海)如图，在平面直角坐标系xOy中，RtAOAiCi,RtZ^OA2c2,

RtZ\OA3c3,RtaOA4c4…的斜边都在坐标轴上，NAIOC=NA2OC2=NA3OC3

=ZA4OC4=-=30°.若点4的坐标为(3,0),OA\=OCi,0A2=。。3,

043=00”，则依此规律，点42014的纵坐标为()

A.0B.-3X（3M）2013

2

C.（2北）2014D.3X（2叵）2013

3

30.（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点Ai,A2,A3,4…在x轴

上且04=1,042=204,OA3=2OAI,04=204…按此规律，过点Ai,

A2,A3,4…作X轴的垂线分别与直线y=Mx交于点BI,&,B3,&…记△

OAiBt,AOA2B2,△OA3&,△04应…的面积分别为Si,S2,S3,S4…则S2022

31.（2022•齐齐哈尔）如图，直线/：了=叵+我与x轴相交于点A,与y轴

3

相交于点B,过点3作交x轴于点G,过点G作8G_Lx轴交/于点

过点B1作B1C2±/交x轴于点Q,过点C2作B2c2工x轴交I于点§2,…，

按照如此规律操作下去，则点&022的纵坐标是.

32.（2021•齐齐哈尔）如图，抛物线的解析式为y=f,点Ai的坐标为（1,1）,

连接04;过4作分别交y轴、抛物线于点Pi、Bi；过为作

B!A2±AIBI,分别交y轴、抛物线于点尸2、A2；过上作上及,⑤4，分别交

y轴、抛物线于点八、&；…；按照如此规律进行下去，则点P“（〃为正整数）

在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴

正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角

形.第一次滚动后点4（0,2）变换到点上（6,0）,得到等腰直角三角形

②；第二次滚动后点A2变换到点心（6,0）,得到等腰直角三角形③；第三

次滚动后点A3变换到点4（10,4近）,得到等腰直角三角形④；第四次滚

动后点4变换到点A5（10+12&,0）,得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，

则第2020个等腰直角三角形的面积是.

34.（2019•绥化）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三

角形，按如图中的规律摆放.点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速

度沿着等边三角形的边“QAi-AiA2-A2A3fA3A4-A4A5i”的路线运动，设

第〃秒运动到点P”（〃为正整数），则点P20I9的坐标是

35.（2019•广安）如图，在平面直角坐标系中，点Ai的坐标为（1,0）,以

为直角边作RtAOAiA2,并使N4Q42=60°,再以为直角边作Rt

△OA2A3,并使NA2O43=60°，再以为直角边作口△0434,并使/小。4

=60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为

36.（2018•资阳）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA4的直角

边。4在x轴上，点4在第一象限，且04=1,以点4为直角顶点，04为

一直角边作等腰直角三角形Q4A2,再以点A2为直角顶点，。4为直角边作

等腰直角三角形。4必3…依此规律，则点A20I8的坐标是.

37.（2008•湛江）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（小m）

表示第〃排，从左到右第机个数，如（4,2）表示实数9,则表示实数17的

有序实数对是.

1.......第一排

32....第二排

456―第三排

109S7■第四排

九.一次函数图象上点的坐标特征（共5小题）

38.（2021•兴安盟）如图，点B在直线/：y=2x上，点8的横坐标为1,过

2

点S作5轴，垂足为4,以为边向右作正方形延长

A2cl交直线l于点及；以AiBi为边向右作正方形A282cM3,延长A3c2交直

线/于点心；…；按照这个规律进行下去，点及021的坐标为

39.（2021•泰安）如图，点B在直线/：上，点B的横坐标为2,过点

2

B作3i4_U,交x轴于点4,以481为边，向右作正方形48及。，延长

&G交x轴于点4；以4员为边，向右作正方形A28283c2,延长83c2交九

轴于点A3；以43以为边，向右作正方形A3B3B4C3,延长84c3交X轴于点A4；…；

照这个规律进行下去，则第n个正方形AnBnB„^n的边长为（结果

用含正整数〃的代数式表示）.

40.（2019•朝阳）如图，直线y=*;+l与x轴交于点M,与y轴交于点A,过

点A作ABLAM,交x轴于点B,以AB为边在AB的右侧作正方形ABCA\,

延长AiC交x轴于点Bi,以AiBi为边在AiBi的右侧作正方形43ICIA2…按

照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个

小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABC4,

A8IC42,…,一14中的阴影部分的面积分别为Si,S2,…，S,

则S”可表示为.

41.（2019•齐齐哈尔）如图，直线/：y=冬什1分别交龙轴、y轴于点A和点

Ai,过点Ai作AiBL,交左轴于点Bi,过点Bi作BIA2_LX轴，交直线/于

点4；过点4作A2B2-LI,交x轴于点&,过点及作&A3_LX轴，交直线I

于点A3,依此规律…，若图中阴影△403的面积为S,阴影△481&的面

积为S2,阴影△A3&B3的面积为S3…，则8=.

42.（2018•湖北）如图，在平面直角坐标系中,△PiOAi,△PM/2,342A3,…

都是等腰直角三角形，其直角顶点Pi（3,3）,Pi,P3,…均在直线

3

x+4上.设△PiOAi,AP2A1A2,AP3A2A3,…的面积分别为S,S2,S3,…，

依据图形所反映的规律，52018=.

一十.两条直线相交或平行问题（共1小题）

43.（2019•雅安）如图，在平面直角坐标系中，直线qy=1+l与直线/2：

3

y=Mx交于点4,过4作x轴的垂线，垂足为过B作/2的平行线交公

于A2,过4作X轴的垂线，垂足为史,过史作/2的平行线交/1于As,过A3

作x轴的垂线，垂足为83…按此规律，则点A"的纵坐标为（）

C.(2)nl+lD.

2222~2~

一十一.三角形的面积（共3小题）

44.（2021•黑龙江）如图，菱形A3CO中，ZABC=120°,48=1,延长CO

至Ai,使D4i=CO,以AC为一边，在的延长线上作菱形ACGD1,连

接AAi,得到△AD4i；再延长GOi至A2,使。加=。。，以A2c为一边,

在CCi的延长线上作菱形A2C1C2D2,连接A1A2,得到△AQ1A2…按此规律,

得到△A2O2O£>2O2（）A2O21,记△AD4I的面积为5i,AA1D1A2的面积为S2…，△

A2020£>2020A2021的面积为§2021,则52021=.

45.（2020•辽宁）如图，NMON=45°,正方形AB8C,正方形A13&G,正

方形A28283c2,正方形A3B3B4C3,…，的顶点A,Ai,A2,A3,…，在射线

0M上，顶点8,Bi,Bi,83,&,…，在射线ON上，连接Aa交A出于点

D,连接4以交A282于点。I,连接A必交A3&于点。2,…，连接BiOi交

A历于点E,连接3202交Ai&于点田，…，按照这个规律进行下去，设△ACD

与的面积之和为S,AAiCiDi与ABzDiEi的面积之和为S2,AA2C2D2

与的面积之和为S3,…，若AB=2,则S”等于.（用含有

正整数〃的式子表示）

46.（2020•丹东）如图，在矩形OAA\B中，QA=3,AA\=2,连接OA\,以

OA\为边，作矩形OAi/hBi使AIA2=204,连接OM交A\B于点C；以0\1

3

为边，作矩形OA2A3B2,使A2A3=2。42,连接0A3交4由于点Ci；以。小

3

为边，作矩形OA3A4&,使A3A4=2。43,连接04交A3及于点Q；…按照

3

这个规律进行下去，则2019c202（凶2（）22的面积为.

十二.等边三角形的性质（共1小题）

47.（2019•锦州）如图，边长为4的等边△ABC,AC边在x轴上，点8在），轴

的正半轴上，以OB为边作等边△084,边04与A3交于点。，以0山为

边作等边△0842,边092与43交于点02,以ChB为边作等边△。2胡3,

边02A3与A23交于点。，…，依此规律继续作等边△O-IBA”，记△OOiA

的面积为Si,△O1OM1的面积为S2,△O2O3A2的面积为S3,…，

」的面积为S”，则&=.（〃22,且〃为整数）

十三.含30度角的直角三角形（共2小题）

48.（2020•营口）如图，NMON=60°,点Ai在射线ON上，且。41=1,过

点4作ABLON交射线OM于点在射线ON上截取A1A2,使得44

=AiBi；过点A2作A2B2LON交射线OM于点Bi,在射线ON上截取A2A3,

使得AM3=A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为

49.（2020•徐州）如图，NMON=30°,在OM上截取。4=愿.过点Ai作

A\B\LOM,交ON于点B\,以点B\为圆心，B\O为半径画弧，交于点

A2；过点A2作A2a_LOM,交ON于点&,以点治为圆心，历。为半径画弧，

交于点A3；按此规律，所得线段A20&0的长等于.

十四.勾股定理（共1小题）

50.（2020•烟台）如图，△04A2为等腰直角三角形，。4=1,以斜边。线为

直角边作等腰直角三角形。4以3,再以043为直角边作等腰直角三角形

。小4,…，按此规律作下去，则。4的长度为（）

十五.正方形的性质（共1小题）

51.（2019•鞍山）如图，正方形AoBoCoAi的边长为1