2024年抛物线高二数学寒假练习

第05讲抛物线

知识点抛物线的定义

1

平面内与一个定点F和一条定直向轨迹叫做抛物线.点歹叫做抛物线

的焦点，直线/叫做抛物线的准线.

注：①在抛物线定义中，若去掉条件"/不经过点F"，点的轨迹还是抛物线吗？

不一定是，若点F在直线/上，点的轨迹是过点歹且垂直于直线，的直线.

②定义的实质可归纳为“一动三定”

一个动点Af；一个定点/（抛物线的焦点）；一条定直线（抛物线的准线）；一个定值（点M到点尸的距离

与它到定直线/的距离之比等于1）.

知识点2抛物线的标准方程和几何性质

焦点在X轴上时，方程的右端为±2px,左端为V；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py,左端为V.

p的几何意义：焦点/到准线/的距离.

标准方程y2=2px(p>0)y2=~2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=—2py(p>0)

工声

图形

顶点0(0,0)

对称轴X轴y轴

照,

焦点o)X-2-o)Jo,2)-2)

离心率e=l

准线方程22g2

x=-2x=212

范围x>0,y£Rx<0,y£R^>0,%£Ry<0,%£R

开口方向向右向左向上向下

焦半径（其中

2222

|PF|=%+2\PF\=-x+2\PF\=yo+2|Pfl=-yo+2

尸（XO,JO））0Q

知识点3直线与抛物线的位置关系

设直线hy^kx+m,抛物线：y=2/。＞0）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程m（：2+2优,"

—p）x+m2=0.

（1）若《W0,当/>0时,直线与抛物线相交，有两个交点；

当/=0时,直线与抛物线相切，有一个交点；

当/<0时,直线与抛物线相离，没有公共点.

⑵若左=0,直线与抛物线有二仝交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.

注：（1）直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.

⑵研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况.

知识点4弦长问题

过抛物线产=2卬0>0）的焦点的直线交抛物线于A（xi,ji）,5（X2,山）两点，那么线段45叫做焦点弦,

如图：设45是过抛物线产=2内g>0）焦点F的弦，若4（小力），B（x2,力），则|43|=a1型土£.

注：⑴对必=：

（2）J1-J2=-p2.

⑶|4初=修+*2+0=羔（a是直线A8的倾斜角）.

（明苏1j+品1V2为定值（尸是抛物线的焦点）•

（5）求弦长问题的方法

2

①一般弦长：|AB|=^1+*|XI-X2|,或|45|=弋1+*1—%|.

②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A（xi,ji）,B（X2,J2）,则|A5|=xi+x2+p.

考【考点剖析】呈

（一）求抛物线的标准方程

L（2023春•北京海淀•高二校考阶段练习）抛物线的焦点在x轴正半轴上，且准线与焦点轴间的距离为3,

则此抛物线的标准方程为（）

A.y2=6xB.y2=3xC.x2=6yD.x2=3y

【答案】A

【分析】利用抛物线的性质，求出P，然后求得抛物线方程即可.

【详解】解：焦点在无轴正半轴上的抛物线标准方程为y2=2px（p>0）,

又准线与焦点轴间的距离为3,可得。=3,所以抛物线的标准方程为丁=6x.

故选：A.

2.（2023春・辽宁本溪•高二校考阶段练习）以坐标轴为对称轴，焦点在直线4x-5y+10=0上的抛物线的标

准方程为()

A.尤2=10y或y2=-8xB.尤2=_]0、或

C.>2=10x或X?=-8yD./=-10x或炉=8y

【答案】D

【分析】直线4x-5y+10=0与坐标轴的交点即为焦点，根据焦点可求出乙可得答案.

【详解】直线以-5必10=0与坐标轴的交点为,年0卜0,2）,

当抛物线的焦点为卜|,0）时，其标准方程为v=-10x；

当抛物线的焦点为（0,2）时，其标准方程为V=8%

故选：D.

3.（2023秋•上海黄浦•高二上海市向明中学校考期末）过点（1,-2）,且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是

A.y2=4xB.y2=-4xC.x2=D.x2=^y

【答案】C

【分析】设抛物线方程为/=冲，代入点的坐标，即可求出加的值，即可得解;

【详解】解：依题意设抛物线方程为/=冲，因为抛物线过点

所以F=mx（—2）,解得加=一,所以抛物线方程为尤2=一（%

故选：C

（二）抛物线的几何性质的应用

4.（2023・全国•高二假期作业）抛物线y=6Y的准线方程为（）

11

A.y=---B.y=----

2412

C.y=—6D.y=-3

【答案】A

【分析】先把抛物线化成标准方程，求出P,即可得到准线方程.

【详解】抛物线y=6/的标准方程为：x2=^y,令得。=」，于是该抛物线的准线为:

o612

故选：A

5.(2023春•山东临沂•高二临沂第四中学校考阶段练习)若抛物线丁=2川的焦点与双曲线尤2-寸=1的右

焦点重合，则。=()

A.2B.4C.20D.0

【答案】C

【分析】先求出双曲线V-^=1的右焦点，此焦点是抛物线V=2px的焦点，求出p.

【详解】在双曲线尤2-9=1中，/=1+1=2,所以右焦点耳(3,。)，

F?是抛物线V=2.的焦点，.•.勺"p=2也.

故选：C

6.(2023春•黑龙江哈尔滨,高二哈九中校考阶段练习)已知圆C:(x-1)2+/=1与抛物线y=2px\p>0)的

准线相切，则。=()

11

A.—B.-C.8D.2

84

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再利用点到直线距离公式求解作答.

【详解】圆C:(x-l)2+y2=i的圆心C(l,0),半径1,抛物线的准线为、=-；，

2p8P

依题意，4=1,解得。=:，

8P8

所以。=]

O

故选：A

7.(2023•全国•高二假期作业)已知抛物线C：x=©2(ax0),则抛物线C的焦点坐标为()

A・卜•]±£°)c.(O,4a)D.(0,±甸

【答案】A

【分析】将抛物线方程化为标准方程，判断焦点的位置，求出p,即可得焦点坐标.

【详解】已知x=⑷?2(aw0),则标准方程为>2=焦点在x轴上，

a

所以

a2a

所以焦点坐标为(5,oj,

故选：A.

8.（2023春•江苏泰州•高二统考期中）若抛物线y=上一点亿2）到其焦点的距离等于4,则（）

A.m=—B.m=—C.m=4D.m=8

48

【答案】B

【分析】由抛物线的定义求解即可

【详解】因为抛物线、=皿2的标准方程为一='y,其准线方程为y=

m4m

由于抛物线上一点&2）到其焦点的距离等于4,

由抛物线的定义可得，2+3=4,解得“=

4m8

故选：B

9.（2023秋,湖北咸宁•高二统考期末）已知。是坐标原点，尸是抛物线C：y2=2pr（p>0）的焦点，P5,4）

是C上一点，且户同=4,贝打尸。尸的面积为（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】C

【分析】根据条件求出夕的值，然后可算出答案.

Xr.+=4f尤。=21

【详解】由题可知°2,解得“，所以，POF的面积为:7X2x4=4,

[16=2px。1。=42

故选：C

考点二抛物线定义的应用

（一）利用抛物线的定义求距离或点的坐标

10.（2023秋•新疆乌鲁木齐•高二乌市八中校考期末）抛物线丁=6尤上一点”（冷X）到其焦点的距离为3,

则点M到坐标原点的距离为（）

A.3屈.2A.gD.2

【答案】A

【分析】由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，再由”（和乂）到其焦点的距离求得M横坐标，进一步求

得M纵坐标，则答案可求.

【详解】由题意知，焦点坐标为0）,准线方程为尤=-3，

3Q

由%）到焦点距离等于到准线距离，得玉+]=/贝也=3,

二.片=18,可得#+丁=3®,

故选：A.

11.（2023・高二单元测试）已知曲线。上任意一点尸到定点尸（2,0）的距离比点尸到直线1=-3的距离小1,

M,N是曲线C上不同的两点，^\MF\+\NF\=10,则线段MN的中点。到y轴的距离为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】根据抛物线的定义求出曲线C的方程，再根据抛物线的性质计算可得；

【详解】解：依题意曲线C上任意一点P到定点尸（2,0）的距离和点尸到直线x=-2的距离相等，

由抛物线的定义可知：曲线C是以歹（2,0）为焦点，》=-2为准线的抛物线，

所以曲线C的方程为丁=8x.分别设点M、N、。到准线x=-2的距离分别为4，d2,d,

则1=4箸=।凹*同=§,所以中点。到y轴的距离为3,

故选：A.

12.（2023•高二课时练习）若尸（知儿）是抛物线V=_32x上一点，/为抛物线的焦点，则户口卜（）.

A.X0+8B.%―8C.8—x0D.%+16

【答案】C

【分析】根据抛物线定义，得到1PH等于点物%，%）到准线的距离,BP|PF|=|PM|,即可求解.

【详解】由抛物线y=-32x,可得其焦点在x轴上，且p=8,准线方程为x=8,

因为点是抛物线丁=-32x上一点，尸为抛物线的焦点，

根据抛物线定义，可得归同等于点P®,%）到准线的距离，即|P耳=|尸照，

如图所示，所以|尸产|=8-%.

故选：C

13.（2023•高二课时练习）已知抛物线C：y=2彳的焦点为凡A（%,%）是C上一点，|AF|=|X0,贝|尤。=

（）

A.IB.2C.4D.5

【答案】B

【分析】先求出抛物线的准线方程，进而将点到焦点的距离转化为到准线的距离即可求得答案.

【详解】由抛物线c：y2=2x可得。=1,则准线方程为X=-；,于是恒尸|=/+_|=毛+；=：%,解得演=2.

故选：B.

14.（2023秋•新疆喀什•高二新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考期中）己知4（4,-2）,尸为抛物线9=8尤的

焦点，点M在抛物线上移动，当+刊取最小值时，点M的坐标为（）

A.（0,0）B.（1,—2V^）C.（2,—2）D.2^

【答案】D

【分析】过M点作准线/的垂线，垂足为E,由抛物线定义，知当/在抛物线上移动时，当

A,M,E三点共线时，|ME|+|M4|最小，由此即可求出结果.

【详解】如图所示，过M点作准线/的垂线，垂足为E,由抛物线定义，知

当M在抛物线上移动时，+的值在变化，显然加移动到时，A,M,E三点共线，|ME|+|MA|最小，

止匕时W//OX,把y=-2代入y2=8x,得尤=g,

所以当\MA\+四6取最小值时，点M的坐标为，，一2）.

故选：D.

15.（2023春•湖北武汉•高二华中师大一附中阶段练习）已知抛物线（7:产=2°匹（0>0）的焦点为死点〃在

抛物线C的准线/上，线段与y轴交于点A,与抛物线C交于点8,若|MA|=3|A3|=3,则。=（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由题知点A为M5的中点，结合已知得|MF|=6,|3F|=2,|BM|=4,过点8作8。，/,由抛物线的

定义即可求解.

【详解】设/与x轴的交点为H，由。为F”中点，知点4为陆的中点，

因为|M4|=3|AB|=3,所以|MP|=6,|3P|=2,|BM|=4.

过点2作2。，/,垂足为。，则由抛物线的定义可知18。1=1B尸|=2,

所以13Ml=2|3Q|,贝IJ|MF|=2|E?/|=6,所以p=|切|=3.

故选：c

16.（2023春•福建•高二福建师大附中校考期末）如图，过抛物线y2=2px（p>0）的焦点/的直线/交抛物

Be

线于点A,B,交其准线于点C,准线与对称轴交于点M,若笆=3,且|A司=3,则p为（）

Dr

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【分析】分别过点A、8作准线的垂线，垂足分别为点E、D,设忸耳=即根据抛物线的定义以及图象可

sinZBCD=sinZACE=sinZFCM,结合已知条件求得a，P,即可.

【详解】如图，分别过点A、B作准线的垂线，垂足分别为点E、D,

设忸同=乐则由己知得但C|=3a,由抛物线的定义得忸

故sinZ.BCD==—=—,

BC3a3

在直角三角形ACE中，|AF|=3,|AC|=3+4o,

Ap31

又因为sinNBC。=sinNACE1=——=-------=—,

AC3+4Q3

3

则3+4〃=9,从而得。=5,

又因为sin/BCD=sinNFOW="=二=£=!,

FC4a63

所以。=2.

故选：B.

（二）与抛物线定义有关的最大（小）值问题

17.（2023•高二单元测试）已知圆C经过点P（l,0）,且与直线％=-1相切，则其圆心到直线无7+3=0距离

的最小值为（）

A.3B.2C.5/3D.5/2

【答案】D

【分析】利用已知可推出圆心C的轨迹为抛物线，利用抛物线的几何性质求解即可.

【详解】解：依题意，设圆C的圆心C（x,y）,动点C到点尸的距离等于到直线尸-1的距离，

根据抛物线的定义可得圆心C的轨迹方程为V=4x,

设圆心C到直线X-y+3=0距离为d,d=|x-y+3|=4y7+3=卜。分+女=卜同加,

"叵一五-4VI-4A/2

当y=2时，d.=应,

故选：D.

18.（2023春•四川泸州•高二四川省泸县第一中学校考期末）已知抛物线C：y2=T2x的焦点为尸，抛物线

C上有一动点尸，Q（＜2）,则|P川+|尸@的最小值为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】抛物线的准线/的方程为x=3,过尸作PM_L/于"，根据抛物线的定义可知1PH=|尸”|,则当

Q,P,M三点共线时，可求1PMl+俨。|得最小值，答案可得.

【详解】解：抛物线C：产=-12》的焦点为尸（-3,0）,准线/的方程为x=3,

如图，过户作PMJU于〃，

由抛物线的定义可知|尸石=归叫，所以|尸口+|尸。|=户陷+|尸。|

则当Q,P,M三点共线时，|尸”|+「0最小为3-（T）=7.

所以|PF|+|PQ|的最小值为7.

故选：C.

19.（2023秋•江西赣州•高二校联考期中）已知抛物线V=16x的焦点为死尸点在抛物线上，。点在圆

C:（%-6）2+（y-2）2=4±,则|尸。+|尸盟的最小值为O

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小

距离.

【详解】如图，过点P向准线作垂线，垂足为A,则户目=|PA|,

当CP垂直于抛物线的准线时，他+陷最小，

此时线段CP与圆C的交点为Q,因为准线方程为工=^,C（6,2）,

半径为2,所以|尸。|+|尸耳的最小值为的0=|CA|-2=lO-2=8.

故选：C

20.（2023春•黑龙江哈尔滨・高二哈尔滨三中校考期中）设点尸是抛物线G：炉=分上的动点，点M是圆C?：

0-5）2+（＞+4）2=4上的动点/是点尸到直线产-2的距离，则d+\PM\的最小值是（）

A.50-2B.572-IC.50D.572+1

【答案】B

【分析】根据题意画出图像，将d转化为抛物线上点到准线的距离再加1,也即是抛物线上点到焦点的距离加

1,若求d+l尸河|的最小值，转化为抛物线上点到焦点距离和到圆上点的距离再加1即可,根据三角形两边之和

大于第三边,即当凡6，MC共线时,d+|PM|取最小值为1+忻。2|-乙算出结果即可.

【详解】解:由题知圆C?：（尤-5尸+。+铲=4,

F（0,l）为抛物线焦点,y=-l为抛物线准线，

则过点尸向y=-i作垂线垂足为如图所示：

则d=l+|PD|,

根据抛物线定义可知1Pq=归同，

:.d=l+\PF\,

:.d+\PM\=l+\PF\+\PM\,

若求d+|PM|的最小值，只需求归川+|〃田的最小值即可，

连接尸G与抛物线交于点P,，与圆交于点Mx，如图所示，

此时|PF|+|PM|最小为代。21-L

（rf+l™IL=1+KI-^

F（0,l）,C2（5,-4）,.-.|FC2|=55/2,

•••（〃+忸叫）皿=1+忻。2|-『=5近一L

故选:B

21.（2023春・北京•高二人大附中校考期末）已知直线4：4x-3y+6=0和直线/2：X=T,则抛物线/=以上

一动点尸到直线4和直线12的距离之和的最小值是（）

【答案】c

【分析】由尸-1是抛物线y2=4x的准线，推导出点尸到直线4：4x-3y+6=0的距离和到直线/z：x=T的

距离之和的最小值即为点尸到直线4：4x-3y+6=0的距离和点尸到焦点的距离之和，利用几何法求最值.

【详解】.x=T是抛物线V=4x的准线，到尸-1的距离等于归同.

过户作尸。□于Q,则尸到直线乙和直线4的距离之和为归尸|+|尸。|

抛物线＞2=©的焦点尸（1,0）

过/作于。「和抛物线的交点就是片，

回山?|+由2闫尸尸|+怛。（当且仅当GP、。三点共线时等号成立）

点尸到直线4：4x-3y+6=0的距离和到直线l2：x=-1的距离之和的最小值就是尸（1,0）到直线

4%—3y+6=。星巨离,

|4-0+6|

最小值|F0==2.

J16+9

故选：C.

考点三抛物线的轨迹问题

22.（2023・高二课时练习）已知点Af（2,2）,直线/:x-y-l=0,若动点尸至心的距离等于忸网，则点P的轨

迹是（）

A.椭圆B.双曲线

C.抛物线D.直线

【答案】C

【分析】由抛物线的定义求解即可.

【详解】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点尸的轨迹

是抛物线.

故选：C

23.（2023春•四川成都・高二成某校考阶段练习）已知圆。:/+,2=1,点4（%,0）,（%20）,

动圆又经过

点A且与圆。相切，记动圆圆心M的轨迹为E,有下列几个命题：

①毛=0,则轨迹E表示圆，②则轨迹E表示椭圆，③%=1,则轨迹E表示抛物线，④x°>l,

则轨迹E表示双曲线，其中，真命题的个数为()

A.IB.2C.3D.4

【答案】C

【分析】设动圆M圆心M(x,y),半径为「，根据圆与圆内切和外切两种情况，结合圆，抛物线，椭圆和双

曲线的定义，依次判断每个选项得到答案.

【详解】设动圆M圆心半径为，

当x0=0时，动圆M与圆。内切，故=l-即|〃0|=1—眼0|,=轨迹为圆，①正确；

当0<%<1时，动圆M与圆。内切，故r,gp|M(9|+|M4j=l>|AO|,故轨迹为椭圆，②正确；

当％=1时，动圆M与圆0内切时，=1—厂，|“0|+|加4|=1=|40],轨迹为线段。4；动圆M与圆0外

切时，|MO|=l+r,幽=1=|AO|,轨迹为射线，③错误；

当天>1时，动圆M与圆。外切，|MO|=l+r,BP|W|-|AM|=1<|AO|,故轨迹为双曲线，④正确.

故选：C

24.(2023秋•福建福州•高二统考期中)在平面直角坐标系尤Oy中，动点尸(x,y)到直线x=l的距离比它到定

点(-2,0)的距离小1,则尸的轨迹方程为()

A.y2=2xB.y'=4x

C.y=—4xD.y2=-8x

【答案】D

【分析】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可.

【详解】由题意知动点尸(x,y)到直线X=2的距离与定点(-2,0)的距离相等，

由抛物线的定义知，尸的轨迹是以(-2,0)为焦点，x=2为准线的抛物线，

所以P=4,轨迹方程为V=_8x,

故选：D

25.(2023春•广东江门•高二新会陈经纶中学校考阶段练习)已知点尸(1,0),过直线x=-l上一动点P作与y

轴垂直的直线，与线段的中垂线交于点。则。点的轨迹方程为()

A.x2+^y2=1B.炉一丁2=]仁-y2-2%D.y2=4x

【答案】D

【分析】根据中垂线性质得到|Q耳=|8|,结合抛物线的定义判断出。点的轨迹是抛物线，由此求解出轨迹

方程.

【详解】设。(龙,打，因为PF的中垂线经过点。，所以|。耳=|。尸|,

又因为尸。，>轴，所以|。升表示。到直线尸-1的距离，

且|。石表示Q点到F点的距离，F点不在直线x=-1上，

由抛物线的定义可知：。点的轨迹是以尸为焦点，以直线产-1为准线的抛物线，

设轨迹方程为y2=2px(p>0),所以勺1,所以P=2,

所以轨迹方程为y2=4x.

故选：D.

26.(2023秋•山东青岛•高二青岛二中校考阶段练习)已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C：x2+(y+3)2=1

外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()

A.无2=—12yB.x2=12yC.y2=12xD.y2=—12x

【答案】A

【分析】根据动圆M与直线y=2相切，且与定圆C：/+(y+3)2=l外切，可得动点M到C(0,一3)的距离

与到直线"3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程.

【详解】设动圆圆心为M(x,y),半径为厂，由题意可得M到C(0,—3)的距离与到直线y=3的距离相等，

由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，

所以点=3,2〃=12,其方程为尤2=T2y.,

故选：A

27.(2023・高二课时练习)若动点”(x,y)满足5j(x_l『+(y-=|3x-4y+12],则点M的轨迹是()

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【答案】D

【分析】根据题意，化简得至[小_])2+(1『」3/一；+12],结合抛物线的定义，即可求解.

【详解】由题意，动点M(x,y)满足5j(x-l『+(y_2)2=|3x-4y+12],

即7(x-l)2(y-2)2=，

+段-=2

即动点M(x,y)到定点(1,2)的距离等于动点M(x,y)到定直线3x-4y+12=0的距离，

又由点(1,2)不在直线3x-4y+12=0上，

根据抛物线的定义，可得动点M的轨迹为以(L2)为焦点，以3x-4y+12=。的抛物线.

故选：D.

考点四直线与抛物线的位置关系

(一)直线与抛物线位置关系的判断及应用

28.(2023春•上海浦东新•高二上海市建平中学校考阶段练习)过定点P(0,l)且与抛物线/=8x有且仅有一

个公共点的直线有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】C

【分析】根据题意，考虑直线斜率不存在和存在两种情况，由直线与抛物线位置关系，联立直线与抛物线

方程求解，即可得出结果.

【详解】当斜率不存在时，直线方程为x=0,只有一个公共点，符合题意；

当斜率存在时，设为七则直线方程为>=履+1,

联立《「，得％2/+(2左一8)x+l=0,

[y=8x

①当左=0时，直线方程为>=1,只有一个公共点，符合题意；

②当ZwO时，令A=(2左--4/=0,解得上=2,即直线与抛物线有一个公共点.

所以满足题意的直线有3条.

故选：C

29.(2023•高二课时练习)直线y=1)+2与抛物线x?=4y的位置关系为()

A.相交B.相切C.相离D.不能确定

【答案】A

【分析】直线y=Mx-1)+2过定点(L2),在抛物线-=4y内部，即可得出结论.

【详解】直线y=Mx-1)+2过定点(1,2),

Ell2<4x2,

团(1,2)在抛物线/=4y内部,

回直线y=MxT)+2与抛物线尤2=4y相交,

故选：A.

30.(2023春•江苏连云港•高二期末)已知直线/过点(1,2)且与抛物线＞2=以只有一个公共点，则直线/的

方程是()

A.y=2B.尤-y+l=0

C.x=lD.y=2或x-y+l=0

【答案】D

【分析】先判断点(1,2)在抛物线上，再分直线的斜率不存在，直线的斜率为0和直线的斜率存在且不为0,

三种情况讨论求解即可.

【详解】将点(L2)的坐标代入抛物线方程得22=4x1，即该点在抛物线上.

①若直线的斜率不存在，直线/的方程为/:x=l,当直线/与抛物线有两个交点，不合题意；

②若直线的斜率为0,则直线/：＞=2平行于x轴，则满足题意；

③若直线的斜率存在且不为0,设=(左二0),

[y-2=k{x-V)

联立方程组2,，

[y=4x

将尤==二+1代入上以化简得丁_打+告_4=0,

kkkk

AO

贝!JA=(—)2—4(4)=0=＞左=1,

kk

止匕时/：y-2=x-l^x-y-^-l=0.

综上，直线/的方程为＞=2或％—y+l=。.

故选：D.

31.(2023春・江苏南京•高二校联考阶段练习)过抛物线％2=4y的焦点尸作直线交抛物线于A3两点，且点

A在第一象限，则当A尸=2FB时，直线的斜率为()

A.—B.±—C.272D.±272

44

【答案】A

【分析】首先设直线AB,把直线与抛物线联立，结合AF=2FB，找到石+%与中?关系式，计算即可得到斜率.

【详解】由题意知尸(0,1),设直线科：y=履+1,4(9％)1(孙力)

y=kx+1

联立方程

x2=4y'

Mb=4左

可得％2-4履一4=0,即得玉一①

又因为AP=2尸5,可得占=一2々,②

结合①②=-2（X]+X2）、T=—2x16左2

可得%2=]

O

因为再=一2%,%>0,%2<0又因再+%=4左所以七〉0

即可得上=正

4

故选:A.

32.（2023春•江苏连云港•高二校考期中）过抛物线C-.y2=x上定点尸（2,夜）作圆M：（x-Z）?+/=1的两条

切线，分别交抛物线C于另外两点A、B,则直线AB的方程为（）

A.x-ZA/2J7+1—0B.x+2y+1—0

C.尤-2y/^y+2=0D.x+2\/2y+2=0

【答案】B

【分析】设过点尸且与圆M相切的直线的方程为y-0=Mx-2）,根据该直线与圆〃相切求出左的值，设

点2（4,丫2），求出外、%的值，求出直线A2的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.

【详解】圆M的圆心为河（2,0）,半径为1,易知轴，所以，直线以、尸8的斜率必然存在，

设过点尸且与圆加相切的直线的方程为=2）,即日-y+应-2左=0,

72

由题意可得^^=1,解得左=±1,

42+1

设点A（y；,yJ、网£,%），不妨设直线卓、PB的斜率分别为1、-1.

贝U，=TT7=1,可得M=1-0,

同理4pB=。+应=-1,可得力=-1一0，

直线AB的斜率为原B=?曰=，

弁一贡%+%4

易知点A的坐标为(3-2a,1-0),

所以，直线A3的方程为y-(1-0)=-孝卜-3+2后)，即x+20y+l=O.

故选：B.

33.(2023秋•安徽,高二校联考期末)已知抛物线C:V=i2y的焦点为尸，其准线与>轴的交点为A,点B为

AB

抛物线上一动点，当,取得最大值时，直线A3的倾斜角为()

FB

兀7171,vSTC兀八3万

A.—B.—C.一或予D.一或一

436644

【答案】D

BF\AB

【分析】过点8作抛物线C的准线的垂线垂足为点分析可得二商=cos/BA尸，当岛取得最大

值时，/BA尸最大，此时与抛物线C相切，设出直线A8的方程，将抛物线C的方程，由A=0可求得直

线AB的斜率，即可求得直线AB的倾斜角.

【详解】抛物线C的准线为/:f=12y,焦点为尸(0,3),易知点1(0,-3),

过点8作垂足点为由抛物线的定义可得忸叫=忸耳，

BF

易知即1〃丫轴，则NBAF=NA£M,所以,=1^1=cosZABM=cosZBAF

当,取得最大值时，cosNBAF取最小值，此时N54户最大，则直线AB与抛物线C相切,

FB

由图可知，直线A2的斜率存在，设直线A3的方程为>=履-3,

(2=]2y

联立〈x,二可得12履+36=0,贝!!△=144/-144=0,解得及=±1,

[y=kx-3

Jr37r

因此，直线A3的倾斜角为£或

44

故选：D.

(二)弦长问题

34.(2023春•四川成都・某中学校考阶段练习)已知抛物线C:/=8x的焦点为F,过点产且倾斜角

为:的直线/与抛物线C交于A,B两点,则|筋|=().

A.8B.83c.16D.32

【答案】C

【分析】根据过抛物线焦点的弦长公式求得正确答案.

【详解】焦点尸(2,0),直线/的方程为y=x-2,

fy=x—2

由＜2c，消去，并化简得/-12苫+4=0,公=144-16=128＞0,

[y=8无

设孙％)所以芯+々=12,

所以|AB|=芯+々+p=12+4=16.

故选：C

35.(2023春•湖北•高二校联考阶段练习)根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反

射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线V=2x,若从点2(3,2)发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，

经A点反射后交抛物线于B点，则卜()

25252525

A.—B.—C.—D.—

816918

【答案】A

【分析】由题意求出A点的坐标，由于直线A8过焦点，利用点斜式方程求出直线AB为4x-3y-2=0,联

a

立抛物线方程，得，2-：y-l=0,根据韦达定理求出2点坐标，利用两点间距离公式可求出|旗

【详解】由条件可知AQ与X轴平行，令y=2,可得无*=2,故A点坐标,

因为G经过抛物线焦点尸

所以却;为＞。一2)，整理得4x-3y

-2=0,

~2

联立])??n，得y2_]y_i=o,A=f_|)-4xlx(-l)=^>0,

4%—3〉一2二。21

3

所以%+%=]，又%=2,

故选：A.

22

36.(2。23春・山东济南•高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习)已知椭圆的右焦点厂是

抛物线y2=2px(p>0)的焦点，则过歹作倾斜角为45。的直线分别交抛物线于A,B(A在x轴上方)两点,

AF

则正的值为()

A.3+2应B.2+2应C.3D.4

【答案】A

【分析】先根据椭圆方程求抛物线的方程，分别过4B作准线的垂线，得到直角梯形结合抛物

线的定义在梯形中求|4?|=0|AP|,即得结果.

【详解】依题意，尸(1,0)是抛物线9=2*(0>0)的焦点，故^=1，贝UP=2,/=4x.

根据已知条件如图所示，A在无轴上方，分别过A,2作准线的垂线，垂足为4,耳，

过8作A4,的垂线，垂足为P,设忸耳=龙,卜司=履，

根据抛物线的定义知|四|=x,|A4j=丘，所以直角梯形中RP|=x,

|明=|相|一［4尸|=(左_1)彳，|AB|=(Z:+l)x,

又直线A2的倾斜角45，故依+l)x=^(hl)x,

解得左=3+2应，即弁7=3+2夜,

故选：A.

37.(2023•山东青岛•高二山东省莱西市第一中学学业考试)设厂为抛物线C:/=3x的焦点，过F且倾斜角

为30。的直线交抛物线C于A,8两点，O为坐标原点，则..35的面积为()

9

A.—B.c

4f-/鬻

【答案】A

【分析】联立直线与抛物线方程消去x得乂+%，%%，5想的=%即+小。阳=』0尸11»-%1代入计算可

得结果.

3

【详解】由题意知，FF,O）

4

回过A、8的直线方程为y=¥（x-；）,即：x=V3y+|

设A（%，x）,B（x2,y2）,贝1］弘+%=36,必为=一（

113

团S^OAB=^AOAF+S4OFB=310FII%-%1=5xR%-%I

故选：A.

38.（2023春•河南•高二校联考期中）已知抛物线C:y2=4x的焦点为EN为C上一点，且N在第一象限，

直线FN与C的准线交于点V,过点M且与x轴平行的直线与C交于点P,若|AW|=2|NF|,贝iJAMPF的

面积为（）

A.8B.12C.4A/3D.4"

【答案】C

【分析】过N作准线的垂线，垂足为Q,准线与x轴交于点E,进而根据几何关系得△MPF为等边三角形，

|MF|=3|NF|=4,再计算面积即可.

【详解】解：如图，过N作准线的垂线，垂足为。，准线与x轴交于点E,

所以，|A^|=|A^2|,\EF\=2.

因为/\MQNS^MEF,

所以鬻=^=愣H/。叫伸号附〜叶4.

所以3//庄=\命EF\=51,

ZMFE=60°=ZPMF.

又因为户闸=|尸司，

所以NPRW=NPMF=60。，所以△MPF为等边三角形，

所以5“=手|所=4折

若M在第三象限，结果相同.

故选：C

39.（2023秋,河南许昌,高二统考期末）已知直线/过点（2,0）,且垂直于x轴.若/被抛物线丁=46截得的

线段长为40，则抛物线的焦点坐标为（）

A.（1,0）B.（0,1）C.（1,2）D.（2,1）

【答案】A

【分析】将x=2代入V=4"可得交点坐标，结合弦长为4a可得。，进而得到抛物线的焦点坐标即可

【详解】当尤=2时，y2=8a,显然a>0,解得y=±20ii,故20^—卜2^/^）=4^石，解得。=1,故抛物

线丁=4尤，焦点坐标为（1,0）

故选：A

40.（2023秋•河南,高二校联考开学考试）已知A,8为抛物线C:;/=x,上的两点，且|明=2,则的

中点横坐标的最小值为（）.

I13

A.-B.-C.-D.1

424

【答案】C

【分析】根据抛物线的弦长公式，结合基本不等式进行求解即可.

【详解】设直线AB的方程为》=口+。（此0）,4仿,必），

联立方程组，\二:，得丁-什-6=0,

[x=ky+b

贝1」%+%=%，A*+46>0.

因为网=J（1+A）俨+4b）=2,所以（1+用,2+助）=4,得》=工一

1+左4

因为玉+W=左（丁1+%）+2人=左2+26，

所以A2的中点的横坐标毛=工*=S+b=£+1+k211

--------1-------Z-----

224l+k24]+k24

'1+42]

41+k2

1+k2I

当且仅当即左=±1时，等号成立,

4]+k2

3

所以当人=±1时，％取得最小值

4

故选：C

41.（2023秋•广东深圳•高二深圳市罗湖外语学校校考阶段练习）己知圆元?+V=/（厂>0）与抛物线/=3x

相交于跖N,且|跖V|=2百，则r=（）

A.72B.2C.2A/3D.4

【答案】B

【分析】由圆与抛物线的对称性及|"N|=2百，可得〃点纵坐标，代入抛物线得横坐标，求出|。河|即可

得解.

【详解】因为圆％2+丫2=/（厂＞0）与抛物线产=3彳相交于跖N,且|政V|=2g,

由对称性，不妨设/（尤,6）,

代入抛物线方程，贝U3=3x,解得x=l,

所以M（l,追），

故r=|OM|=水+的2=2

故选：B

（三）焦点弦问题

42.（2023春・湖南长沙•高二湘府中学校考阶段练习）设厂为抛物线C