高中数学公式大全 (二)

高中数学公式汇总

§01.集合与简易逻辑

1.元素与集合的关系

xeA。xgCVA,xeCVA=xeA.

2.德摩根公式

Cu(AB)—CfjA.CJJB;CU(AB)—C^A\CVB.

3.包含关系

A3=AoAlB=B<=>Ac5<=>CVBcC^A

oAgB=①ogAB=R

4.容斥原理

card(AB)=cardA+cardB—card(AB).

5.集合的子集个数共有2"个；真子集有2"-1个；非空子集有2"-1

个；非空的真子集有2"-2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式/(%)=ax1+bx+c(aw0);

(2)顶点式/(x)=a(x-h)2+k(a*0);

(3)零点式于(x)=a(x-xj(x-x2)(aN0)、

7.解连不等式N</(x)<M常有以下转化形式

N<f{x)<M<^[/(x)-M][/(x)-7V]<0

M+N、M-N/(x)-N八

O"(x)—------o----->0

2M-f(x)

11

o---------->--------.

于3—NM-N

8.方程/（x）=0在（匕状2）上有且只有一个实根,与/（左）/（左2）<0不等价,前者是后

者的一个必要而不是充分条件.特别地，方程&+bx+c=0（«丰0）有且只有一个实根在

的，鼠）内，等价于/6）/（鼠）<0,或/6）=0且匕<-3"，或/（左2）=。且

La2

k+kb,

—}--9-<---<k.

22a?2

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数/（x）=a^+bx+c（aw0）在闭区间［p,q］上的最值只能在x=-二处及区

2a

间的两端点处取得，具体如下：

⑴当a>0时，若x=-不e[p,司，则/(%焉=/(-h),/(x)01ax:max{/(P)，/^)}；

2a2a

{/(P)，/①)},/(%)疝n=*{/(P)，/①)}•

A一上[PM]'/⑴a'

(2)当a<0时,若％=_五e[p,q],则/(x)1nLmin{/(p),/(q)},

x=—£2[。应]，则/(XU=max{/(p),/(q)},/(%卷=min{/(p),/(q)}.

10.一元二次方程的实根分布

依据：若/（7〃）/（九）＜0,则方程/（x）=0在区间（〃⑶内至少有一个实根.

设f（x）=x^+px+q,贝IJ

p2-Aq＞Q

⑴方程/（x）=0在区间（冽,+8）内有根的充要条件为/（㈤=0或

----＞m

I2

f(m)>0

（2）方程/（x）=0在区间（私〃）内有根的充要条件为＜0或/⑺>°或

p2-4q>0

m<----<n

2

9=°或，f(n)=0

l/W>0|FO)>0

p~-4q>0

（3）方程/（x）=0在区间（-8,n）内有根的充要条件为/（m）＜0或p

---<m

12

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

⑴在给定区间（-8,+8）的子区间L（形如［%冏，（--用，［%”）不同）上含参数

的二次不等式＞0（r为参数）恒成立的充要条件是＞0（x年L）.

（2）在给定区间（-8,+8）的子区间上含参数的二次不等式/（x/）20（7为参数）恒成立

的充要条件是1nlm＜0（x龟L）.

a>0

a<Q

⑶/（%）=以4+而2+。〉0恒成立的充要条件是＜此0或<

b1-44c<0

c>0

12.真值表

Pq非PP或qp且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常见结论的否定形式

原结论反设词原结论反设词

是不是至少有一个一个也没有

都是不都是至多有一个至少有两个

大于不大于至少有“个至多有（〃—1）个

小于不小于至多有“个至少有（〃+1）个

对所有X,成立存在某X,不成立p或q「p且F

对任何X,不成立存在某X,成立p且q或r

14.四种命题的相互关系

原命题：与逆命题互逆,与否命题互否，与逆否命题互为逆否;

逆命题：与原命题互逆,与逆否命题互否，与否命题互为逆否;

否命题：与原命题互否,与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆;

逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否；

15.充要条件

(1)充分条件：若pnq,则p是“充分条件.

(2)必要条件：若qn0,则p是4必要条件.

(3)充要条件：若且q=p,则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

§02.函数

16.函数的单调性

(1)设-%2e\a,b\9那么

(玉-x2)[/(^)-/(x2)]>0O"f")〉°=/(x)在U上是增函数；

(不f)[/(菁)_/<>2)]<00A?：；®)<o=/(x)在[a,同上是减函数.

(2)设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果/'(x)>0,则/(x)为增函数；如果

r(x)<0,则/(x)为减函数.

17.如果函数/(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内，和函数/(x)+g(x)也是减

函数；如果函数y=/(〃)和a=g(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数

y=/[g(x)]是增函数.

18.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图

象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函

数是偶函数.

19.若函数v=是偶函数，则/(x+a)=/(-x-a);若函数y=/(x+a)是偶函

数，则/(x+a)=/(—%+a).

20.对于函数y=/(x)(xeR),/(x+a)=/(A—x)恒成立，则函数/(x)的对称轴

a+b

是函数x=

2

两个函数y=/(x+a)与y=f(b-x)的图象关于直线》=对称.

21.若/(%)=-/(-x+a),则函数y="X)的图象关于点(1,0)对称；

若/(x)=-/(%+a),则函数y=/(x)为周期为2a的周期函数•

n

22.多项式函数P(x)=anx+++«0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数OP(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数P(x)是偶函数oP(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

23.函数y=/(%)的图象的对称性

⑴函数y=/(x)的图象关于直线x=a对称o/(a+x)=/(a—%)

/(2G-%)=/(%).

(2)函数y=于(x)的图象关于直线x=对称0/(a+mx)=f(b-mx)

of(a+b-mx)=f(mx).

24.两个函数图象的对称性

(1)函数y=/(X)与函数y=/(-X)的图象关于直线X=0(即y轴)对称.

(2)函数y=f(tnx—a)与函数y=—nu)的图象关于直线x=『对称.

2m

(3)函数y=/(x)和y=/t(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数y=/(x)的图象右移。、上移入个单位，得到函数y=/(x—a)+人的图

象；若将曲线/(%y)=0的图象右移。、上移5个单位，得到曲线/(左一。,，一勿=0的图

象.

26.互为反函数的两个函数的关系

f(a)=bo『(b)=a.

27.若函数y=/(依+勿存在反函数，则其反函数为y=:"T(x)-切，并不是

k

y=tr\kx+b),而函数y=[f-\kx+b)是y=1[/(%)-&]的反函数.

k

28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数/(x)=ex,f(x+y)=f(x)+/(y),/(l)=c.

⑵指数函数/(%)=ax,f(x+y)=f(x)f(y),f(V)=a^O.

⑶对数函数/(x)=10gaX,f(xy)=f(x)+f(y),/(«)=l(o>0,«1).

(4)幕函数/(x)=V,/(盯)=/(x)/(y),/'⑴=a.

(5)余弦函数/(x)=cosx,正弦函数g(x)=sinx,/(x—y)=/(x)/(y)+g(x)g(y),

/(0)=l,lim始2=1.

29.几个函数方程的周期(约定a>0)

(1)f(x)=f(x+a),则/(x)的周期T=a；

(2)/(x)=/(x+a)=O,

或f(x+a)=I(/(x)w0),或/(x+a)=-1(/(x)丰0),

于(x)/(x)

或g+J/(x)—r(x)=〃x+a),(/(x)e[0』)，则/(x)的周期T=2a

(3)/(x)=1-「、(/(=丰0),则f(x)的周期T=3a;

/(%+〃)

(4)/(%1+%)=/(?+少2)且于⑷=1(/(/)•/(x,)w1,0<|X-/l<2a),则

1-7(七)/(々)

f(x)的周期T=4a;

(5)/(x)+f(x+a)+f(x+2a)f(x+3d)+/(x+4a)=/(x)/(x+a)f(x+2d)f(x+3d)f(x+4tz),

则/(%)的周期T=5a；

(6)于(x+«)=/(%)-f(x+a),则f(x)的周期T=6a.

30.分数指数幕

m]

(1)an=,——(a>O,m,neN*,且〃>1).

Nam

m]

(2)a〃=—(a>b,m,neN*,且〃>1).

a

31.根式的性质

(1)(^/^)"=a.

(2)当〃为奇数时，吐=a;

/f6Z,6Z>0

当〃为偶数时，<优=|〃|二八.

一。,〃<0

32.有理指数哥的运算性质

(1)ar-as-ar+s(a>0,r,5e2).

(2)(«r)s=ar\a>0,r,5e2).

(3)(aby=a'b'\a>0,b>0,re2).

注：若a>0,p是一个无理数，则表示一个确定的实数.上述有理指数嘉的运算性

质，对于无理数指数黑都适用.

33.指数式与对数式的互化式

b

logflN=b<^>a=N(a>0,a力1,N>0).

34.对数的换底公式

logN

log.N=•迎(。>0,且a¥l,m>0,且mwl,N>0).

!ogma

Yl

推论logbn=—log*(。>0,且抽〃>0,且mwl,N>0).

awm

35.对数的四则运算法则

若a>0,aHl,M>0,N>0,贝(J

(1)log,(MN)=log,M+k)g,N;

M

⑵log”—=log〃M-logflN;

⑶log“M"=»logflM{neR).

36.设函数/(x)=log,“(a/+bx+c\aw0),记A=〃-4«c.若/(%)的定义域为

R,则。>0,且△<();若/(x)的值域为R,则a>0,且AN0.对于。=0的情形，需要

单独检验.

37.对数换底不等式及其推广

若a>0">0,x>0,"L则函数y=log.xSx)

a

(1)当a>人时,在(0,工)和(人,+s)上y=10glM(bx)为增函数.

aa

,⑵当a<b时在(0」)和(-,+«)上y=log/")为减函数.

aa

推论:设〃>机>1,p>0,a>0,且awl,贝II

⑴log,”+p(〃+P)<log,""・

⑵logamlogan<logfl.

§03.数列

38.平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有

y=N(l+p)，.

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

5,,〃=1

a.=c(数列｛q｝的前n项的和为s“=〃]+%+,+。〃),

[S“-S"T，"N2

40.等差数列的通项公式

an=ax+(n-V)d=dn+a1-d(neN*)；

其前n项和公式为

〃3+a.),n(n-l)

s“=---------=叫+---d

d2/1八

——zz+(q--d)n.

41.等比数列的通项公式

1

an=a^q'^=—■q'\n&N*｝；

q

其前n项的和公式为

s“=ji-q

nax,q=1

或s"=<\-q.

na^q=1

42.等比差数列｛a〃｝:4+1=qan+d,a1=b(q丰0)的通项公式为

b+(n-l)d,q=1

<bq"+(d-b)q'T-d小；

、q-1

其前n项和公式为

nb+n(n-l)d,(q=1)

s„dA-qnd.八・

(/zb-------)—L-+-------〃,(qWl)

Li-qq-i"q

43.分期付款(按揭贷款)

每次还款x=的元(贷款。元,“次还清，每期利率为b).

(1+Z?)-1

§04.三角函数

44.常见三角不等式

JI

(1)若%£(0,5),则sinx〈％vtanx.

(2)若%el。,]),贝ljl<sinx+cosx«0.

（3）|sinx|+|cosx|>l.

45.同角三角函数的基本关系式

sin20+cos23=1,tang=,tan0-cotO-1.

cos。

46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

n

./〃不、(-1)2sina,（n为偶数）

sm(—+a)=<n-\

2

(-1)cosa.（n为奇数）

n

.rue、(-1)2COS%（n为偶数）

cos(---a)=<

2n+1

(-1)2sina,

（n为奇数）

47.和角与差角公式

sin(6Z±4)=sinacos/?±cosorsin[3;

cos(o±J3)=cosacos£*sinasinJ3;

,c、tandz±tan/?

tanz(^±尸);-----------三.

1.tanortanp

sin(a+/?)sin(a-/?)=sin2a-sin2/?(平方正弦公式);

cos(a+/?)cos(a一/)=cos2a-sin2/7.

asina-^-bcosa=1a2+及sin(a+0)(辅助角°所在象限由点(a,b)的象限决

.b、

定,tan0二一).

a

48.二倍角公式

sin2c=sincoscc.

cos2a-cos2a-sin2a=2cos2a-\-l-2sin2a.

2tana

tan2。=

1-tan2a

49.三倍角公式

JTJT

sin3。=3sin8—4sin38=4sin6sin(—-0)sin(y+0).

cos30=4cos3^-3cos6=4cos0cos(^--6)cos(y+0)

c八3tan-tan30„历八、历八、

tan30=------------=tan0tan(---3)tan(—+0).

l-3tan2^33

50.三角函数的周期公式

函数y=sin(G%+°),xER及函数y=COS(G%+0),xER(A,3,°为常数，且AHO,

3>0)的周期7=空;

CO

JI

函数y=tan(ox+0),%。左万+5,左wZ(A,3,9为常数，且AWO,3>0)的周期

T=-.

CO

51.正弦定理

，='=，=2B

sinAsinBsinC

52.余弦定理

a2=b2+c2-2Z?ccosA;

Z?2=c2+O1-2cacosB;

c2=a2+b2-2abcosC.

53.面积定理

(1)S=gah。=gbh》=gchc(ha>%、4分别表示a、b、c边上的高).

(2)S--absinC=—bcsmA--casmB.

222

(3)0AB=口(|QA|.|031)2_(0403)2.

54.三角形内角和定理

在△ABC中，有A+_B+C=TTC—71—(A+B)

C=£_A+B^2(?=2^_+

222

55.简单的三角方程的通解

sin尤=Qo元=左刀■+(—1)，arcsina(k£Z,|Q区1).

cosx=〃ox=2k兀±arccosa(kGZ,|d!|<1).

tanx=a=>x=k7r+arctana{keZ,a£R).

特别地,有

sina=sin/?oa=归乃+(-l)k)0(keZ).

cosa=cos0=2kji±/3(JcGZ).

tana=tan/3^a=k7i+/3(JcGZ).

56.最简单的三角不等式及其解集

sin%〃区1)o%£(2左万+arcsina,2左乃+»—arcsina),k^Z.

sin%va(|〃区1)。x£Qk兀一兀一arcsina,2k兀+arcsina),keZ.

cosx>〃(|a区1)ox£(2左=-arccosa,2k兀+arccosa),k^Z.

cos%vQ(|〃区1)ox£Qk兀+arccosa,2k7i+2»—arccosd),kcZ.

71

tanx>a(awR)nxw(k/i+arctana,kn+—),keZ.

71

tanx<a(awR)nxw{k7i--.k7i+arctand),keZ.

§05.平面向量

57.实数与向量的积的运算律

设入、以为实数，那么

(1)结合律：入(.)=(入|j)a;

(2)第一分配律：(A+p)a=Aa+pa;

(3)第二分配律：入(a+b)=M+入b.

58.向量的数量积的运算律：

(1)a-b=b-a(交换律)；

(2)(2a)-b=A,(ab)=2a-b=a-(Ab);

（3）（Kb）・c=a-c+b-c.

59.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且

只有一对实数入1、%,使得a=Xei+%e2.

不共线的向量&、白叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

60.向量平行的坐标表示

设a=（Xi，yi）,b=（X2，%），且bwO,则ab（bw0）=/%一々%=0.

53.a与b的数量积（或内积）

a-b=\a\IbIcosO.

61.a-b的几何意义

数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos。的乘积.

62.平面向量的坐标运算

⑴设a=（X],%）,b=（X2，%），则a+b=（X]+/,%+%）•

（2）设a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,则a-b=（七一%--

⑶设A（X1,%）,B®,%）,则=—。4=（%-%,%一%）.

⑷设a=（x,,则2a=（2r,Xy）.

⑸设a=（占，%）,b=（々，%）,则a-b=（占々+%%）・

63.两向量的夹角公式

cos0=14上+产（a=（xy）,b=（x2,y2））.

64.平面两点间的距离公式

dAB=\AB\=y/AB-AB

=4>2-4）2+（%-%）2（A（苞,%）,B（%,%））•

65.向量的平行与垂直

设@=（九1，%）,=（%2，%），且bwO,则

A||bob二入a0%1丁2一%2%=0・

aJ_b（aW0）Oab=0oxxx2+yry2=0.

66.线段的定比分公式

设《（七,必），£（々，当），尸（羽V）是线段6舄的分点，几是实数，且《户=几尸则

_玉+2X2

「二下二00「=06+比鸟

%+♦%]+力

1+A

o0尸=f0耳+(1—(/=^—).

1+A

67.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A（Xi，y）、B（x2,y2）xC（X3,丫3）,则aABC的重心的坐

标是G（A±尸,A±^±A）.

68.点的平移公式

x-x+hX=X-h-rT

<=<00P=OP+PP.

y=y+ky=y-k

注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形厂上的对应点为P'(x,y),且PP的

坐标为(九左).

69.“按向量平移”的几个结论

⑴点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(x+h,y+k).

(2)函数y=/(x)的图象C按向量a=①，公平移后得到图象C',则C'的函数解析式

为y=f(x—h)+k.

(3)图象C'按向量a=(/z，公平移后得到图象C,若C的解析式y=/(x),则C'的函数

解析式为y=/(x+/i)—左.

(4)曲线C：/(x,y)=O按向量a=(/z«)平移后得到图象C',则C'的方程为

f(x-h,y-k)=Q.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要条件

设。为AABC所在平面上一点，角AEC所对边长分别为。，仇c,则

—.2.2—-2

(1)。为AABC的外心oOA=OB=OC.

(2)。为AAfiC的重心o0A+03+0C=0.

(3)。为AAfiC的垂心oQA0B=030C=0C0A.

(4)。为AABC的内心oa0A+Z?03+c0C=0.

(5)。为AABC的NA的旁心oa04=6O3+cOC.

§06.不等式

71.常用不等式：

(1)4/6尺0"+)222勿7(当且仅当@=15时取“=”号).

(2)a/eR+n巴吆2J茄(当且仅当a=b时取"=”号).

2

(3)o'+b3+c3>3abc(a>0,b>0,c>0).

(4)柯西不等式

(«2+Z?2)(c2+J2)>(ac+bd)2,a,b,c,deR.

(5)|a|—|Z?|<|a+Z?|<|a|+|Z?|.

72.极值定理

已知都是正数，则有

(1)若积孙是定值p,则当x=y时和x+y有最小值2折；

(2)若和x+y是定值s,则当x=y时积孙有最大值

推广已知则有(x+y)2=(x-y)2+2孙

(1)若积孙是定值，则当Ix-y|最大时，|x+y|最大；

当|x-y|最小时，Ix+)”最小.

(2)若和|%+若是定值，则当|x-y|最大时,I孙I最小；

当|x-y|最小时,I利I最大.

73.一元二次不等式以2+法+。>0(或<0)(aw0,A=〃—4ac〉0),如果。与

af+bx+c同号，则其解集在两根之外；如果a与以2+bx+c异号，则其解集在两

根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

X]<X<%O(%一石)(%一/)<O(X]<4)；

X<X],或X>/O(X-X1)(X-X2)>O(X]<x2).

74.含有绝对值的不等式

当a>0时，有

国<a。龙2<晨o-a<x<a.

国>a<=>九2>420%>a或％<一。.

75.无理不等式

[/(%)>0

⑴"(x)>Jg(x)=,g(x)20.

J(x)>g(x)

(2)"(x)>g(x)o4g(x)20或1--

,g(x)<0

LfM>[g(x)]28

/(x)>0

(3)"(x)<g(x)o,g(x)>0.

J(X)<[g(X)f

76.指数不等式与对数不等式

(1)当a>1时，

afM>asM<=>/(x)>g(x);

7(%)>o

log〃/(x)〉log“g(x)=<g(x)>0.

f(x)>g(x)

(2)当0<a<l时，

afM>agM<=>y(x)<g(x);

7(x)>o

log“/(龙)〉log“g(x)=<g(x)>0

/(x)<g(x)

§07.直线和圆的方程

77.斜率公式

k=~~—（6（石,％）、匕（々,%））・

x2一尤］

78.直线的五种方程

⑴点斜式y_.=r（xf）（直线/过点＜0,%）,且斜率为％）.

（2）斜截式y=fcc+b（b为直线/在y轴上的截距）.

（3）两点式‘"="~（%一%）（6（X，%）、已（々，%）（当中马））・

y2f%—玉

(4)截距式-+-=l(a,b分别为直线的横、纵截距，a、b^O)

ab

(5)一般式Ax+为+C=0(其中A、B不同时为0).

79.两条直线的平行和垂直

⑴若4：y=k[X+4,4：y=k2x+b2

①4||，2o左]=右,4w"2；

②4JLl2okxk2=—1.

(2)若/]：A九+B1〉+G=0，42：42%+82>+。2=0,且Al、AlxBlsB2者不B为零,

①/||/。区二旦中三；

124B2c2

(2)4±/<=>=0；

2+BXB2

80.夹角公式

⑴tano=|——|.

1+k2kl

(/i：y=《x+伪，l2:y-k2x+Z?2,-1)

(2)tana=|I.

+B'B?

4:\x+Bxy+Cx=09l2:B2y+C2=0,AiA2+BlB2w0).

兀

直线时,直线人与’2的夹角是于

81.，到4的角公式

⑴tana-―—―

1+左2左

(I:丁=勺％+4,12:y=k2x+b2,kxk20-1)

AH-44

(2)tana=

4A,+B[B、

(I:Ax+Bj+C]=0,4：A,x+B2y+C2=0，A4+ByB2wO).

n

直线时，直线A到，2的角是二.

122

82.四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点《(为,%)的直线系方程为y-%=左(％-%)(除直线

x=x°),其中左是待定的系数；经过定点《(为,%)的直线系方程为

AQ—xJ+Hy—%)=0,其中A3是待定的系数.

(2)共点直线系方程经过两直线4:4%+用y+£=0,4：4%+§2V+02=0的交点

的直线系方程为(Ax+By+£)+A(Ax+B2y+C?)=0(除〃)，其中人是待定的系数.

(3)平行直线系方程：直线y=Ax+b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线

系方程.与直线—+为+。=0平行的直线系方程是"+为+2=0(2*0),人是

参变量.

⑷垂直直线系方程：与直线—+为+。=0(AWO,BH0)垂直的直线系方程是

Bx—Ay+X=0,人是参变量.

83.点到直线的距离

d=IA%+3%+C|（点p5,为），直线i.Ax+By+C=Q）.

VA2+B-

84.Ax+By+C>。或<0所表示的平面区域

设直线/：Ac+3y+C=0,则Ar+5y+C>0或<0所表示的平面区域是：

若3/0,当3与Ac+By+C同号时，表示直线/的上方的区域；当3与-+为+C

异号时，表示直线/的下方的区域.简言之，同号在上，异号在下.

若3=0,当A与-+3y+C同号时，表示直线/的右方的区域；当A与-+3y+C

异号时，表示直线/的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.

85.（Ax+Bxy+G）（&x++C?）>0或<0所表示的平面区域

设曲线C：（Ax+4y+G）（&x+B2y+C2）=0（444^2。0），贝IJ

（4方+4丫+£）（4；1+员丫+。2）>0或<0所表示的平面区域是：

（Ax+B.V+£）（4%+々y+C2）>0所表示的平面区域上下两部分；

（4工+4丫+£）（4工+员丫+。2）<0所表示的平面区域上下两部分.

86.圆的四种方程

(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.

(2)圆的一般方程x2+y~+Dx+Ey+F—0{D~+E?—4/>0).

x=a+rcos0

⑶圆的参数方程

y=b+rsmO

（4）圆的直径式方程（x—西）（工一々）+（丁一%）（，一％）=0（圆的直径的端点是

A(x”%)、B(x2,y2)).

87.圆系方程

（1）过点A（±,%）,3（%,%）的圆系方程是

（x—石）（x—/）+（y—％）（y—%）+4Kx一石）（%一％）—（V—X）（七一斗）】=。

05一西）（%一々）+（丁一%）（、一%）+九（⑪+勿+。）=°>其中ax+Z?y+c=0是直线

AB的方程,入是待定的系数.

（2）过直线/:瓜+互y+C=0与圆C:f+）?+瓜+4+尸=0的交点的圆系方程

是r+y?+Dx+Ey+F+/l（Ax+By+C）=0,人是待定的系数.

2222

（3）过圆Q:x+y+D1x+Exy+Fx=0与圆C,:x+y+D2x+E2y+F2=0的交

点的圆系方程是三+丁+。B+石。+川+/1（必+）；2+。2]+&3；+工）=0,人是待定的系

数.

88.点与圆的位置关系

点P（x0,y0）与圆（x-a1+（y-勿2=/的位置关系有三种

若d=J（a-%）2+（A-%）2,贝！]

d>ro点尸在圆夕卜；d=厂o点P在圆上；d<ro点尸在圆内.

89.直线与圆的位置关系

直线Ax+By+C=0与圆（x-a/+（y-b）2=r2的位置关系有三种：

d>ro相离<4>A<0;

d=ro相切oA=0；

d<ro相交oA>0.

\Aa+Bb+C|

其中d=

A/A2+B2

90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为5,02,半径分别为n,r2,\O}O2\=d

d>K+&o外离o4条公切线；

d=八+々o外切o3条公切线；

卜1-々|<d<"+马o相交o2条公切线；

d=|q-修u>内切u>l条公切线；

0<-r2|o内含o无公切线.

91.圆的切线方程

(1)已知圆/+V+Dx+@+E=0.

①若已知切点(%,%)在圆上，则切线只有一条，其方程是

D(x0+%)E(y0+y)

xox+yoy+g+F=0.

当(%,%)圆外时，x()x+x)+♦(*;+，)+尸=0表示过两个切点

的切点弦方程.

②过圆外一点的切线方程可设为y-%=Mx-X。)，再利用相切条件求k,这时必

有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.

③斜率为k的切线方程可设为,=履+人，再利用相切条件求b,必有两条切线.

(2)已知圆炉+产=产.

①过圆上的《(%,为)点的切线方程为xox+yoy=r-；

②斜率为左的圆的切线方程为y=kx+r^l+k2.

§08.圆锥曲线方程

x2V2\x-acos0

92.椭圆)+七=1(〃〉b〉0)的参数方程是‘.八.

ab[y=0sin〃

22

93.椭圆二+七=1(。〉6〉0)焦半径公式

ab

22

\PF^=e{x+^—),\PF2\=e(--x).

94.椭圆的的内外部

2222

(1)点尸(%0，为)在椭圆=+与"=1(〃>人>°)的内部O-+普<1.

abab

2222

(2)点P(x°,%)在椭圆—+与=1(〃>b>0)的外部O-+普>1.

abab

95.椭圆的切线方程

22

(1)椭圆1+与=1(〃〉匕〉0)上一点P(%,%)处的切线方程是誓+咨=1.

abab

(2)过椭圆三+2=Ka>b>0)外一点P(x0,%)所引两条切线的切点弦方程是

ab

V.2o2=1

十・

a2b72T

22

(3)椭圆三+二=l(a〉6〉0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是

ab

j^cr+B2b2=c2.

22

96.双曲线♦—七=1(。〉0]〉0)的焦半径公式

ab

22

|P-=|e(x+?|,附|=|e]—x)].

97.双曲线的内外部

2222

(1)点P(%(),%)在双曲线一^一与~二1(〃>0,/?>0)的内部=U■—普>1.

ab