2023-2024学年陕西省高二年级下册综合评价数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年陕西省高二下册综合评价数学模拟试题

一、单选题

1.已知等差数列｛《,｝的前〃项和为S,,若4=9,Sg=45,则数列｛a,,｝的公差为（）.

A.2B.-2C.6D.4

【正确答案】D

【分析】由题可得5,=9牝=45,即得.

【详解】-：S9=9a5=45,

.・％=5,

二数列｛《,｝的公差为&-牝=4.

故选：D.

2.在N8C中，角A,8,C所对的边分别为。，b,c,已知/=60。，b=2。为使此

三角形有两个，则。满足的条件是（）

A.y/3<a<3B.6<a<26C.3<°<2百D.也<a<40

【正确答案】C

【分析】为使此三角形有两个，只需满足bsiM<a<b,即可求a范围.

【详解】为使此三角形有两个，即6sinJ<a<"

：.243^—<a<243,解得：3々<2百，

2

故选：C.

本题考查三角形解的情况，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.

3.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文

化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总

和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0、2、4、8、

12、18、24、32、40、50,则此数列的第19项是（）

A.200B.182

C.180D.181

【正确答案】C

【分析】由己知数列可得〃为偶数时，a„=-y,〃为奇数时，q=工9,然后逐个分析判

断即可.

【详解】观察此数列可知，当”为偶数时，%=q,当〃为奇数时，。,,=卡-

1Q2_1

所以，«19=-^—^=180,所以C正确，

2

故选：C.

4.已知S“为等差数列｛%｝的前〃项和，且满足4+42+2。3a8=9,%<0,则儿等于（）

A.-9B.-11C.-13D.-15

【正确答案】D

【分析】根据等差数列的性质利用4+%。=%+4，代入等差数列的求和公式即可.

【详解】+%2+2%。8=（%+%/=9，%<0，

%+/=-3,

.o_10(<71+a10)_10(a3+a8)_

••————13,

1022

故选：D

5.在△48C中，内角Z,B,C所对的边分别是“，b,c.已知”=45。，。=6,b=3®,则8

的大小为()

A.30°B.60°

C.30°或150°D.60°或120°

【正确答案】A

【分析】先由正弦定理求出sinB=｝,可得8=30。或8=150。，再由得4>8,从而可求

出8=30°.

【详解】由正弦定理得一二a

sin8sinA

即更1=6,

sin6sin45°

解得sin^=y,

又8为三角形内角，所以8=30。或8=150。,

又因为。>6,所以4>8,即8=30。.

故选：A.

6.在等比数列｛《,｝中，％=sinl5",则4%=（）

A2-石R2+行r76「百

A•--------L5♦-----------・L/.

4434

【正确答案】A

【分析】根据等比中项性质和二倍角的余弦公式即可求解.

1粗r

【详解】由等比数列的性质可得27I1-cos30°1一万2-^3.

a^a.=a.=sin15=-------------=-------=--------

285224

故选：A.

7.已知等差数列｛%｝的公差dwO,前〃项和为S“，若£=$2,则下列结论中错误的是（）

A.q:d=T7:2B.58=0

C.当d>0时，6+44>°D.当d<0时，

【正确答案】D

【分析】因为｛?｝是等差数列，由$6=岳2可得%+%。=0,利用通项转化为卬和d即可判断

选项A；利用前〃项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B；利用等差数列的性质

a6+a14=a9+a10+J=J即可判断选项C；由d<0可得％,+44=d<0且4>>°，心<0即可

判断选项D,进而得出正确选项.

【详解】因为｛““｝是等差数列，前"项和为，，由$6=儿得：

S|2一=47+私+为+%（）+。||+《2=0，即3（。9+4。）=°，即。9+。10=0，

对于选项A：由%+%。=0得2q+17d=0,可得％:"=-17:2,故选项A正确；

对于选项B：$=18（4+%）J-%。）=0,故选项B正确；

对于选项C：a6+alA=a9+an=a9+a^+d=d,若d>0,则必+^^二。〉。，故选项C正确；

对于选项D：当d<0时，a6+a14=d<0,则&<一《4，因为d<0,所以4>。，《4<。，

所以同<|即故选项D不正确，

故选：D

8.^(a+b+c)(b+c-a)=,3bc,且sin/=2sin8cosC,那么ABC是()

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【正确答案】B

【分析】化简(“+b+c)S+c—)=36c,结合余弦定理可得"=再利用正余弦定理对

sin力=2sin8cosc化简可得6=。，从而可判断出/8C的形状

【详解】由(a+6+c)(b+c—a)=3bc,得(b+c)--=3bc,

化简得/+。2一/=加，

所以由余弦定理得cosA="+cT=_bc_=j_,

2bc2bc2

因为所以｛=

因为sin%=2sin8cosC,

所以由正余弦定理角化边得a=»・色直二土,化简得

2ab

所以b=c,

所以ABC为等边三角形,

故选：B

9.已知数列出｝的通项公式是对=(-1)"(3〃-2),则4+%+…+-9=()

A.-3028B.-3027C.3027D.3028

【正确答案】A

【分析】根据数列｛"“｝的通项公式，

+。2+…+。2019=(4+。2)+(。3+4)+…+(。2017+。2018)+。2019，利用并项求和法即可得出答

案.

【详解】解：由%=(-1)"(3〃一2),

得q+ci-y+…+%oi9=-1+4+(-7)+10+•,•+(-6055)

=(-1+4)+(-7+10)+…+(-6055)

=3x1009—6055=—3028.

故选：A.

10.锐角三角形ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，如果B=2A,则的取

值范围是()

A.(-2,2)B.(0,2)C.(0,右)D.(VI，2)

【正确答案】C

【详解】解：因为B=2A,故sinB=sin2A,

sinBhsin24八,八八，乃八八.，乃

-——=-=------=2cos4v0<2A<—0<0-3A<—

sinAasinJ22

<A<^-<cosJ<G<2cos4<VJ

6422

故所求的范围是选C

ii.已知数列｛4｝是公差不为零的等差数列，也J是正项等比数列，若q=4，%=2,则

()

A.a4=b4B.a5Vb$C.4〉”D.a9cb

【正确答案】D

由等差，等比数列的形式特征画函数的图象，根据图象判断选项.

【详解】等差数列的通项公式是关于〃的一次函数，〃cN",图象中的孤立的点在一条直线

上，

而等比数列抄〃｝的通项公式是关于〃的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，

如图所示当d>0时，如下图所示，

当公差d<0时，如下图所示,

如图可知当q=",/="时，。4>4，%>瓦,a9<h9.

故选：D

关键点点睛：本题的关键是判断的方法，选择图象法可以比较快速的判断选项.

12.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长

求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的

数学水平，其求法是：“以小斜寨并大斜塞减中斜累，余半之，自乘于上.以小斜塞乘大斜

哥减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即

S=R九2_(42+：一力2‘其中八爪c分别为"8C内角"、B、C的对边.若6=2,

tanC=%'，贝/8C面积S的最大值为

1-V3cosB

A.3B.y/5C.6D.V2

【正确答案】C

【分析】将已知等式进行化简并利用正弦定理可得代入“三斜求积”公式即可计算

得解.

【详解】ItanC=="nC,则sinC=G(sin8cosc+cos6sinC)=Gsin(8+C)

l-V3cosScosC

=VJsinA,由正弦定理得c=,・7=2,

LABC的面积S=«a2c2一=卧-21

=£(-/+8/-4),.•.当/=4即。=2时，的面积S有最大值为石.

故选C

本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查二次函数求最值问题，考查转化思想，属于中

档题.

二、填空题

13.在Z8C中，A=60°,AB=2,且Z8C的面积S，则边8c的长为.

【正确答案】也

【分析】利用面积公式S”c=；NBZC-sin/，可求解/C,再由余弦定理

BC2=AB2+AC2-2ABACcosA,可得解.

【详解】由面积公式：SAgc=-AB-AC-smA=^-

ABC22

:.AC=\

由余弦定理：

BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosA=4+\-2x2x\x-=3

2

BC=43

故也

本题考查了面积公式，余弦定理综合应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基

础题.

14.己知等比数列｛q｝的前"和为5“，若%,%吗成等差数列，且纵=22,5+=-63,则

项+2的值为.

【正确答案】107

【分析】根据等比数列和等差数列的通项公式，根据题意列方程可得2卬才=。4+《/,从

而求出g=-2或q=l,再根据S*M=-63,确定《=-2,进而求出

%+2=44M=-2X(-85)=170,代入记得.S―=$川+=-63+170=107

【详解】由题意可设等比数列｛4｝的公比为9,首项为4，

由%,出,%成等差数列可得：

2a｝=a4+a5,代入可得:

2*=*+*,解得：0=-2或1=1,

又因为&+i=-63,易知g=-2,

又因为S*=22,

4+1=Sk+l-Sk=-85,

所以。*+2=照*+1=-2X(-85)=170,

S"2=S"|+a-=-63+170=107,

故107.

本题考查了等差中项和等比数列的通项公式，考查了4和S,的关系，同时考查了计算能力,

属于中档题.

15.如图，在离地面高200m的热气球M上，观察到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯

角为45°,已知NA4C=60°,则山的高度8c为m.

【正确答案】300m

【分析】首先在中，求得/知=200匹，然后再△M4C,利用正弦定理求得

AC=200y/3,最后在18C中，利用直角三角形的性质，即可求解.

【详解】在直角0WD中，可得的45","0=200,所以⑷1/=」"=200a,

sin45

因为△MC中，ZAMC=45^+15°=60',NM4c=180°-45'-60"=75',

所以ZMCA=180"-NAMC-ZMAC=45",

上十力士娠-r/曰。MAsinZAMC200^xy-r-

由正弦定理，可得忙=.八。,=——7=^-=200V3,

sinZ.MCAV2

T

在直角48c中，因为N84C=6(X,可得BC=4CsinN84c=20()6x立=300m.

2

故300m

16.已知如图的一个数阵，该阵第〃行所有数的和记作。.，

q=lM2=l+g+l,a3=l+g+；+g+L…，数列｛叫的前"项和记作S“，则下列说法正确的

是

I

IyI

.III.

1TTT1

.JL_L_L±.

1TZT4~T1

L_LJL_LX±2

TTTT6TTT

三,3

①％=4一声

3

②勺+「勺=9

③V227

3

@S„=4n-6+—

【正确答案】①②③

【分析】根据等比数列的前〃项和公式可求得勺=4-声3，判断①；利用%=4-旨3可求

出％一耳，判断②；由。“=4-白可得£=4〃-34+#-+9，继而化简求得S.，

继而求得S5,判断③④.

【详解】由题意得

,11III.1XY）"以I#

0L—1H---1---F...4----rd---......+~]=------：---H------:---

〃242"T2n~221I.1

1—1-----

22

3

=4-产，①正确；

333

一%二4一m一（4一产）=齐，②正确；

3111

由。〃二4一F可得巴=4〃-3（乎+,+…+声），

33227

即S=4n-3x=4〃-6+H，则$5=20-6+m=笠，③正确，④错误,

n2216

故①②③

三、解答题

17.已知/8C中，角48,C所对的边分别为a,b,c,且色土乎吧-sin(8+费)=0,ABC

外接圆的半径为46.

(1)求力的值；

⑵若5血=246，求N8C的周长.

【正确答案】(l)/=g

(2)1273+4721

【分析】(1)根据诱导公式和正弦定理边化角结合两角和的正弦公式即可求得cos4=-；,

即得答案；

(2)根据三角形外接圆半径和角Z可求得°,再利用余弦定理求得b+c=I2行，即可求得

答案.

【详解】(1)依题意由(''+2c)cos/_$抽(8+与)=0,可得(6+2°)(：0$4+耻0$8=0,

由正弦定理得(sinB+2sinC)cos4+sinJcosB=0,则2sinCcos4+sin(4+3)=0,

故2sinCcosJ+sinC=0,而C£(0,冗),.b.sinC*0,

故2cosJ+1=0,则cosJ=一一，

2

而“e(O,7r),故4=

(2)因为/8C外接圆的半径为4近，即R=4近，/号，

故由正弦定理，得4=27?山仙=4万，

又S=—bcsin—=^-bc-246,解得6c=96,

234

由余弦定理，a1=b2+c2-IbccosA>得6?+c?+加=(6+c)2-be=336,

又be=96,故S+c>=432,则6+。=120，

则NBC的周长为12百+4>与.

18.已知数列的前”项和为S"，S„=n2,数列也｝是等比数列，4=3,4=274.

(1)求数列和也｝的通项公式；

(2)设q,=a“+5,求数列｛0｝的前〃项和

2

【正确答案】(1)"=3"；(2)Tn=n+|(3"-1).

【分析】(1)由题意，利用4=S“-S“T，求得数列｛%｝的通项公式为=2〃-1,设等比数列

料｝的公比为夕，根据题意列出方程求得4=3,进而求得数列｛"｝的通项公式；

(2)由(1)知4=2〃-1,4=3",根据%=%+”,,结合等差、等比数列的求和公式，即

可求解.

【详解】(1)由数列｛/｝的前〃项和为S“，S„=n2,

当〃22时，a„=5„-5,,.)=n2-(?i-l)2=2M-1,

当”=1时，/=S[=1,适合上式，

所以数列｛。“｝的通项公式

又由数列｛或｝是等比数列，设等比数列也｝的公比为心

因为4=3,b7=27b4,可得%6=27*3/,即g:27,解得g=3,

所以数列也｝的通项公式为2=刖1=3X"T=3".

(2)由(1)知/=2〃-1,b“=3",又由C"=a"+6”，

数列匕,｝的前〃项和北=(%+%+…+。”)+(4+&+…+

=^^+^1=〃2+为一).

21-32V'

19.MLBC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知sin4+6cos4=0,a=2亚6=2.

(1)求角A和边长c；

(2)设。为BC边上一点，且力。_L/C,求&48。的面积.

27r

【正确答案】(1)y,4;(2)G

【详解】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出tan/=-B从而可得A的值，

再根据余弦定理列方程即可求出边长c的值；（2）先根据余弦定理求出cosC,求出C。的长，

可得CO=；8C,从而得到葭,瓯=；$.<.，进而可得结果.

试题解析：（1）・.,sin4+JJcos力=0,.\tan4=一百，<0<4<肛，/=｝■，由余弦定理可得

a2=b2+c2-26ccosA,即28=4+c'一2x2cx1-5）,KPc2+2c-24=0,解得。二一6（舍去）

或c=4,故c=4.

（2）Qc2=b2+a2-2abcosC,「.16=28+4-2x26x2xcosC,

cosC=,/.CD==—^―=近1

币cosC2，:.CD=—BC,

万2

••.SMBC=；4BSC.SENBAC=1-x2x2^,■-SMBD=^SMBC.

20.已知等差数列｛叫和等比数列也｝满足q=4,2=2,a2=2b2-l,a3=b3+2.

（1）求｛%｝和仇｝的通项公式；

（2）数列｛%｝和低｝中的所有项分别构成集合A,B,将的所有元素按从小到大依

次排列构成一个新数列｛。｝,求数列｛%｝的前60项和S60.

【正确答案】（1）=3/7+1,4=2"；（2）5014.

【详解】（1）设等差数列｛《,｝的公差为"，等比数列也“｝的公比为4，

\4+d=2-2q-\Jd=4q-5

由j4+2d=2.r+2=，

:,q=2,d=3,

.・・a“=3〃+l,b.=2〃.

177

（2）当｛%｝的前60项中含有｛"｝的前6项时，令3"+1<27=128=〃〈亍，

此时至多有41+7=48项（不符）.

当｛。｝的前60项中含有｛〃｝的前7项时，令3〃+1<2'=256=〃<85,

且2?,232,是&“｝和也｝的公共项，则｛%｝的前60项中含有出｝的前7项且含有｛4｝的

前56项，再减去公共的三项.

.•.$6。=〔56x4+56；*X3)+2+4+2+f=4844+170=5014

关键点点睛：本题解题的关键点是分析新数列｛%｝是由｛%｝和｛4｝中的哪些选项构成的，还

要注意去掉公共项.

21.如图，游客从某旅游景区的景点A处下上至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到

C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从8沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从

A处下山，甲沿/C匀速步行，速度为50加/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到8,

在8处停留Imin后，再从8匀速步行到C,假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山

123

路4C长为1260加，经测量cos/=—，cosC=-.

(1)求索道48的长；

(2)问：乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3)为使两位游客在。处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速度应控制在什么范围

内？

【正确答案】(1)AB=1040m(2)(3)[⑵。(单位：m/min)

374314

123

【详解】(1)在A48C中，因为cos4=石，cosC=-,

54

所以sin4=—,sinC=—,

135

从而sin8=sin[乃一(4+C)]=sin(4+C)=sinAcosC+sinCcosA=^x^-+-!y