高等数学知识点 (二)

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一.函数的概念八一，..sinx,

公式1.hm------=1

1.用变上、下限积分表示的函数i°x

(1)y=「，其中/(7)连续，则电=/(%)

公式2.limfl+—=e；limf1+—^=e；

J。dx

"f穴nJu)

(2)y=[：)/(rW，其中a(x),外⑴可导，/(，)

J劭(X)

lim(l+v)7=e

连续，

则牛=%2(X脑W-/h(x)M；(x)4.用无穷小重要性质和等价无穷小代换

ax5.用泰勒公式(比用等价无穷小更深刻)(数学一和

2.两个无穷小的比较数学二)

设limf(x)=0,limg(x)=0,且limU=I当x-»0时、ev=l+x+—+A+—+0（x"）

g(M2!n!V'

(1)/=0,称/(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以丫352n+[

sinx=x-----+—+A+（-1）"T------r+0（x2n+,）

3!5!'，（2〃+l）!、'

/(x)=0[g(x)],称g(x)是比/(x)低阶的无穷

v242”

2n

小。COSX=1-—H-------A+（--7-+0（x）

2!4!（2疝'7

(2)"0,称/(x)与g(x)是同阶无穷小。

ln（l+x）=x--+-——A+（-1）/,+1—+0（xJ

(3)/=1,称/(x)与g(x)是等价无穷小，记以23n

352〃+l

/(x)~g(x)rr

arctanx=x---\-------A+（-1）,/+1-------+0（x2/1+I）

352H+1'7

3.常见的等价无穷小

当xfon寸

（1+x）嗔1+放+铝f+A+诵吗：-（〃T）L+/，）

sin尢〜1，tanx~x,arcsinx~x,arctanx〜x

13十，17'ln(l+X)7,

6.洛必达法则

法则(与型)设()

(l+x)aax1.1lim/(x)=0,limg(x)=0

二.求极限的方法

(2)无变化过程中，/'(x),g'(x)皆存在

1.利用极限的四则运算和幕指数运算法则

2.两个准则

准则1.单调有界数列极限一定存在(3)lim-A(或8)

S(x)

(1)若x„+l<xn(n为正整数)>m(〃为正

则lim，=A（或8）

整数)，则“li—m>8x,,=A存在，且ANmg（M

(2)若>x„(“为正整数)又居WM(〃为正(注：如果lim』具不存在且不是无穷大量情形，则

g3

整数)，则limx“=A存在，且A4M

“f8

不能得出lim』!?不存在且不是无穷大量情形)

准则2.(夹逼定理)设g(x)</(x)<h(x)g(x)

若limg(x)=A,lim/i(x)=A,则lim/(x)=A法则2.(巴型)设(1)lim/(x)=oo,limg(x)=oo

00

3.两个重要公式

(2)%变化过程中，f\x),g'(x)皆存在

Editedby杨凯钧2005年10月

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值，如果对于区间［。力］上的任一点无，总有

A(或8)

则称M为函数/(x)在［a，H上的最大值。同样可以定义最

则lim用=A(或8)

小值加.。

定理3.(介值定理)如果函数/(x)在闭区间同上

7.利用导数定义求极限

连续，且其最大值和最小值分别为M和〃？，则对于介于加

基本公式：lim.(侬+©)_/(竺)=/,(%)［如果

Ax和M之间的任何实数c,在上至少存在一个使

存在］得

8.利用定积分定义求极限

基本公式lim-y/-|=［'f［x}dx［如果存在1

"T8”之\n*推论：如果函数/(x)在闭区间上连续，且了⑷

三.函数的间断点的分类

与丁⑸异号，则在(。力)内至少存在一个点J，使得

函数的间断点分为两类：

(1)第一类间断点

f团=。

设玉,是函数y=/(x)的间断点。如果/(x)在间断点

这个推论也称为零点定理

五.导数与微分计算

与处的左、右极限都存在，则称/是/(x)的第类间断

1.导数与微分表

点。(cj=O4(c)=0

第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。

(%")'=ax"T⑺实常数)G)="T右(0实常数)

(2)第二类间断点

(sinx)=cosxJsinx=cosxdx

第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断

点。

(cosx)==-sinxdcosx=:-sinxtZr

常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。

(tanx)--sec2xJtanx=sec2xdx

四.闭区间上连续函数的性质，

(cotx)==-esc2xdcotx=■-esc2xdx

在闭区间上连续的函数/(x),有以下几个基本

(secx)==secxtanxclsecx=secxtanx6Zr

性质。这些性质以后都要用到。

定理1.(有界定理)如果函数/(x)在闭区间上(escx)==-cscxcotxdesex=-esexcotxdr

连续，则/(x)必在卜力］上有界。(log。x)=,(a>0,"l)

xlna

=*(a>0,aw1)

定理2.(最大值和最小值定理)如果函数/(x)在闭dlog.x

x\na

区间卜,以上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和(inx)=-d\nx=-dx

XX

最小值机。

(a*)=aAln«(a>0,aw1)

其中最大值M和最小值机的定义如下：

定义设/(%)="是区间以上某点尤°处的函数dax=a'\nadx(a>0,aw1)

2Editedby杨凯钧2005年10月

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材'(f)存在，且9’(。力0’则

/•V_]I>dy一夕3

(。⑺HO)

Vl-X2yjl-X2dx(pr(t)

二阶导数

(arccosx)=——/1darccosx=——/】dx

71-%271-%2

2衿1/吗

d2y_1公」_=[见._±_=，(例

/v1,1,

Iarctanx)=-----aarctanx=-----dxdx2dxdtdx[”(33

]+X21+尤2

dt

(arccotx)=---darecotx=----------dx

l+x21+x2

■/______\-5.反函数求导法则

\n{x+yjx24-a2J_i

ylx2+a2设y=/(x)的反函数％=g(y)，两者皆可导,且

/\1

din卜+J/+/___!____dx/(x)*0

,777^

则g，G，)=7^)=7ra心。)

/____________Vf

\n[x+ylx2-ci2)_i

/x2-a2

/____________1

d\n\x+y/x2-a2)-dx

)1~2T二阶导数g"(y)=遐3]=I，。)]-

7x-adydx£y

2.四则运算才测dx

[/(x)±g(x)]=7'(x)土g'(x)

/⑴=.川g(>)]

=f(x)g(x)+/(x)g'(x)O

7(砌二『

a)g(x)#)gQ)D

一g(j_6.隐函数运算法则

g-⑴

设y=y(x)是由方程F(x,y)=O所确定,求y'的方

3.复合函数运噂法则

法如下：

设y=/(〃)>/=G(X),如果夕(x)在X处可导，/(〃)

把F(x,y)=0两边的各项对x求导，把y看作中间变

在对应点〃处可导，则复合函数y=/[°(x)]在x处可导,

量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y'的表达式(允

且有

dy_dydu许出现y变量)

=/'[。(无加⑴

dxdudx

对数求导法则

对应地=f'(u)du=f'\<f>{x^'[x)dx7.

先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导

由于公式力=不管”是自变量或中间变量方法得出导数y'。

都成立。因此称为一阶微分形式不变性。对数求导法主要用于：

①基指函数求导数

4.由参数方程确定函数的运算法则②多个函数连乘除或开方求导数

设x=M),y=以。确定函数〉=y(x),其中夕'«),关于塞指函数y=常用的一种方法

3Editedby杨凯钧2005年10月

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y=〃⑴m/G)这样就可以直接用复合函数运算法则进行。(1)在闭区间［a,4上连续；

8.可微与可导的关系

(2)在开区间(。乃)内可导；

/(X)在/处可微=/(X)在X。处可导。

则存在片€(“力)，使得

9.求〃阶导数(〃22,正整数)

先求出y',y〃,A，总结出规律性，然后写出y("),最后吗出

b-a

用归纳法证明。

或写成f⑹-f(a)=f^b-a)(a<.<b)

有一些常用的初等函数的〃阶导数公式

x

(1)y-e)>(")=e'有时也写成f(x0+Ax)-/(x0)=/'(%+必Ax

(2)y=ax(a>Q,a^l)y㈤=a*(lna)"(o<e<i)

这里与相当。或人都可以，©可正可负。

推论1.若/(x)在(a,»内可导,且/'(X)三0,则/(%)

(4)y-cosx>(")=cosx+—

k2)在(。乃)内为常数。

(5)y=lnxy(")=(_1)”7(九-1)!1-''推论2.若/(x),g(x)在(a,b)内皆可导,且

两个函数乘积的阶导数有莱布尼兹公式

n/'(x)三g'(x),则在(a,b)内/(x)=g(x)+c,其中c为

[〃(沙⑹⑻这小叫小"叫x)

一个常数。

k=0三.柯西中值定理(数学四不要)

〃！设函数/(X)和g(x)满足：

其中〃(o)(x)=〃(x),

k\(n—k.y

(1)在闭区间［a,9上皆连续;

丫⑹(x)=v(x)

(2)在开区间(a,b)内皆可导;且g［x)#0

假设“(x)和v(x)都是〃阶可导。

则存在Je(a,h)使得

微分中值定理

—.罗尔定理

g(H-g⑷一两(=“

设函数/(X)满足

(注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特

(1)在闭区间［a，U上连续；

殊情形g(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定

(2)在开区间(。力)内可导；

理。)

四.泰勒定理(泰勒公式)(数学一和数学二)

⑶f(a)=f(b)

定理1.(皮亚诺余项的〃阶泰勒公式)

则存在Je(a力)，使得/'化)=0

设/(X)在X。处有〃阶导数，则有公式

拉格朗日中值定理

设函数/(x)满足

…+牛(-)+粤(…J+A+乎TJ+*

4Editedby杨凯钧2005年10月

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(X-%)的一个极小值，称/为函数/(x)的一个极小值点。

其中&(6=0卜一尤0)[(尤./)称为皮亚诺函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值

点统称极值点。

余项。

2.必要条件(可导情形)

RX

limA)=o

L(x-/)")

设函数/(x)在/处可导，且与为/(x)的一个极值

前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不

同情形取适当的“，所以对常用的初等函数如

点，则/'(%)=0。

e*,sinx,cosx』n(l+xMMl+x)"(a为实常数)等的〃

我们称x满足/(%)=0的/为/(%)的驻点可导函

阶泰勒公式都要熟记。

定理2(拉格朗日余项的〃阶泰勒公式)数的极值点一定是驻点，反之不然。

极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点

设/(x)在包含/的区间(。㈤内有〃+1阶导数，在

中进-•步去判断。

[a,臼上有〃阶连续导数，则对xe\ci,b\,有公式

3.第一充分条件

毋猛+率D+金像R+A+华灯E+总设/(x)在无。处连续，在0<,一/|<6内可导，

其中R“(x)=『"(x—Xj”，(。在与与X之广(%)不存在，或/'(/)=0。

(n+1/

1°如果在九0)内的任一点x处，有

间)

称为拉格朗日余项。

f\x)>0,而在(入0，X0+b)内的任,-点x处，有

上面展开式称为以与为中心的“阶泰勒公式。当

/'(x)<0,则/(%)为极大值，九。为极大值点；

%=0时，也称为n阶麦克劳林公式。

2°如果在(4-6,%0)内的任一点x处，有

如果limR“(x)=O,那么泰勒公式就转化为泰勒级

〃一>8

/'(x)<0,而在(%0，/+3)内的任一点x处，有

数，这在后面无穷级数中再讨论。

导数的应用：

f\x)>0,则/(入0)为极小值，x0为极小值点；

一.基本知识

1.定义3°如果在一6,%)内与(与，/+b)内的任一点

设函数/(X)在(a力)内有定义，X。是(a力)内的某一

x处，/'(x)的符号相同，那么/(%)不是极值，/不是

点，则

极值点。

如果点与存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点

4.第二充分条件

Mx#/)，总有/(x)</(■%),则称/(%)为函数/(x)

设函数/(x)在与处有二阶导数，且((%)=0,

的一个极大值，称/为函数/GO的一个极大值点；

/〃(/RO,则

如果点与存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点

当/〃(/)<0时，/(X。)为极大值，X。为极大值点。

x(xHXo)，总有/(外>/(%0),则称/(•")为函数/(x)

当/〃(%)>0时，/(%)为极小值，与为极小值点。

5Editedby杨凯钧2005年10月

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y=/（x）在（a,人）内是凸的。

二.函数的最大值和最小值

1.求函数/（X）在L，以上的最大值和最小值的方法求曲线y=/（X）的拐点的方法步骤是：

首先，求出/（X）在（。,分内所有驻点和不可导点第一步：求出二阶导数/〃（X）：

第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的

%,A,xk,其次计算/（XJ,A,f（xk）,f（a）,f（b）。

点X]、、…、Xk'

最后，比较/（x,）,A,fM，f（a）,f（b）,

第三步：对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数

的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标；

其中最大者就是/（x）在[a,U上的最大值M；其中最

第四步：求出拐点的纵坐标。

小者就是/（无）在“上的最小值〃2。

四.渐近线的求法

2.最大（小）值的应用问题1.垂直渐近线

首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，若lim/（%）=00或1由/（x）=oo

+

然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。x-＞ax-^a~

则x=a为曲线y=/（x）的一条垂直渐近线。

三.凹凸性与拐点

1.凹凸的定义2.水平渐近线

设/（x）在区间/上连续,若对任意不同的两点七，若limf（x）=b,或limf（x）-b

Xf+OOXf-00

恒有

则y=b是曲线y=/（X）的一条水平渐近线。

3.斜渐近线

，（当习〉\[/&）+/（%）]/（七习＜g[/（*）+/（%）]）若lim/（"）=aH0,lim[/（x）-ax]=b

XT+81

则称/（X）在/上是凸（凹）的。或lim/（"=aw0,lim[/（x）-ax\=b

XT—QOXXf-gL

在几何上，曲线y=/（x）上任意两点的割线在曲线下则y=ax+6是曲线y=/（x）的一条斜渐近线。

五.曲率（数学一和数学二）

（上）面，则＞=/（x）是凸（凹）的。

设曲线y=/（x）,它在点M（x,y）处的曲率

如果曲线＞=/（x）有切线的话，每一点的切线都在曲

k=.—~若ZKO,则称/?='为点M（x,y）处

线之上（下）则丁=/（x）是凸（凹）的。[1+（力叶卜

2.拐点的定义的曲率半径，在M点的法线上，凹向这一边取一点。，

曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。

使|MD|=R,则称。为曲率中心，以。为圆心，R为半

3.凹凸性的判别和拐点的求法

径的圆周称为曲率圆。

设函数/（x）在（。力）内具有二阶导数/"（X）,

不定积分

如果在（a,少内的每一点X,恒有/〃（x）＞0,则曲线

--基本积分公式

y=/（x）在（a,b）内是凹的;ya+\

1.[xadx=-—+C（aw-1,实常数）

Ja+1

如果在（。乃）内的每•点x,恒有/"（x）＜0,则曲线

6Editedby杨凯钧2005年10月

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r1」是非常熟练地凑出微分。

2.1—dx=：lnx|+C

JX常用的几种凑微分形式：

x(Q>0,awl)(1)Jf[ax+b)dx=—jf^-\-b)d[ax+b)

3.二=­a+C

\na

|exdx-:+c（"。）

}nn

4.cosxdx=sinx+C(2)J7(tu"+b)x"-dx=—\f(ax+b)d(ax+b}

5.sinxdx=-COSX+C(aw0,〃w0)

(3)j/(inx)^=j/(inx)/(lnx)

8.tanxsecxtZr=secx+C

9.cotxcscxdLr=-cscx+C

10.Jtanxdx=-ln|cosx|+C(6)\f(ax)axdx=^f(ax)d(ax)

11.Jcotxdx=ln|sinx|+C(a>Q,aw1)

12.jsecxdx=ln|secx+tanx|+CJ7(e»d=J/(e'M")

13.Jescxdx=ln|csc.r-cotx|+C(7)J/(sinx)cosxdx=J/(sinx)j(sinx)

pdx(8)j/(cosx)sinxdx=-j/(cosx)t/(cosx)

14.一Qrr*Qin*4-r(a>0)

a

(9)j/(tanx)sec2xdx=j/(tanx)6f(tanx)

f公.1X(a>0)

15.J+/=—arctan--FC

aa(10)J/(cotx)csc2xdx=-j/(cotx)j(cotx)

f》_a+x(a>0)

16.122—In+cj/(secx)secxtanxdx=J/(secx)J(secx)

Ja-x2aa-x(11)

「dx(12)j/(escx)cscxcotxdr=-J/(cscx)j(cscx)

17.=In2±a2+C(a>0)

Vx2±/

j/(：csinQdx={/(arcsinx)t/(arcsinx)

(13)

71-x2"

二.换元积分法和分部积分法

1.第一换元积分法（凑微分法）j/,cco：»dx--^/(arccosx)j(arccosx)

(14)

设］7（“卜〃=网〃）+C,又e（x）可导，则

j/(：cta;x)公=J/(arctanx.(arctanx)

(15)

J/[e(x)b(xZ=J八夕(尤)ke(x)=Jc;tx)公_/(a%cotx)d(arccotx)

(16)

=F(w)+C=F[^9(x)]+C

这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就

7Editedby杨凯钧2005年10月

设“(X),v(x)均有连续的导数，则

2.第二换元积分法

设x=p(f)可导，且夕'(。/0,若ju(x)dv(x)=H(JC)V(X)-jv[x}du{x}

J./Mr)]d(r)dr=G(f)+C,

或JM(XMX)必:=M(X)V(X)-ju'(x)v(x)dx

则

使用分部积分法时被积函数中谁看作“(x)谁看作

+CG，(x)]+C

M(x)有一定规律。

其中/=为x=0(。的反函数。

(1)Pn(力故，P„(x)sinax,Pn(x)cosax情形,

第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数，通过

%(x)为〃次多项式，。为常数，要进行“次分部积分法,

换元把根式去掉，其常见的变量替换分为两大类：

第一类：被积函数是x与病法或x与J竺辿或每次均取e",sinar.cosar为/(九)；多项式部分为

、cx+d

“(X)。

由/构成的代数式的根式，例如yjaex+b等。

(2)£,(x)lnx,匕(x)arcsinx,〃(x)arctanx情

只要令根式4丽=，解出x=°(f)已经不再有根

形，匕(x)为〃次多项式取匕(x)为M(x)，而Inx,

式，那么就作这种变量替换x=°(f)即可。

arcsinx,arctanx为“(x),用分部积分法一次，被积函

第二类：被积函数含有JA^+BX+C(A=O),

数的形式发生变化，再考虑其它方法。

如果仍令JAA?+5x+C=r解出x=仍是根号,那(3)eaxsinbx,e。'cos法情形，进行二次分部积分

么这样变量替换不行，要作特殊处理，将A>0时先化为法后要移项，合并。

JA『7O)2±/2],A<0时，先化为(4)比较复杂的被积函数使用分部积分法，要用凑微

8Editedby杨凯钧2005年10月

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分法，使尽量多的因子和心:凑成

xw[a,“称为变上限积分的函数

一.定积分的概念与性质