2023-2024学年人教A版必修第二册 8-6-3 第一课时　平面与平面垂直的判定 课件（60张）

第一课时平面与平面垂直的判定新课程标准解读核心素养1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系数学抽象2.了解二面角的相关概念，平面与平面垂直的定义逻辑推理3.归纳出平面与平面垂直的判定定理数学运算知识梳理·读教材01题型突破·析典例02知能演练·扣课标03目录CONTENTS01知识梳理·读教材⁠

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如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉.问题你认为应该怎样刻画不同的面面“夹角”呢？

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⁠知识点一

二面角1.定义：从一条直线出发的两个

半平面⁠所组成的图形叫做二面角.半平面2.相关概念二面角的棱二面角的面记法AB（l）α，β二面角α-AB-β；二面角α-l-β；二面角P-l-Q；二面角P-AB-Q3.二面角的平面角（1）定义：在二面角α-l-β的棱l上

任取一点O

⁠，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作

垂直⁠于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角；（2）范围：

0°≤α≤180°

⁠；任取一点O

垂直0°≤α≤180°

（3）直二面角：平面角是直角的二面角.二面角与平面几何中的角有什么区别？提示：平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.知识点二平面与平面垂直1.平面与平面垂直的定义（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是

直二面角⁠，就说这两个平面互相垂直；（2）画法：（3）记作：

α⊥β

⁠.直二面角α⊥β

2.平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的

垂线⁠，那么这两个平面垂直符号语言a⊂α，a⊥β⇒α⊥β图形语言⁠

⁠垂线提醒

判定定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线.“过平面外一点，有且只有一个与已知平面垂直的平面”对吗？提示：不止一个，事实上有无数个，过平面外一点可以作平面的一条垂线，过该垂线可以作出无数个平面，由平面与平面垂直的判定定理可知这些平面都与已知平面垂直，所以过平面外一点，可以作无数个与已知平面垂直的平面.⁠

⁠1.如图所示的二面角可记为（

）A.α-β-lB.M-l-NC.l-M-ND.l-β-α解析：根据二面角的记法规则可知B正确.故选B.2.在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是（

）A.AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB.AO⊥l，BO⊥lC.AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD.AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β3.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面（

）A.有1个B.有2个C.有无数个D.不存在解析：由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个.02题型突破·析典例⁠

⁠题型一二面角大小的计算【例1】如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.（1）求二面角A-PD-C的大小；解（1）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD.∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角A-PD-C的大小为90°.（2）求二面角B-PA-C的大小.解（2）∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.即二面角B-PA-C的大小为45°.通性通法求二面角大小的步骤⁠

⁠

简称为“一作二证三求”.提醒

作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要，选择特殊点做平面角的顶点.⁠

⁠在正四面体A-BCD中，二面角A-CD-B的平面角的余弦值为（

）

题型二平面与平面垂直的证明【例2】如图所示，在四面体A-BCS

中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.证明法一（定义法）

因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点D，连接AD，SD，如图所示，则AD⊥BC，SD⊥BC，在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，

在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD⊥平面SBC.又因为AD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.法二（判定定理法）

因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以SA＝AB＝AC，所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.因为△SBC为直角三角形，通性通法证明面面垂直常用的方法（1）定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；（2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；（3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.⁠

⁠1.如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.证明：∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC.∵BD⊂平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC.

⁠

⁠1.下列说法：①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系.其中正确的个数是（

）A.0B.1C.2D.3解析：根据二面角的定义知①两个相交的半平面所组成的图形叫做二面角，故错误；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作棱的垂线所成的角，故错误；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置无关，故错误.所以①②③都不正确.故选A.2.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角（

）A.相等B.互补C.相等或互补D.关系无法确定解析：如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，因为二面角H-DG-F的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定.3.如图所示，在三棱锥A-BCD中，AD⊥BC，BD⊥AD，且△BCD是锐角三角形，那么必有（

）A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BCDD.平面ABC⊥平面BCD解析：∵AD⊥BC，BD⊥AD，BC∩BD＝B，BC⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AD⊥平面BCD，∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD.故选C.4.如图所示，AB是☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为

⁠.

解析：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是☉O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，故二面角P-BC-A的大小是45°.答案：45°03知能演练·扣课标⁠

⁠1.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（

）A.0个B.1个C.无数个D.1个或无数个解析：当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个.故选D.2.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（

）A.m⊥n，m∥α，n∥βB.m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC.m∥n，n⊥β，m⊂αD.m∥n，m⊥α，n⊥β解析：∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.3.如图，三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A-BB1-C的大小是（

）A.30°B.45°C.60°D.90°解析：三棱台ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，则BC⊥BB1，又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以B1B⊥平面ABC，所以∠ABC为二面角A-BB1-C的平面角，因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°.故选C.4.在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（

）A.平面PAB⊥平面PADB.平面PAB⊥平面PBCC.平面PBC⊥平面PCDD.平面PCD⊥平面PAD解析：由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥AD，PA⊥CD，又底面ABCD为矩形，∴AD⊥AB，CD⊥AD，而AB∩PA＝A，AD∩PA＝A，∴AD⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，又BC∥AD，∴BC⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，选项A、B、D可证明.故选C.5.（多选）已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，则下列命题中正确的是（

）A.若α∥β，l∥β，则l∥αB.若l⊥α，l⊥β，则α∥βC.若l⊥α，l∥β，则α⊥βD.若α⊥β，l∥β，则l⊥α解析：对于A，若α∥β，l∥β，则l∥α或l⊂α，故A不正确；对于B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故B正确；对于C，如图，若l⊥α，l∥β，过l的平面γ与β相交，设交线为m，∵l∥β，l⊂γ，β∩γ＝m，则l∥m，∵l⊥α，则m⊥α，∵m⊂β，故α⊥β，故C正确；对于D，若α⊥β，l∥β，则l与α不一定垂直，故D不正确；故选B、C.

A.平面A'BD⊥平面BDCB.平面A'BD⊥平面A'BCC.平面A'DC⊥平面BDCD.平面A'DC⊥平面A'BC

7.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱AD，BC的中点，则平面C1D1EF与平面EFCD所成的二面角的余弦值为

⁠.

8.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝

⁠.

答案：19.如图，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有

⁠（写出全部正确命题的序号）.

①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABD⊥平面BCD；③平面ABC⊥平面BDE；④平面ACD⊥平面BDE.解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，因为BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.答案：③④10.如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小.

12.（多选）如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的是（

）A.平面EFG∥平面PBCB.平面EFG⊥平面ABCC.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D.∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角解析：对于A，因为点E，F分别是AB，AP的中点，所以EF∥PB，又EF⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC.同理，EG∥平面PBC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面PBC，因此A中结论正确；对于B，因为PC⊥BC，PC⊥AC，BC∩AC＝C，所以PC⊥平面ABC.又FG∥PC，所以FG⊥平面ABC，又FG⊂平面FGE，所以平面FGE⊥平面ABC，因此B中结论正确；对于C，在平面PBC中，由BC⊥PC，得∠BPC为直线BC与直线PC所成的角，又EF∥BP，所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角，因此C中结论正确；对于D，由于FE，GE与AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB与平面