2024届河北省保定市高三上学期期末数学试题和答案

2023—2024学年度第一学期高三期末调研考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔2B把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用格皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.Axx2x60，B2,3，则AB（）1.集合A.C.3D.2,3B.22.已知i为虚数单位，且zi1i，则zz（A.1B.2C.3.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）D.2）A.//，m//，则m//C.mn，m，n//，则2xm,x0B.m，n，m//，n//，则//D.m，m//n，//，则n4.若fx是奇函数，则（）nxx0A.m1，n2C.m1，n2B.m1，n2D.m1，n25.已知锐角的顶点在原点，始边在x轴非负半轴，现将角的终边绕原点逆时针转后，交以原点为圆心345的单位圆于点P,y，则cos的值为（）334433433334A.B.C.D.1010101034556.已知向量a,，b为单位向量，且满足abb2a，则向量b在向量a方向的投影向量为（）11553455321056855A.,B.,C.,D.,7.保定的府河发源于保定市西郊，止于白洋淀藻杂淀，全长26公里.府河作为保定城区主要的河网水系，是城区内主要的排沥河道.府河桥其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，是我市的标志性建筑之一，悬链线函数形式xxeeaxx为yee，当其中参数a1时，该函数就是双曲余弦函数coshx，类似地有双曲正弦aa22exex函数sinhx.若设函数fxsinhxcoshx，若实数x满足不等式f3x4fx0，则x22的取值范围为（）A.4,1B.1,4C.1D.1,4x22y228.在椭圆1（ab0）中，F，F分别是左，右焦点，P为椭圆上一点（非顶点），I为12ab△IF1F213△PFF内切圆圆心，若，则椭圆的离心率e为（）12S△PF12131233A.B.C.D.32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.从50个个体中随机抽取一个容量为20的样本，则每个个体被抽到的概率为0.4B.数据11，19，15，16，19众数是19，中位数是15C.数据0，1，5，6，7，11，12，这组数据的第70百分位数为7D.对于随机事件A与B，若PB0.3，PBA0.7，则事件A与B独立110.先将函数fx位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数gx的图象，则关于函数gx，下列说法正确的是（A.最小正周期为sinx图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把图象向右平移个单2）B.在上单调递增44223C.x,时gx,2D.其图象关于点,0对称211.已知曲线C：mx21my21，则以下说法正确的是（）1A.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则0m2B.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则其短轴长取值范围是2,2212m1mC.曲线C为椭圆时，离心率为mm1D.若曲线C为双曲线，则浙近线方程为yx12.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在四面体S中，△ABC是直角三角形，B为直角，点E，F分别是SB，BC的中点，且AESC，SAAB2，26，BC4，则（）A.平面B.四面体S是鳖臑C.E是四面体S外接球球心D.过A、E、F三点的平面截四面体S的外接球，则截面的面积是3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆O：x2y4，过M3作圆O的切线l，则直线l的倾斜角为______.214.保定某中学举行歌咏比赛，每班抽签选唱5首歌曲中的1首（歌曲可重复被抽取），则高三1班和高三2班抽到不同歌曲的概率为______.log7b1315.等差数列a前13项和为91，正项等比数列b满足ba，则blog72nn7771______.16.已知不等式e1baxb对任意的实数x恒成立，则的最大值为______.aa四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3AasinCb.（1）求角C的大小；（2）若ACB的角平分线交AB于点D，CD4，AD2DB，求a.18.（12分）在菱形ABCD中，23，BCD60，E，F分别为AB，CD的中点，将菱形ABCD沿BD折起，使，M为线段BD中点.（1）求大小；（2）求直线AC与平面所成角的大小.19.（12分）n11在正项数列a中，a3，且12nn2.nann是常数列，并求数列a的通项公式；n（1）求证：数列n314Sn（2）若bn，记数列b的前n项和为S，求证：.n1a1nn16n120.（12分）p2已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，准线交y轴于点E，点H,p，若△的面积为1，过点H作拋物线C的两条切线切点分别为M，N.（1）求p的值及直线MN的方程；（2）点B是抛物线弧MN上一动点，点B处的切线与，分别交于点C，D，证明：MCCHHDDN.21.（12分）杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素.本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情.某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束.规定：到达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢得一组吉祥物.假设平地记为第0步台阶.记队员到达第n步台阶的概率为P（0n8），记P1.n0（1）投掷4次后，队员站在的台阶数为第X阶，求X的分布列；n1（2）（ⅰ）求证：数列PP（1n7）是等比数列；n（ⅱ）求队员赢得吉祥物的概率.22.（12分）1已知函数fxexax2.2（1）若fx在上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若fx有两个极值点分别为x，x（x22），当1时，证明：11.121高三期末调研数学试题参考答案一、选择题1B2345678DDADCAB二、选择题9101112ACDABABDABD三、填空题45313.（或写为150°）14.15.1316.362四、解答题17.【解】（1）由cAasinCb及正弦定理，可得3sinCAsinAsinC3sinB.因为sinBsinACsinACAsinC，所以sinAsinC3sinAC.又sinA0，所以sinC3C，则tanC3，又C，所以C.3（2）∵CD为ACB的平分线，AD2DB，1BCdACd△BCD△ACDBDAD设点D到BC和AC的距离为d，则2，12BCBD即，∴b2a，又∵△ACD△BCD△ABC，ACAD1113∴4bsin4asinabsin，则有aa2，2626232∴a23或a0（舍去），所以a23.（2）方法2：∵CD为ACB的平分线，AD2DB，由内角平分线性质定理，b2a，又∵C由余弦定理AB2a，∴B，323又∵AD2DB，∴BDa，又∵CD4，3a2∴在RtCBD中，a216，∴a23.318.【解】（1）方法1：由已知得三棱锥ABCD为正四面体，棱长为23，又∵E，M，F分别为AB，BD，CD中点∴EM3又∵AFBF3，∴EF6∵EM2EF2，∴，∴902方法2：取BC中点N，连接∵ANBC，，N∴平面AND，∴BCAD又∵EM//AD，//∴，∴90方法3：∵M为BD中点，∴AMBD，CMBD，∴平面，∴平面AMC平面，平面平面BCDCM，∴过A作AOCM，则AO平面，以O为坐标原点，所在直线为x轴，过O作CD垂线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.B3,0，D3,0，C2,0,0，A0,0,221211123,03,22，BC221EM33，∴，∴9004（2）∵M为BD中点，∴AMBD，CMBD，∴平面，∴平面AMC平面，平面平面BCDCM，∴过A作AOCM，则AO平面，以O为坐标原点，所在直线为x轴，过O作CD垂线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.B3,0，D3,0，C2,0,0，A0,0,221211123,03,22，BC22设平面法向量为nx,y,znEM0x3y22z0得nMF03x3y0令x1，则y3，z2，∴n3,22461222,0,22，∴sinn,AC2∴AC与平面所成角为45°n2n119.【解】（1）方法1：aaaaa2，aaaa2，12nn1n112nnn21，即aa2n1nn1an1n相除得aan所以ann1，即nan1nan，1n1n1nn2211所以，所以，所以lg3n1nn1n1an结合lg3，即数列是常数列nn1n所以ann3lg3n，所以n3nn1（1）方法2：∵aaaa2，12nnn1两边取对数得，aaaan①123n2n∴aaaaa②123n1n12n1nnn1①－②得.annaaa，即an，nn1n12222n1an∴n1.所以lg3，即数列是常数列，nn1n1n所以ann3lg3n，所以n3nn3n111（2）bnnn3311a1nn12n131n11111111Sn.n2311321321331n1311111n1114Sn23113114231n113又因为Sn単调递增，所以SS，n116314即Sn1611p20.【解】（1）△即拋物线方程为C：xxHp1，所以p222224y，H2x2x方法1：C：y，y，4220402x,，切线斜率为设切点0x2120，此切线过H2xxx切线方程为y004解得x2，或x4，得两切点坐标M2,1，N4,4.00所以直线MN方程为x2y40方法2：设Mx,y，Nx,y，在拋物线上，所以x2141，x224y2，11221212y1xxx112yy12yy1切线方程分别为：yy2xxx2222x2121，即Mx,y，Nx,y均在直线x2y2上，1122又因为两切线相交于H22x2y22即x2y40.（2）方法1：设切点Bx,y，（2x4）BBBx2121xB42B化简得yxBxxxx可得过B点切线为：yBB42x1由第一问方法知M2,1，H2点，可得直线方程为y1联立解得C点横坐标CxB121同理由N，H坐标可得直线方程y2x4，可得D点横坐标xDxB2211xB1xB1C2xD14D2，2结论得证CH1x112x2xCBB2212yy121相减：xH方法2：2yy2221212xxx11Bx,y，过B的切线yyxxx，交yy3333311x2x得xC3，同理xD3，221x31CH1C1x2323，xHC1x2x13221xxx232NDxHxD1323222xDx2322MCCHHD所以DN21321.【解】（1）解：由题意得每轮游戏爬一步台阶的概率为，爬两步台阶的概率为3所以随机变量X可能取值为4，5，6，7，82416312324514可得PX，PXC3813381221312248128682734PXC4，PXC333381411PX381所以X的分布列：X456788132812481P（2）解：（ⅰ）证明：n1，即爬一步台阶，是第1次掷骰子，213向上点数不是3的倍数概率p，则pp1103到达第n步台阶有两种情况：①前一轮爬到第n2步台阶，又掷骰子是3的倍数得爬两步台阶，其概率为1pn232②前一轮爬到第n1步台阶，又掷骰子不是3的倍数爬一步台阶，其概率为n13123所以nn2n1（n,7）31所以pnpn1pn1pn2（n,7）311所以数列np（n,7）是首项为，公比为的等比数列.n133（此题也可用概率知识分别求出p，p，……，p具体值，再一一验证也可.）12