【教案】倾斜角与斜率1课时说课稿高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.1.1 倾斜角与斜率（1课时，说课稿）各位评委老师好！我说课的课题是“倾斜角与斜率”，我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学方法、教学过程五个方面进行阐述.1 教材分析1.1 课标定位直线和圆是平面几何中已经研究过的图形，本章用解析几何的方法进行再研究，可以使学生体会解析几何方法的特点.本章首先在平面直角坐标系中，探索确定直线位置和圆的几何要素；然后用代数方法刻画直线的斜率、两点间的距离.在此基础上，建立直线和圆的方程；用方程研究两条直线的位置关系、交点坐标、点到直线的距离以及直线与圆、圆与圆的位置关系；解决简单的数学问题和实际问题，初步感悟平面解析几何蕴含的数学思想.以上是《普通高中数学课程标准（2017年版）》对本章内容的整体定位，也是本章单元教学设计的指导思想.1.2 内容“倾斜角与斜率”是普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章“直线和圆的方程”中“2.1直线的倾斜角与斜率”的第1课时，也是第二章的起始课.2.1节包含两课时内容：2.1.1倾斜角与斜率；2.1.2两条直线平行和垂直的判定.“2.1直线的倾斜角与斜率”知识结构图（图1）图1本节课内容包括直线的倾斜角和斜率的概念，倾斜角与斜率之间的关系，过两点的直线斜率公式.运用直线的斜率判断两条直线平行或垂直的位置关系是下一课时研究的课题.1.3 内容解析解析几何的研究对象是几何图形，坐标法是解析几何中最基本的研究方法.坐标法的基本内涵和方法是：通过坐标系，把几何的基本元素——点和代数的基本对象——数（有序数对或数组）对应起来，在此基础上建立曲线（点的轨迹）的方程，从而把几何问题转化为代1数问题，再通过代数方法研究几何图形的性质.章头图展示了黄河大桥上的旭日，描述的是“黄河旭日圆”的生动景象，图中既有直线形图形，也有圆，明确了本章的研究对象是直线、圆.直线是平面几何中已经研究过的图形，并且过去学习的一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线.教材把直线作为解析几何学习起始阶段的第一个研究对象，通过建立直线的方程，研究它的有关问题.这样安排，一方面容易建立与平面几何的联系，另一方面，有利于学生构建研究的路径，使学生在比较中体会坐标法的特点.本节课主要研究如何用代数方法来刻画直线的方向.两点确定一条直线，可以归结为一点和一个方向确定一条直线.方向是直线的重要几何要素.直线的倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线的方向.课程标准强调“在平面直角坐标系中认识平面图形的几何特征”，就是强调直角坐标系的参照系作用.对于直角坐标系中的直线l，我们利用x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α的大小来刻画直线的方向，α叫做直线l的倾斜角（图2）.过两点的直线斜率公式把直线的倾斜角（方向或倾斜程度）与其上两点的坐标联系起来，实现了对直线几何特征的代数刻画.直线的斜率公式是解析几何中的基本公式，是建立直线方程的基础.图2本节课用代数方法研究直线的有关问题的基本步骤是：首先探索在平面直角坐标系中确定直线位置的几何要素（点、方向）；然后用代数方法表示这些几何要素.通过一点和一个方向可以确定一条直线，引入倾斜角刻画直线的倾斜程度（方向）；接着通过具体实例，由特殊到一般，通过向量法，用直线上两点的坐标刻画倾斜角，把倾斜角的正切值表示为这两点纵坐标的差与横坐标的差的商，进而引出直线的斜率的概念；最后推导过两点的直线的斜率公式，以及直线的斜率与其方向向量的关系.本节课是解析几何单元的开篇，承担着从宏观上明确研究对象、构建研究框架、形成研究路径等任务.所以，在开篇伊始就要注重解析几何基本思想、用坐标法解决问题的基本套路（即“一般观念”）的渗透，这是本教学设计的一个基本指导思想.1.4 教学重点2直线的倾斜角、斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式.2 学情分析2.1 认知基础分析学生在初中阶段学习了平面直角坐标系的相关概念，知道了直角坐标系中点与有序实数对之间的一一对应关系.在平面几何中，学生比较系统地经历了用综合法研究直线的位置关系等.在函数的学习中，学生比较充分地感受到了在直角坐标系中研究变量关系和规律的意义，特别是函数图象所提供的几何直观在研究函数性质中的作用，学生已经掌握了一次函数的图象是一条直线.所有这些都成为本单元的学习基础.2.2 教学问题诊断分析尽管学生对直角坐标系已经非常熟悉，但将它作为一个研究几何图形的工具，这是第一次.学生对于坐标系作为一个参照系，在刻画直线位置时如何发挥其作用，之前没有这方面的经验，因此他们对为什么不用“两点确定一条直线”而是以一个点和一个方向作为确定直线位置的几何要素，会感到困惑.教学中，要通过对直角坐标系的要素分析，使学生明确坐标轴的定向功能和原点的基准点作用，从而理解直角坐标系作为“参照系”的内涵，并进而理解把“方向”作为确定直线位置的几何要素的合理性，这是为了发挥直角坐标系的作用的需要.学生对“直线的方向”的认知不深刻，因此对“直线的区别是它们的方向不同”，“x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角”等说法都会有困惑.教学中要通过适当的情境，引导学生理解用直线与x轴所成的角不能区分清楚直线的方向，以及利用x轴正向与直线l向上的方向之间的“方向差”（即倾斜角）区分直线方向的合理性.如何引入斜率概念？以往的做法是借助生活中的“坡度”概念.虽然“坡度”所刻画的“陡峭程度”与斜率具有一致性，但这不是“利用直角坐标系将几何元素代数化”的过程，在数学内容的连续性上稍有逊色.而且有明显的不方便之处，当倾斜角是钝角时，按照生活常识，其坡度仍然是正数，即倾斜角互补的两条直线的坡度是一样的，此时无法建立倾斜角与纵横坐标差商之间的一一对应关系，不利于表达问题.所以，人教A版新教材采取了一个全新的处理方法：以“一个点一个方向”和“两个点”都能唯一确定一条直线，那么它们一定有内在联系（可以相互转换）为指导思想，在已知直线上两个点的坐标时，通过向量法把直线倾斜角的正切表示为两点纵横坐标的差商，进而把倾斜角的正切定义为斜率，同时得到过两点的直线斜率的计算公式.现在教科书这种处理方式是从数学内部逻辑联系的角度考虑，挖掘与已有知识的联系，特别是与向量的联系，建立角度与坐标两者之间的逻辑关系.这个过程非常简洁，但对学生的抽象思维要求很高，要联系向量、三角函数等相关知识，还要3进行分类讨论，所以难度很大.教学中，要根据教材设计的从具体到抽象的过程，在建立倾斜角代数化的思路、直线方向向量的坐标表示、用倾斜角的正切表示倾斜程度、分类讨论的必要性等方面加强引导.2.3 教学难点基于以上认知基础分析和教学问题诊断分析确定本节课的教学难点是：把方向作为直角坐标系中确定直线位置的几何要素，把直线的方向转化为直线的倾斜角，建立倾斜角与直线上两点之间的关系，直线斜率计算公式的推导.突破难点的策略：教学中，在知识生成的关键点处充分发挥平面向量的作用.借助向量工具，引导学生将两点确定一条直线归结为一点和一个方向确定一条直线；借助信息技术，引导学生观察过一点的不同直线的区别，帮助学生建立直线的方向和倾斜角之间的联系；通过向量方法从特殊到一般的过程，引导学生层层递进地理解用点的坐标的差商刻画直线的倾斜角的方法，建立直线的斜率公式.向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁.向量方法的运用突出了几何直观与代数运算之间的融合.3 教学目标3.1 目标根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》对本节教学的要求并结合学情分析确定以下教学目标：在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.2 目标解析达成上述目标的标志是：能以直角坐标系为参照系，得出直角坐标系中确定直线位置的几何要素——一点和一个方向.能准确说出直角坐标系中刻画直线方向的几何方法，能说明用倾斜角刻画直线倾斜程度的合理性.能用向量法推导过两点的直线斜率的计算公式，能说出其中所蕴含的数学思想和方法.在探索确定直线位置的几何要素、定义直线的倾斜角和斜率的概念以及推导过两点的直线斜率的计算公式的过程中，体会坐标法思想，发展数学抽象、逻辑推理、直观想象、4数学运算等素养.4 教学方法4.1 教法问题是数学的心脏，是思维的生长点.为了充分调动学生学习的积极性，本节课釆用问题导向式教学法和启发式教学法，用环环相扣的问题将教学活动层层推进，使教师总是站在学生思维的最近发展区，培养学生的发现与提出问题、分析与解决问题的能力.另外，课堂教学融合信息技术.通过PPT演示为学生揭示解析几何的创始；应用GeoGebra直观演示直线的倾斜角，突破难点；使用同屏软件实时分享学生的探究成果，提升课堂参与度,并充分发挥生生互评、师生互评的评价效能.4.2 学法为了体现学生是课堂的主人、教学的主体，让学生参与教学全过程，让学生自觉思考、自主探究、自我感悟，培养学生主动观察、分析、交流、合作、类比、归纳的学习方法及能力.5 教学过程5.1 教学流程（图3）图3这个过程是对“直线”这个几何研究对象逐步代数化的过程，把“形”逐步转化为“数”，用“数”表示“形”.这个过程是解析几何研究几何图形的基本过程，它是不断深化、不断精致的过程，体现了坐标法的思想：用代数方法刻画直线的几何特征.5.2 教学环节环节一 感悟历史，引出课题问题1：回顾平面几何的学习，我们主要研究了哪些类型的图形？所用的研究方法是什5么？师生活动：教师引导学生回顾平面几何中的研究对象、研究方法，在此基础上指出本章要用解析几何的方法即“坐标法”对这些对象进行再研究.利用教师自制的微视频介绍解析几何的背景知识.特别说明坐标法的基本思想，即几何问题代数化，借助坐标系把几何问题转化为代数问题，再通过代数方法研究几何图形的性质.结合章头图，指出本章的研究对象是直线和圆.设计意图：通过与平面几何研究对象和研究方法的对比，引导学生明确解析几何的研究对象也是直线和圆等几何图形，但研究方法不同.通过对解析几何的背景介绍，使学生了解坐标法的基本思想，初步构建用坐标法研究曲线的整体框架，为用代数方法研究直线做好铺垫.环节二 抽象概念，建立联系引导语：本节课我们从最简单的几何图形——直线开始研究.根据上述研究思路，为了用代数方法研究直线，首先要明确在直角坐标系中确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示岀来.问题2：确定一条直线的几何要素是什么？师生活动：学生独立思考、作答.在学生回答“两点确定一条直线”后，教师继续用问题进行引导.追问1：如图4，对于直角坐标系中的一条直线l，还有没有其他确定一条直线的方法？图4师生活动：回顾向量的知识，教师启发学生利用直线上两点可以得到直线的方向向量.除了点之外，方向也是确定直线位置的一个重要几何要素，进而得出一点和一个方向也能确定一条直线，把两点确定一条直线归结为一点和一个方向确定一条直线.追问2：观察图中（图5）经过定点P的直线束，它们的区别是什么？6图5师生活动：引导学生体会直线的方向不同，即相对于x轴的倾斜程度不同.追问3：如何表示这些直线的方向？你能利用坐标系中的要素刻画这些直线的方向吗？师生活动：根据习惯，并借助坐标轴的“定向”作用，定义直线向上的方向为这条直线的方向.教师引导学生以x轴为基准思考这些直线的差异，发现这些直线相对于x轴的倾斜程度不同.教师利用动态课件演示直线l以点P为旋转中心，从与x轴重合的位置开始，逆时针旋转到与x轴再次重合的过程，通过直观动态演示、互动交流，最终使学生认识到，利用x轴正方向与向上方向的射线所成的角，如图6中的α1，α2，α3，…，就可以刻画“直l相对于x轴的倾斜程度”，所以可以称这样的角为“倾斜角”.可以看到，过点P的直线与倾斜角是一对一的.图6在此基础上，推广到一般，给出倾斜角的定义：当直线l与轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.追问4：你认为直线的倾斜角在什么范围内变化？师生活动：教师再次用动态课件演示直线l从与x轴平行或重合时开始绕直线上一个点旋转的过程，让学生直观感受直线的倾斜角的变化范围是0°≤α＜180°.然后教师采取边问边答的方式，使学生明确：平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，我们可用7倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.设计意图：围绕“探索直角坐标系中确定直线位置的几何要素”这一任务，以发挥直角坐标系的定位功能为思维导向，通过问题引导学生开展探索活动：第一步，在两点确定一条直线的基础上，引导学生认识到一点和一个方向也可以确定一条直线，方向是直线的一个重要几何要素，从而把直线的代数化转化为方向的代数化.第二步，定义直线的方向.第三步，以直角坐标系为参照系，让学生通过观察过同一点的不同方向的直线，探索利用坐标轴把这些直线区分开来的几何条件，在动态几何软件的帮助下实现从“倾斜程度”（定性）到“倾斜角”（定量）的过渡.推广到一般，得出倾斜角的定义.第四步，借助信息技术的直观，引导学生讨论直线倾斜角的范围，感受用倾斜角定量刻画直线的方向，是确定的、唯一的，体会在直角坐标系中利用倾斜角刻画直线方向的合理性.这是在“以直角坐标系为工具刻画直线的几何要素”这个目标引领下的探究活动，以坐标法思想为指导，使学生在解析几何入门阶段就对如何发挥坐标系的作用留下深刻印象，有利于学生理解倾斜角概念的内涵，并在概念形成过程中提升理性思维水平.问题3：在平面直角坐标系中，一条直线l可以由一个点和一个倾斜角唯一确定.另一方面，设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，由两点确定一条直线可知，直线l由点P1，P2唯一确定.所以，可以推断，直线l的倾斜角一定与P1，P2两点的坐标有内在联系.到底具有怎样的联系？你觉得可以用什么方法来建立这种联系？师生活动：先让学生思考，请有想法的学生说一说思路，然后教师再进行引导性提问：如何用坐标刻画“倾斜角”？你之前学过的知识里有没有用坐标刻画角的例子？师生活动：对于问题(1)，学生根据条件作出图形，先独立思考，再通过讨论、对比正弦、余弦和正切函数的定义，发现用点P的坐标表示倾斜角α的正切比较方便，如图7(1).每一种情况下都有tany2y1.x2x1追问3：当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？当直线P1P2与y轴平行或重合时，情况又如何？师生活动：由学生独立完成、回答.在此基础上，教师进行归纳，给出直线斜率的概念：综上可知，直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的坐标有如下关系：tany2y1.此式右边是一个比率，而α是刻画直线倾斜程度的几何要x2x1素,将“倾斜程度”和“比率”结合，我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.这样，利用正切函数把倾斜角（几何）对应R上的实数——斜率k（代数），更有利于我们用代数方法研究几何问题，实现了用代数方法表示方向这一几何要素的目标.追问4：若已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，运用上述公式计算直线P1P2的斜率时，与P1，P2两点的顺序有关吗？设计意图：问题3将直角坐标系下两种确定直线位置的几何要素联系起来，在“同一对象的两种表示一定有内在联系，可以相互转化”的思想指导下，提出问题，并启发学生从“如何用坐标刻画角”的角度思考把直线的倾斜角和直线上两点的坐标联系在一起，进而想到三角函数的定义.根据平移的几何直观，想到借助向量法来解决问题，让学生感受平面向量及其方法在研究几何图形性质方面的便捷性，体会几何直观与代数运算之间的融合.问题3的探究分为三个层次：第一个层次是由经过原点的直线上的另一个具体点（包括原点共两个点）的坐标刻画直级的倾斜角；第二个层次是由不经过原点的直线上的两个具体的点的坐标刻画直线的倾斜角；10最后一个层次是由经过直线上任意两点的坐标刻画直线的倾斜角.由于平移后直线的倾斜角不变，后面两个问题都可以转化为第一个问题.三个问题按照从特殊到一般、由具体到抽象顺次展开，逐步引导学生用直线上两点的坐标刻画直线的倾斜角，把直线的方向进一步代数化.在补充特例（直线与x轴平行或重合）后给出直线斜率的概念.在探究中体会向量的工具作用，体会转化的思想和分类讨论的思想.这个过程的逻辑性很强，对学生思维的严密性要求很高，对培养学生的理性思维，发展逻辑推理、数学抽象、直观想象等素养都有作用.追问4进一步对斜率公式进行辨析，让学生认识到斜率只与直线上两点的横、纵坐标有关，而与两点的顺序无关，加深对斜率计算公式的理解.问题4：根据以往的学习经验，在得出一个数学概念、定理等之后，我们要从不同角度、联系相关知识以加深对它的理解.首先请同学们思考一下，生活实际中有没有与倾斜程度、倾斜角、斜率等类似的概念？师生活动：由学生思考、回答：日常生活中常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度，坡度＝水平宽度铅直高度.当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的（图8）.图8追问：当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化？为什么？师生活动：学生独立思考、回答，教师投屏学生给出的结果并进行互动交流.由正切函数的图象（图9）及单调性可知：当倾斜角为锐角时，其斜率为正值，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，其斜率为负值，斜率仍然是随着倾斜角的增大而增大.除了90°之外，直线的倾斜角与它的斜率是一一对应的.因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于90°的直线相对于x轴的倾斜程度，进而表示直线的方向.图911在用斜率讨论问题时，要考虑到斜率不存在的情况，此时要转化为倾斜角为90°情况进行讨论.在此基础上，教师总结刻画直线方向的两种方法.倾斜角和斜率分别从形和数两个方面刻画了直线相对于x轴的倾斜程度，转换的工具是坐标法.设计意图：问题4通过对比，发现斜率和坡度的相同点和不同点，认识到斜率可以用来解决实际生活中的问题，感受数学来源于生活，用于生活.对于追问，结合正切函数的定义及其单调性，帮助学生认识随着倾斜角的变化斜率的变化情况，让学生直观地看到除了90°之外，直线的倾斜角与它的斜率是一一对应的.明确用斜率刻画倾斜角是确定的、唯一的，合理的.通过总结刻画直线方向的两种方法，其一是直线的倾斜角，其二是直线的斜率，体会倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度，感受解析几何坐标法的思想.由斜率的定义把倾斜角（几何）对应到R上的实数——斜率k（代数），这种形式能直接参与代数运算，实现用代数方法处理几何问题的目的.问题5：我们知道，向量PP以及与它平行的非零向量都是直线P1P2的方向向量.直线1 2的方向向量也是刻画直线倾斜程度的量，你能发现直线的方向向量与斜率之间的关系吗？师生活动：教师引导学生观察PP的坐标表示与过两点的直线斜率的公式之间的联系，1 2一个是两点坐标的差，另一个是两点坐标的差商，引发学生思考如何把二者互相转化.并引导性提问：“你能用斜率k表示直线P1P2的一个方向向量吗？”学生独立思考后再进行小组合作学习，给出解答后教师投屏小组探究的结果，并让学生说岀思路.如果直线P1P2与xy2-y1轴不垂直，则x1≠x2，PP(x-x，y-y)(x-x)(1，)(x-x)(1，k).x2-x1然后教师再追问：“反过来，你能用直线P1P2的方向向量(x，y)(x≠0)表示斜率k吗？”，学生思考、作答.教师板书方向向量与斜率的关系.教师强调直线的方向向量不唯一，本质上是方向向量的模不同.为了考虑问题方便，若直线l的斜率为k，我们常用(1，k)或(x，y)(其中kxy，x≠0)表示直线的方向向量.尽管直线的方向向量有很多变式，但万变不离其宗，变的是向量的模，不变的“宗”是直线的斜率.设计意图：从数学知识内在的逻辑关系提出问题，建立斜率与直线的方向向量及其坐标表示之间的联系，可以多角度认识斜率和方向向量，使学生体会向量法和坐标法的内在关联，为后续学习奠定基础.12环节三 学以致用，巩固新知辨析 判断下列说法是否正确.（1）所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应.（ ）（2）每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线.（ ）（3）因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以它的倾斜角不存在.（ ）（4）直线的倾斜角越大，它的斜率也越大.（ ）（5）当直线的斜率确定时，其方向向量唯一确定.（ ）师生活动：让学生独立思考、作答，学生相互评价，教师点评.设计意图：加强概念的辨析，增进学生对概念的准确理解.例1 如图10，已知A(3，2)，B(－2，1)，C(0，－1)，求分别直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角？图10思考题：例1变式(1)若直线l过点B，且与线段AC有公共点，则直线l斜率的取值范围是______.变式(2)若直线m过点C，且与线段AB有公共点，则直线m倾斜角的取值范围是______.师生活动：例1由学生独立思考、作答，教师投屏展示学生成果，让学生进行相互评价.思考题为备选题，