应用数理统计（基于MATLAB实现）教案全套 李建辉 第1-6章 数理统计的基本概念-随机过程

《应用数理统计》教案教案首页教学单元第1章学时8教学题目数理统计的基本概念教学环境设计与组织安排课堂教学主要以板书为主，多媒体课件为辅教学目标及达成度价值塑造介绍相关数学家在数理统计领域的突出贡献，引导学生积极进取、热爱学习，立志将所学知识用于科学研究，解决社会主义现代化建设过程中的现实问题。知识传授分布、F8常用统计量。能力培养通过本章的学习，培养学生根据总体与样本概念在现实问题中进行数据搜集和处理，使用简单随机抽样的方法进行数据8逻辑关系。教学重点难点重点：总体、样本、经验分布函数、统计量的概念、样本均值、样本方难点：经验分布函数、统计量的概念、样本均值、样本均值的分布、三大抽样分布、分位数、次序统计量的分布、正态总体常用统计量.教学方法手段媒介理论讲授+板书+多媒体+启发诱导+问题驱动教学模式模式：线上+线下混合式平台：学堂云平台工具：雨课堂【教学进程安排】一、教学准备与内容导入【教学进程安排】一、教学准备与内容导入1.课前通过学堂云平台发布课程基础调查（投票题目），了解学情2.介绍数理统计的发展介绍中国相关领域数学家及其学术贡献：中国数学家，严加安。了解学情有助于增进学堂云在线答题通过课程群推送文章【数理统计的兴起与普及】。【课程思政】中国数学家与数学家精神3.课前通过学堂云平台发布【预习指导】与【课前测试】要求学生进行独立完成预习思维导图。4二、主要内容设计预备知识1：随机变量及其分布随机事件及其概率随机事件

通过对一些自然现象和社会现象的描述给出随机现象的概念。从学术论文中提取素材“工程管理中统计学”概念（符号表示）举例（掷一颗骰子）样本空间：𝜴{1概念（符号表示）举例（掷一颗骰子）样本空间：𝜴{1，2，3，4，5，6}样本点：𝜔{1}，{2}，⋯，{6}必然事件：𝛺{点数为整数}不可能事件：∅{点数小于0}（1）文氏图表示（2）样本空间的划分（如图）∞⋂𝐴𝑖𝐴𝑗=∅,𝑖≠𝑗𝑖=1

【课程思政】通过对随机现象的讲活中有些现象是不确思考问题时要考虑周概念的理解：在给出随机试验之后，给出样本空间及随机事件的概念。从集合论的角度解释随机事件的关系及运∞⋃𝐴𝑖𝛺 算𝑖=1（3）事件的关系与运算3中表达方式举例利用事件之间的关系来表示复杂事件事件的运算定律概念的理解：在给出概率的定义之前先给出频率的概念。随机事件的概率（1）概率的定义对𝛺中的意件𝐴，都有个实数𝑃(𝐴)与之应,且以下件a) 非负：0≤𝑃(𝐴)≤1；b) 规范：𝑃(𝛺)=1

【课程思政】从频率与概率看偶然性与必然性的对立统∑∞∑𝑖=1

c) 𝐴𝑖，𝑖=1,2有𝑃(⋃∞𝑃(𝐴𝑖)·① 𝑃(∅)=0；② 𝐴𝑖，𝑖=1,2𝑛𝑃(⋃𝑛𝐴𝑖)=

𝐴𝑖)=

一。概念的理解：把概率可以看作是频的理解概率的统计定义。∑𝑛∑𝑖=1

𝑃(𝑖;③ 𝑃(𝐴)=1−𝑃(𝐴̅);④ 𝐴⊂𝐵⇒𝑃(𝐴)≤𝑃(𝐵);⑤ 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴𝐵);⑥ 𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)(𝑃(𝐴)>0)；𝑃(𝐴)⑦ 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴)(𝑃(𝐴)>0)；

给出概率的统计性定义后来研究古典概型举例说明随机变量的分类。𝑖=1⑧ 全概率公式：𝑃(𝐵)=∑𝑛𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵|𝐴𝑖)；𝑖=1∑⑨ 贝叶公：𝑃(𝐴|𝐵)= 𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵|𝐴𝑖)；∑𝑖 𝑛𝑗=1

𝑃(𝐴𝑗)𝑃(𝐵|𝐴𝑗)⑩ 𝐴，𝐵⟺𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵).随机变量及其分布（1）随机变量是随机试验结果的数字化，是样本空间到[0,1]上的映射(但𝑋𝑌𝑍.（2）随机变量𝑋的分布函数𝐹(𝑋)=𝑃{𝑋≤𝑥},𝑥∈𝑅，分布函数具有如下性质：①单调性：𝐹(𝑋)单调不减；②𝐹(𝑋)∈[01,𝐹()=0,𝐹()=0;③连续性：𝐹(𝑋+0)=𝐹(𝑋).离散型随机变量𝑋的取值有有限多个或可列多个{𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑘,⋯},列举出每一个取值对应的概率𝑃{𝑋=𝑥𝑘}=𝑝𝑘,𝑘=1,2,⋯称为𝑋的分布律，同时满足如下两条性质：① ≥0,𝑘=1,2,

课堂讨论：引导学生撕开和讨论𝑘=1② 完备性：∑∞𝑘=1

𝑝𝑘=1

“除离散型随机变量和连续性随机变量之3 𝑋𝑥

外还有没有其他类型的随机变量”有𝑥𝐹(𝑥)=∫𝑓(𝑡)d𝑡−∞称𝑓(𝑥)为𝑋的概率密度函数，同时满足如下两条性质：① 非负性：𝑓(𝑥)≥0,𝑘=1,2,−∞② 完备性：∫𝑓(𝑥)d𝑥=1;−∞③若𝑓(𝑥)在𝑥处连续，则d𝑓(𝑥)=𝐹(𝑥);d𝑥④1<2,有

𝑥2

引导学生思考概率分布的本质是什么？𝑃{𝑥1<𝑋<𝑥2}=𝐹(𝑥2)−𝐹(𝑥1)=∫𝑓(𝑥)d𝑥𝑥1

分布函数的本质的是常见随机变量的分布两点分布（0-1分布，伯努利分布）𝑋𝑃{𝑋=𝑘}=𝑝𝑘(1−𝑝)1−𝑘,𝑘=0,1则称𝑋服从两点分布，记作𝑋~𝐵(1,𝑝).二项分布若随机变量𝑋的分布律为𝑛𝑃{𝑋=𝑘}=𝐶𝑘𝑝𝑘(1−𝑝)𝑛−𝑘,𝑘=0,1,⋯,𝑛𝑛则称𝑋服从参数为𝑛和𝑝的二项分布，记作𝑋~𝐵(𝑛,𝑝).Poisson

什么？若随机变量𝑋的分布律为𝑃{𝑋=𝑘}=

𝑘!

𝑒−𝜆,𝑘=0,1,⋯则称𝑋服从参数为𝜆的Poisson分布，记作𝑋~𝑃(𝜆).几何分布若随机变量𝑋的分布律为𝑃{𝑋=𝑘}=𝑝𝑘(1−𝑝)𝑘−1,𝑘=0,1,⋯则称𝑋服从几何分布，记作𝑋~𝐺(𝜆).均匀分布若随机变量𝑋的概率密度函数为1𝑓(𝑥)={𝑏−𝑎,𝑎≤𝑥≤𝑏0,otherwise则称𝑋服从[𝑎,𝑏]上的均匀分布，记作𝑋~𝑈(𝑎,𝑏).指数分布若随机变量𝑋的概率密度函数为𝑓(𝑥)={𝜆𝑒−𝜆𝑥,𝑥>00,otherwise则称𝑋服从指数分布，记作𝑋~𝐸𝑥𝑝(𝜆).正态分布若随机变量𝑋的概率密度函数为1𝑓(𝑥)= √2𝜋𝜎

−(𝑥−𝜇)2𝑒 2𝜎2,−∞<𝑥<+∞则称𝑋服从正态分布，记作𝑋~𝑁(𝜇,𝜎2).Gamma若随机变量𝑋的概率密度函数为𝜆𝑠𝑓(𝑥)={Γ(𝑠)

𝑥𝑠−1𝜆𝑒−𝜆𝑥,𝑥≥00,otherwise0其中(𝑠)=∫+∞𝑥𝑠−1𝑒−𝑥d𝑥,𝑠>0，则称𝑋服从Gaa分布，记作0𝑋~𝐺𝑎(𝑠,𝜆).三、小结随机事件、随机变量及其分布。四、作业（1）学堂云线上作业（2）以思维导图的形式将“概率论基础”的内容进行复习和整理。预备知识2：随机变量的数字特征2.1数学期望（）16546060【学生讨论】该如何备注这60个金币？解：在赌技相同的情况下,梅尔与他的朋友最终获胜的可能性大小之比为3:1.即梅尔应获得赌金的3，而朋友只能获得赌金的1。

板书标题问题提出【课程思政】讲述赌博的中数学原是对大学生身心健康的危害。基于“问题导向”的导4 4 因此,603+01=45（个4 4 趣。,则为个。lsePascal）1、数学期望的定义Xx1x2Xx1x2P(X)p1p2pk

【课程思政】期望概念的提出经过包含着科学家的创新和科学研究中学习数PXxkpkk2,若级数xkk1

pk收敛，则称级数xkpk为随k1

学家的创新精神和锲而不舍、精益求精的科X（),即

学精神和奉献精神。EXxkpk.k1若级数发散xkk1

pk发散，则称EX不存在。

课堂讨论：设置讨论，关于“期望”X,,,它X,.（ii）级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.成绩X1成绩X1X2击中环数X89108910PX哪一个射手本领较高？例2: 何定资方向?1087025%，问是否作此项投资?（2）常见离散型随机变量的数学期望(i)若𝑋~𝐵(1,𝑝),则𝐸𝑋=0×(1−𝑝)+1×𝑝=𝑝.(ii)若𝑋~𝐵(𝑛,𝑝),则𝐸𝑋=𝑛𝑝.(iii)若𝑋~𝑃(𝜆),则𝐸𝑋=𝜆.（3）连续型随机变量的数学期望Xfxfx.

不仅要理解定义本身，还要挖掘定义背后的含义。【课程思政】新时代背景下，投资、保险、校园贷五花八门，要理性，用所学知识揭示其骗人的把戏。理论联系实际，每一个数学概念都可以在实际中找到原型，体现了唯物主义。积分fx.为X的数学期望或均值，记为EX，即EX= fxx若积分

xfxdx发散，则EX不存在。例3：顾客平均等待多长?设顾客在某银行的窗口等待服务的，X(以分计)服从指数分布,其概率密度为1𝑓(𝑥)={5𝑒

−𝑥5, 𝑥>0,试求顾客等待服务的平均?2、随机变量函数的数学期望

0, 𝑥≤0.定理1设随机变量X的函数Yg(X)为连续函数，则（1）若X为离散型随机变量，分布律为PXxkpk,k1,2,.且 g(k)kEY)E(g(Xg(k)k。kk（2）若X为连续型随机变量，概率密度为f(x)，且设随机变量X,Y的函数ZgX,Y

g(x)

f(x)dx

收敛，那么EY)E(g(X)

g(x)

f(x)dx.2设随机变量X,YZgX,Y）若X,Ygi,yjij

【课程思政】从一维到多维i1那么

j1

从简单到复杂从特殊到一般EZEgX,Ygi,yjiji1j1

让学生体会数学与哲学原理之间的关系。（2）若X,Y为连续型随机变量，概率密度为fx,y，且收敛，那么

gx,yfx,ydxdyEZEgX,Y

gx,yfx,ydxdy.特别地，当ZgX,YX与ZgX,YY时,EgX,Y为二维随机变量X,YX与Y例4设随机变量𝑋的分布律为𝑋-20124一维到二维𝑃(𝑋)0.150.25本质上发生了什么变求:𝐸(−𝑋+2).例5设随机变量𝑋的概率密度函数为𝑥,0≤𝑥<1,𝑓(𝑥)={2−𝑥,1≤𝑥≤2,求:𝐸(1).𝑋+10,其他,例6设(X,Y)的分布律为：Y 1 2 3X-1 0.2 0.1 00 0.1 0 0.31 0.1 0.1 0.1求：E(X),E(XY)2.3、数学期望的性质设是C常数,E(C)C.X,C,E(CXCEX.X,Y,EXYEXE(Y.X,Y,EXYEX)E(Y.2.2方差、变异系数【学生讨论】当均值相同时，如何比较两组数据的好坏，怎样用数学的方法来度量这个偏离程度呢？1.方差的定义设随机变量𝑋,如果𝐸{[𝑋−𝐸𝑋]2}存在,则称之为随机变量𝑋的方差,记为𝐷(𝑋)或𝑉𝑎𝑟(𝑋).记√𝐷(𝑋)=√𝐸{[𝑋−𝐸𝑋]2}为随机变量𝑋的标准差或均方差.注：（i）方差是非负的常数。（ii）方差与𝑋的量纲不一致。（1）离散型随机变量方差的定义设离散型随机变量𝑋的概率分布为𝑃{𝑋=𝑥𝑘}=𝑝𝑘,𝑘=1,2,…,则化：是否量变发生质变？基于“问题导向”的导入，提高学生的学习兴趣。𝑘=1𝐷(𝑋)=∞(𝑘−𝐸𝑋)2𝑘.𝑘=1（2）连续型随机变量的方差−∞𝑋𝑓(𝑥𝐷(𝑋)=∫+(𝑥−𝐸𝑋)2𝑓(𝑥𝑥.−∞（3）差算式 𝐷(𝑋)=𝐸(𝑋2)−(𝐸𝑋)22.常见随机变量的方差(1)若𝑋~𝐵(1,𝑝),则𝐷(𝑋)=𝑝×(1−𝑝).(2)若𝑋~𝐵(𝑛,𝑝),则𝐷(𝑋)=𝑛𝑝(1−𝑝).(3)若𝑋~𝑃(𝜆),则𝐷(𝑋)=𝜆.()𝑋~𝑈(𝑎,𝑏),𝐷(𝑋)=𝑏−𝑎2.12(5)若𝑋~𝐸𝑥𝑝(𝜆),则𝐷(𝑋)=1.𝜆2(6)若𝑋~𝑁(𝜇,𝜎2),则𝐷(𝑋)=𝜎2.例设随机变量𝑋的分布律为𝑋0123𝑃(𝑋)0.2求:𝐷(𝑋).例2设随机变量𝑋的概率密度函数为1+𝑥,−1≤𝑥<0,𝑓(𝑥)={1−𝑥,0≤𝑥<1,求:𝐷(𝑋).0,其他,小结：1.理解离散型随机变量、连续型随机变量方差的定义和性质；2.掌握方差的计算。2.3协方差、相关系数,Y𝑟(𝑋+𝑌)=𝑟(𝑋)+𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑉𝑎𝑟(𝑋+𝑌)=𝑉𝑎𝑟(𝑋)+𝑉𝑎𝑟(𝑌)+2𝐸[(𝑋−𝐸𝑋)(𝑌−𝐸𝑌)]

【课程思政】用数学期望和方差来而说明团队的力量的【课程思政】课程思政元素：数学中的逻辑推理与证明体现了严谨的科学思维。XY,X与Y1.协方差（1）定义：设(X,Y)为二维随机向量,若E{[XE(X)][YE(Y)]}存在,则称其为随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y),即Cov(X,Y)E{[XE(X)][YE(Y)]}.按定义,若(X,Y)为离散型随机向量,其概率分布为,Yyj}

(i,j1,2,)则C(X,Y){[iE(XyjEY。)i,j若X,Y,f(x,y则

“问题导向”，提高学生的学习兴趣。Co(X,Y){[xE(XyEYf(x,y)dxdy(2)协方差计算公式利用数学期望的性质,易将协方差的计算化简：𝐶𝑜𝑣(𝑋,𝑌)=𝐸{[𝑋−𝐸(𝑋)][𝑌−𝐸(𝑌)]}=𝐸(𝑋𝑌)−𝐸(𝑋)𝐸(𝑌)−𝐸(𝑌)𝐸(𝑋)+𝐸(𝑋)𝐸(𝑌)=𝐸(𝑋𝑌)−𝐸(𝑋)𝐸(𝑌)(3)协方差的性质(i)𝐶𝑜𝑣(𝑋,𝑌)=𝐶𝑜𝑣(𝑌,𝑋);𝐶𝑜𝑣(𝑎𝑋,𝑏𝑌)=𝑎𝑏𝐶𝑜𝑣(𝑋,𝑌);(ii𝐶𝑜𝑣(𝑋1𝑋2𝑌𝐶𝑜𝑣(𝑋1𝑌𝐶𝑜𝑣(𝑋2𝑌);(iii)𝐶𝑜𝑣(𝑋𝑋)=𝐷(𝑋)。(4)不相关对于方差非零的两个随机变量𝑋,𝑌,满足𝐶𝑜𝑣(𝑋,𝑌)=0,则称随机变量𝑋与随机变量𝑌不相关.1,𝑥2+𝑦2≤1,1(𝑋𝑌)𝑓(𝑥𝑦)={𝜋相互独立?是否不相关?例2设随机变量(𝑋,𝑌)的分布律为

0,其他,

问:𝑋,𝑌是否YX-101【课程思政】疫情期间我国试行的重要的一项措施就是1一维正态分布的联系和区别是什么？-11818180180181181818求:𝐶𝑜𝑣(𝑋,𝑌).例3设𝑋~𝑁(2,9),𝑌~𝑈(−2,4),𝐸(𝑋𝑌)=5,求𝐶𝑜𝑣(𝑋+𝑌,𝑋−𝑌).XYX与Y𝐶𝑜𝑣(𝑘𝑋𝑌𝐶𝑜𝑣(𝑋𝑘𝑌𝑘𝐶𝑜𝑣(𝑋𝑌)。𝑋−𝐸𝑋 𝑌−𝐸𝑌 𝐶𝑜𝑣(𝑋,𝑌)𝐶𝑜𝑣( , )= √𝑉𝑎𝑟(𝑋)√𝑉𝑎𝑟(𝑌) √𝑉𝑎𝑟(𝑋)√𝑉𝑎𝑟(𝑌)其可看做是协方差的标准化，这就引入了相关系数的概念。2.相关系数（1）定义(2)柯西-许瓦兹不等式对任意方差不全为0随机变量𝑈与𝑉若𝐸𝑈2𝐸𝑉2存在则[𝐸(𝑈𝑉)]2≤𝐸(𝑈2)𝐸(𝑉2),上式等号成立当且仅当𝑃{𝑈=𝑡0𝑉}=1,其中𝑡0是某个常数.(3)相关系数的性质i|𝑌|≤1;（ii）|𝜌𝑋𝑌|=1的充要条件是𝑋与𝑌依概率1线性相关,即𝑃{𝑌=𝑎𝑋+𝑏}=1,𝑎,𝑏是常数.(4)等价命题对于方差非零的两个随机变量𝑋,𝑌,下面事实是等价的:(ii) 𝐶𝑜𝑣(𝑋𝑌)=0；(ii=0；(iii𝑋𝑌(iv)𝐸(𝑋𝑌)=𝐸(𝑋)𝐸(𝑌)；(v)𝐷(𝑋+𝑌)=𝐷(𝑋)+𝐷(𝑌)。为了能够直观地理解随即变量之间相关系数描述的相关性的含义,我们通N(,,)的40组随机数据(Xi,i),1,10806,0201时，X和Y以率1线相；取越越时，X和Y线相趋越，当X=0, X与Y间不出性关。3、中位数的定义中位数指按照顺序排列的一组数据中于中间位置的数,又称中值.4、众数众数指在统计分布上具有明显集中趋势点的数值,代表数据的一般水平.也是一组数据中出现次数最多的数值,有时众数在一组数中有好几个.5、变异系数变异系数是衡量资料中各观测值变异程度的另一个统计量,标准差与平均数的比值称为变异系数.注意:变异系数的大小,同时受平均数和标准差两个统计量的影响,因而在利用变异系数表示资料的变异程度时,最好将平均数和标准差也列出.6、矩对整数𝑘若𝐸(𝑋𝑘),𝑘=1,2,…存在,则称它为𝑋的𝑘阶原点矩,数学期望是一阶原点矩.对整数𝑘若𝐸{[𝑋−𝐸𝑋]𝑘},𝑘=1,2,…存在,则称它为𝑋的𝑘阶中心矩,方差是二阶中心矩.柯西-许瓦兹不等式对任意方差不全为0随机变量𝑈与𝑉若𝐸𝑈2𝐸𝑉2存在则[𝐸(𝑈𝑉)]2≤𝐸(𝑈2)𝐸(𝑉2),上式等号成立当且仅当𝑃{𝑈=𝑡0𝑉}=1,其中𝑡0是某个常数.三、小结随机变量数字特征的计算及应用。四、作业（1）学堂云线上作业（2）搜集整理与本节内容相关的工程数学分析科研论文并阅读。

特殊与一般中位数、均值、众数三者是何关系？能否全都相等，如果全都相等，会出现什么情况。基础知识3：中心极限定理1.问题提出 独立测量的算术平均问题设n个相互独立的随机变量𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛，𝐸(𝑋𝑘)=𝜇,

板书标题术平均及频率的稳定性。𝐷(𝑘)=𝜎2𝑘=12,̄𝑛

1𝑛=∑ 𝑋.=∑ 𝑋.则𝐸(̄

)=𝐸[1∑𝑛 𝑋]=1∑𝑛

1，𝐸(𝑋)= ⋅𝑛𝜇=𝜇，

板书公式𝑛 𝑛𝑘=1𝑘

𝑛𝑘=1

𝑘 𝑛

)=𝐷[1∑𝑛 𝑋]=1∑𝑛

𝐷(𝑋)=1⋅𝑛𝜎2=𝜎2.𝑛 𝑛𝑘=1𝑘

𝑛2

𝑘=1

𝑘 𝑛2 𝑛注意：随机变量̄𝑛是𝑛个相互独立的随机变量1,2,⋯,𝑛的算术平均值，并且𝑋2𝑋𝑛具有相同的期望和方差。这种问题在实际中经常遇到，例如,测量𝑛𝑋2XnXn看成独立的，𝐸(̄𝑛)=𝜇表示大量随机试验中，测量的算术平均值的期望为𝐸(𝑘)=𝜇,𝐷(̄𝑛)=𝜎2𝑛表示测量的误差随着测量次数n的增加而减少。那XnE(Xn)

结合课件演示，给出定理，讲解并证明即随机事件Xn当n下面介绍三个定理，它们分别反映了算术平均及频率的稳定性．2.大数定律定理1（契比雪夫定理的特殊情况）设随机变量𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛,⋯相互独立，且具有相同的数学期望和方差：

定理说明，引入依概率𝐸(𝑋𝑘)=𝜇,𝐷(𝑋𝑘)=𝜎2

k1,2,

．前n个随机变量的算术平均为̄𝑛=

收敛概念1∑𝑛

𝑋，𝑛𝑘=1𝑘则对于任意正数，有𝑙𝑖𝑚

−𝜇|<𝜀}=𝑙𝑖𝑚𝑃{|1∑𝑛

𝑋−𝜇|<𝜀}=1．𝑛→∞

𝑛证明由于

𝑛→∞

𝑛𝑘=1𝑘𝐸(̄

)=𝐸[1∑𝑛 𝑋]=1∑𝑛

𝐸(𝑋)= ⋅𝑛𝜇=𝜇，11𝑛 𝑛𝑘=1𝑘

𝑛𝑘=1

𝑘 𝑛𝐷(𝑋̄

)=𝐷[1∑𝑛 𝑋]=1∑𝑛

𝐷(𝑋)=1⋅𝑛𝜎2=𝜎2．𝑛 𝑛𝑘=1𝑘

𝑛2

𝑘=1

𝑘 𝑛2 𝑛

板书标题由契比雪夫不等式可得2𝑃{|1∑𝑛 𝑋−𝜇|<𝜀}≥1−𝜎⁄𝑛．2

结合课件演示，给出依概率收敛定义、𝑛𝑘=1𝑘

𝜀2在上式中令𝑛→∞，并注意到概率不能大于１，即得

性质及证明。𝑙𝑖𝑚𝑃{|1∑𝑛

𝑋−𝜇|<𝜀}=1．𝑛→∞

𝑛𝑘=1𝑘定义1 ⋯,⋯是个机量序是一常数若于任意正数，有则称序列,Y2,

𝑙𝑖𝑚𝑃{|𝑌𝑛−𝑎|<𝜀}=1，𝑛→∞,Yn,,Yn,𝑃𝑌𝑛→𝑎．依概率收敛的序列有以下的性质：

板书标题1𝑃 𝑃设𝑋𝑛→𝑎，𝑌𝑛→𝑏，又设函数g(x,y)在点(a,b)连续，则

学生逻辑推理能力。𝑃𝑔(𝑋𝑛,𝑌𝑛)→𝑔(𝑎,𝑏)．证明 由g(x,y)在点(a,b)的连续性知，对于任意给定的0，必存在0，使当xayb时，g(x,y)g(a,b)，于是g(Xn)g(a,b)XnabXna

nb

2，Pg(Xng(a,b)PXna

Pnb

20,当n．,Xn,n即 limPg(Xn,Yn)g(a,b)1．这样理1.1可述：,Xn,n定理1的另一种述 随机量X1,X2,

相互独立，且具有相同的数学期望和方差：𝐸(𝑋𝑘)=𝜇𝐷(𝑋𝑘)=𝜎2

k1,2,

．则序列̄𝑛=1∑𝑛

𝑃𝑋依概率收敛于𝜇，即𝑋̄→

𝜇．𝑛𝑘=1𝑘 𝑛定理2（贝努利大数定理）设𝑛𝐴是𝑛次独立重复试验中事件𝐴发生的次数，𝑝是事件𝐴在每次试验中发生的概率，则对于任意正数𝜀>0，有𝑛𝐴𝑙𝑖𝑚𝑃| −𝑝|<𝜀}=𝑛𝐴𝑛→∞ 𝑛𝑛𝐴𝑙𝑖𝑚𝑃{| −𝑝|≥𝜀}=𝑛𝐴𝑛→∞ 𝑛证明 因为nA~b(n,p)，𝑛𝐴=𝑋1+𝑋2+⋯+𝑋𝑛，其中𝑋2,⋯,𝑋𝑛相独，都从以p为参的（0-1）分．从而 𝐸(𝑋𝑘)=𝑝,𝐷(𝑋𝑘)=𝑝(1−𝑝)(𝑘=1,2,⋯,𝑛)由定理11𝑙𝑖𝑚𝑃{|(𝑋

+𝑋

+⋯+𝑋

)−𝜇|<𝜀}=1,𝑛→∞

𝑛 1 2 𝑛即 𝑛𝐴𝑙𝑖𝑚𝑃{| −𝑝|<𝜀}=即 𝑛𝐴𝑛→∞ 𝑛注：贝努利大数定理表明事件发生的频率nA依概率收敛于事件的概率p．这n个定理以严格数学形式表达了频率的稳定性．

例子引出独立随机变量之和的分布问题。,Xn,2X1,Xn,

的方差存在，但在这些随机变量服从相同分布的条件下，方差存在这个条件并不是必要的，从而有以下定理．定理3(钦理) 设机变量X1,X2,E(Xk)（k,,

相互独立，服从同一分,Xn,，则对于任意正数,Xn,

理的解释与说明1𝑙𝑖𝑚𝑃{|

𝑛∑𝑋𝑘−𝜇|<𝜀}=1𝑛→∞

𝑛𝑘=1注：贝努利大数定理是辛钦定理的特殊情况．辛钦定理在应用中是很重要的．中心极限定理1.问题提出n𝑛

1𝑋𝑘−𝐸(∑𝑛1𝑋𝑘)𝑘=1𝑌𝑛=𝑘=1

𝑘=

𝑘=√𝐷(∑𝑛 𝑋𝑘)讨论的Yn分布是否为标准正态分布。在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理。2.中心极限定理X1X2,

,Xn, 相互,

结合课件演示，给出定理𝐸(𝑘)=𝜇,𝐷(𝑘)=𝜎2(𝜎2>0，（k

nn．则随机变量之和Xkk1𝑛

1𝑋𝑘−𝐸(∑𝑛1𝑋𝑘)

𝑛

1𝑋𝑘−𝑛𝜇𝑌𝑛=

𝑘=

𝑘=√𝐷(∑𝑛 𝑋𝑘)

= 𝑘=

√𝑛𝜎𝑘=1(xx满足𝑘=1

𝑛

1𝑋𝑘−𝑛𝜇

举例说明独立均匀分布随机变量之和，探索𝑙𝑖𝑚𝐹(𝑥)=𝑙𝑖𝑚𝑃{

𝑘=

≤𝑥}𝑛→∞𝑛 1 𝑥

𝑡2

√𝑛𝜎

其中变化规律。= ∫𝑒−2𝑑𝑡=𝛷(𝑥)√2𝜋−∞证明略．注：对于定理1作如下说明：当n

∑𝑛𝑋𝑘−𝑛𝜇𝑘=1𝑘=1√𝑛𝜎

近似地~

𝑁(0,1)．nnXkk1

nYnn是Yn的线性函数，当n充分大时，∑𝑛∑𝑘=1

近似地~

𝑁(𝑛𝜇,𝑛𝜎2).𝑋，式𝑘=1 改𝑋，式𝑘=1 改成：

𝑛𝑋𝑘−𝑛𝜇 𝑛𝑘=1𝑘

√𝑛𝜎

𝜎√𝑛n近似地

近似地̄

𝜎2𝜎√𝑛

~𝑁(0,1) 或 𝑋

~𝑁(𝜇, )．𝑛这是独立同分布中心极限定理结论的另一表示形式．也就是说，均值为，方,1 2差为20的独立同分布的随机变量X,X, X的算术平均,1 2n1∑𝑛

𝑋，当n充分大时近似地服从均值为，方差为2n的正态分布。这𝑛𝑘=1𝑘一结果是数理统计中大样本统计推断的基础。定理（Lauo)1,2,⋯,𝑛,𝑘𝐸(𝑋𝑘)=𝜇𝑘,𝐷(𝑋𝑘)=𝜎2>0，𝑘=1,2,⋯，𝑘记𝑛𝐵2=∑𝜎2𝑛 𝑘𝑘=1若存在正数，使得当n时，1𝐵2+𝛿𝐵𝑛n

𝑛∑𝐸{|𝑋𝑘−𝜇𝑘|2+𝛿}→0𝑘=1

学习时要理解近似服从正态分布的关系，在则随机变量之和Xkk1

现实中表示的含义。𝑍=

𝑛∑𝑘=∑

1−𝐸(∑𝑛

1𝑋𝑘)=

𝑛∑𝑘=∑

1−∑𝑛

1𝜇𝑘

以及（2）中表示的线𝑘=𝑘=𝑘=1𝑛 √𝐷(∑𝑛𝑘=𝑘=𝑘=1

𝑋𝑘)

𝐵𝑛

性关系。(xx满足

𝑛

1−∑𝑛

1𝜇𝑘𝑙𝑖𝑚𝐹(𝑥)=𝑙𝑖𝑚𝑃{

𝑘=

𝑘=

≤𝑥}𝑛→∞𝑛

𝑛→∞ 1 𝑥 𝑡2= ∫𝑒−2𝑑𝑡=𝛷(𝑥)√2𝜋−∞注：定理2表明,在定理的条件下,随机变量𝑛

1−∑𝑛

1𝜇𝑘𝑍𝑛=

𝑘=

𝑘=𝐵𝑛nN，作为定理2定理3DeivrLalc)）n(n

)服从参数为np(0px

样本均值的分布随着𝜂𝑛−𝑛𝑝

1 𝑥

−𝑡2

样本容量会发生什么𝑙𝑖𝑚𝑃{ ≤𝑥}= ∫𝑒2𝑑𝑡=𝛷(𝑥)𝑛→∞

√𝑛𝑝(1−𝑝)

√2𝜋−∞

变化？n,证明 将n分为n个相立服同(0－1)分随机量X1,X2,n,XnnXk，k1其中Xk(k,n)的分律为P{Xk

pi,

i0,1．

3个中心极限定理，之间的关系是什么，对后续的学习有什么作由于E(Xk)p,D(Xk)p(1p)(k,n)，由理2得 用？𝜂𝑛−𝑛𝑝

𝑛

1𝑋𝑘−𝑛𝑝𝑙𝑖𝑚𝑃{ ≤𝑥}=𝑙𝑖𝑚𝑃{

𝑘=

≤𝑥}𝑛→∞

√𝑛𝑝(1−𝑝)

𝑛→∞

√𝑛𝑝(1−𝑝)1 𝑥

−𝑡2= ∫𝑒

2𝑑𝑡=𝛷(𝑥).√2𝜋−∞3.中心极限定理的确应用例1对敌坦克群进行炮击100次,每次炮击中,炮弹命中数的数学期望为4,命中数的均方差为1,求当炮击100次时有380到420颗炮弹命中目标的近似值.例2设Xk(k2, ,10)为相独的变量,且(0－1)服均10匀分,计算Xk的似.k13260,4,可以认为各个电话分机用不用外线是相互独立的,问总机要备有多少条外线才能以95%的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.

中心极限定理作为参,例4假设X,X, X相独立服同一布已知E(Xk)，,

一定的应用，那么其应1 2 n

i k1n 2

用的条件有哪些？n（k2,3,4,n试明𝑛充分机量Zn Xini1近似地服从正态分布，并指出其分布参数．三、小结四、作业（1）学堂云线上作业（2）完善课前预习内容中的“思维导图”。第一章统计量与抽样分布§1.1随机样本与样本经验分布函数一、问题的提出引例1：研究一批灯泡的寿命分布，需明确该批灯泡中每个灯泡的寿命长短。引例2：研究某一湖泊的深度，需测量湖面上每处到湖底的深度。总体．二、授课内容1.总体及其分布𝑋𝑋这两张图是大家再熟悉不过的两个成语了：一叶知秋、盲人摸象。2.简单随机样本简单随机抽样：从总体中抽取部分个体来观察某项数量指标的过程叫抽样。抽样必须具备下列两个条件：X的分布函数为𝐹(𝑥)𝑋2𝑋𝑛是相互独立X𝑋2𝑋𝑛X（

结合实例引出总体的概念【课程思政】同学们在大一的思政且其中一定有这样的体功能大于局部功能我们数理统计用统计推断的方法来认识总样本的信息和总体的信息就没有偏差么？义哲学原理中学到的“整体具有局部所不会出现偏差、甚至错样是从样本到总体的致数理统计后面的内容会大量的涉及到概为了让我们的结果是𝐹(𝑥)）的容量为n的简单随机样本，简称为样本．𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛取定的某组值𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛称为样本𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛的样本观察值，也简称为样本值．3.样本的分布𝑋2𝑋𝑛nn维随机向量(𝑋1𝑋2𝑋𝑛)n维随机向量(𝑋1𝑋2𝑋𝑛)的分布就称为样本X1X2, Xn注总体X为连型其概密为f(x)则样本X1,X2, ,Xn的概率度为

【课程思政】中华文化分享一首唐诗，王维的《杂诗·之二》君自故乡来，应知故乡事。来日绮窗前，寒梅著花未？说明总体与样本的关系。𝑛𝑓(𝑥1,𝑥2,⋯𝑥𝑛)=∏𝑓(𝑥𝑖)𝑖=1（2）若总体X为离散型，其分布律𝑃{𝑋=𝑥}=𝑃(𝑥)，则其样本𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛的分布律为𝑛𝑃(𝑥1,𝑥2,⋯𝑥𝑛)=𝑃{𝑋1=𝑥1}𝑃{𝑋2=𝑥2}⋯𝑃{𝑋𝑛=𝑥𝑛}=∏𝑃{𝑋𝑖=𝑥𝑖}𝑖=1𝑛=∏𝑃(𝑥𝑖)𝑖=1例1总体X服参为𝑝的(0−1)布，其𝑋2,⋯,𝑋𝑛的分律．解 因为𝑃(𝑋=0)=1−𝑝，𝑃(𝑋=1)=𝑝，0<𝑝<1，则𝑖=1𝑝(𝑥)=𝑃(𝑋=𝑥)=𝑝𝑥(1−𝑝)1−𝑥，𝑥=0,1，则样本的联合分布为𝑖=1𝑖=1𝑝(𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛)=∏𝑛𝑖=1

𝑝(𝑥𝑖)=∏𝑛

𝑝𝑖1−𝑝−𝑖.

大样本在现实中一般例2设𝑋∼𝑁(𝜇,𝜎2)，求𝑋2,⋯,𝑋𝑛的率密．解 因为𝑋∼𝑁(𝜇,𝜎2)，所，

较容易满足，但需要视情况而定，在数理统计中一般将样本容量𝑛>1 (𝑥−𝜇)2𝑓(𝑥)=𝑒−2𝜎2,−∞<𝑥<+∞，√2𝜋𝜎

3可视为大样本，但并非绝对。则样本的联合密度函数为

𝑖=1√2𝜋𝜎1 (𝑥𝑖−𝜇)𝑖=1√2𝜋𝜎

1 1∑𝑛 2𝑖=1𝑓(𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛)=∏𝑛𝑖=1

𝑓(𝑥𝑖)=∏𝑛 𝑒−

2𝜎2

=(√2𝜋𝜎)𝑛

𝑒−2𝜎2

𝑖=1(𝑥𝑖−𝜇)。4.直方图为研究总体分布的性质，人们往往通过试验或抽样的方式得到许多观察200195210211201205185197183177202200201191195192177189210189202204188206197183198189203194例3. 由于随因的响铅运员铅200195210211201205185197183177202200201191195192177189210189202204188206197183198189203194现在来画这组数据的频率直方图。解 第一步，以数中找最值最值；xmin177，xmax211。第二步，确定最小下限和最大上限；次出手高度为200cm199.5，200.5176.5211.5。第三步，确定分组数及组距。n10~20𝑛≤505~630n5

问题导向：数据分析动过铅球运动过程数据学习样本经验分布函数。𝛥=

−最小下限=分组数

211.5−176.5=75第四步，确定组限、组频数、组频率，作频率分布表。分组12345组限[176.5，183.5)[183.5，190.5)[190.5，197.5)[197.5，204.5)[204.5，211.5)组频数𝑓𝑖45795组频率𝑓𝑖 𝑛 0.13330.16670.23330.30000.1667第五步，画频率直方图。

使用频率逼近概率𝑓𝑖形成频率直方图，若用y表示每个小矩形的纵坐标，则𝑦𝑖=𝑛上式称为频率密i 𝛥xx（图13115.经验分布函数定义(样本经验分布函数) 设𝑋2,⋯,𝑋𝑛)是总体的一个样本，用𝑆(𝑥)（−∞<𝑥<+∞）其一组样本观测值中不大于x的观测值数量，则称函数

用“频率直方图”来逼近“概率密度曲线”观察经验分布函数的性质：体会“阶梯函数”在累积分布函数描述中的作用。为经验分布函数。

(𝑥)=𝑆(𝑥),−∞<𝑥<+∞1𝑛1若给定总𝑿的样本观测值通过经验分布函数以似描述总体的分布数。例4 设𝑋2,⋯,𝑋5)是自体X的个样得其组测值为布数。解 根据定义其验布函为0, 𝑥<−1,1𝐹5(𝑥)=

, −1≤𝑥<0,52, 0≤𝑥<1,54, 1≤𝑥<2,5{1, 𝑥≥2.一般地，设(𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛)是总体X的一个容量为𝑛的样本观测值，先将其按从小到大的顺序进行排列，记为𝑥(1)≤𝑥(2)≤⋯≤𝑥(𝑛)则经验分布函数

0, 𝑥<𝑥(1),𝐹(𝑥)=

𝑘, 𝑥

≤𝑥<𝑥 ,𝑛 𝑛

(𝑘)

(𝑘+1){1, 𝑥≥𝑥(𝑛).X(x)表示事件{X出现的频率。根据贝努利nn𝐹(𝑥)=𝑃𝑋≤𝑥}≈𝑛(𝑥𝑛→+从而可以用经验分布函数𝐹𝑛(𝑥)近似描述总体的分布函数𝐹(𝑥)。三、小结随机样本、样本经验分布函数。四、作业（1）学堂云线上作业（2）总结数据搜集的基本方法，及其如何得到“简单随机样本”。

经验分布函数是与样本经验测度相关的分布函数。该分布函数是在n个数据点中的每一个上都跳跃1/n的阶梯函数。其在测量变量的任何指定值处的值是小于或等于指定值的测量变量的观测值的数。一、问题提出

§1.2

注释：我们知道样本是总体体进行统计分析和推抽样，就是从研究的总体中抽取若干个体作为我们观察试验对象的过程。抽取的样本为总体的一个子集，通过样本的结果来推测有关总体的信息。二、授课内容1.统计量和样本矩1．统计量定义设𝑋2𝑋𝑛X的样本，𝑔(𝑋1𝑋2𝑋𝑛)是样本𝑋2的函数，若𝑔中不含任何未知参数，则称𝑔(𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛)为一统计量

不能直接用于解决我培养学生要关注民生2．样本矩（1）样本均值：𝑛 1（２）样本方差：𝑛1

𝑋=𝑛∑𝑖=1𝑛𝑖1 2𝑖𝑆2=

𝑛−1

∑(𝑋𝑖−𝑋)2=𝑖=1

𝑛−1

[∑𝑋2−𝑛𝑋]𝑖=1（３）样本标准差：𝑆=√𝑆2=√

𝑛1 ∑(𝑋𝑖−𝑋)2𝑛−1（4）样本𝑘阶（原点）矩：𝑛

𝑖=1𝐴𝑘=

1∑𝑋𝑘,𝑖𝑛𝑖𝑖=1

(𝑘=1,2.⋯)（5）样本𝑘阶中心矩：𝐵𝑘=

𝑛1∑(𝑋𝑖−𝑋)𝑘,𝑛𝑖=1

(𝑘=2,3⋯)它们的观察值依次为：𝑛 1𝑠2= 1𝑛−1

𝑛∑(𝑥𝑖𝑖=1

𝑥=𝑛∑𝑥𝑖𝑖=1−𝑥)2= 𝑛−1𝑛

𝑛𝑖[∑(𝑥2−𝑛𝑥2]𝑖𝑖=1𝑠=√𝑠2=√

1 ∑(𝑥𝑖−𝑥)2𝑛−11𝑎𝑘=𝑛1

𝑛𝑖∑𝑥𝑘,𝑖𝑖=1𝑛

𝑖=1(𝑘=1,2.⋯)𝑏𝑘=

∑(𝑥𝑖−𝑥)𝑘,𝑛𝑖=1

(𝑘=2,3⋯)【问题导向】为何要是用样本均值作为统计量的基础，或者常用统计量？下图告诉我们：3．经验分布函数定义设X1,X2, ,Xn是自体X的样,x2, ,xn是观值将

【思考】当以一种特定的概率分布为某种情况建模事实存在差别呢？你该如何判断？——这,xnx(n)x2, 按由小到大的顺序排列为,xnx(n)

．对任意的

些偏差是正常波动，还是说明概率模型存在x(,)，令𝐹𝑛(𝑥)=

0, 𝑥<𝑥(1).𝑘𝑛, 𝑥(𝑘)≤𝑥<𝑥(𝑘+1),𝑘=1,2,⋯,𝑛−1,{1, 𝑥≥𝑥(𝑛).

问题？则称Fn(x)为总体X的经验分布函数．1XX的一个经验分布函数．2.抽样分布1．2分布定义设X1,X2, ,Xn是自态体N的样本,则统量𝜒2=𝑋2+𝑋2+⋯+𝑋2

t-分布理解：1.前提：在有了标准正态分布(X)和卡方分布(Y)的前提下。2布跟卡方分布的随机变量去比。3.数据处理：卡方分布需要把自由1 2 𝑛所服从的分布为自由度是n的2分布，记为𝜒2~𝜒2(𝑛)．（１）2①2分布具有可加性设𝜒2~𝜒21𝜒2~𝜒22𝜒2𝜒2𝜒2+𝜒2~𝜒21+2．

度给除掉：如果不除，卡方分布加的随机变量越来越多，分母就会趋近于无穷。除掉自由度类似于一种归一化。还得开根号：进行单位的统一，这样两个数字1 2 1 2 1 2②2分布的期望与方差若𝜒2~𝜒2(𝑛)，则𝐸𝜒2=𝑛，𝐷𝜒2=2𝑛．（２）2𝛼对于给定的01𝑃{𝜒2>𝜒2(𝑛)}=𝛼𝛼的点2(n)称为2(n)分布的上分位点2．t分布X~NY~2(nX与Y

一比，就把单位给消就和标准正态分布差tFt遇到一个正态随机变变量开根号的那种就t𝑋𝑡= √𝑌𝑛所服从的分布为自由度是n的t（Student）分布，记为t~t(n)．t分布的分位点：对于给定的01)，称满足条件P{tt(n)}的点t(n)为t(n)分布的上分位点注：t1(n)t(n)．3．F分布定义设U~2(n)，V~2(n)，且U与V相互独立，则称随机变量1 2UVUV曲线可能是广为人知的。正态分布只是一种服从自由度为n2FF~F(n1n2。F分布的分位点：对于给定的01)，称满足条件P{FF(n1,n2)}的点F(n1,n2)称为F分布的上分位点。

差的另一种非常有用的概率分布称为F分布。注：𝐹 (𝑛,𝑛)= 11−𝛼 21

𝐹𝛼(𝑛1,𝑛2)3.正态总体样本均值和样本方差的分布定理1设𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛是来自正态总体𝑁(𝜇,𝜎2)的样本,则样本均值𝑋仍服从正态分布,且有𝑋~𝑁(𝜇,或𝑋−𝜇

𝜎2)𝑛

【课程思政】温故知新：养成良好的学习和工作习惯。逻辑严谨：数学推𝜎√𝑛

~𝑁(0,1)

导证明需要严谨的态度。解决问题：正确的定理2设𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛是来自正态总体𝑁(𝜇,𝜎2)的样本,𝑋和𝑆2分别是样本均值和样本方差，则有（１）XS2独立；

学习方法往往具有事半功倍的效果。2（２）(𝑛−1)𝑆2𝜎2

~𝜒2(𝑛−1)．22定理3设X1,X2, ,Xn是来自正态总体N(,)的样本,X和S分别22是样本均值和样本方差，则

𝑡=

𝑋−𝜇𝑆,Yn,Yn2

~𝑡(𝑛−1),Xn16.5X1X,Xn1

和,

是分别来自两个相互独立的正态总体N(,2)和N(,2)的样本,1 1 2 2 1𝑋=𝑛

𝑛1∑𝑋𝑖𝑆2= 1

1𝑖=1𝑛1∑(𝑋

−𝑋)21 −1

𝑖𝑖=11 1分别是总体N(,2)样本均值和样本方差；1 1 1𝑌=𝑛

𝑛2∑𝑌𝑖𝑆2= 1

2𝑖=1𝑛2∑(𝑌−𝑌)22 𝑛2−1

𝑖𝑖=12 2分别是总体N(,2)样本均值和样本方差，则有2 21212（１）𝐹=𝑆22

−1)；12 1 212𝜎221 2（２）当222时，1 2𝑡=(𝑋−𝑌)−(𝜇1−𝜇2)~𝑡(𝑛

+𝑛

−2)1𝑛𝑆𝑤√ 𝑛1其中

1 1 2𝑛2−1)𝑆2+(𝑛2−1)𝑆2 𝑆2=

1 2，𝑆=√𝑆2𝑤 +𝑛2−2

𝑤 𝑤例从正态总体N(3.4,36)中抽取容量为n的样本，如果要求样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多少？例设X1,X2, ,X18是自态体N9)的本，求计量𝑌= +⋯+√𝑋2+⋯+𝑋2的分布．

10 18解因为𝑋1+⋯+𝑋9~𝑁(0,9×9)=𝑁(0,92)，所以 ~𝑁(0,1)，9又因18 2 18𝑋𝑖∑()

=1∑𝑋2~𝜒2(9)3𝑖=10X1 XX1 X9

9 𝑖𝑖=109且 和 Xi99 i10

相互独立，故由t分布的定义知(𝑋1+⋯+𝑋9)𝑌= 9 = +⋯+𝑖√𝑋2+⋯+𝑋2𝑖(∑(∑√9𝑖=109

𝑋2) 10 18服从自由度为9的t作者：陈希孺【课后作业】

【课程思政】中国数学家与数学家精神：陈希孺线上作业：题库随机组卷形式在线提交。【思政讨论】通过讨论的方式了解中国数学许宝騄的在教案首页教学单元第2章学时8教学题目参数估计教学环境设计与组织安排课堂教学主要以板书为主，多媒体课件为辅教学目标及达成度价值塑造通过参数估计的学习，培养学生认真务实的态度，首先验证统计模型的先决条件，不能随意给出参数估计的结果。培养学生认真务实的学习和工作态度，解决问题尤其是从事科学研究要有合理的方法和科学的依据。知识传授通过本章的学习，学生在了解参数估计的概念及相关理论的的区间估计方法。能力培养通过本章的学习，培养学生根据样本数据进行参数估计的能教学重点难点重点：点估计与区间估计的思想、方法及步骤；正态总体置信区间的概念及求解、估计的评价标准．难点教学方法手段媒介理论讲授+板书+多媒体+启发诱导+问题驱动+课后实验教学模式模式：线上+线下混合式平台：学堂云平台工具：雨课堂、MATLAB软件教学设计【课程进程安排】【课前准备】通过学堂云平台进行“预习指导”和“课前测试”。了解学情有助于增进要求学生进行独立完学堂云在线答题§2.1点估计一、问题的提出○要估计多少工作(范围)?○需要用到哪些技术(技术)?○完成项目需要多少时间(时间表)?○谁将做这个项目(资源)?○交付项目所需的预算(成本)是多少?○任何可能延迟或影响项目的潜在依赖项(风险)?面对一个接一个的问题，怎样做一个合理的项目估算?通常，我们先把项目估算分成3个部分：估算的方法有：类比估算、参数估算、德尔菲法、3点估算、专家判断、供应商投标分析、自下而上的分析、模拟等等。二、授课内容1．点估计的概念在实际问题中常碰到的随机变量𝑋(或总体𝑋)的分布函数𝐹(𝑥,𝜃1,𝜃2,⋯,𝜃𝑘)的形式是已知的，而其的参数𝜃1,𝜃2,⋯,𝜃𝑘却是未知的，现在从总体𝑋中抽取一组样本𝑋2,⋯,，其一次观察值为,x2, ,xn，我们希望利用观察值𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛来估计总体𝑋分布中的未知参数𝜃1,𝜃2,⋯,𝜃𝑘的值．这类问题称为参数的点估计问题．例如，已知某种电子元件的寿命𝑋~𝑁(𝜇,𝜎2)，即𝑋的概率密度1 (𝑥−𝜇)2𝑓(𝑥,𝜇,𝜎2)= 𝑒−2𝜎2√2𝜋𝜎的形式已知，而参数𝜇,𝜎2未知，现在从总体𝑋中得到样本𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛的一组观察值𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛，要求估计𝜇,𝜎2的值，即要求估计这种电子元件的平均寿命及【设计意图】往会遇到总体分布中的某些参数未知的情本数据得到参数的近一系列的问题都属于要介绍参数估计中的点估计和区间估计。【课程思政】通过工程数据分析引例，增强学生的专业归属感。引导学生培养自我实现的精神追求，培养“匠心精神”，立志高远，努力奋斗。将所学知识用于社会服务。寿命与平均寿命的差异程度．解决参数的点估计问题，就是构造合适的统计量𝑖=𝑖(1,2,⋯,𝑛)𝑖1,2,⋯,𝑛𝑖(𝑖=12,⋯𝑘)𝑖=𝑖(1,2,⋯,𝑛)为𝑖𝑖1,2,⋯,𝑛𝑖2.矩估计法1．矩估计法用样本矩的连续函数𝑔(𝐴1,𝐴2,⋯,𝐴𝑘)去估计总体矩的相应函数𝑔(𝜇1,𝜇2,⋯,𝜇𝑘)，这种估计方法称为矩估计法．2．矩估计法的具体做法首先求出总体X的１到ｋ阶矩𝜇𝑙=𝐸𝑋𝑙=𝜇𝑙(𝜃1,𝜃2,⋯,𝜃𝑘)（𝑙=1,2,⋯,𝑘）再次做含𝑘个未知数𝜃1,𝜃2,⋯,𝜃𝑘的方程组𝜇1=𝜇1(𝜃1,𝜃2,⋯,𝜃𝑘),𝜇2=𝜇2(𝜃1,𝜃2,⋯,𝜃𝑘),{⋮𝜇𝑘=𝜇𝑘(𝜃1,𝜃2,⋯,𝜃𝑘).从中解出𝜃1,𝜃2,⋯,𝜃𝑘得𝜃1=𝜃1(𝜇1,𝜇2,⋯,𝜇𝑘),𝜃2=𝜃2(𝜇1,𝜇2,⋯,𝜇𝑘),{⋮𝜃𝑘=𝜃1(𝜇1,𝜇2,⋯,𝜇𝑘).最后用𝐴𝑙分别替换上式中的𝜇𝑙(𝑙=1,2,⋯,𝑘)，得𝑖=𝑖1,𝐴2,⋯,𝐴𝑘)𝑖=12,⋯,𝑘𝑖=𝑖1,𝐴2,⋯,𝐴𝑘𝑖𝑖=12,⋯,𝑘𝑖𝑖ℎ(𝑖𝑖ℎ(𝑖ℎ(𝑖例1 设总𝑋服参为𝑝的(0−1)分𝑋2,⋯,𝑋𝑛是来总𝑋的样本,𝑝的矩计量例2 设总𝑋服[𝑎,𝑏]上匀分𝑎,𝑏未知1,2,⋯,𝑛是自体𝑋的样本,求𝑎,𝑏的矩估计量【学生讨论】k引导学生思考、总结。例3𝑋𝜇𝜎2𝜇,𝜎2未知1,2,⋯,𝑛𝑋𝜇𝜎23.极大似然估计法（1）设总体X是离散型随机变量，其分布律为𝑃{𝑋=𝑥}=𝑝(𝑥,𝜃)其中为未知参数，𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛是来自总体的样本，其一组观察值为x2, xn=𝑥1=𝑥2=𝑥𝑛}𝑛 𝑛∏𝑃{𝑋𝑖=𝑥𝑖}=∏𝑝(𝑥𝑖,𝜃}𝑖=1 𝑖=1当,x2, ,xn给后是的函数记𝐿(𝜃,𝑥1,𝑥2,⋯𝑥𝑛)，或简𝐿(𝜃)，即𝑛𝐿(𝜃)=𝐿(𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛)=∏𝑝(𝑥𝑖,𝜃}𝑖=1把𝐿(𝜃)称为似然函数．极大似然估计法的直观想法是：一次试验的结果就得到样本观测值1,2,⋯,𝑛𝑛1,2,⋯,𝑛)1,2,⋯,𝑛)的概率𝐿(𝜃)𝜃𝐿(𝜃)̂𝐿(1,2,⋯,𝑛;̂)=𝑥𝐿(1,2,⋯,𝑛;𝜃)𝑥1𝑥2𝑥𝑛𝜃𝜃̂1,2,⋯,𝑛𝜃量．求极大似然估计量的问题，就是求似然函数𝐿(𝜃)的最大值问题．当𝐿(𝜃)可微时，可由方程𝑑𝐿(𝜃)=0𝑑𝜃̂．又由于𝑙𝑛𝐿(𝜃与𝐿(𝜃)在同一处取得最大值，故也可由方程𝑑𝑙𝑛𝐿(𝜃)=0𝑑𝜃̂知识运用能力的训练：从一般模型到具体的使用，如何确定每一个参数，如何对标模型的每一个步骤？数学思想：“似然”，然性思维！如何理解概率的“最大原理”？【课程思政】已经发生的是概率最例4 设总𝑋服从数为p的(0−1)分𝑋2,⋯,𝑋𝑛是来总𝑋的样本,求p的极似估．（２）设总体𝑋是连续型随机变量，其概率密度为𝑓(𝑥,𝜃)，其中𝜃为未知参𝑋2是来自总体𝑋的样本其一组观察值为𝑥1𝑥2𝑥𝑛，则𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛的联合概率密度为𝑛𝐿(𝜃)=𝐿(𝑥1,𝑥2⋯,𝑥𝑛;𝜃)=∏𝑓(𝑥𝑖,𝜃)𝑖=1则𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛满足条件{𝑥1−𝑑𝑥1<𝑋1≤𝑥1,𝑥2−𝑑𝑥2<𝑋2≤𝑥2,⋯,𝑥𝑛−𝑑𝑥𝑛<𝑋𝑛≤𝑥𝑛}的概率近似为∏𝑛𝑓(𝑥𝑖,𝜃)𝑑𝑥𝑖=𝐿(𝜃)∏𝑛𝑑𝑥𝑖𝑖=1 𝑖=1𝐿(𝜃)𝐿(𝜃)𝜃量̂(1,2,⋯,𝑛𝜃例5设总体𝑋服从参数为𝜃的指数分布，即𝑋的概率密度为1 1𝑒−𝜃𝑥,𝑥>0𝑓(𝑥)={𝜃0,其他𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛是来自总体𝑋的样本，求𝜃的极大似然估计量．𝑘𝜃1𝜃2𝑘元函数，即𝐿=𝐿(𝜃1,𝜃2,⋯,𝜃𝑘)其构造方法上面相同，利用多元函数求最值的方法，令𝜕𝐿 =0𝜕𝐿=0𝜕𝜃2 ⋮𝜕𝐿=0{𝜕𝜃𝑘1,2,⋯,𝑘1,2,⋯,𝑘．例6设总体𝑋~𝑁(𝜇,𝜎2),𝜇,𝜎2为未知参数,1,2,⋯,𝑛是来自总体𝑋的样观察和思考：然函数与对数似然函数的最值点是否存在差异？本,求𝜇,𝜎2的极大似然估计量．𝑛1= ∑=𝑛𝑖=1𝑛̂2=1(𝑋−̄)2=𝐵𝑛 𝑖 2𝑖=1（4）未知参数函数的极大似然估计量的求法，这时可利用下面的定理．定理（极大似然估计的不变原理）设𝜃的函数𝑢=𝑢(𝜃)有唯一的反函数𝜃=𝜃(𝑢̂是𝑢(̂是𝑢(𝜃例7设总体𝑋~𝑁(𝜇,𝜎2),𝜇,𝜎2为未知参数,𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛是来自总体𝑋的样本，试求𝜎的极大似然估计量．解设𝑢=𝑢(𝜎2)=√𝜎2，则该函数有唯一反函数𝜎2=𝑢2．由例6知𝜎的极̂=√̂2=√1𝑛(𝑋−̄)2𝑛𝑖=1 𝑖【推荐阅读】三、小结：矩估计与极大似然估计四、作业：1（）（3）MATLAB表示正态分布或高斯分布的直方图。这称为正态分布或高型的分布具有相似的和社会科学领域研究的大量现象将产生正态分布。【课程思政】正态分布参数估计在医学等领域有着重要对本课程的学习兴趣学生逐渐克服数学的畏难情绪。§2.2 估计量的评价标准一、问题的提出二、授课内容1.无偏性̂=̂1,2,⋯,𝑛是参数𝐸(̂)=𝜃̂是的是̂𝜃𝑙𝑖𝑚𝐸(̂)=𝜃，则称ˆ是𝑛→∞例1设总体X的k阶矩𝜇𝑘=𝐸(𝑋𝑘)(𝑘≥1)存在，𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛是𝑋的样本．试证明k阶样本矩𝐴=1∑𝑛𝑋𝑘是总体k阶矩𝜇的无偏估计量．𝑘 𝑛𝑖=1𝑖 𝑘证 于𝑋2,⋯,𝑋𝑛与总体X同布，此𝐸(𝑋𝑘)=𝐸(𝑋𝑘)=𝜇𝑘,𝑘≥1,𝑖=1,2,⋯,𝑛𝑖故有𝑛 𝑛1 1𝐸(𝐴𝑘)= ∑𝐸(𝑋𝑘)= ∑𝜇𝑘=𝜇𝑘𝑛 𝑖 𝑛𝑖=1 𝑖=1即𝐴=1∑𝑛𝑋𝑘是总体k阶矩的无偏估计量𝑘 𝑛𝑖=1𝑖 k𝑋𝑋k𝜇𝑘阶样本矩𝐴𝑘k阶矩𝜇𝑘的无偏估计量．特别地，𝑘=1时，就得到样本𝐸𝑋例2设总体𝑋的均值𝜇,方差𝜎2>0都存在但未知,𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛是𝑋的样本．证明样本方差𝑆2=1∑𝑛(𝑋−𝑋̄)2是𝜎2的无偏估计量，而样本二阶中心𝑛−1𝑖=1 𝑖矩𝐵=1∑𝑛(𝑋−𝜎2的有估量2 𝑛𝑖=1 𝑖证 𝐸(𝑆2)=𝐸[1𝑛(𝑋−̄)2]=𝜎2，𝑛−1𝑖=1 𝑖【课程思政】解决问题时，要有合理的方法和科学的依据。提问：引例中问题该如何回答？当面临众多的解决问的思维方法分析和讨分析给出最佳的解决方案。所以𝑆2是𝜎2的无偏估计量．而𝑛 𝑛1 𝑛−1 1 𝑛−1= −= ⋅ −= 𝑆2𝑛 𝑛 𝑛−1 𝑛𝑖=1 𝑖=1故𝑛−1 𝑛−1𝐸(𝐵2)=𝐸[ 𝑆2]= 𝜎2≠𝜎2𝑛 𝑛因此𝐵2是𝜎2的有偏估计量．注：由此可见，一般采用𝑆2作为𝜎2的估计量比较合理，但𝐵2是𝜎2的渐近无偏估计量，故当𝑛比较大时，也可用𝐵2作为𝜎2的估计量．例3X服从参数为𝑋2𝑋𝑛𝑋明样本均值𝑋̄；样本方差𝑆2；且对满足0≤𝛼≤1的一切𝛼，𝛼𝑋̄+(1−𝛼)𝑆2都是的无偏估计量．证明 由𝑋~𝜋(𝜆)，故有𝐸𝑋=𝐷𝑋=𝜆，𝐸(𝑋̄)=𝐸𝑋=𝜆，𝐸(𝑆2)=𝐷𝑋=𝜆̄，𝑆2𝜆𝐸[𝛼̄+(1−𝛼)𝑆2]=𝛼𝐸(̄)+(1−𝛼)𝐸(𝑆2)=𝛼𝜆+(1−𝛼)𝜆=𝜆因此𝛼𝑋̄+(1−𝛼)𝑆2也是𝜆的无偏估计量．【学生讨论】此例说明同一参数的无偏估计量不是唯一的？2.有效性定义72 设1=11,2,⋯,𝑛2=21,2,⋯,𝑛均是无偏计𝐷(1)<𝐷(2，则称ˆ较ˆ有效．1 24X服从参数为𝑋2𝑋𝑛X1=̄2=𝑛𝑖𝑛𝑖均是无偏估计量，且当n1时，ˆ较ˆ有效．1≤𝑖≤𝑛 1 2证明 X服参为的指分布其率度为1𝑒−𝑥 ,𝜃, 𝑥>0𝑓(𝑥,𝜃)={𝜃0, 其它.𝐸(1)=𝐸(̄)=𝐸𝑋=𝜃1是𝜃然函数与对数似然函数的最值点是否存在差异？估计量的评价必须根据其会受抽样结果影能取值的整体性质与规律去考虑。𝑛概率密度的求法知𝑚𝑖𝑛𝑋𝑖的1≤𝑖≤𝑛概率密度为1𝑒−𝑥 ,𝜃, 𝑥>0𝑓(𝑥,𝜃)={𝜃0, 其它.即𝑚𝑖𝑛𝑋服从参数为𝜃的指数分布，所以1≤𝑖≤𝑛𝑖 𝑛𝜃𝐸[𝑚𝑖𝑛𝑋𝑖]=1≤𝑖≤𝑛 𝑛则有𝐸(̂)=𝐸[𝑛𝑖𝑛𝑋]=𝑛𝜃=𝜃2 1≤𝑖≤𝑛𝑖 𝑛所以ˆ也是无偏估计量．2又因𝑛 𝑛1 1 𝜃2𝐷(1)=𝐷(̄)= ∑𝐷(𝑖)= ∑𝜃2=𝑛2 𝑛2 𝑛𝑖=1 𝑖−1𝜃2𝐷(2)=𝐷(𝑛𝑖𝑛𝑖)=𝑛2𝐷(𝑖𝑛𝑖)=𝑛2 =𝜃21≤𝑖≤𝑛 1≤𝑛≤𝑛 𝑛2所以，当n1𝐷(1)<𝐷(2，故当n1时，ˆ较ˆ有效．1 3.相合性̂=̂1,2,⋯,𝑛为参数估计量，若对任意的0，有𝑙𝑖𝑚𝑃|̂−𝜃|<𝜀}=1𝑛→∞则𝜃̂称为的相合估计量．例5𝑋的k阶矩𝜇𝑘=𝐸(𝑋𝑘)(𝑘≥1)𝑋2𝑋𝑛是𝑋试证明k𝐴=1∑𝑛𝑋𝑘是总体k阶矩𝜇𝑘 𝑛𝑖=1𝑖 𝑘证由于𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛独立且与总体X同分布，所以𝑋𝑘,𝑋𝑘,⋯,𝑋𝑘独立且与1 2 𝑛𝑋𝑘同分布，故有𝐸(𝑋𝑘)=𝐸(𝑋𝑘)=𝜇𝑘,𝑖=1,2,⋯,𝑛，𝑖根据辛钦大数定律有，对任意的𝜀>0，有𝑛1𝑙𝑖𝑚𝑃{|𝐴𝑘−𝜇𝑘|<𝜀}=𝑙𝑖𝑚𝑃{|∑𝑋𝑘−𝜇𝑘|<𝜀}=1𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛 𝑖𝑖=1这就证明了𝐴=1∑𝑛𝑋𝑘是𝜇的相合估计量．𝑘 𝑛𝑖=1𝑖 𝑘前面介绍的无偏性和有效性都是在样本容量固定条件下提出的，然而，在样本容量固定的前提下估计量与参数的真实值之间的随机偏差总是存在的，而且不可避免。我们希望在样本容量不断增大时，估计量与参数的真实值之间的偏差发生的机会逐渐缩小。因此，下面将介绍相合性的定义。估计量的无偏性和有效性均是在样本容量n固定的条件下讨论们希望随着样本容量n稳定于待估参数真值的概率为１．还可进一步证明：若𝑔是连续函数，=𝑔(𝐴1𝐴2𝐴𝑛)𝜃=𝑔(𝜇1,𝜇2,⋯,𝜇𝑛)的相合估计量．顺便指出，在一定条件下，参数的最大似然估计量也是相合估计量.具有无偏性、最优性的估计量必是相合性估计量，因此，在测量平差中，对参数估值的评选标准为最优和无偏，称为最优无偏估值例6 试证明样本k阶矩𝐴=1∑𝑛𝑋𝑘是总体𝑘阶矩𝜇=𝐸(𝑋𝑘)的相合估𝑘 𝑛𝑖=1𝑖 𝑘计。证明：根据大数定律，如果总体k𝜇𝑘=𝐸(𝑋𝑘)𝑛→∞时，样本𝑘阶矩𝐴=1∑𝑛𝑋𝑘依概率收敛于总体𝑘阶矩𝜇=𝐸(𝑋𝑘)，即对∀𝜀>0，有𝑘 𝑛𝑖=1𝑖 𝑘𝑙𝑖𝑚𝑃{|𝐴𝑘−𝜇𝑘|<𝜀}=1。𝑛→∞因此，样本𝑘阶矩𝐴𝑘是总体𝑘阶矩𝜇𝑘的相合估计。【拓展阅读】科研论文：一种工程常见不完全数据点估计的误差分析三、小结：四、作业：1（2）认真阅读“拓展阅读”文章；（3）MATLAB该结论具有一般意义，保证了矩估计的相合性分布函数的形式为已的一个或多个参数却用概率论对具有随机现象的观测值进行整个问题在数理统计中称为参数估计。§2.3 一、问题的提出引例1.R为ppBERNP引例2.兰州大学《新冠肺炎疫情全球预测系统》(GPCP)基于实时更新的流行病数据，对每个国家的逐日和季节性新增新冠肺炎发病数进行可靠预报。二、授课内容1.区间估计的概念【问题导向】以高速串行链路系统真实的误码率BER数据中的参数估计问题区间估计是指估计未使此范围包含未知参数真值的概率为给定【课程思政】置信度体现了参数落抗击疫情初期学者们5.2而这些患者中感染到发病的间隔的95%分位数为12.5天，即95%以上的患者在感染后的12.5天内表现出肺炎症状。这一数学思想在人们的实践活动中发挥了重要作用。体现了，人们尊重客观规律的科学思维方法。定义设总体X的分布函数为𝐹(𝑥,𝜃)，为未知参数，𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛是𝑋的样本．对给定的𝛼(0<𝛼<1)，若存在两个统计量𝜃=𝜃(𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛)和𝜃=𝜃(𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛)满足𝑃{𝜃<𝜃<𝜃}=1−𝛼，则称区间(,)为参数的置信水平为1−𝛼的置信区间，称为置信下限，称为置信上限，1称为置信水平．说明：置信区间(,)是随机区间。置信区间的求法引例X服从正态分布𝑁(𝜇,0.06)，现从产品中随6=14.95平为95%的置信区间．通过引例可总结出求未知参数置信区间的步骤如下：枢轴量法构造未知参数的置信区间的一种常用的方法称之为枢轴量法，其具体步骤如下：（1）构造枢轴量：从的一个点估计ˆ出发，构造一个ˆ和的函数G(ˆ,)，使得其分布已知，且分布与无关，通常称G(ˆ,)为枢轴量。（2）列概率表达式：选取适当的两个常数c和d，使得对给定的𝛼∈(0,1)有PcG(ˆ,)d1。cd可等价变形为形如即为参数1的置信1 2 1 2区间。【学生讨论】3.单个正态总体均值的区间估计（1）𝜎2已知时，𝜇的置信区间当𝜎2已知时，可选取从一般模型到具体的𝑋̄−𝜇𝑈= 𝜎~𝑁(0,1)√𝑛作为枢轴量，再利用标准正态分布分位数即可得到的置信区间。考虑到正态2和2，由于2u2，1，有𝑃{|𝑈|≤𝑢𝛼}=1−𝛼2等价于𝑃{|𝜇−𝑋̄|≤𝜎𝑢𝛼}=1−𝛼，√𝑛2因此，均值的置信度为1的置信区间为[𝑋̄±𝜎𝑢𝛼]。√𝑛2（2）𝜎2未知时，的置信区间当𝜎2未知时，可选取𝑇=𝑋̄−𝜇~𝑡(𝑛−1)，𝑆√𝑛tt分布相似，其概率密度函数是单峰对称函数，取对称区间可使置信区间的长度最短。如图所示，选取t分布的分位数t2(n1)和t12(n1)，由于t12(n1)t2(n1)，则对于给定的置信度1，有𝑃{|𝑇|≤𝑡𝛼(𝑛−1)}=1−𝛼2通过特殊到一般的实中体会人类认识世界估计的在实际中的应用，培养学生工匠精神。概念理解：枢轴量是求解参数置取枢轴量时要明确其枢轴量置于1-α的区价变形导出位置参数的范围，即为置信区间。由于t12(n1)t2(n1)，所以式（2.3.2）等价于𝑃{|𝜇−𝑋̄|≤𝑆𝑡𝛼(𝑛−1)}=1−𝛼，√𝑛2因此，均值的置信度为1的置信区间为[𝑋̄±𝑆𝑡𝛼(𝑛−1)]。√𝑛2例1 设某工的直与纸定尺的偏差XN,2随机取100根轴测得其总为试总体值的置为90%的置信区间。解：由于总体方差已知，所以均值的置信度为1的置信区间为𝜎 𝜎[𝑋̄−𝑢𝛼,𝑋̄+𝑢𝛼]√𝑛2 √𝑛2设每根轴的直径偏差为ximm，i,10，则由题可知样本均值 1x x5，总标差5。当信度1时， 0.05，i 2i1u/2u0.05=1.6449，代入数据得到均值的置信度为90%的置信区间为[4.1776,5.8224]。例2 假定每克水泥混合物释放的热量（单位：卡路里）服从正态分布N(,2)16112801095解：因为总体方差2未知，所以的置信度为1的置信区间为【课程思政】注意在平时的学习和研究中养成良好的习惯，逐步培养科学、严谨的思维方法和方法。【课程思政】数学科学技术发展的统计与数据分析在制【课程思政】工程背景的数据分析案例可增强学生专业[𝑋̄−𝑆𝑡𝛼(𝑛−1),𝑋̄+𝑆𝑡𝛼(𝑛−1)]√𝑛2 √𝑛2设每水混物品放的量为xi卡里，i,16题可样本均值𝑥̄=1∑16𝑥=80，样本标准差s10。16𝑖=1𝑖当置信度10.95时，0.05时，𝑡𝛼(𝑛−1)=𝑡0.025(15)=2.1314，故2总体均值的置信度为95%的置信区间为[74.6714,85.3286]。4.单个正态总体方差的区间估计类似于均值的置信区间求解的两种情况，此处将方差的置信区间也分为总体均值已知与未知两种情况进行讨论。（1）𝜎2𝑛𝜒2=𝑛−1𝑆2=1∑(𝑋−𝑋̄)2~𝜒2(𝑛−1)𝜎2 𝜎2 𝑖𝑖=1作为枢轴量，由于2分布是偏态分布，寻求长度最短的1−𝛼置信区间比较困难，在实务中通常构造等尾的1−𝛼置信区间，如图所示，选取𝜒2分布的1−𝛼2分位数和𝛼，使得2𝑃{𝜒2𝛼(𝑛−1)≤𝜒2≤𝜒2(𝑛−1)}=1−𝛼1− 𝛼2 2等价于(𝑛−1)𝑆2 (𝑛−1)𝑆2𝑃{2 ≤𝜎2≤2 }=1−𝛼𝜒𝛼(𝑛−1) 𝜒1−𝛼(𝑛−1)2 2因此，的置信度为1的置信区间为引导学生思考方差的置信区间与均值的置信区间在估计时有何注意思考置信区间的对称性体现在何处？(𝑛−1)𝑆2 (𝑛−1)𝑆2[𝜒2(𝑛−1),𝜒2 (𝑛−1]𝛼 1−𝛼 )2 2（2）已知时，2𝑛𝜒2=1∑(𝑋−𝜇)2~𝜒2(𝑛)𝜎2 𝑖𝑖=1作为枢轴量，使用枢轴量法可得到相应的2的置信区间为𝑛−𝜇)2𝑛−𝜇)2[𝑖=1 ,𝑖=1 ]𝜒2(𝑛) 𝜒2 (𝑛)𝛼 1−𝛼2 2例3 为究种车胎的损性随地择16只胎量程中每轮行到坏止，录行的程单位：km）如：41250 40187 43175 41010 39265 41872 42654 4128740400 39775 43500 40680 41095 42550 40200 38970设行驶里程服从N(,2)，试求下列情况下方差2的置信区间：（1）若已知𝜇=41000，试求方差𝜎2的置信度为90%的置信区间；（2）若𝜇未知，试求方差𝜎2的置信度为95%的置信区间；12的置信度为1𝑛−𝜇)2𝑛−𝜇)2[𝑖=1 ,𝑖=1 ]𝜒2(𝑛) 𝜒2 (𝑛)𝛼 1−𝛼2 2由题可知样本均值𝑥̄=1∑16𝑥=41117，当置信度10.9时，16𝑖=1𝑖0.1时𝛼(𝑛)=𝜒2(15)=−1)=𝜒2 (15)=故总1− 0.95 𝛼 0.052 2体方差𝜎2的置信度为90%的置信区间为[1.0431×106,3.4451×106]。（2）因为总体期望未知，所以𝜎2的置信度为1−𝛼的置信区间为(𝑛−1)𝑆2 (𝑛−1)𝑆2[𝜒2(𝑛−1),𝜒2 (𝑛−1]𝛼 1−𝛼 )2 2由题可知，样本方差𝑠2=1.8140×106。简单工程数据分析案计的理论与方法应用于解决工程数据分析当置度1时，0.05时，𝜒2𝛼(𝑛−1)=𝜒2 (15)=6.262，1− 0.9752𝜒2(𝑛−1)=𝜒2 (15)=27.488故总体方差2的置信度为95%的置信区间为𝛼 0.0252[0.9899×106,4.3451×106]。【知识拓展】工程项目案例：科研论文三、小结：（1）置信区间的概念与枢轴量法（2）单个正态总体置信区间的模型与应用四、作业：1（2）MATLAB【课程思政】引用科研论文设计意图：让学生从专业的角度引导学生使用数理统对专业领域的工程问而升华为对科学研究知识应用于社会主义现代化建设。2.4 两个正态总体参数的置信区间一、问题的提出引例（工程数据分析案例）工程师分析甲、乙两个厂家生产水泥的压力强度，假定水泥压力强度分别服从𝑁(1,𝜎2𝑁(2,𝜎2现从家中随抽若样进测（单1 2位：ka甲厂：2050 1980 1970 2040 2010 2000 1900 1990乙厂：2070 1980 1950 2080 2040 1960 2020试根据以上信息分析两种水泥的差异性。【问题导向】二、授课内容上节介绍了单个正态总体参数的区间估计，本节将介绍两个正态总体参数的区间估计，基本问题为两个总体的均值差和方差比的区间估计。设总体𝑋~𝑁(1,𝜎2𝑌~𝑁(2,𝜎2(1,2,⋯,𝑛(1,2,⋯,𝑛分别1 2 1 2X和Y和𝑆2𝑆2。1 2下面分别讨论均值差𝜇−𝜇和方差比𝜎2的区间估计。11 2 𝜎221.均