2022年九年级中考数学第二轮复习专题课件 几何最值问题的变式探究

TOPICTHREE专题

(三)规律探索型问题几何最值问题的变式探究中考第二轮复习专题湖北省咸宁市第三初级中学唐先祥

新人教版八上数学课题学习，最短路径问题中“饮马问题”、“造桥选址问题”如何转化为数学问题？

回归课本1.条件：如图（1）,点A、B是直线l同侧的两定点。

问题：在直线上确定一点P,使PA+PB的值最小。（饮马问题）

2.条件：如图(2)，点A、B是两平行直线a、b外的两定点，点M、N分别是直线a、b上两动点，且MN垂直于直线a、b。

问题：确定MN的位置,使AM+MN+NB的值最小。（造桥选址问题）1.几何最值问题的依据是：“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”回归课本

2.解决几何最值问题的方法:通常利用轴对称、平移等变换作出最值位置，从而把已知问题转化为容易解决的问题。1.条件：如图1，点A、B是直线l异侧的两定点。问题：在直线上确定一点P,使PA+PB的值最小。

2.

条件:如图2，点A、B是直线l同侧的两定点。问题:在直线上确定一点P,使PA+PB的值最小.(饮马问题）

基本图形及方法3.条件：如图3，点A是直线

l外一定点。问题：在直线l上确定一点P,使PA的值最小。图1图2图3方法：连接AB交直线l于点P,则PA+PB=AB的值

最小。方法:作点A关于直线l的对称点A/,连接A’B交直线l于点P,

则PA+PB=A/B的值最小。方法：过点A作直线l的垂线，垂足为P,则PA的值最小.几何模型变式图形及方法图4变式1：（图1变式，将直线l变为两平行直线a、b）

条件：如图4，点A、B是两平行直线a、b外的两定点，点

M、N分别是直线a、b上两动点,且MN垂直于直线a、b.问题：确定MN的位置,使AM+MN+NB的值最小.(造桥选址问题）

图1⇒方法：将点A沿垂直于直线a的方向平移到A＇,使AA＇=MN,连接A＇B交直线b于点N,

过点N作MN垂直于直线b,交直线a于点M.则AM+MN+NB的值最小.图2⇒图5变式2:

（图2变式，将点P变为线段PQ）

条件：如图5，点A、B是直线l同侧的两定点,

线段PQ在直线l移动上。

问题：确定PQ的位置,使PA+PQ+QB的值最小。

方法：将点B沿平行于直线l的方向平移到B＇,使BB＇=PQ,再作点A关于直线l

的对称点A’,连接A’

B＇交直线l于点P,则PA+PQ+QB的值最小。几何模型变式图形及方法图2⇒图6变式3:

（图2变式,将直线l变为两条直线a、b,

两点A、B变为一点A）

条件：如图6，点A是两相交直线a、b内一定点，

点P、Q分别是直线a、b上两动点。问题：确定P，Q的位置,使PA+PQ+QA的值最小。方法：过点A分别作点A关于直线a、b的对称点A/

、A//,连接A/A//，

分别交直线a、b于点P、Q,则PA+PQ+QA=A/A//的值最小。图2⇒图7变式4:

（图2变式,将直线l变为两条直线a、b）

条件：如图7，点A、B是两相交直线a、b内两定点，

点P、Q分别是直线a、b上两动点。问题：确定P，Q的位置,使PA+PQ+QB的值最小。方法：过点A、B分别作点A关于直线a的对称点A/,作点B关于直线b的对称点B＇,

连接A/B＇，分别交直线a、b于点P、Q,则PA+PQ+QB=A/B＇的值最小。几何模型几何模型变式图形及方法图3图3⇒⇒图8图9变式5:

（图3变式）

条件：如图8，定点A、B,动直线l过点B.问题：确定直线l的位置,使点A到直线l的距离最大。图10方法：连接AB,当直线l垂直于AB时，点A到直线l的

距离最大（为AB）.变式6:

（图3变式）

条件:如图9,定点A、B、C,动直线l过点B,且直线l在点A、C之间。问题：确定直线l的位置,使点A、C分别到直线l的距离之

和最大。图2⇒方法：连接AC,当直线l垂直于AC时，则点A、C分别到

直线l的距离之和最大（为AC）.变式7:

（图2变式）

条件：如图10，点A、B是直线l异侧的两定点。问题：在直线上确定一点P,使︱PA-PB︱的值最大。方法：作点A关于直线l的对称点A’,连接A’B并延长交直线l

于点P,则︱PA-PB︱=A’B的值最大。几何模型变式图形及方法图1⇒图11变式8:

（图1变式）

条件：如图11，线段AB、BC为定长,且线段AB、

BC

可绕点B转动。

问题：确定线段AB、BC的位置,使A、C两点之

间的距离最大（小）。

方法：

当A、B、C三点共线时，A、C两点之间的距离最大（小）。图2⇒图3图12变式9:

（图2，图3的综合变式）条件：如图12，点A是两相交直线a、b内一

定点，点P、Q分别是直线a、b上两动点。问题：确定P，Q的位置,使PA+PQ的值最小。方法：作点A关于直线a的对称点A’

,过

点A’

作直线b的垂线

，垂足为Q,交

直线a于点P,则PA+PQ=A’

Q的值最小模型应用例举例

1.（天津

·中考）如图13，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3,OB=4,D为边OB的中点。（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。

解法：找位置，（1）利用基本图形2作图;(2)利用变式2作图；计算（略）。模型应用例举例2.(兰州

·中考)如图，在△ABC中，AB=10,AC=8,BC=6,

过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F.

则线段EF长度的最小值是（）A.2

B.4.75C.5D.4.8解法：利用基本图形1和基本图形3作图,连接OD、CO、CD,过C作△ABC的高CH;则EF=OC+OD≥CD≥CH,

EF的最小值是CH例

3.（武汉市

·

竞赛）如图，在直角梯形ABCD中，

∠A为直角，AB//CD,AB=7,CD=5,AD=2.一条动直线l交

AB于P,交CD于Q,且将梯形ABCD分为面积相等的两部分，

则点A到直线l的距离最大值为_______解法：利用变式5作图，作梯形的中位线EF,

取EF的中点为O,

连接OA,当直线l垂直于AO时，点A到直线l的距离最大值为AO.D模型应用例举例4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB为直角，AB=8,AC=6,

顶点B、A分别在x轴、y轴上滑动。求OC的最大值解法：利用变式8作图，取AB的中点为D,

连接OD、CD,线段OD、CD为定长，则OC≤OD+CD，OC的最大值为OD+CD=8例5.（鄂州•中考）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距

离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，

AB=试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足

MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（

）

A.6B.8C,10D.12解法：利用变式1作图，将点A沿垂直于直线a的方向平移到A＇,使AA＇=MN,连接A＇B交直线b于点N,过点N作MN垂直于直线b,交直线a于点M.则AM+MN+NB的值最小.C模型应用例举例

6.（鄂州•中考）如图18，在锐角三角形ABC中，BC=

，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是

。解法：利用变式9和基本图形3作图，作点C关于ＢＤ的对称点Ｃ’

,过点Ｃ’

作ＢＣ的垂线

，垂足为Ｎ,交ＢＤ于点Ｍ,则CM+MN=Ｃ’Ｎ的值最小例

7.（武汉•中考）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是

解法：利用变式8作图，取AB的中点为Ｇ,

连接ＧD、ＧＨ,线段ＧD、ＧＨ为定长，则ＤＨ≥ＧD－ＧＨ，ＤＨ的最小值为ＧD－ＧＨ4归纳总结

几何最值问题的形式多种多样，求解时离不开“基本图形”.

掌握“万变不离其宗”的解题技巧后，将会使形式多种多样的几何最值问题迎刃而解。主题训练自主体验1.如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）。（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=____时，△PAB的周长最短。（2）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m=____,n=___（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由；（3）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=____时，四边形ABDC的周长最短主题训练自主体验C3.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM－PO的最大值为()A.B.

C.

D.3

A

4.如图,在四边形ABCD中,AB=4,BC=3,△ACD为等边三角形,则BD的