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文档简介
2024七上专题1有理数章末重难点题型(举一反三)【考点1科学记数法及近似数】【方法点拨】(1)科学记数法的表示形式为a×10n的形式,解决此类问题只需确定a与n的值,其中1≤|a|<10,n为整数位数减1,如若数带单位可先将其还原;(2)一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个数近似到哪一位,也叫做精确到哪一位,但有一个易错点需注意,如2.019×105很多同学错误的认为这个数是精确到千分位,解决此类问题需将这个数还原成整数201900,这时能确定这个9应在百位上,因此这个数精确到百位.【例1】2018年河南省全年生产总值48055.86亿元,数据“48055.86亿”用科学记数法表示为()A.4.805586×104 B.0.4805586×105 C.4.805586×1012 D.4.805586×1013【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.【解答】解:48055.86亿用科学记数法表示为4.805586×1012.故选:C.【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定a与n值是关键.【变式1-1】某种鲸鱼的体重约为1.36×105kg,关于这个近似数,下列说法正确的是()A.它精确到百位 B.它精确到0.01 C.它精确到千分位 D.它精确到千位【分析】根据近似数的精确度求解.【解答】解:1.36×105精确到千位.故选:D.【点评】本题考查了近似数和有效数字:经过四舍五入得到的数为近似数;从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止,所有的数字都是这个数的有效数字.近似数与精确数的接近程度,可以用精确度表示.一般有,精确到哪一位,保留几个有效数字等说法.【变式1-2】绿水青山就是金山银山,为了创造良好的生态生活环境,我省2017年一季度清理垃圾约1.16×107方,数字1.16×107表示()A.1.16亿 B.116万 C.1160万 D.11.6亿【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【解答】解:1.16×107=11600000=1160万.故选:C.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.【变式1-3】近似数3.5的准确值a的取值范围是()A.3.45≤a≤3.55 B.3.4<a<3.6 C.3.45≤a<3.55 D.3.45<a≤3.55【分析】根据四舍五入法,可以得到似数3.5的准确值a的取值范围,本题得以解决.【解答】解:近似数3.5的准确值a的取值范围是3.45≤a≤3.54,故选:C.【点评】本题考查近似数和有效数字,解答本题的关键是明确近似数和有效数字的含义.【考点2表示相反意义的量】【方法点拨】解决此类问题关键是明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解.【例2】一箱苹果的重量标识为“10±0.25”千克,则下列每箱苹果重量中合格的是()A.9.70千克 B.10.30千克 C.9.60千克 D.10.21千克【分析】根据“10±0.25千克”,可算出合格范围,再根据合格范围,选出答案.【解答】解:∵10﹣0.25=9.75(千克),10+0.25=10.25(千克),∴合格范围为:9.75~10.25千克.故选:D.【点评】本题考查了正数和负数,计算出合格范围是解题关键.【变式2-1】某粮店出售4种品牌的面粉,袋上分别标有质量为(20±0.1)kg、(20±0.2)kg、(20±0.3)kg、(20±0.4)kg,这种合格面粉最多相差()A.0.4kg B.0.5kg C.0.6kg D.0.8kg【分析】根据题意给出4种品牌的质量波动范围,并求出任意两袋质量相差的最大数.【解答】解:根据题意从中找出两袋质量波动最大的(20±0.4)kg,则相差0.4﹣(﹣0.4)=0.8kg.故选:D.【点评】本题考查了这正数和负数,有理数的减法运算时解题关键.【变式2-2】213路公交车从起点开始经过A,B,C,D四站到达终点,各站上下车人数如下(上车为正,下车为负)例如(7,﹣4)表示该站上车7人,下车4人.现在起点站有15人,A(4,﹣8),B(6,﹣5),C(7,﹣3),D(1,﹣4).车上乘客最多时有()名.A.13 B.14 C.15 D.16【分析】根据题意可以算出各个阶段对应的乘客人数,从而可以解答本题.【解答】解:由题意可得,起点到A站之间,车上有15人,A站到B站之间,车上有:15+4﹣8=11(人),B站到C站之间,车上有:11+6﹣5=12(人),C站到D站之间,车上有:12+7﹣3=16(人),D站到终点之间,车上有:16+1﹣4=13(人),由上可得,车上乘客最多有16人,故选:D.【点评】本题考查正负数,解答本题的关键是明确正负数在题目中的实际意义.【变式2-3】如图,检测4个足球,其中超过标准质量的克数记为正数,不足标准质量的克数记为负数.从轻重的角度看,最接近标准的是()A.﹣3.5 B.+2.5 C.﹣0.6 D.+0.7【分析】求出每个数的绝对值,根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可.【解答】解:∵|﹣0.6|<|+0.7|<|+2.5|<|﹣3.5|,∴﹣0.6最接近标准,故选:C.【点评】本题考查了绝对值和正数和负数的应用,掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键,主要考查学生的理解能力,题目具有一定的代表性,难度也不大.【考点3有理数相关概念】【方法点拨】解决此类问题需理解并熟记有理数相关概念,如①整数和分数统称为有理数;②正有理数、0和负有理数亦可称为有理数;③只有符号不同的两个数叫做互为相反数;④在数轴上原点的两旁,离开原点距离相等的两个点所表示的数,叫做互为相反数;⑤数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值;⑥一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.【例3】下列说法中正确的是()A.正数和负数统称为有理数 B.有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和0五类 C.一个有理数不是整数,就是分数 D.整数包括正整数和负整数【分析】根据有理数的分类,逐一做出判断即可.【解答】解:因为是正数,却不是有理数,故选项A错误;有理数按定义分为整数和分数,按性质分为正有理数、负有理数和0.故选项B错误;因为整数和分数统称有理数,所以一个有理数不是整数,就是分数,故选项C正确;整数包括正整数、负整数和0,由于缺少0故选项D错误.故选:C.【点评】本题考查有理数的分类,解题的关键是掌握有理数的分类标准,做到不重不漏.【变式3-1】下列各数:,1.010010001,,0,﹣π,﹣2.626626662…,,其中有理数的个数是()A.3 B.4 C.5 D.6【分析】直接利用有理数的概念分析得出答案.【解答】解:﹣,1.010010001,,0,﹣π,﹣2.626626662…,0.,其中有理数为:﹣,1.010010001,,0,0.,共5个.故选:C.【点评】此题主要考查了有理数的相关概念,正确把握相关定义是解题关键.【变式3-2】下列说法正确的是()A.正数与负数互为相反数 B.符号不同的两个数互为相反数 C.数轴上原点两旁的两个点所表示的数是互为相反数 D.任何一个有理数都有它的相反数【分析】A、B、C可举反例判断,D根据相反数的概念解答即可.【解答】解:A、B、C、如+3和﹣2不是互为相反数,故本选项错误;D、任何一个有理数都有它的相反数,正确.故选:D.【点评】本题考查了相反数的意义,相反数是只有符号不同的两个数.【变式3-3】下列说法正确的是()A.绝对值等于3的数是﹣3 B.绝对值不大于2的数有±2,±1,0 C.若|a|=﹣a,则a≤0 D.一个数的绝对值一定大于这个数的相反数【分析】利用绝对值的知识分别判断后即可确定正确的选项.【解答】解:A、绝对值等于3的数是3和﹣3,故错误;B、绝对值不大于2的整数有±2,±1,0,故错误;C、若|a|=﹣a,则a≤0,正确,D、负数的绝对值等于这个数的相反数,故错误,故选:C.【点评】本题考查了绝对值的性质,绝对值规律总结:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.【考点4利用数轴判断符号】【方法点拨】解决此类问题需由数轴得知字母所表示的数的正负性,再根据有理数加、减、乘、除、乘方、绝对值的意义以及数轴上右边点的数总比左边的数大判断即可.【例4】有理数a,b在数轴上的表示如图所示,则下列结论中:①ab<0,②﹣a>﹣b,③a+b<0,④a﹣b<0,⑤a<|b|,正确的有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【分析】根据数轴知b<0<a,且|a|<|b|,再利用有理数的乘法、加法、减法及绝对值性质等知识点逐一判断可得.【解答】解:由数轴知b<0<a,且|a|<|b|,则①ab<0,此结论正确;②﹣a<﹣b,此结论错误;③a+b<0,此结论正确;④a﹣b>0,此结论错误;⑤a<|b|,此结论正确;故选:B.【点评】本题考查的是数轴和绝对值,熟知数轴上右边的数总比左边的大及有理数的混合运算法则是解答此题的关键.【变式4-1】如图,数轴上A,B两点对应的数分别是a和b,对于以下四个式子:①2a﹣b;②a+b;③|b|﹣|a|:④,其中值为负数的是()A.①② B.③④ C.①③ D.②④【分析】根据图示,可得b<﹣3,0<a<3,据此逐项判断即可.【解答】解:根据图示,可得b<﹣3,0<a<3,①2a﹣b>0;②a+b<0;③|b|﹣|a|>0;④<0.故其中值为负数的是②④.故选:D.【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法,以及数轴的特征和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是判断出a、b的取值范围.【变式4-2】如图,数轴上A、B两点分别对应有理数a、b,则下列结论:①ab<0;②a+b>0;③a﹣b>1;④a2﹣b2<0,其中正确的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【分析】根据数轴的性质,可以得到两个点表示数的大小关系和符号,根据有理数计算法则可得出结论【解答】解:∵b<﹣1<0,0<a<1∴①ab<0,正确②a+b>0,错误③a﹣b>1,正确④a2﹣b2<0,正确故选:C.【变式4-3】有理数a、b、c在数轴上对应的点的位置,如图所示:①abc<0;②|a﹣b|+|b﹣c|=|a﹣c|;③(a﹣b)(b﹣c)(c﹣a)>0;④|a|<1﹣bc,以上四个结论正确的有()个.A.4 B.3 C.2 D.1【分析】先根据数轴上a、b、c的位置判断它们的正负、大小,利用乘法的符号法则、有理数的减法法则、绝对值的化简等知识点逐个判断得结论.【解答】解:由数轴知:a<﹣1<0<b<c<1.∵a<0.b>0,c>0,∴abc<0,故①正确;∵a<b,b<c,a<c,∴|a﹣b|+|b﹣c|=b﹣a+c﹣b=c﹣a,|a﹣c|=c﹣a,∴|a﹣b|+|b﹣c|=|a﹣c|,故②正确;∵a<b,b<c,a<c,∴a﹣b<0,b﹣c<0,c﹣a>0∴(a﹣b)(b﹣c)(c﹣a)>0,故③正确;∵a<﹣1,∴|a|>1,∵0<b<c<1,∴0<bc<1,∴1﹣bc<1,∴|a|>1﹣bc,故④不正确.故选:B.【点评】本题考查了数轴上点的特点,有理数乘法的符号法则,有理数的大小比较,绝对值的化简等知识点,掌握减法、乘法的符号法则是解决本题的关键.【考点5绝对值及偶次乘方的非负性】【方法点拨】直接利用绝对值及偶次乘方的非负数的性质分别得出字母的值,进而得出答案.【例5】若|x+2|+(x+3y+1)2=0,则yx的值为.【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质分别化简得出答案.【解答】解:∵|x+2|+(x+3y+1)2=0,∴x+2=0,x+3y+1=0,解得:x=﹣2,y=,故yx=()﹣2=9.故答案为:9.【点评】此题主要考查了非负数的性质,正确得出x,y的值是解题关键.【变式5-1】若(x﹣2)2与|x+2y|互为相反数,则y﹣x=.【分析】直接利用非负数的性质分别得出x,y的值,进而得出答案.【解答】解:∵(x﹣2)2与|x+2y|互为相反数,∴x﹣2=0,x+2y=0,解得:x=2,y=﹣1,故y﹣x=﹣1﹣2=﹣3.故答案为:﹣3.【点评】此题主要考查了非负数的性质,正确得出x,y的值是解题关键.【变式5-2】当x时,2﹣(x+3)2有最大值.【分析】直接利用偶次方的性质分析得出答案.【解答】解:当x+3=0时,2﹣(x+3)2有最大值,解得:x=﹣3.故答案为:=﹣3.【点评】此题主要考查了非负数的性质,正确利用偶次方的性质是解题关键.【变式5-3】当x=时,﹣10+|x﹣1|有最小值,最小值为.【分析】直接录用绝对值的性质分析得出答案.【解答】解:∵|x﹣1|最小为0,∴当x=1时,﹣10+|x﹣1|有最小值,最小值为:﹣10.故答案为:1,﹣10.【点评】此题主要考查了非负数的性质,正确掌握绝对值的性质是解题关键.【考点6利用相反数、倒数、绝对值定义求值】【方法点拨】解决此类问题需熟知两个互为相反数的数和为0,两个互为倒数的数乘积为1,值得注意的是已知一个数的绝对值为非0的数,那么这个数应该有两个,此时应注意分类讨论,结果往往有两个.【例6】若a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值为4.(1)直接写出a+b,cd,m的值;(2)求m+cd+的值.【分析】(1)直接利用互为相反数以及互为倒数和绝对值的定义分别分析得出答案;(2)利用(1)中所求,代入得出答案.【解答】解:(1)∵a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值为4,∴a+b=0,cd=1,m=±4;(2)由(1)得:原式=±4+1=5或﹣3.【点评】此题主要考查了倒数、相反数、绝对值,正确把握相关定义是解题关键.【变式6-1】已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值等于3,求m2+(cd+a+b)×m+(cd)2018的值.【分析】利用倒数,相反数的性质,以及绝对值的代数意义求出a+b,cd,m的值,代入原式计算即可求出值.【解答】解:∵a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值等于3,∴a+b=0,cd=1,|m|=3,当m=﹣3时,m2+(cd+a+b)×m+(cd)2018=(﹣3)2+(1+0)×(﹣3)+12018=9+1×(﹣3)+1=9+(﹣3)+1=7;当m=3时,∴m2+(cd+a+b)×m+(cd)2018=13【点评】此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.【变式6-2】若a、b互为相反数,c、d互为倒数,p的绝对值等于2,则关于x的方程(a+b)x2+3cd•x﹣p2=0的解是多少?【分析】直接利用倒数以及绝对值、相反数的定义得出答案.【解答】解:∵a、b互为相反数,c、d互为倒数,p的绝对值等于2,∴a+b=0,cd=1,p2=4,∴(a+b)x2+3cd•x﹣p2=0,整理得:3x﹣4=0,解得:x=.【点评】此题主要考查了倒数、相反数、绝对值,正确把握相关定义是解题关键.【变式6-3】已知:有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位,a,b互为相反数,且都不为零,c,d互为倒数.求:2a+2b+(a+b﹣3cd)﹣m的值.【分析】直接利用相反数以及互为倒数的性质得出a+b=0,cd=1,进而分类讨论得出答案.【解答】解:∵有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位,∴m=﹣5或3,∵a,b互为相反数,且都不为零,c,d互为倒数,∴a+b=0,cd=1,当m=﹣5时,∴2a+2b+(a+b﹣3cd)﹣m=2(a+b)+(a+b)﹣3cd﹣m=﹣3﹣(﹣5)=2,当m=3时,2a+2b+(a+b﹣3cd)﹣m=2(a+b)+(a+b)﹣3cd﹣m=﹣3﹣3=﹣6综上所述:原式=2或﹣6.【点评】此题主要考查了倒数与相反数,正确把握相关定义是解题关键.【考点7利用绝对值、乘方的性质求值】【方法点拨】解决此类问题需熟知一个数的绝对值或乘方是一个正数,那么这个数应该有两个,需注意进行分类讨论,另外会熟练运用绝对值的意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.包括逆向用法.【例7】若实数a,b满足a2=16,|b|=6,且a﹣b<0,求a+b的值.【分析】根据有理数的乘方和绝对值的性质求出a、b,再根据a﹣b<0判断出a、b的对应情况,然后相加即可得解.【解答】解:∵a2=16,|b|=6,∴a=±4,b=±6,∵a﹣b<0,∴a<b,∴①a=﹣4,b=6,则a+b=2,②a=4,b=6,则a+b=10,综上所述,a+b的值等于2或10.【点评】本题考查了有理数的加法,绝对值的性质,有理数的减法,确定出a、b的值是解题的关键.【变式7-1】已知|a|=8,b2=36,若|a﹣b|=b﹣a,求a+b的值.【分析】根据绝对值和乘方的意义可得a=±8,b=±6,再由绝对值的性质可得a﹣b≤0,进而可确定a、b的值,然后可得答案.【解答】解:∵|a|=8,b2=36,∴a=±8,b=±6,∵|a﹣b|=b﹣a,∴a﹣b≤0,∴a≤b,∴a=﹣8,b=﹣6,则a+b=﹣14,a=﹣8,b=6,a+b=﹣2,故答案为:﹣2或﹣14.【点评】此题主要考查了绝对值的性质和有理数的乘方,关键是掌握有理数乘方的意义,掌握非正数的绝对值等于它的相反数.【变式7-2】已知|x+4|=5,(1﹣y)2=9,且x﹣y<0,求2x+y的值.【分析】根据绝对值和偶次幂得出x,y的值,进而解答即可.【解答】解:因为|x+4|=5,(1﹣y)2=9,且x﹣y<0,所以x=1,y=4,或x=﹣9,y=﹣2,所以2x+y=6或﹣20.【点评】本题考查有理数的乘方、绝对值的性质,解题的关键是根据绝对值和偶次幂得出x,y的值.【变式7-3】若|a|=2,|b|=3,|c|=6,|a+b|=﹣(a+b),|b+c|=b+c.计算a+b﹣c的值.【分析】根据题意可以求得a、b、c的值,从而可以求得所求式子的值.【解答】解:∵|a|=2,|b|=3,|c|=6,∴a=±2,b=±3,c=±6,∵|a+b|=﹣(a+b),|b+c|=b+c,∴a+b≤0,b+c≥0,∴a=±2,b=﹣3,c=6,∴当a=2,b=﹣3,c=6时,a+b﹣c=2+(﹣3)﹣6=﹣7,a=﹣2,b=﹣3,c=6时,a+b﹣c=﹣2+(﹣3)﹣6=﹣11.【点评】本替考查有理数的加减混合运算、绝对值,解答本题的关键是明确有理数加减混合运算的计算方法.【考点8有理数混合运算】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握有理数混合运算的先后顺序,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号里,值得注意有些题可能会运用运算律进行简便运算.【例8】计算:(1)(2)【分析】(1)原式利用乘法分配律计算即可求出值;(2)原式先计算乘方运算,再计算乘除运算,最后算加减运算即可求出值.【解答】解:(1)原式=﹣6+27﹣15=6;(2)原式=9××(﹣)+4+4×(﹣)=﹣﹣+4=﹣.【点评】此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.【变式8-1】计算:(1)(2)【分析】(1)先算乘方,再算乘法,最后算减法;同级运算,应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号,要先做括号内的运算;(2)先算乘方,再算除法,最后算减法;同级运算,应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号和绝对值,要先做括号和绝对值内的运算.【解答】解:(1)﹣15﹣[﹣1﹣(4﹣22×5)]=﹣15﹣[﹣1﹣(4﹣4×5)]=﹣15﹣[﹣1﹣(4﹣20)]=﹣15﹣(﹣1+16)=﹣15﹣15=﹣30;(2)﹣12019﹣(1﹣)÷|3﹣(﹣3)2|=﹣1﹣÷|3﹣9|=﹣1﹣÷6=﹣1﹣=﹣1.【点评】考查了有理数的混合运算,有理数混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号,要先做括号内的运算.进行有理数的混合运算时,注意各个运算律的运用,使运算过程得到简化.【变式8-2】计算:(1).(2).【分析】(1)原式先计算乘方运算,再计算乘法运算,最后算加减运算即可求出值;(2)原式利用乘方的意义,以及乘法分配律计算即可求出值.【解答】解:(1)原式=﹣8﹣81﹣27=﹣113;(2)原式=﹣1+8﹣2+4=9.【点评】此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.【变式8-3】有理数的计算:(1)(2)【分析】(1)去括号,再利用加法交换律和结合律计算可得;(2)根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得.【解答】解:(1)原式=﹣1+2+1+3﹣1=﹣1+6=5;(2)原式=﹣2﹣1××(12﹣+)=﹣2﹣×12=﹣2﹣9=﹣11.【点评】本题主要考查有理数的混合运算,解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及其运算律.【考点9有理数混合运算的应用】【方法点拨】对于应用题理解题意是解决此类题型的关键.【例9】某工厂一周计划每日生产自行车100辆,由于工人实行轮休,每日上班人数不一定相等,实际每日生产量与计划量相比情况如下表(以计划量为标准,增加的车辆数记为正数,减少的车辆数记为负数):星期一二三四五六日增减/辆﹣1+3﹣2+4+7﹣5﹣10(1)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆?(2)本周总生产量是多少?比原计划增加了还是减少了?增减数为多少?【分析】(1)由表格找出生产量最多与最少的,相减即可得到结果;(2)根据题意列出算式,计算即可得到结果.【解答】解:(1)7﹣(﹣10)=17(辆);(2)100×7+(﹣1+3﹣2+4+7﹣5﹣10)=696(辆),答:(1)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产17辆;(2)本周总生产量是696辆,比原计划减少了4辆.【点评】此题考查了有理数的加减混合运算,以及正数与负数,弄清题意是解本题的关键.【变式9-1】根据实验测定:高度每增加1千米,气温大约变化量为﹣6℃,某登山运动员攀登2km后,(1)气温有什么变化?(2)过一会后运动员在攀登途中发回信息,报告他所在高度的气温为﹣15℃,如果当时地面温度为3℃,求此时该登山运动员攀登了少千米?【分析】(1)由高度每增加1千米,气温大约变化量为﹣6℃可得.(2)根据高度每增加1千米,气温大约降低6℃,由他所在高度的气温即可求出高度.【解答】解:(1)根据题意,登山运动员攀登2km后,气温下降12℃;(2)根据题意得:[3﹣(﹣15)]÷6×1=3(千米),则此时该登山运动员所在位置的高度是3千米.【点评】此题考查了有理数混合运算的应用,解题的关键是理解“高度每增加1千米,气温大约降低6℃”的意义.【变式9-2】快递配送员王叔叔一直在一条南北走向的街道上送快递,如果规定向北为正,向南为负,某天他从出发点开始所行走的路程记录为(长度单位:千米):+3,﹣4,+2.+3.﹣1,﹣1,﹣3(1)这天送完最后一个快递时,王叔叔在出发点的什么方向,距离是多少?(2)如果王叔叔送完快递后,需立即返回出发点,那么他这天送快递(含返回)共耗油多少升(已知每千米耗油0.2升)?【分析】(1)在计算最终位置的时候,既要考虑距离的变化,又要考虑方向的变化,所以包含表示方向的符号一起进行加减运算,即求:+3﹣4+2+3﹣1﹣1﹣3的和.(2)考虑耗油时,只要考虑路程的总变化,不需要考虑方向的变化,所以将上述数值的绝对值相加,并包括回到出发点的距离求总路程,再计算耗油量.【解答】解:(1)由题意得:+3﹣4+2+3﹣1﹣1﹣3=﹣9+8=﹣1答:王叔叔送完最后一个快递时,在出发点的南方,距离出发点是1km.(2)设王叔叔总的行驶路程为S,则S=|+3|+|﹣4|+|+2|+|+3|+|﹣1|+|﹣1|+|﹣3|+|﹣1|=18∵每行驶1千米耗油0.2升,∴耗油量为18×0.2=3.6答:王叔叔这天送快递(含返回)共耗油3.6升.【点评】本题考查的是有理数中正负数表示的意义与绝对值的意义,理解符合在问题中表示的意义是解决本题的关键.【变式9-3】小明是“环保小卫士”,课后他经常关心环境天气的变化,最近他了解到上周白天的平均气温,如下表(+表示比前一天升了,﹣表示比前一天下降了.单位:℃)星期一二三四五六七气温变化+1.1﹣0.3+0.2+0.4+1+1.4﹣0.3已知上周周日平均气温是16.9℃,回答下列问题:(1)这一周哪天的℃平均气温最高是多少?(2)计算这一周每天的平均气温?(3)小明了解到本地的平均气温同期历史最高气温是17.2℃,最低气温是4.2℃,用一句话概括本地的气温变化.【分析】(1)观察表中数字不难看出:前六天中,除了星期二是负数,其它均为正数,显然周六的平均气温最高;(2)只需依次相加即可分别求出这一周每天的平均气温;(3)根据前面的计算结果,和历史数据比较就可以得到结论.【解答】解:(1)16.9+1.1=18℃18﹣0.3=17.7℃17.7+0.2=17.9℃17.9+0.4=18.3℃18.3+1=19.3℃19.3+1.4=20.7℃20.7﹣0.3=20.4℃故周六平均气温最高,最高是20.7℃;(2这周每天的平均气温是:周一16.9+1.1=18℃;周二18﹣0.3=17.7℃;周三17.7+0.2=17.9℃;周四17.9+0.4=18.3℃;周五18.3+1=19.3℃;周六19.3+1.4=20.7℃;周日20.7﹣0.3=20.4℃.(3)由于本地的平均气温同期历史最高气温是17.2℃,最低气温是4.2℃,所以本地温差变化不大.【点评】此题要求学生熟练进行有理数的连加减运算.【考点10有关数轴的探究题】【方法点拨】解决此类问题数形结合思想是关键.【例10】如图,半径为1的小圆与半径为2的大圆,有一个公共点与数轴上的原点重合,两圆在数轴上做无滑动的滚动,小圆的运动速度为每秒π个单位,大圆的运动速度为每秒2π个单位,(1)若小圆不动,大圆沿数轴来回滚动,规定大圆向右滚动的时间记为正数,向左滚动时间即为负数,依次滚动的情况录如下(单位:秒):﹣1,+2,﹣4,﹣2,+3,+6①第次滚动后,大圆与数轴的公共点到原点的距离最远;②当大圆结束运动时,大圆运动的路程共有多少?此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少?(结果保留π)(2)若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动,滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π,求此时两圆与数轴重合的点所表示的数.【分析】(1)①算出每次滚动后大圆与数轴的公共点到原点的距离,然后比较大小即可;②总路程与方向无关把每次的移动的距离相加即可;(2)分同向和反相两种情况讨论,同向路程之差为9π,反向路程之和为9π,然后求出相应时间,再根据不同方向确定两圆与数轴重合的点所表示的数【解答】解:(1)①:第1次滚动后,大圆与数轴的公共点到原点的距离:|﹣1×2π|=2π第2次滚动后,大圆与数轴的公共点到原点的距离:|﹣1×2π+2×2π|=2π第3次滚动后,大圆与数轴的公共点到原点的距离:|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π|=6π第4次滚动后,大圆与数轴的公共点到原点的距离:|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π|=10π第5次滚动后,大圆与数轴的公共点到原点的距离:|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π|=4π第6次滚动后,大圆与数轴的公共点到原点的距离:|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|=8π所以第四次滚动后大圆与数轴的公共点到原点的距离最远.故答案为4;②总路程为:|﹣1×2π|+|+2×2π|+|﹣4×2π|+|﹣2×2π|+|+3×2π|+|+6×2π|=36π此时两圆与数轴重合的点之间的距离为:|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|=8π(2)当它们同向运动时秒,小圆与数轴重合的点所表示的数为9π,大圆与数轴重合的点所表示的数为18π,或小圆与数轴重合的点所表示的数为﹣9π,大圆与数轴重合的点所表示的数为﹣18π,当它们反向运动时秒,小圆与数轴重合的点所表示的数为﹣3π,大圆与数轴重合的点所表示的数为6π,或小圆与数轴重合的点所表示的数为3π,大圆与数轴重合的点所表示的数为﹣6π,【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容,用几何方法借助数轴来求解,非常直观,且不容易遗漏,体现了数形结合的优点.【练10-1】如图,数轴上A,B两点对应的数分别﹣4,8.有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度;然后在新的位置第二次运动,向右运动2个单位长度;在此位置第三次运动,向左运动3个单位长度,…按照如此规律不断地左右运动(1)当运动到第2018次时,求点P所对应的有理数.(2)点P会不会在某次运动时恰好到达某一个位置,使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍?若可能请求出此时点P的位置,若不可能请说明理由.【分析】(1)根据题意可以发现点P运动后对应的点的规律,从而可以解答本题;(2)根据题意分两种情况:①当P点在A点的左边时;②当P点在AB之间时;可以求得点P对应的有理数.【解答】解:(1)﹣4﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣…﹣2017+2018=﹣4+1009=1005.故点P所对应的有理数是1005.(2)①当P点在A点的左边时,∵PB=3PA,∴AB=2PA,∴PA=6,∴P点对应的数为﹣10,﹣4﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8﹣9+10﹣11=﹣10,∴可以;②当P点在AB之间时,∵PB=3PA,∴AB=4PA,∴PA=3,∴P点对应的数为﹣1,﹣4﹣1+2﹣3+4﹣5+6=﹣1,∴可以.∴点P对应的数为﹣10或﹣1.【点评】本题考查数轴,解答本题的关键是明确数轴的特点,利用分类思想、数形结合的思想解答.【练10-2】已知在纸面上有一数轴(如图1),折叠纸面.(1)若1表示的点与﹣1表示的点重合,则﹣4表示的点与表示的点重合;(2)若﹣2表示的点与8表示的点重合,回答以下问题:①16表示的点与表示的点重合;②如图2,若数轴上A、B两点之间的距离为2018(A在B的左侧),且A、B两点经折叠后重合,则A、B两点表示的数分别是、.(3)如图3,若m和n表示的点C和点D经折叠后重合,(m>n>0),现数轴上P、Q两点之间的距离为a(P在Q的左侧),且P、Q两点经折叠后重合,求P、Q两点表示的数分别是多少?(用含m,n,a的代数式表示)【分析】(1)由表示1与﹣1的两点重合,利用对称性即可得到结果;(2)由﹣2表示的点与8表示的点重合,确定出3为对称点,得出两项的结果即可;(3)根据(2)的计算方法进行解答.【解答】解:(1)若1表示的点与﹣1表示的点重合,则原点为对称点,所以﹣4表示的点与4表示的点重合;(2)由题意得:(﹣2+8)÷2=3,即3为对称点,①根据题意得:2×3﹣16=﹣10;②∵3为对称点,A、B两点之间的距离为2018(A在B的左侧),且A、B两点经折叠后重合,∴A表示的数=﹣+3=﹣1006,B点表示的数=+3=1012;(3)点P表示的数为:;点Q表示的数为:.故答案为:(1)4;(2)①﹣10;②﹣1006,1012.【点评】本题考查了数轴的运用.关键是利用数轴,数形结合求出答案,注意不要漏解.【练10-3】下面材料:已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,A、B两点之间的距离表示为|AB|.当A、B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|当A、B两点都不在原点时,(1)如图2,点A、B都在原点的右边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|(2)如图3,点A、B都在原点的左边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣(﹣a)=a﹣b=|a﹣b|(3)如图4,点A、B在原点的两边,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+(﹣b)=a﹣b=|a﹣b|综上,数轴上A、B两点的距离|AB|=|a﹣b|回答下列问题:(1)数轴上表示﹣2和﹣5两点之间的距离是;(2)数轴上表示x和﹣1的两点A、B之间的距离是|x+1|,如果|AB|=2,那么x为;(3)当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是.【分析】本题应从绝对值在数轴上的定义(绝对值定义是坐标轴上的点到原点的距离)下手,分别解出答案.【解答】解:(1)﹣2﹣(﹣5)=﹣2+5=3;所以﹣2与﹣5两点之间的距离是3;(2)因为|x+1|=2,所以x=1或﹣3;(3)根据绝对值的定义,|x+1|+|x﹣2|可表示为x到﹣1与2两点距离的和,根据绝对值的几何意义知,当x在﹣1与2之间时,|x+1|+|x﹣2|有最小值3.故答案为:(1)3(2)1或﹣3(3)﹣1≤x≤2【点评】本题考查了绝对值的集合意义.读懂并理解题目材料,会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键.七上专题2整式的加减章末重难点题型汇编【举一反三】【考点1代数式书写规范】【方法点拨】代数式书写规范:①数和字母相乘,可省略乘号,并把数字写在字母的前面;②字母和字母相乘,乘号可以省略不写或用“·”表示.一般情况下,按26个字母的顺序从左到右来写;③后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来;④除法运算写成分数形式,即除号改为分数线;⑤带分数与字母相乘时,带分数要写成假分数的形式;⑥当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写;当“-1”乘以字母时,只要在那个字母前加上“-”号.【例1】下列各式:①;②;③;④;⑤;⑥千克;其中,不符合代数式书写要求的有A.5个 B.4个 C.3个 D.2个【思路点拨】根据代数式书写要求判断即可.【答案】解:①,不符合要求;②2•3应为2×3,不符合要求;③20%x,符合要求;④,不符合要求;⑤,符合要求;⑥(x﹣5)千克,不符合要求,不符合代数式书写要求的有4个,故选:B.【方法总结】此题考查了代数式,弄清代数式的书写要求是解本题的关键.【变式1-1】下列代数式的书写格式正确的是A. B. C. D.【思路点拨】根据代数式的书写要求判断各项即可.【答案】解:A.bc正确的书写格式是bc,故选项错误;B.a×b×c÷2正确的书写格式是abc,故选项错误;C.3x•y÷2正确的书写格式是xy,故选项错误;D.代数式xy书写正确.故选:D.【方法总结】本题考查了代数式的书写要求:(1)在代数式中出现的乘号,通常简写成“•”或者省略不写;(2)数字与字母相乘时,数字要写在字母的前面;(3)在代数式中出现的除法运算,一般按照分数的写法来写.带分数要写成假分数的形式.【变式1-2】下列式子中,符合代数式书写格式的有①;②;③;④天;⑤A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【思路点拨】根据代数式的书写要求判断各项.【答案】解:①正确的书写格式是mn;②正确的书写格式是ab;③的书写格式是正确的,④正确的书写格式是(m+2)天;⑤的书写格式是正确的.故选:A.【方法总结】此题考查代数式问题,代数式的书写要求:(1)在代数式中出现的乘号,通常简写成“•”或者省略不写;(2)数字与字母相乘时,数字要写在字母的前面;(3)在代数式中出现的除法运算,一般按照分数的写法来写.带分数要写成假分数的形式.【变式1-3】在下列的代数式的写法中,表示正确的一个是A.“负的平方”记作 B.“与的积”记作 C.“的3倍”记作 D.“除以的商”记作【思路点拨】根据代数式的书写要求逐一分析判断各项.【答案】解:A、“负x的平方”记作(﹣x)2,此选项错误;B、“y与1的积”记作y,此选项错误;C、“x的3倍”记作3x,此选项错误;D、“2a除以3b的商”记作,此选项正确;故选:D.【方法总结】此题考查代数式的书写要求:(1)在代数式中出现的乘号,通常简写成“•”或者省略不写;(2)数字与字母相乘时,数字要写在字母的前面;(3)在代数式中出现的除法运算,一般按照分数的写法来写.带分数要写成假分数的形式.【考点2同类项及合并同类项】【方法点拨】(1)同类项的判别方法:抓住“两个相同”:一是所含的字母要完全相同,二是相同字母的指数要相同,这两个条件缺一不可;(2)合并同类项的法则:同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变.【例2】下列各组中的两个项不属于同类项的是A.和 B.和 C.和 D.和【思路点拨】根据同类项所含字母相同及相同字母的指数相同可判断出正确的选项.【答案】解:A、两者符合同类项的定义,故本选项正确;B、两者所含字母不同,故本选项错误;C、两者符合同类项的定义,故本选项正确;D、两者符合同类项的定义,故本选项正确;故选:B.【方法总结】本题考查同类项的知识,难度不大,注意掌握同类项所含字母相同及相同字母的指数相同.【变式2-1】下列计算正确的是A. B. C. D.【思路点拨】根据同类项的定义和合并同类法则进行计算,判断即可.【答案】解:A、a+a=2a,故本选项错误;B、6x3与5x2不是同类项,不能合并,故本选项错误;C、3x2与2x3不是同类项,不能合并,故本选项错误;D、3a2b﹣4ba2=﹣a2b,故本选项正确;故选:D.【方法总结】本题考查的是合并同类项,掌握同类项的概念、合并同类项法则是解题的关键.【变式2-2】若单项式与的差仍是单项式,则A.5 B. C.1 D.4【思路点拨】根据同类项的概念得出m,n的值,进而求解.【答案】解:∵单项式ax2yn+1与﹣axmy4的差仍是单项式,∴单项式ax2yn+1与﹣axmy4是同类项,∴n+1=4,m=2,解得:m=2,n=3,则m﹣n=2﹣3=﹣1.故选:B.【方法总结】本题考查了同类项的知识,解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”:相同字母的指数相同.【变式2-3】一个五次六项式加上一个六次七项式合并同类项后一定是A.十一次十三项式 B.六次十三项式 C.六次七项式 D.六次整式【思路点拨】六次多项式,即其次数最高次项的次数六次.也就是说,每一项都可以是六次,也可以低于六次,但不可以超过六次.【答案】解:根据多项式的定义,可知六次多项式最少有两项,并且有一项的次数是6.故选:D.【方法总结】本题考查了多项式.注意多项式最少有两项,多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.【考点3列代数式】【方法点拨】列代数式:①要抓住关键词语,明确它们的意义以及它们之间的关系;②理清语句层次明确运算顺序;③牢记一些概念和公式.【例3】某商品原价为元,由于供不应求,先提价进行销售,后因供应逐步充足,价格又一次性降价,则最后的实际售价为A.元 B.元 C.元 D.元【思路点拨】首先表示出提价10%的价格,进而表示出降价10%的价格即可得出答案.【答案】解:∵商品原价为p元,先提价10%进行销售,∴价格是:p(1+10%),∵再一次性降价10%,∴售价为b元为:p(1+10%)×(1﹣10%)=0.99p.故选:B.【方法总结】此题主要考查了一元一次方程的应用,根据已知得出升降价后实际价格是解题关键.【变式3-1】已知一个两位数,个位数字为,十位数字比个位数字大,若将十位数字和个位数字对调,得到一个新的两位数,则原两位数与新两位数之差为A. B. C. D.【思路点拨】分别表示出愿两位数和新两位数,进而得出答案.【答案】解:由题意可得,原数为:10(a+b)+b;新数为:10b+a+b,故原两位数与新两位数之差为:10(a+b)+b﹣(10b+a+b)=9a.故选:C.【方法总结】此题主要考查了列代数式,正确理解题意得出代数式是解题关键.【变式3-2】某部门组织调运一批物资从地到地,一运送物资车从地出发,出发第一小时内按原计划的60千米小时匀速行驶,一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶,并比原计划提前20分钟到达目的地.设地到地距离为千米,则根据题意得原计划规定的时间为A. B. C. D.【思路点拨】原计划规定的时间=1小时+以原来速度的1.5倍匀速行驶的时间+小时.【答案】解:由题意,可得原计划规定的时间为:1++=1+﹣+=+(小时).故选:C.【方法总结】本题考查了列代数式,根据时间=路程÷速度得出以原来速度的1.5倍匀速行驶的时间是解题的关键.【变式3-3】如图1是2019年4月份的日历,现用一长方形在日历表中任意框出4个数(如图,下列表示,,,之间关系的式子中不正确的是A. B. C. D.【思路点拨】观察日历中的数据,用含a的代数式表示出b,c,d的值,再将其逐一代入四个选项中,即可得出结论.【答案】解:依题意,得:b=a+1,c=a+7,d=a+8.A、∵a﹣d=a﹣(a+8)=﹣8,b﹣c=a+1﹣(a+7)=﹣6,∴a﹣d≠b﹣c,选项A符合题意;B、∵a+c+2=a+(a+7)+2=2a+9,b+d=a+1+(a+8)=2a+9,∴a+c+2=b+d,选项B不符合题意;C、∵a+b+14=a+(a+1)+14=2a+15,c+d=a+7+(a+8)=2a+15,∴a+b+14=c+d,选项C不符合题意;D、∵a+d=a+(a+8)=2a+8,b+c=a+1+(a+7)=2a+8,∴a+d=b+c,选项D不符合题意.故选:A.【方法总结】本题考查了列代数式,利用含a的代数式表示出b,c,d是解题的关键.【考点4单项式与多项式概念】【方法点拨】解题关键:①单项式中的数字因数称为这个单项式的系数;②一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数;③多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数.【例4】单项式的系数是,次数是;是次多项式.【思路点拨】根据单项式和多项式的定义解答.【答案】解:单项式﹣的系数是﹣,次数是5;6x2+2x3y﹣中次数最高的项是2x3y,是4次.故答案是:﹣;5;4.【方法总结】考查了多项式和单项式,注意单项式中数字因数叫做单项式的系数,一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数.【变式4-1】若是关于、的五次单项式,则.【思路点拨】根据单项式的次数,可得关于a的方程,根据解方程,可得答案.【答案】解:由(a﹣2)x2y|a|+1是关于x,y的五次单项式,得|a|+1+2=5且a﹣2≠0,解得a=﹣2.把a=﹣2代入(a+1)3=﹣1,故答案为:﹣1.【方法总结】本题考查了单项式,利用单项式的次数得出关于a的方程是解题关键.【变式4-2】多项式是关于、的四次三项式,则的值为.【思路点拨】直接利用绝对值的性质以及多项式的次数与系数确定方法分析得出答案.【答案】解:∵关于x、y的多项式3x|m|y2+(m+2)x2y﹣1是四次三项式,∴|m|+2=4,m+2≠0,解得:m=2,故答案为:2.【方法总结】此题主要考查了多项式以及绝对值,正确把握相关定义是解题关键.【变式4-3】当时,多项式中不含项.【思路点拨】先将多项式合并同类项,不含xy项即系数为0,列出方程求得k的值.【答案】解:x2﹣(3k﹣2)xy﹣3y2+7xy﹣8=x2﹣3y2+(9﹣3k)xy﹣8,由于不含xy项,故9﹣3k=0,解得k=3.【方法总结】解答此题必须先合并同类项,否则极易根据﹣(3k﹣2)=0误解出k=.【考点5整式加减情景题】【例5】老师在黑板上书写了一个正确的演算过程,随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式,形式如图:(1)求所捂的二次三项式;(2)若,求所捂二次三项式的值.【思路点拨】(1)根据题意列出关系式,去括号合并即可得到结果;(2)把x的值代入计算即可求出值.【答案】解:(1)根据题意得:x2﹣5x+1+3x=x2﹣2x+1;(2)当x=﹣1时,原式=1+2+1=4.【方法总结】此题考查了整式的加减,熟练掌握运算法则是解本题的关键.【变式5-1】小聪在做题目:化简发现的系数“”被污染了,看不清楚.(1)小聪自己想了个“”表示的数,得到答案为,求:小聪想的“”所表示的数;(2)老师看到了说:“你想错了,该题化简的结果是常数.”请通过计算说明原题中“”所表示的数.【思路点拨】(1)利用错误式子解出☻;(2)设原题中“☻”所表示的数为a,化简(2x2+6x+5)﹣2(ax+x2+2),根据化简的结果是常数,得出x的一次项系数为0,即可求解.【答案】解(1)∵(2x2+6x+5)﹣(3x+1)=2x2+6x+5﹣3x﹣1=2x2+3x+4=2(x+x2+2),∴☻=;(2)设原题中“☻”所表示的数为a,∵(2x2+6x+5)﹣2(ax+x2+2)=2x2+6x+5﹣2ax﹣2x2﹣4=(6﹣2a)x+1,∵化简结果为常数,∴6﹣2a=0,∴a=3.【方法总结】本题考查整式的运算,解题的关键是熟练运用整式的运算法则,本题属于基础题型.【变式5-2】小刚在计算一个多项式减去多项式的差时,因一时疏忽忘了对两个多项式用括号括起来,因此减式后面两项没有变号,结果得到的差是.(1)求这个多项式;(2)求出这两个多项式运算的正确结果;(3)当时,求(2)中结果的值.【思路点拨】(1)把b2+3b﹣1和2b2+3b+5相加,求得原多项式A;(2)用求得的多项式减去2b2﹣b﹣5,求得正确的结果;(3)把b=﹣1代入(2)中所求的代数式,计算即可.【答案】解:(1)A=(b2+3b﹣1)+(2b2+3b+5)=b2+3b﹣1+2b2+3b+5=3b2+6b+4;(2)(3b2+6b+4)﹣(2b2﹣3b﹣5)=3b2+4b+4﹣2b2+3b+5,=b2+7b+9;(3)当b=﹣1时,原式=(﹣1)2+7×(﹣1)+9=1﹣7+9=3.【方法总结】本题考查整式的加减,解答本题的关键是明确整式的加减的计算方法,求出相应的多项式.【变式5-3】已知含字母,的代数式是:.(1)化简这个代数式.(2)小明取,互为倒数的一对数值代入化简的代数式中,恰好计算得代数式的值等于0.那么小明所取的字母的值等于多少?(3)聪明的小智从化简的代数式中发现,只要字母取一个固定的数,无论字母取何数,代数式的值恒为一个不变的数,那么小智所取的字母的值是多少呢?【思路点拨】(1)原式去括号合并即可得到结果;(2)由m,n互为倒数得到mn=1,代入(1)结果中计算求出b的值即可;(3)根据(1)的结果确定出n的值即可.【答案】解:(1)原式=3[m2+2n2+2mn﹣6]﹣3m2﹣6n2﹣3m2﹣6n2﹣4mn+4m+4=3m2+6n2+6mn﹣18﹣3m2﹣6n2﹣3m2﹣6n2﹣4mn+4m+4=2mn+4m﹣14;(2)∵mn=1,∴原式=2+4m﹣14=0,解得m=3,∴n=;(3)原式=2m(n+2)﹣14,则n+2=0,解得n=﹣2.故小智所取的字母n的值是﹣2.【方法总结】考查了整式的加减,倒数,整式的加减步骤及注意问题:1.整式的加减的实质就是去括号、合并同类项.一般步骤是:先去括号,然后合并同类项.2.去括号时,要注意两个方面:一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项;二是当括号外是“﹣”时,去括号后括号内的各项都要改变符号.【考点6整式加减化简求值】【方法点拨】整式加减化简求值的一般步骤:①去括号、合并同类项.;②代入求值.【例6】先化简,再求值:,其中,.【思路点拨】先化简,再把给定字母的值代入计算,得出整式的值即可.【答案】解:原式=5a2b﹣(3a2b﹣4ab+2a2b﹣4a2)﹣3ab=5a2b﹣(5a2b﹣4ab﹣4a2)﹣3ab=5a2b﹣5a2b+4ab+4a2﹣3ab=ab+4a2,当a=﹣3,b=﹣2时,原式=﹣3×(﹣2)+4×(﹣3)2=42.【方法总结】本题主要考查了化简求值问题,给出整式中字母的值,求整式的值的问题,一般要先化简,再把给定字母的值代入计算,得出整式的值,不能把数值直接代入整式中计算.【变式6-1】先化简,再求值:已知,求的值.【思路点拨】原式先去括号,再合并同类项化简,继而由x2﹣2y﹣5=0知x2﹣2y=5,代入原式=2(x2﹣2y)计算可得.【答案】解:原式=3x2﹣6xy﹣x2+6xy﹣4y=2x2﹣4y,∵x2﹣2y﹣5=0,∴x2﹣2y=5,则原式=2(x2﹣2y)=2×5=10.【方法总结】此题考查了整式的加减﹣化简求值,熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键.【变式6-2】已知,,先求,并求当,时,的值.【思路点拨】此题需要先去括号,再合并同类项,将原整式化简,然后再将a,b的值代入求解即可.【答案】解:﹣B+2A=﹣(2ab﹣3b2+4a2)+2(3a2+b2﹣5ab)=﹣2ab+3b2﹣4a2+6a2+2b2﹣10ab=2a2+5b2﹣12ab,当a=﹣,b=2时,原式=2×(﹣)2+5×22﹣12×(﹣)×2=2×+5×4+12=+20+12=32.【方法总结】此题考查了整式的加减﹣化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.【变式6-3】化简求值:已知整式与整式的差不含和项,试求的值.【思路点拨】根据两整式的差不含x和x2项,可得差式中x与x2的系数为0,列式求出a、b的值,然后将代数式化简再代值计算.【答案】解:2x2+ax﹣y+6﹣(2bx2﹣3x+5y﹣1)=2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y+1=(2﹣2b)x2+(a+3)x﹣6y+7,∵两个整式的差不含x和x2项,∴2﹣2b=0,a+3=0,解得a=﹣3,b=1,4(a2+2b3﹣a2b)+3a2﹣2(4b3+2a2b)=4a2+8b3﹣4a2b+3a2﹣8b3﹣4a2b=7a2﹣8a2b,当a=﹣3,b=1时,原式=7a2﹣8a2b=7×(﹣3)2﹣8×(﹣3)2×1=7×9﹣8×9×1=63﹣72=﹣9.【方法总结】此题考查了整式的加减﹣化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.【考点7代数式求值—整体代入法】【方法点拨】整体代入的思想是把联系紧密的几个量作为一个整体来看的数学思想,运用这种方法,有时可使复杂问题简单化.【例7】(2019秋•锡山区校级期中)化简与求值:(1)若,则代数式的值为;(2)若,则代数式的值为;(3)若,请仿照以上求代数式值的方法求出的值.【思路点拨】(1)把m=﹣5代入求出即可;(2)把2m+2n+1变成2(m+n)+1,把m+n的值代入求出即可;(3)把代数式化简得出10m﹣6n+2,推出2(5m﹣3n)+2,把5m﹣3n=﹣5代入求出即可.【答案】(1)解:当m=﹣5时,m2+1=×(﹣5)2+1=5+1=6,故答案为:6.(2)解:∵m+n=﹣5,∴2m+2n+1=2(m+n)+1=2×(﹣5)+1=﹣9.故答案为:﹣9.(3)解:∵5m﹣3n=﹣5,∴2(m﹣n)+4(2m﹣n)+2=2m﹣2n+8m﹣4n+2=10m﹣6n+2=2(5m﹣3n)+2,当5m﹣3n=﹣5时,原式=2×(﹣5)+2=﹣8.【方法总结】本题考查了求代数式的值,用了整体代入思想,题目都比较好,难度适中.【变式7-1】已知:,求的值.【思路点拨】把2x﹣y=5整体代入代数式求得答案即可.【答案】解:原式=﹣2(2x﹣y)2﹣3(2x﹣y),又∵2x﹣y=5,∴原式=﹣2×52﹣3×5,=﹣65.【方法总结】此题考查代数式求值,利用整体代入是解答此题的关键.【变式7-2】已知当,时,,求当,时,式子的值.【思路点拨】将x=2,y=﹣4代入代数式使其值为2018求出4a﹣b的值,将x=﹣4,y=﹣代入所求式子,整理后将4a﹣b的值代入计算即可求出值.【答案】解:当x=2,y=﹣4时,得a×23+b×(﹣4)+8=2018,8a﹣2b+8=2018.8a﹣2b=2010.4a﹣b=1005,当x=﹣4,y=﹣时,原式=3a×(﹣4)﹣24b×(﹣)3+6=﹣12a+3b+6=﹣3(4a﹣b)+6=﹣3×1005+6=﹣3009.【方法总结】此题考查了代数式求值,利用了整体代入的思想,熟练掌握运算法则是解本题的关键.【变式7-3】先阅读下面例题的解答过程,再解答后面的问题.例:已知代数式的值为2,求的值.解:由得,所以.问题:(1)已知代数式的值为6,求的值;(2)已知代数式的值为,求的值.【思路点拨】(1)变形已知直接整体代入计算求值;(2)由已知得方程,把已知变形后代入计算即可求出值.【答案】解:(1)由2a2+3b=6得a2+b=3,所以a2+b﹣5=3﹣5=﹣2;(2)由14x+5﹣21x2=﹣2得﹣7(3x2﹣2x)=﹣7,即3x2﹣2x=1,所以6x2﹣4x+5=2(3x2﹣2x)+5=2+5=7.【方法总结】此题考查了代数式求值,利用了整体代入的思想,熟练掌握运算法则是解本题的关键.【考点8代数式求值—赋值法】【方法点拨】解决此类问题通常需要去特殊值将其代入等式中,能够得到所求代数式的形式,从而知道代数式的值.【例8】已知,求:(1)的值;(2)的值.【思路点拨】(1)令x=1,即可求出a+b+c+d+e+f的值;(2)令x=﹣1,得到﹣a+b﹣c+d﹣e+f的值,即可求出a+c+e的值.【答案】解:(1)令x=1,得:a+b+c+d+e+f=0①;(2)令x=﹣1,得﹣a+b﹣c+d﹣e+f=﹣32②,①+②得:2b+2d+2f=﹣32,即b+d+f=﹣16,则a+c+e=﹣b﹣d﹣f=﹣(b+d+f)=16.【方法总结】此题考查了代数式求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.【变式8-1】已知,对于任意的的值都成立,求下列各式的值:(1);(2).【思路点拨】(1)令x=1,然后代入原式进行计算即可;(2)令x=﹣1,然后代入进行计算,最后再与(1)中所得等式进行相减即可求解.【答案】解:(1)当x=1时,a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=(2×1﹣1)2=1;(2)当x=﹣1时,a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7=﹣37①.a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=1②②﹣①得:2(a1+a3+a5+a7)=1+37=2188,∴a1+a3+a5+a7=1094.【方法总结】本题主要考查的是求代数式的值,特殊值法的应用是解题的关键.【变式8-2】已知,则的值为多少?【思路点拨】可先令x=﹣2,得a0=﹣27,a8=1,再令x=﹣3,即x+2=﹣1,那么右边x+2x+2奇次方是﹣1,偶次方是1,就能得到,a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7+a8=(﹣2)2×23.再把a0=﹣27,a8=1代入即求出答案.【答案】解:令x=﹣2则x+2=0所以右边只剩下a0,所以a0=(﹣1)2×(﹣3)3=﹣27,左边8次方的系数是1,右边8次方的系数是a8,所以a8=1,令x=﹣3则x+2=﹣1,所以x+2奇次方是﹣1,偶次方是1,所以右边=a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a7+a8左边=(﹣2)2×23=32,所以﹣27﹣(a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7)+1=32,a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=﹣58.故答案为:﹣58.【方法总结】此题考查的知识点是代数式求值,同时考查学生灵活的技巧性,解题的关键是可先令x=﹣2,得a0=﹣27,a8=1,再令x=﹣3,即x+2=﹣1,那么右边x+2x+2奇次方是﹣1,偶次方是1.【变式8-3】已知对于任意的都成立.求:(1)的值(2)的值(3)的值.【思路点拨】(1)令x=0,求出a0的值即可;(2)令x=﹣1,即可求出所求;(3)令x=1,结合(2)求出所求即可.【答案】解:(1)令x=0,则a0=(2×0﹣1)5=﹣1;(2)令x=﹣1,则a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=[2×(﹣1)﹣1]5=(﹣3)5=﹣243;(3)令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=(2×1﹣1)5=1由(2),可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=﹣243,∴a2+a4=﹣120.【方法总结】此题考查了代数式求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.【考点9代数式求值—面积问题】【例9】如图所示(1)用代数式表示长方形中阴影部分的面积;(2)当,时,求其阴影部分的面积.(其中取【思路点拨】(1)用长方形的面积减去2个半径为b的圆的面积,据此可得;(2)将a,b的值代入计算可得.【答案】解:(1)阴影部分的面积为ab﹣2××πb2=ab﹣πb2;(2)当a=10,b=4时,ab﹣πb2=10×4﹣×3.14×16≈14.88.【方法总结】此题主要考查了如何列代数式,以及代数式值的求法,对于阴影面积不规则时,可以借助规则图形的差求出阴影部分的面积.【变式9-1】如图,长方形的长为,宽为.现以长方形的四个顶点为圆心,宽的一半为半径在四个角上分别画出四分之一圆.(1)用含,的代数式表示图中阴影部分的面积;(2)当,时,求图中阴影部分的面积.取【思路点拨】(1)矩形的面积减去四个圆的面积即可求解,四个圆的面积的和是一个整圆的面积;(2)把a,b的值代入求解即可.【答案】解:(1)根据题意知,阴影部分的面积为ab﹣4××π•()2=ab﹣b2;(2)当a=10,b=4时,阴影部分的面积为10×4﹣×42=40﹣12=28.【方法总结】本题考查了列代数式,解答本题的关键是掌握矩形和圆的面积公式,注意用矩形的面积减空白的四个小扇形的面积得阴影部分面积.【变式9-2】如图所示是一个长方形,阴影部分的面积为(单位:.根据图中尺寸,解答下列问题:(1)用含的代数式表示阴影部分的面积;(2)若,求的值.【思路点拨】(1)根据图形可知:阴影部分的面积可用长方形的面积的一半减去直角三角形的面积,据此可得;(2)将x=3代入所得解析式计算可得.【答案】解:(1)S=×10×5﹣×5×(5﹣x)=+x.(2)当x=3时,S=+×3=20.【方法总结】本题考查列代数式求值,涉及长方形的面积公式,三角形面积公式,代数式求值等问题.【变式9-3】如图(图中单位长度:求:(1)阴影部分面积(用含的代数式表示);(2)当求阴影部分的面积取3.14,结果精确到.【思路点拨】(1)根据“阴影部分面积=两个矩形的面积和﹣半圆的面积”列式、化简即可得;(2)将x的值代入计算可得.【答案】解:(1)阴影部分面积=×(x+)+×(x+﹣)﹣×π×[×(+)]2=x+﹣π;(2)当x=时,阴影部分的面积为+﹣π≈1﹣×3.14≈0.61(cm2).【方法总结】本题考查列代数式求值,涉及长方形的面积公式,圆的面积公式,代数式求值等问题.【考点10代数式求值—方案设计问题】【例10】福建省教育厅日前发布文件,从2019年开始,体育成绩将按一定的原始分计入中考总分.某校为适应新的中考要求,决定为体育组添置一批体育器材.学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳,在查阅天猫网店后发现足球每个定价150元,跳绳每条定价30元.现有、两家网店均提供包邮服务,并提出了各自的优惠方案.网店:买一个足球送一条跳绳;网店:足球和跳绳都按定价的付款.已知要购买足球40个,跳绳条(1)若在网店购买,需付款元(用含的代数式表示).若在网店购买,需付款元(用含的代数式表示).(2)若时,通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算?(3)当时,你能给出一种更为省钱的购买方案吗?试写出你的购买方法,并计算需付款多少元?【思路点拨】(1)由题意在A店购买可列式:40×150+(x﹣40)×30=48
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