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文档简介
基本不等式专题知识讲座基本不等式专题知识讲座第1页1.课题导入基础不等式几何背景:
如图是在北京召开第24界国际数学家大会会标,会标是依据中国古代数学家赵爽弦图设计,颜色明暗使它看上去象一个风车。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?基本不等式专题知识讲座第2页2.讲授新课1.探究图形中不等关系
在正方形ABCD中有四个全等直角三角形。设直角三角形两条直角边长为a,b那么正方形边长为
这么,4个直角三角形面积和是2ab,正方形面积为
基本不等式专题知识讲座第3页因为4个直角三角形面积小于正方形面积,咱们就得到了一个不等式:探究图形改变过程当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有
基本不等式专题知识讲座第4页2.得到结论:3.思索:你能给出它证实吗?证实:因为基本不等式专题知识讲座第5页
尤其,假如a>0,b>0,咱们用分别代替a、b,可得
通常咱们把上式写作
4.1)认识基础不等式基本不等式专题知识讲座第6页只要证a+b
(2)要证(2),只要证a+b-0(3)要证(3),只要证(
-
)
0(4)显然,(4)是成立。当且仅当a=b时,(4)中等号成立。用分析法证实:要证
(1)2)从不等式性质推导基础不等式基本不等式专题知识讲座第7页3、例题讲解例1已知x、y都是正数,求证:(1)≥2;分析:在利用定理:时,注意条件a、b均为正数,结合不等式性质(把握好每条性质成立条件),进行变形.解:∵x,y都是正数
∴>0,>0
=2(当且仅当x=y时,式中取等号。)基本不等式专题知识讲座第8页(2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.解:∵x,y都是正数∴x+y≥2>0∴x2>0,y2>0,x3>0,y3>0x2+y2≥2>0
x3+y3≥2>0∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥=8x3y3即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.2·2·2(当且仅当x=y时,式中取等号)(当且仅当x=y时,式中取等号)基本不等式专题知识讲座第9页4.随堂练习1.已知a、b、c都是正数,求证(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc分析:对于这类题目,选择定理:
(a>0,b>0)灵活变形,可求得结果.解:∵a,b,c都是正数b+c≥2>0c+a≥2>0∴(a+b)(b+c)(c+a)≥即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.=8abc∴a+b≥2>02·2·2(当且仅当a=b=c时,上式取等号)基本不等式专题知识讲座第10页
本节课,咱们学习了主要不等式a2+b2≥2ab;两正数a、b算术平均数(),几何平均数()及它们关系(≥).它们成立条件:
(1)、前者只要求a、b都是实数,而后者要求a、b都是正数.(2)、当且仅当a=b时,以上两式取等号。它们既是不等式变形基础
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