2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第6讲对数与对数函数课件

第六讲对数与对数函数知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一对数与对数运算1．对数的概念(1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_____________，其中_______叫做对数的底数，_______叫做真数．

x＝logaNaN(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0，且a≠1)_____________常用对数底数为_____________________自然对数底数为___________________logaN10lgNelnN2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质①loga1＝______；②logaa＝______(其中a>0且a≠1)；③logaab＝________(a>0，a≠1，b∈R)．(2)对数恒等式alogaN＝__________(其中a>0且a≠1，N>0)．01bNlogaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM知识点二对数函数的图象与性质1．对数函数的定义、图象和性质定义函数_________________________叫做对数函数图象a＞10＜a＜1y＝logax(a＞0，且a≠1)性质定义域：___________________值域：___________________当x＝1时，y＝0，即过定点______________当0＜x＜1时，y<0；当x＞1时，_____________当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，___________在(0，＋∞)上为__________在(0，＋∞)上为__________(0，＋∞)(－∞，＋∞)(1,0)y＞0y＜0增函数减函数2.反函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数____________(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称．y＝logaxy＝x3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．××××√×[解析]

(4)设2lg3＝M,3lg2＝N，则lgM＝lg2lg3＝lg3lg2＝lg3lg2＝lgN，∴M＝N.0－14BDD5．(必修1P140T4改编)若b>a>1，则函数y＝loga(x＋b)的图象不经过(

)A．第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限[解析]

函数y＝loga(x＋b)的图象是由函数y＝logax的图象向左平移b个单位长度得到，结合对数函数y＝logax的图象即可求解．∵b>a>1，∴函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，图象过第一、四象限，又∵函数y＝loga(x＋b)的图象是由函数y＝logax的图象向左平移b个单位长度得到，而b>1，∴函数y＝loga(x＋b)的图象不经过第四象限，故选D.D6．(必修1P127T5改编)函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是__________.[解析]

当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)．(2,2)C8．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(

)A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)[解析]

由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)，选D.DC考点突破·互动探究对数与对数运算——自主练透BDD1名师点拨：1．利用对数的运算性质化简对数式主要有以下两种方法：(1)“正向”利用对数的运算法则，把各对数分成更为基本的一系列对数的代数和；(2)“逆向”运用对数运算法则，把同底的各对数合并成一个对数．2．利用已知对数式表示不同底数的对数式时，可以将待求式中的底数利用换底公式化为已知对数式的底数．对数函数的图象与性质考向1对数函数的图象及其应用——师生共研1.在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝loga(x＋a)(a>0且a≠1)的图象可能是(

)AB名师点拨：应用对数型函数的图象可求解的问题1．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【变式训练】1．函数y＝lg|x－1|的图象是(

)A[解析]

如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在x轴、y轴上的截距．由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点，即方程f(x)＋x－a＝0只有一个实根．(1，＋∞)考向2对数函数的性质及其应用——多维探究角度1比较对数值的大小1.设m∈(0,1)，若a＝lgm，b＝lgm2，c＝(lgm)2，则(

)A．a>b>c

B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a[解析]

利用对数函数的性质即得．∵m∈(0,1)，∴a＝lgm<0，b＝lgm2＝2lgm<lgm＝a，c＝(lgm)2>0，∴c>a>b.故选C.C2．(2022·云南昆明月考)设a＝log63，b＝log126，c＝log2412，则(

)A．b<c<a B．a<c<bC．a<b<c D．c<b<aCC名师点拨：1．比较对数式的大小的关系：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需要对底数进行分类讨论；(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．2．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤【变式训练】1．(角度1)设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则(

)A．a>b>c B．b>c>aC．a>c>b D．c>b>a[解析]

a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，∵log43>log53>log63，∴a>b>c.A3．(角度3)(2024·海南省高三第一次联考)已知函数f(x)＝3＋log2x，x∈[1,16]，若函数g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)．(1)求函数g(x)的定义域；(2)求函数g(x)的最值．(2)因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]．g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)＝(3＋log2x)2＋6＋2log2x2＝(log2x)2＋10log2x＋15＝(log2x＋5)2－10，当log2x＝0