2025版高考数学一轮总复习第6章数列高考大题规范解答-高考中数列问题的热点题型课件

高考大题规范解答——高考中数列问题的热点题型命题动向：等差、等比数列是重要的数列类型，高考考查的主要知识点有：等差、等比数列的概念、性质、前n项和公式.由于数列的渗透力很强，它和函数、方程、向量、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度.解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有较深的理解.等差、等比数列的综合运算(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.[解析]

(1)第1步：利用等差数列的通项公式得到首项与公差的关系式因为3a2＝3a1＋a3，所以3(a2－a1)＝a1＋2d，所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d，第2步：得an与d的关系式所以an＝nd.(1分)第3步：利用bn与an的关系式得到bn与d的关系式第4步：利用数列前n项和公式得到d的值因为S3＋T3＝21，因为d>1，所以d＝3.第5步：得{an}的通项公式所以{an}的通项公式为an＝3n.(5分)解得a1＝d或a1＝2d.(7分)第2步：对a1＝d或a1＝2d分类讨论，求bn，利用S99－T99＝99，得到关于d的方程，解方程得到d的值因为S99－T99＝99，即50d2－d－51＝0，因为S99－T99＝99，即51d2－d－50＝0，第3步：总结名师点拨：解决由等差数列、等比数列组成的综合问题，首先要根据两数列的概念，设出相应的基本量，然后充分使用通项公式、求和公式、数列的性质等确定基本量.解综合题的关键在于审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件.【变式训练】(2023·广东省七校联考)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝26，a1，a3，a11成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；又S4＝26，又d≠0，所以a1＝2，d＝3.所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1.数列与不等式的综合问题(1)求{an}的通项公式；(2)证明：当n>5时，Tn>Sn.[解题思路]

(1)要求数列{an}的通项公式，就需求出首项与公差.观察已知条件知，可利用等差数列的通项公式与前n项和公式建立方程组求出.(2)由于数列{bn}的通项分n为奇数与n为偶数给出，为此在求Tn时，也需分n为奇数与n为偶数求解.而数列{bn}的奇数项与偶数项分别构成等差数列，故求和时选用分组法，然后利用作差法证明不等式.[解析]

(1)第1步：求出{bn}的前3项设等差数列{an}的公差为d.所以b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6.(提示：由于数列{bn}是一个奇偶项数列，因此求项时需“对号入座”)(2分)第2步：结合已知条件建立方程组求出a1与公差d因为S4＝32，T3＝16，(方法技巧：求等差数列的基本量时，常根据已知条件建立方程组求解)第3步：求数列{an}的通项公式所以{an}的通项公式为an＝2n＋3.(提示：等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d)(5分)(2)证明：第1步：结合(1)求Sn由(1)知an＝2n＋3，第2步：证明n为奇数时所证不等式成立当n为奇数时，所以Tn>Sn.(9分)第3步：证明n为偶数时所证不等式成立，得结果所以Tn>Sn.(11分)综上可知，当n>5时，Tn>Sn.(12分)名师点拨：求解数列与不等式综合问题的步骤1.根据题目条件，求出数列的通项公式；2.根据数列项的特征，选择合适的方法(公式法、分组转化法、裂项相消法、错位相减法等)求和；3.利用2中所求得的数列的和，证明不等式或求参数的范围；4.反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤