河南省新乡市2024届高三第二次模拟考试数学试题(解析版)_第1页
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高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省新乡市2024届高三第二次模拟考试数学试题一、选择题1.设,则()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗,故,故选:B.2.在中,内角,,的对边分别为,,,且,,,则()A.为锐角三角形 B.为直角三角形C.为钝角三角形 D.的形状无法确定〖答案〗C〖解析〗由于,故为钝角,进而三角形为钝角三角形故选:C.3.已知直线与抛物线:的图象相切,则的焦点坐标为()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意,联立,消去,得,则,由,所以,故抛物线方程为,则其焦点坐标为.故选:C.4.已知,则()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为,可得,则,.故选:A.5.老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人,其中甲分得2本,乙、丙每人至少分得一本,则不同的分法有()A.248种 B.168种 C.360种 D.210种〖答案〗D〖解析〗根据题意进行分类:第一类:甲、乙、丙每人分得2本,(种);第二类:甲分得2本,乙、丙两人中一人分得1本另一人分得3分,(种).所以由分类加法计数原理可得共有种不同的分法.故选:D.6.函数被称为取整函数,也称高斯函数,其中表示不大于实数的最大整数.若,满足,则的取值范围是()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗,当且仅当时取等号,由可得,所以,故,故选:C7.已知函数满足,则下列结论一定正确的是()A.是奇函数 B.是奇函数C.是奇函数 D.是奇函数〖答案〗B〖解析〗因为,令,可得,则;令,则,故的图象关于点对称,则的图象关于点对称,即是奇函数,故B正确;对于C,令,可得,则,当时,,此时不可能是奇函数,由于无法确定的值,故不一定是奇函数,故C错误;对于AD,取,满足题意,但易知D错误;故选:B.8.已知圆锥的底面半径为,高为1,其中为底面圆心,是底面圆的一条直径,若点在圆锥的侧面上运动,则的最小值为()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗圆锥的底面半径为,高为1,其中为底面圆心,是底面圆的一条直径,则有,,点在圆锥的侧面上运动,则,最小时,有最小值,的最小值为点到圆锥母线的距离,中,,,则,点到的距离,则的最小值为,的最小值为.故选:A.二、选择题9.如图,弹簧挂着的小球做上下运动,它在时相对于平衡位置的高度(单位:)由关系式,确定,其中,,.小球从最高点出发,经过后,第一次回到最高点,则()A.B.C.与时的相对于平衡位置的高度之比为D.与时的相对于平衡位置的高度之比为〖答案〗BC〖解析〗对于AB,由题可知小球运动的周期,又,所以,解得,当时,,又,所以,故A错误,B正确;对于CD,则,所以与时的相对于平衡位置的高度之比为,故C正确D错误.故选:BC.10.已知,集合,,,,则下列结论一定成立的是()A. B. C. D.〖答案〗AB〖解析〗表示过定点,且斜率为的直线的点构成的集合,表示过定点且斜率为的直线的点构成的集合,表示圆心为,半径为的圆上的点构成的集合,表示圆心为,半径为的圆上的点构成的集合,对于A,集合中的直线平行,故,故A正确,对于B,由于,故在圆内,故经过点的直线与圆相交,,故B正确,对于C,由于,故在圆外,故当经过点的直线与圆相离时,此时,故C错误,对于D,由于,故两圆相交,,D错误,故选:AB11.如图,已知双曲线:(,)的左、右焦点分别为,,点在上,点在轴上,,,三点共线,若直线的斜率为,直线的斜率为,则()A.的渐近线方程为 B.C.的面积为 D.内接圆的半径为〖答案〗ABD〖解析〗对于A,依题意,直线的斜率为,所以,又,所以为等边三角形,故,在中,为锐角,,所以,根据正弦定理可得,即,解得,所以,即,所以双曲线的方程为,对于AB,的渐近线方程为,故AB正确;对于C,的面积为,故C错误;对于D,的面积为,所以内接圆的半径为,故D正确.故选:ABD,三、填空题12.已知一平面截球所得截面圆的半径为2,且球心到截面圆所在平面的距离为1,则该球的体积为______.〖答案〗〖解析〗由球的截面圆性质可知球的半径,则该球的体积为.故〖答案〗为:.13.若一组数据,,,,的平均数为3,方差为,则,,,,,9这6个数的平均数为______,方差为______.〖答案〗〖解析〗依题意,知这6个数的平均数为,又,得,所以这6个数的方差为.故〖答案〗为:;.14.已知函数,,若关于的方程有6个解,则的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗令,由函数的图象可知,方程(为常数)最多有3个解,在上单调递增,当时,,则在上单调递增,在上单调递减,所以处取得极大值,即极大值为,如下图:故结合图象可得,且方程的三个解中最小的解为.又,在上单调递减,在上单调递增,所以最小值为,即当时,有2个零点,所以使关于的方程有6个解,则,,即,令,易知在上单调递增,又,所以的解集为,综上所述,的取值范围为.故〖答案〗为:.四、解答题15.如图,在三棱锥中,平面平面,且,.(1)证明:平面;(2)若,点满足,求二面角的大小.(1)证明:过作于点,平面平面,且平面平面,平面,故平面.又平面,.又,,平面,平面,所以平面,(2)解:由(1)平面,平面,故,以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,0,,,,1,,,故,,所以,,设平面的法向量,则,令有,故,平面的法向量,则,又二面角所成角为锐角,二面角所成角的余弦值为,角的大小为.16.已知数列满足,.(1)记,证明数列是等比数列,并求的通项公式;(2)求的前项和,并证明.(1)证明:由题意可知,,所以数列是首项,公比为6等比数列.于是.(2)解:由题意可知,,所以.又,令,,所以数列单调递增,故,即.17.根据国家电影局统计,2024年春节假期(2月10日至2月17日)全国电影票房为80.16亿元,观影人次为1.63亿,相比2023年春节假期票房和人次分别增长了18.47%和26.36%,均创造了同档期新的纪录.2024年2月10日某电影院调查了100名观影者,并统计了每名观影者对当日观看的电影的满意度评分(满分100分),根据统计数据绘制得到如图所示的频率分布直方图(分组区间为,,,,,).(1)求这100名观影者满意度评分不低于60分的人数;(2)估计这100名观影者满意度评分的第40百分位数(结果精确到0.1);(3)设这100名观影者满意度评分小于70分的频率为,小于80分的频率为,若甲、乙两名观影者在春节档某一天都只观看一部电影,甲观看,影片的概率分别为,,乙观看,影片的概率分别为,,当天甲、乙观看哪部电影相互独立,记甲、乙这两名观影者中当天观看影片的人数为,求的分布列及期望.解:(1)由图可知,满意度评分不低于60分频率为,所以这100名观影者满意度评分不低于60分的人数为.(2)因为,所以这100名观影者满意度评分的第40百分位数位于第三组,则这100名观影者满意度评分的第40百分位数的估计值为.(3)由图可知,,同理,而的可能取值为,则,,,所以的分布列为0120.080440.48故.18.已知,分别是椭圆:()的左、右顶点,为的上顶点,是上在第一象限的点,,直线,的斜率分别为,,且.(1)求的方程;(2)直线与交于点,与轴交于点,求的取值范围.解:(1)依题意,设,显然,,则,又,即,所以,即①,由,得②,联立①②,解得,所以椭圆的方程为,(2)由(1)得,,设直线的方程为,因为点位于第一象限,所以,联立,整理得,则,所以,则,所以,又直线的方程为,即,所以联立,解得,故,因为,所以,,则,所以.19.定义:若函数图象上恰好存在相异的两点,满足曲线在和处的切线重合,则称,为曲线的“双重切点”,直线为曲线的“双重切线”.(1)直线是否为曲线的“双重切线”,请说明理由;(2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程;(3)已知函数,直线为曲线的“双重切线”,记直线的斜率所有可能的取值为,,…,,若(),证明:.(1)解:的定义域为,求导得,直线的斜率为2,令,解得,不妨设切点,则点处的切线方程为,即,点处的切线方程为,即,所以直线是曲线的“双重切线”.(2)解:函数,求导得,显然函数在上单调递增,函数在上单调递减,设切点,则存在,使得,则在点处的切线方程为,在点处的切线方程为,因此,消去可得,

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