人教A数学必修二教案3.3.1 两条直线的交点坐标

3.3.1两条直线的交点坐标

【教学目标】

1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线

方程系数判定解的情况，

2.，当两条直线相交时，会求交点坐标.

3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.

【重点难点】

教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点.

教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.

【教学过程】

导入新课

问题1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置

关系.

课堂设问：由直线方程的概念，，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，

那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标

吗？说说你的看法.

问题2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题.

新知探究

提出问题

①已知两直线h:AIX+BIy+C1=0上:A2X+B2y+C2=0,如何判断这两条直线的关系？

②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？

③解下列方程组(由学生完成)：

2x—6y+3=0,2x—6y-0,

3x+4y—2=0,

(i)<一八；(ii)<11；11•

2x+y+2=0y=—x+~y=-x+—

如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？

④当入变化时，方程3x+4y-2+M2x+y+2尸0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形

的交点坐标.

讨论结果：①教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看下表，并填空.

几何元素及关系代数表示

点、AA(a,b)

直线11：Ax+By+C=0

点A在直线上

直线h与L的交点A

②学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的

关系.

2

设两条直线的方程是h：A|X+Biy+G=0,12：A2X+B2y+C2=0,

如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯

一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线h和12的交点，因此，两条直线是否有交点，就要

fA.x4~Biy+Ci=0,

看这两条直线方程所组成的方程组《111是否有唯一解.

[&x+B,y+C]=0

(i)若二元一次方程组有唯一解，则I.与L相交；

(ii)若二元一次方程组无解，则h与12平行；

(iii)若二元一次方程组有无数解，则1.与卜重合.即

[唯一解，、人相交，

转化

直线1卜12联立得方程组《无穷多解2重合，

无解小人平行-

(代数问题)(几何问题)

③引导学生观察三组方程对应系数比的特点：

.34..2-63...2-61

3232

一般地，对于直线h：Aix+Biy+G=0,L：A2x+B2y+C2=0(ABC¥0,A2B2c2邦),有

AR

唯一解。土中区0乙4相交，

2T，2^^2

4x+4y+C[=0

方程组《无穷多解o%=@=0Lo/4重合，・

A2x+B2y+C2=0A282c2

ARC

无解==平行.

482c2

注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用.

(b.)如果A|,A2B,B2,G,C2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很

容易确定.

④(a)可以用信息技术，当X取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上

得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.

(b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.

(c)结论：方程表示经过这两条直线1,与12的交点的直线的集合.

应用示例

例1求下列两直线的交点坐标,h：3x+4y-2=0/2：2x+y+2=0.

3x+y-2=0,

解:解方程组4-得x=-2,y=2,所以h与12的交点坐标为M(-2,2).

2尤+y+2=0,

变式训练

求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程小:x-2y+2=0,L：2x-y-2=0.

解:解方程组x-2y+2=0,

2x-y-2=0,

3

得x=2,

丫=2,所以11与12的交点是(2,2).

设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程，得k=l,所以所求直线方程为

y=x.

点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用，求解直线方程也可应用两点式.

例2判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.

(1)11：x-y=O,h：3x+3y-10=0.

(2)li：3x-y+4=0,h：6x-2y-l=0.

(3)li：3x+4y-5=0,b：6x+8y-10=0.

活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁,

然后再进行讲评.

5

解：(1)解方程组尸一''=°'

得《

3x+3y—10=0,5

y=-

3

所以h与L相交,交点是(9,9).

33

3x—y+4=0,(1)

(2)解方程组＜

6x-2y—1=0,⑵

①x2-②得9=0,矛盾，

方程组无解，所以两直线无公共点5//12.

3x+4y-5=0,⑴

(3)解方程组《

6x+8y-10=0,⑵

①x2得6x+8y-10=0.

因此，①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,h与L重合.

变式训练

判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.

(l)h:7x+2y-l=0,h：14x+4y-2=0.

(2)li:(A/3-V2)x+y=7,L：x+(V3+V2)y-6=0.

(3)li:3x+5y-1=0,b：4x+3y=5.

答案：(1.)重合，(2)平行，(3)相交，交点坐标为(2,-1).

例3求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-l=0平行的直线方程.

思路解析：根据本题的条件，一种思路是先求出交点坐标，再设所求直线的点斜式方程

求出所要求的直线方程；另一种思路是利用直线系(平行系或过定点系)直接设出方程，根据

条件求未知量，得出所求直线的方程.

4

3

X=-,

2x》-3=。，得5

解：(方法一)由方程组

x+y+2=0,7

直线1和直线3x+y-l=0平行，

二直线1的斜率k=-3.

73

，根据点斜式有y-(—二)=-3Lx-(——

即所求直线方程为15x+5y+16=0.

(方法二)•..直线I过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点,

.,.设直线1的方程为2x-3y-3+X(x+y+2)=0,

即俱+2)x+(b3)y+2M3=0.

；直线1与直线3x+y-l=0平行,

,2+22-322-3.解得右U.

-------丰

31-12

从而所求直线方程为l5x+5y+16=0.

点评：考查熟练求解直线方程，注意应用直线系快速简洁解决问题。

变式训练

求经过两条直线/i：x+y-4=0和/2：x-y+2=0的交点，且与直线2x-y-l=0垂直的直线方程

例4求证：不论m取什么实数，直线(2m-l)x+(m+3)y-(m-ll)=0都经过一个定点，并求

出这个定点的坐标.

思路解析：题目所给的直线方程的系数含有字母m,给m任何一个实数值，就可以得

到一条确定的直线，因此所给的方程是以m为参数的直线系方程.要证明这个直线系中的直

线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出m的两个特殊值，得到直

线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点.

另一个思路是：由于方程对任意的m都成立，那么就以m为未知数，整理为关于m的一元

一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标.

解：解法一:对于方程(2m-l)x+(m+3)y-(m-l1)=0,令m=0,得x-3y-ll=0；令m=l,得

x+4y+10=0.解方程组jx+：y+]0_0得两条直线的交点为⑵-3).将点(2,-3)代入已知直

线方程左边，

得(2m-1)x2+(m+3)x(-3)-(m-11A4m-2-3m-9-m+11=0.

这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2,-3).

解法二：将己知方程以m为未知数，整理为(2x+y-l)m+(-x+3y+11)=0.

2x+y-1=0,x=2,

由于m的取值的任意性,解得《

-x+3y+ll=0.,y=-3.

所以所给直线不论m取什么实数，均经过定点(2,-3)

点评含参直线过定点问题的解题思路有二：一是曲线过定点，即与参数无关，则参数

的同次基.的系数为0,从而求出定点；二是分别令参数为两个特殊值，得方程组，求出点的

坐标，代入原方程满足，则此点为所求定点

5

变式训练当a为任意实数时，直线(a-l)x-y+2a+l=0经过的定点是()

A.(2,3)B.(-2,3)

D.(-2,0)

2

x+2=0x——2

解析：直线方程可化为a(x+2)-x-y+l=0,由＜'得＜'定点(-2,3).

-x—y+l=O[y=3.

答案：B

课堂小结

本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程系数比

的关系与直线位置关系的联系.培养了同学们的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想.通

过本节学习，要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，

并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.当两条直线相交时，

会求交点坐标.注意语言表述能力的训练.通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法

的理解，培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的

相互联系的观点.

当堂检测

导学案课内探究部分

【板书设计】

一、两条直线的交点坐标

二、例题

例1

变式1

例2

变式2

【作业布置】

课本习题3.3A组1、2、3,选做4题.及导学案课后练习与提高

3.3.1两条直线的交点坐标

3.3.2

课前预习学案

一、预习目标

根据直线的方程判断两直线的位置关系和己知两相交直线求交点

二、预习内容

1、阅读课本102-104,找出疑惑之处。同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑,

6

请填在下面的表格中

疑惑点疑惑内容

2、知识概览

①两直线相交，则交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是两直线方程的解,若两直

线的方程组成的方程组只有一个公共解，则以这个解为坐标的点必是两直线的交点.

②两直线Aix+Biy+Ci=O与A2x+B2y+C2=0的交点情况，取决于方程组

A1|X+B”,y+C,1=0,的解的情况.

A2X+B2y+C2=0

若方程组4Ax+B,y+C',-0,有唯一解，则两直线相交.

A2X+B2y+C2=0

Ax+y+C,=0,

若方程组41171无解，则两直线,平行.

&工+为y+G=。

Ax+y+C,=0,

若方程组《111有无数个解，则两直线重合.

4%+B2y+C2=0

3、思考当入变化时，方程3x+4y-2+M2x+y+2)=0表示什么图形？图形有何特点？

三.提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中

疑惑点疑惑内容

7

课内探究学案

一、学习目标

1.掌握判断两条直线相交的方法，会通过解方程组求两条直线的交点坐标；

2.了解过两条直线交点的直线系方程的问题.

教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点.

教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.

二、学习过程

自主学习

【知识点一】、两条直线的交点

如果两条直线相交，则交点坐标分别适合两条直线的方程，即(

);把两条直线的方程组成方程组，若方程组有()解，则两条

直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组()，则两条直线无公共点，此时两条直线

平行；若方程组有()，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.

【知识点二】、直线系方程

具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程.

方程的特点是除含坐标变量x、y以外，还含有待定系数(也称参变量).

(1)共点直线系方程：经过两直线直A|X+Biy+Ci=O,12：A2X+B2y+C2=0交点的直线方

程为Aix+Biy+G+MA2x+B2y+C2)=0,其中入是待定系数.在这个方程中，无论入取什么实数，

都得不到A2x+B2y+C2=0,因此它不能表示直线12.

(2)平行直线系：与直线Ax+By+C=O平行的直线系方程是()，九是参变量.

(3)垂直直线系方程：与Ax+By+C=O(A#),B#))垂直的直线系方程是()

(4)特殊平行线与过定点(xo,yo)的直线系：当斜率k一定而m变动时，()表示斜

率为k的平行线系，()表示过定点(xo,yo)的直线系(不含直线x=xo).

问题设两条直线的方程为h：Aix+Biy+Ci=O和b：A2x+B2y+C2=0,如果这两条直线相

交，你能分析它们的系数满足什么关系吗？

A.x+B,y+C,=0(1),

探究:我们可以先解由两直线方程联立的方程组11'

A2X+B2y+C2=0(2).

①XB2-②xBi,得(A1B2-A2Bi)x+B2cl・B(2=0.

当A1B2-A2B1知时，得x=BIG-GB、；再由①XA2-②xAl，当A山2-A2B1和时，可

4鱼一&用

得y=4c二4c4因此,当A1B2-A2B1用时，方程组有唯一一组解x、y.

A】B2—A＞耳

这时两条直线相交，交点的坐标就是(x,y).因此这两条直线相交时，系数满足的关系为

A1B2-A2B1/O.

精讲点拨

例1求下列两直线的交点坐标,h：3x4-4y-2=0,h：2x+y+2=0.

8

变式训练

求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.kx-2y+2=0,l2：2x-y-2=0.

例2判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.

(l)li：x-y=O,h：3x+3y-10=0.

(2)li：3x-y+4=0,h：6x-2y-l=0.

(3)h：3x+4y-5=0,I2：6x+8y-10=0.

变式训练

判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.

(1)11:7x+2y-l=0,L：14x+4y-2=0..

(2)li：(V3-V2)x+y=7,L：x+(6+V2)y-6=0.

(3)h：3x+5y-l=0,L：4x+3y=5.

问题当入变化时，方程3x+4y-2+M2x+y+2)=0表示什么图形？图形有何特点？

例3求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+.y-l=0平行的直线方程.

变式训练

求经过两条直线/i：x+y-4=0和/2：x-y+2=0的交点，且与直线2x-y-l=0垂直的直线方程.

例4求证：不论m取什么实数，直线(2m-l)x+(m+3)y-(m-l1)=0都经过一个定点，并求

出这个定点的坐标

9

变式训练当a为任意实数时，直线(a-l)x-y+2a+l=0经过的定点是()

A.(2,3)B.(-2,3)

D.(-2,0)

2

反思总结1.两条直线的交点。直线相交的问题转化为求方程组的解的问题，且解的个

数决定两条直线的位置关系.两直线的交点坐标对应的就是两直线方程所组成方程组的解.

2.直线系方程。如果在求直线方程的问题中，有一个己知条件，另一个条件待定时，可选用

直线系方程来求解.

当堂检测

1.两条直线/i：2x+3y-m=0与，2：x-my+12=0的交点在y轴上，那么m的值为()

A.-24B.6C.±6D.以上答案均不对

2.无论k为何值，直线出+2江+(1*)广41<-5=()都过一个定点，则定点坐标为()

A.(l,3)B.(-l,3)C.(3,l)D.(3,-l)

3.求经过两条直线/,:x+y-4=0和/2：x-y+2=0的交点，且与直线2x-y-l=0

平行直线方程.

参考答案

m19

1.解析：/i：2x+3y・m=0在y轴上的截距为一，/2：x-my+12=0在y轴上的截距为一，根据

3m

两直线的交点在y轴上得1上2=2/77=m=±6.

m3

答案：C

2.思路解析:直线方程展开按是否含参数k合并同类项，得(2x+y-5)+k(x-y-4)=0,由直线系

xv—x—3

方程,知此直线过两直线的交点，即为《-’解得《一’

2x+y-5=0.[y=-1.

交点为(3,・1).

"十'一4=0得x—1,

3.解析:由.

x—y+2=0,

与/2的交点为(1,3).

(1)解法一：设与直线2x-y-l=0平行的直线为2x-y+c=0,则2-3+c=0,；.c=L

.,.所求直线方程为2x-y+l=0.

解法二：•.•所求直线的斜率k=2,且经过点(1,3),...所求直线方程为y-3=2(x-l),

即2x-y+l=0.

10

课后巩固练习与提高

知能训练

课本本节练习]、2.

拓展提升

1.已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足为(l,p),则m-n+p为()

A.24B.20C.OD.-4

2.已知点P(-1,O),Q(1,O),直线y=-2x+b与线段PQ相交，则b的取值范围是()

A.[-2,2]B.L-1,11C.L--,-]D.[0,2]

22

3.三条直线x+y=2、x-y=0、x+ay=3构成三角形，求a的取值范围.

4.已知两直线li：x+my+6=0,h：(m—2)x+3y+2m=0,当m为何值时，直线1)与h：

①相交；②平行；③重合；④垂直.

5.三条直线li：ax+y+l=0,L：x+ay+l=0j3：x+y+a=0构成三角形的条件是什么？

参考答案

阳+4p-2=0,m-10,

L解析：由条件知＜2—5〃+甩=0,得＜%=—12,

答案：B

2.解析：PQ直线方程为v=0,由+得交点(乡，0).由-1W2m得-2或二.

1^=022

答案：A

3.思路解析:考查两直线的位置关系和两直线交点的求法.

解:要使三条直线构成三角形，则三条直线有三个不同的交点，即必须满足；互不平行、两

两不重合、三条直线丕共点.

(1)由两直线平行的条K可知：当a=l时，直线x^y=2和直线发蕊=3平行；当a=-l时，直

线x・v=0和直线x-ay=3平行.

x+v=2

(2)由1,'可得直线x+y=2和直线x-y=O的交点坐标为(1,1).若三线共点，则点(1,

x-y=0,

1)在直线x+ay=3上，

所以有l+a=3.解得a=2.

综上，可知a满足的条件为a£{-1,1,2).

II

,、、x++6=0,

4.解:联立方程组1my

(m-2)x+3y+2m=0.

(1)当m=0时,则h：x+6=0,h：—2x+3y=0,，h、C相交.

当m=2时，则h：x+2y+6=0,h：