山东省济南市、潍坊市、淄博市部分学校2023-2024学年上学期高三10月份阶段监测数学试题

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2023-2024学年上学期高三10月份阶段监测

数学

2023.10

本试卷分第I卷和第II卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合4=｛印082%<1｝,B=卜,=,3-x卜则()

A.A.B=RB.AB=AC.AB=AD.AB=B

2.已知等差数列｛凡｝的公差不为0,若外,如，每成等比数列，则这个等比数列的公比是()

23

A.—B.—C.2D.4

32

3.已知xeR,则“d>27”是“|x|>3"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图

1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，A,B分别为圆柱上、下底面圆的圆心，P为圆锥的顶点，若圆锥

的底面圆周长为2缶，高为血，圆柱的母线长为2,则该几何体的体积是()

12+20

C.-------------71D.(4+28)乃

3

5.某地投资a亿元进行基础建设，/年后产生的社会经济效益为/(f)=ae"亿元，若该地投资基础建设4年

后产生的社会经济效益是投资额的2倍，且再过4年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的16倍，则乙=

()

A.4B.8C.12D.16

6.若a,是函数/(x)=x?〃(m>0,n>0)的两个不同的零点，且a,b,-1这三个数可适当

X—m

排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则关于X的不等式上20的解集为()

X-H

A.｛%,<2或无25｝B.｛无卜<2或无25｝

>r

,T5

C.<xx«l或x〉一>D.<x

2j[

7.设集合A是关于x的不等式|x+a|+|2x—1区|2x+l|的解集，且[1,2]£A,则实数a的取值范围是（）

A.[-2,0]B.[-3,0]C.D.[-3,1]

8.已知实数a满足52°"+1220"=132°〃，b=e°」—1,c=tan0.1,则a,b,c的大小关系是（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.b>a>c

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

X

9.若函数/（x）=---------为奇函数，则（）

（%+l）（X-6f）

A.a=\B./（x）的定义域为（一1』）

C./（无）的值域是HD.7（九）在R上是增函数

10.已知两个平面a,B,及两条直线/,m,则下列命题正确的是（）

A.若。Iu0,af3-m,则/J_a

B.若I」0,all（3,mua,则/_Lm

C.若!ua,maa,ml（I3,IH/3,则。〃夕

D.若/,m是异面直线，lua,IIIp,mu/3，mlaI,则。〃/?

11.已知数列｛凡｝满足6+2%++2"%”=〃-2向，则（）

A.a“=2〃+2B.｛。“｝的前〃项和为〃（〃+3）

C.｛（—的前100项和为TOOD.料一10|｝的前20项和为284

12.已知函数/（x）=lnx,8（幻=/+依（其中左€7?）.对于不相等的实数占，X,,设"""A".）,

x｝-x2

小㈤七⑷,则（）

王一赴

A.对于任意不相等的实数再，々，都有。>0

B.对于任意的％及任意不相等的实数X1,x2,都有人>()

C.对于任意的左，一定存在不相等的实数玉，々，使得2=2

a

b

D,若存在不相等的实数x2,使得匕=-2,则%的取值范围是(-8,-4)

a

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

Vv<0(W

13.已知函数/(x)=4'-'则//一=________.

log4x,x>0,I116〃

14.如图，在正四棱台ABC。-A4GA中，已知A8=2,44=1,且棱台的侧面积为6,则该棱台的高

15.已知函数/(x)及其导函数/'(x)的定义域均为R,对任意的％,yeR,恒有

/(x+y)+f(x-y)=2/(x)./(J)，则f'M必为__________函数(用"偶、奇、非奇非偶”填空);若/(1)=1,

2027

则Z/(i)=.

i=l

16.在正四面体P-ABC中，以PB为直径作球。，点。在球。与PB的中垂面相交所得的圆上运动，当三

棱锥O—ABC的体积的最小值为上史时，该正四面体P-ABC外接球的体积为.

12

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步深.

17.(10分)如图，三棱柱ABC—A4G中，A4,=4,4。J•底面ABC，NACB=90°,AC=A,C.

(1)求点A到平面Bcce的距离;

(2)若直线A4与8片距离为4,求A3与平面BCG4所成角的正弦值.

18.(12分)已知数列｛《,｝满足q=2,an+]^Aan+B(其中Awl,B^O).

（1）证明：数列一丁为等比数列；

（2）若A=2,B=—l,且％=23，求数列｛%｝的前项和为?；・

《4+1

19.（12分）经研究发现所有的一元三次函数/（》）=。＜：3+灰2+5+。9工0）的图象都有对称中心，设（（幻

是一元三次函数y=/（x）的导函数，/"（x）是函数/'（X）的导函数，若方程/"（x）=0有实数根公，则称

（与,/（%））为一元三次函数y=/a）的图象的对称中心•根据以上信息和相关知识解答下列问题：已知函数

f（x）——3x?+3x—2.

（1）求函数/（x）图象的对称中心和焉）+/（焉］++/（鸵）的值；

\NUN-J\NU乙3J\NUN—J

（2）若。＞0,解关于x的不等式/'（幻＞（3。+6）/—（a+9）x+4.

20.（12分）如图，已知四边形ABCD和CDEE都是直角梯形，ABHDC,DC//EF,AB=5,DC=3,

EF=1,44£＞=NC£＞E=6O。，且二面角F-OC-B的大小为60°.

（1）证明：平面BCF1.平面ABCD；

（2）在线段AE上是否存在点M,使得二面角-产的大小为45。，若存在，请求出点的位置；若不

存在，请说明理由.

21.（12分）己知数列｛《,｝是公差不为零的等差数列，满足q=l,4+%=%，正项数列｛2｝的前〃项和

为S“，且S“=3"-1.

（1）求数列｛《,｝和也｝的通项公式；

（2）在伪和坊之间插入1个数4，使乙，％,当成等差数列；在为和4之间插入2个数。2厂c22）使%,

C

2P02，4成等差数列；…；在口和〃山之间插入〃个数%,%2,使4，%,C“2，C„n,bn+x

成等差数列.

（i）求q*；

(ii)求+。2]+C22++cnl+cn2+-+c”“的值.

22.(12分)己知函数/(x)=xlnx.

(1)求函数/(%)的单调区间和极值;

(2)若过点M(xo，/(xo))(xo>g］的切线/分别交工轴和>轴于A，B两点,0为坐标原点，记△AQB的

面积为S,求S最小值；

(3)设函数g(x)=e"g-/(x),且不等式g(x)21对任意xe(0,+8)恒成立，求实数2的值.

高三数学试题参考答案

2023.10

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1-5CBACC6-8DBC

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.AC10.ABD11.ABD12.ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

1巧n

13.-14.—15.奇一1(第一空2分，第二空3分)16.—7T

922

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)解：(1)如图，因为底面ABC,BCu面ABC,所以

又3C_LAC,A。，ACu平面ACCM，\C(}AC=C,所以平面ACC/，

又BCu平面BCCg，所以平面，平面8CG4，

过A作4O，CG交CG于o,又平面ACGA平面BCG4=C£,AO<=平面ACGA，

所以A。，平面BCQBi,则4。的长为点A到平面8CG4的距离.

在Rt^ACC］中，AC=AG，A4J=CC1=4,则4。=2.

所以点A到平面BCC,用的距离为2.

（2）连结4B因为AC=AC,BC±\C,BC1AC,

所以RtaACB丝RtaACB,所以84=841,

过8作8OJ.A4,交A4于。，则。为A4中点,

由直线A4与8与距离为4,所以30=4,因为4。=2,所以43=2行,

又点A到平面BCC.B,距离也为2,

21

设AB与平面8CG5所成角为%则sin。

2>/5-V55

+=

18.（12分）解：（1）由。,向=A%+B得，««+i-j3J==

所以，数列一一—是以A为公比的等比数列.

1—A

（2）由A=2,8=—1得，数列｛凡一1｝是以2为公比的等比数列,

又因为4=2,所以，q—1=1,4—1=1X2"T=2"T,

%-1_2"T_]___1

,,,,

a„an+]-（2-'+l）（2+l）-2""+1-2"+1

111______1_\（1_____1_2"-1

所以，T=+1++nn

n2°+12'+12'+l~2+1）'[2-'+\~2+\J~2~2"+\~2（2"+1）

19.（12分）

解：（1）fr（x）=6x2-6x4-3,f\x）=12x-6,令/"（x）=0可得戈=g

因为/（X）为三次函数，所以/（X）图象的对称中心为（；,一1），故/（元）+/（1-1）二-2,

2023]

设机则机=f

圭卜（募〉”（黑12024)

所以2利=2023(=2023x(—2)=-4046,故加=-2023.

((2024)(2024〃

（2）不等式化为：3以2—（。+3）%+1<0,且a>0,即：（3x—1）（以一1）<（）.

①当0<a<3时，解得一<x<—，

3a

②当。=3时，不等式的解集为0,

③当a>3时，解得

a3

综上所述，当0<。<3时，不等式的解集为

I3af

当a=3时，不等式的解集为0,当。>3时，不等式的解集为JxL<x<4,.

a3

20.（12分）解：（1）证明：因为四边形ABCD和EFCZ）都是直角梯形，

所以，DCLCF,DCLCB,且CFCB=C,所以，平面3b,

因为。Cu平面A5CD,所以平面ABC。，平面

（2）过点E、。分别作直线DC、AB的垂线EG、。”垂足为G、H.

由已知和平面几何知识易知，DG=AH=2,ZEFC=ZDCF=ZDCB=ZABC=90°,

则四边形瓦CG和四边形。CB”是矩形，所以在RtzXEG。和RtZkOEA中，EG=DH=26

假设在AE上存在点M，使得二面角M—BC-歹的大小为45°.

由（1）知。C_L平面8b,则N3CE是二面角/一£>C—3的平面角，

所以N5CF=60°,所以是正三角形.

取8C的中点N,则FN_L8C,又FNu平面BCR,

所以/W,平面ABC。，过点N作AB平行线NK,

则以点N为原点，NK,NB、N/所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系N-qz,

设AM=/L4E（O</1<1）,则A（5,6,0）,B（0,A/3,0）,C（0,-V3,0）,£（1,0,3）,

则〃（5—44班一则8知=（5—4/1,—也/1,3；1）,fiC=（0,-273,0）,

设平面BCM的法向量为勺=*,y,z）,

-2>/3,y=0

由“BC=O，取〃1=[1,0,与*

得＜

(5-44)无-\/3Ay+3Az=0IDA

nt-BM=0

所以cos45°==―1

又平面BCF的法向量％=（1,0,0）,

同"lJ+(看

整理化简的742,—402+25=0,解得2=己5或4=5（舍去）.

7

所以存在点M,使得二面角M——尸的大小为45。，且AM=』A£.

7

21.（12分）解：（1）设数列｛q｝的公差为（由题意知，4+34+4+4〃=4+84,解得4=1,所以4=〃，

因为数列｛〃｝的前n项和为S.,且满足S“=3"-1,

当〃=1时，Z?,=31—1=2,

tt,Mn

当〃22时，bn=Sn-S„_,=3-1-3+1=2x3-',

经验证当〃=1时，也满足上式，

综上得，2=2x3"!

⑵（i）在d和心之间插入〃个数%，%，。，因为/，%，％2,…成等差数列,

%_2x3"2X3"T_4X3"T

设公差为d.，d

nn+1n+1〃+1

则限=bn+kd„=2x3"T+k=2"+l+"x2x3"，

〃+l〃+l

(ii)设““=c,”++•+c„„=〃(2x3'i+M"'>1+x^LL=4〃x3,,_|,

I〃+l)2n+1

则Q+C21+C22++%+%2++%=j+(0+C22)++(j+C"2++。皿)=河|+“2++M〃，

设(="I+%++Mn,

即7；=4x30+8x3〔+12x3?++(4/7-4)3"-2+4nx3n-1

3T„=4x3'+8X32+12X33++(4/I-4)X2X3"-1+4/1x3"-27；,

1

=4+4x3+4x32++4x3,,_|-4nx3n=4(30+3+32+32++3")—4〃乂3"=4x-py—4〃x3".

所以，7；,=1+(27?-1)X3,'.

22.(12分)

解：⑴函数。(无)的定义域为定,+8),/'(x)=lnx+l,

令/'(x)=0得，x=-,由((x)<0得，0<x<1；由/'(x)>0得，x>-,

eee

所以函数/(x)的单调递减区间为(oj),单调递增区间为(J+oo).

列表得：

X

e

r(x)——0+

f(x)J极小值-一T

e

所以当》=!时的极小值为一1,无极大值.

ee

函数/(x)在上单调递减，在(g,+oc)上单调递增.

(2)由题意得，A/(xo,xolnxo),x0>—,所以勺u/lNjulriXo+l,

y=(lnx°+l)x-，所以*/彳。)，5(。,F)，S=薪旬,

故切线/的方程为:

令/?(x)=--~x>~,所以,(x)=x(l+21n1,令/(箝=0,

2(lnx+l)2e2(1+Inx)2

列表得,

1

Xfi一,e-2ne5,+oo

")\7

h'(x)—0