湖南省长沙市长郡双语实验中学2023-2024学年九年级上学期第一次数学月考试卷

长郡双语初三数学月考

姓名__________

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下®列图形中既是轴对称图A形又是中心对称图形的★是（）

2.下列计算正确的是（）

A.（x+y）2=/+,2B.X5,%—x6C.（xy2）3—xy6D.JT+%2—2x4

3.在平面直角坐标系中,以原点。为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是（4,3）,则点

户与。0的位置关系是（）

A.点P在。O内B.点尸在。。外

C.点尸在上D.点尸在。0上或在。。外

4.如右图，在。0中，AB//OC,若/。84=50°,则NBAC的度数是（

A.50°B.30°C.25°D.20°

5.关于抛物线y=/-2x+l,下列说法错误的是（）

A.开口向上B.与x轴有两个重合的交点

C.对称轴是直线x=lD.当x>l时，y随x的增大而减小

6.某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出（100-x）件.若

想获得最大利润，则定价x应为（）

A.35元B.45元C.55元D.65元

7.如右图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高。。为14的奖

杯，杯体轴截面ABC是抛物线>=/乂2+5的一部分，则杯口的口径417为（）

A.7B.8C.9D.10

8.如下图，在平面直角坐标系中，点4在y轴上，点B的坐标为（6,0）,将△ABO

绕着点B顺时针旋转60°,得到△O8C,则点C的坐标是（）

A.（3加，3）B.（3,3毒）C.（6,3）D.（3,6）

9.己知抛物线y=『+灰+c的部分图象如下图所示，若yVO,则x的取值范围是（)

10.已知二次函数旷=0?+历什,（"W0）的图象如图所示.有下列结论.

①/-4ac>0；②abc>0；③8a+c>0；④9a+3匕+c<0；⑤（a+c）2<b2.

其中，正确结论的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

二.填空题（本题共6题，每小题3分，共18分）

11.某公司招聘员工一名，某应聘者进行了三项素质测试，其中创新能力为70分，综合知

识为80分，语言表达为90分，如果将这三项成绩按4：3：3计入总成绩，则他的总成绩为

分.

12.在二次函数>=*-2*-3中，当0WxW3时，y的最大值是

13.将抛物线y=3（x-2）2+1向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的

表达式为.

14.如图，8。是/ABC的角平分线，DE1ABTE,△A8C的面积是27cm2,AB=Scm,

BC^iOcm,贝lj£）E=____cm.

：oo

T14cL------------------B

15.如图，四边形ABC。内接于O。,延长CO交OO于点E,连接3E,若NA=100°,

/E=60°,则/OCZ）的大小为—o

16.在OO中，直径AB=4,弓玄CDLAB于P,OP=&,则弦CD的长

为

三.解答题(本大题共9个小题，第17、18、19每小题6分，第20、21题8分,

第22、23每小题9分，第24、25每小题10分，共72分)

17.计算：(2024—兀)°+V3X(-V6)+|l-^2|+(1)-2

2

18.先化简：心拿+1J)+-^-，再取一个你认为合理的x值，代入求原式的值.

x2-lxx+1

19.如图，在平面直角坐标系内，aABC三个顶点的坐标分别为4(1,-2),8(4,-1),

C(3,-3)(正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度).

(1)以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°,得到△4BC”请画出△

写出4点的坐标；

(2)求4ABC的面积

20.如图，点。是等边△ABC内一点，将线段AZ)绕点A顺时针旋转60°,得到线段AE,

连接CD,BE.

(1)求证：EB=DC；

(2)连接。E,若NBE£)=50°,求NAOC.

A

21.如图，已知抛物线y=W+bx+c经过A(-1,0)、8(3,0)两点.

(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)点P为抛物线上一点，若SA/MB=10，求出此时点尸的坐标.

22.某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶

显示器8台，共需要资金7000元，若购进电脑机箱两台和液晶显示器5台，共需要资金

4120元.

(1)每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？

(2)该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过

22240元，根据市场行情，销售电脑机箱，液晶显示器一台分别可获得10元和160元的

利润，该经销商希望销售完这两种商品，所获得利润不少于4100元，试问：该经销商有

几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？

23.如图，AB是。0的直径，C是俞的中点，于点E,BD交CE于点F.

(1)求证：CF=BF；

(2)若C£>=6,AC=8,求O。的半径及CE的长.

24.综合与探究：

如图，已知抛物线丫=1*24*+6与X轴交于A，3两点(点A在点8的左边)，与y

轴交于点C.直线8c与抛物线的对称轴交于点E.将直线BC沿射线C。方向向下平移

〃个单位，平移后的直线与直线AC交于点凡与抛物线的对称轴交于点/).

(1)求出点A,B,C的坐标，并直接写出直线AC,BC的解析式；

(2)当△COB是以8c为斜边的直角三角形时，求出〃的值；

(3)直线2c上是否存在一点尸，使以点E,F,尸为顶点的四边形是菱形？若存在，

请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

25.如图，抛物线>=加+法+c(a,6c是常数，"W0)的对称轴为y轴，且经过(0,0)

和(«,」一)两点，点尸在该抛物线上运动，以点P为圆心的0P总经过定点A(0,2).

16

(1)求a,h,c的值；

(2)求证：在点P运动的过程中，圆心P带x轴的距离始终小于半径；

(3)设。P与x轴相交于例(xi，0),N(x2,0)(xi<x2)两点，当△AMN是以AM

为底边的等腰三角形时，求圆心尸的纵坐标.

第一次作业精选模拟练习

参考答案与试题解析

选择题（共11小题）

1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

女®。尽

【解答】解：4该图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意.

故选：D.

2.下列计算正确的是（）

A.（x+y）2=f+y2B.x5,x=x6

C.（Ay2）3=肛6D.d+d=2/

【解答】解：A.x+y）2—x2+2xy+y^,故本选项不合题意；

B.X5,X=JC6,故本选项符合题意；

C.（到3=必/6,故本选项不合题意；

D./+*=*,故本选项不合题意.

故选：B.

3.在平面直角坐标系中，以原点。为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是（4,3）,则点

P与。。的位置关系是（）

A.点P在。0内B.点P在。。外

C.点尸在上D.点P在。0上或在。0外

【解答】解：..,点P的坐标是（4,3）,

O/5~V3^+42=5,

而。。的半径为5,

.♦.OP等于圆的半径，

.•.点P在。。上.

故选：C.

,则NBAC的度数是（）

C.25°D.20°

【解答】解：,：AB//OC,NO8A=50°,

OBA=50°,

：NBAC与NBOC所对的弧都是商，

，NBAC=£NB0C=25。-

故选：C.

5.关于抛物线y=f-2x+l,下列说法错误的是（）

A.开口向上

B.与x轴有两个重合的交点

C.对称轴是直线x=l

D.当x>l时，y随x的增大而减小

【解答】解：“fF+U（x-1）2

，顶点坐标（1,0）,对称轴x=l.

,开口向上，抛物线的顶点在x轴上,

；.A、B、C正确,

故选：D.

6.某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出（100-x）件.若

想获得最大利润，则定价x应为（）

A.35元B.45元C.55元D.65元

【解答】解：设最大利润为w元，

则w=（X-30）（100-X）=-（X-65）2+1225,

V-KO,0<x<100,

.•.当x=65时，二次函数有最大值1225,

二定价是65元时，利润最大.

故选：D.

7.如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高0。为14的奖杯，杯体

轴截面A8C是抛物线），=9乂2+5的一部分，则杯口的口径4（7为（）

【解答】解：。。为14,14=公+5,解得x=±9,

92

（-X14）,C&14），

22

."c=9-（-9）=9,

22

故选：c.

8.如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为（6,0）,将△A8。绕着点

3顺时针旋转60°,得到△Q3C,则点C的坐标是（)

yD

A.(3%，3)B.(3,3V3)C.(6,3)D.(3,6)

【解答】解：作CM_Lx轴于M,

丁点8的坐标为（6,0）,

:・BC=OB=6,

'：ZOBC=60°,

•••BM=/BC=3,CM=与

：.OM=OB-BM=6-3=3,

：.C(3,3A/3).

故选：B.

9.己知抛物线y=f+fex+c的部分图象如图所示，若y<0,则x的取值范围是（）

A.-l<x<4B.-l<x<3C.x<-l或x>4D.x<-l或x>3

【解答】解：由图象知，抛物线与x轴交于（-1,0）,对称轴为x=l,

.•.抛物线与x轴的另一交点坐标为（3,0）,

•••yVO时，函数的图象位于x轴的下方，

且当-l<x<3时函数图象位于x轴的下方,

.•.当-l<x<3时，y<0.

故选：B.

10.已知二次函数>=加+笈+。(a/0)的图象如图所示.有下列结论.

①力2-4ac>0；②。加>0；③8〃+c>0；④9a+36+c<0；⑤(a+c)2<h2.

【解答】解：抛物线与x轴有两个不同的交点，因此〃-4“c>0,故①正确；

抛物线开口向上，因此a>0,对称轴为x=l>0,a、b异号,因此％<0,抛物线与y轴

交在负半轴，因此cVO,所以4A>0,故②正确；

由图象可知，当x=-2时，y—4a-2b+c>0,又对称轴彳=--"=1,即，b--2a,

2a

所以8n+c>0,故③正确；

当x=3时，y—9a+3b+c<0,因此④正确；

当x=l时，y=a+b+c<0,当x=-1时，y=a-b+c<0,所以(a+6+c)(a-b+c)>0,

即(a+c)2-b2>0,也就是(a+c)2>b2,故⑤错误，

综上所述，正确结论有：①②③④

故选：C.

二.填空题(共5小题)

11.某公司招聘员工一名，某应聘者进行了三项素质测试，其中创新能力为70分，综合知

识为80分，语言表达为90分，如果将这三项成绩按4：3：3计入总成绩，则他的总成

绩为79分.

【解答】解：70X—_+80*_?_+90X—?_=79(分)，

4+3+34+3+34+3+3

故答案为：79.

12.在二次函数-2/-3中，当0«时，y的最大值是

【解答】解：抛物线的对称轴是直线1=1,

当x=3时，y=9-6-3=0是最大值.

13.将抛物线y=3(x-2)2+1向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的

表达式为y=3*.

【解答】解：..•将抛物线y=3(x-2)2+1向左平移2个单位，再向下平移1个单位，

.•.平移后的抛物线的解析式为：y=3(x-2+2)2+1-1,即y=3f.

故答案为y=3*.

14.如图，8。是NABC的角平分线，DE_LAB于E,/XABC的面积是27c>,AB=8cvm

BC=\Ocrn,则DE=3ent.

【解答】解：作。FLBC于F,

设OE为x,

;武)是NABC的角平分线，DE1AB,DFLBC,

**•DE=DF=xf

：.XxABXDE+1.XBCXO尸=27,

22

即4x+5x=27,

解得x=3,

故答案为：3.

15.如图，四边形ABC£）内接于（DO,延长CO交OO于点E,连接BE,若NA=100°,

NE=60°,则/OCZ）的大小为50°.

【解答】解：：EC是的直径，

AZ£BC=90°,

AZBCE=9Q°-ZE=30°,

♦.•四边形ABC。内接于OO,

：.ZBCD=\SO°-NA=80°,

：.NOCD=/BCD-NBCE=50°,

故答案为：50.

16.在。。中，直径AB=4,弦CD_LAB于P,0P=®,则弦CD的长为2G..

【解答】解：连接OC,

•.,在。0中，直径A8=4,

OC=LB=2,

2

.,.弦C£>_LA8于P,OP=&,

•**CP=Voc2-op2=V22-(V2)2=>

:.CD=2CP=2近.

故答案为：2&.

三.解答题（共10小题）

2

18.先化简：(2再取一个你认为合理的X值，代入求原式的值.

x2-lxx+1

（X-1）2

【解答】解：原式=[-T1（x+i）

（x+1）（X-1）

=（）（x+l）

君x+1口X

—x2-x+x+l/

一T^iT・（x+i）

_x2+l

—1

X

当x=2时,

9

原式=2■上L=».

22

说明：x除不能取0,1,7外，取其它值均可.

19.如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A(l,-2),B(4,-1),

C(3,-3)(正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度).

(1)以坐标原点O为旋转中心，将aABC逆时针旋转90°,得到△4BC”请画出△

4BiG，写出4点的坐标；

(2)求点C到点G经过的路径.

【解答】解：(1)如图，△A/Ci即为所求，Ai点的坐标为(2,1)；

yk

(2)；0C=^H=3五,ZCOC,=90°,

...点C到点G经过的路径为：9QKX3V2=W2,K.

1802

20.如图，点。是等边aABC内一点，将线段AQ绕点A顺时针旋转60。，得到线段AE,

连接CD,BE.

(1)求证：EB=DC；

(2)连接。E,若NBED=50°,求/AOC.

【解答】(1)证明：；△ABC是等边三角形，

：.ZBAC=60°,AB=AC.

:线段AO绕点A顺时针旋转60°,得到线段AE,

AZDAE=60°,AE=AD.

：.NBAD+NEAB=ZBAD+ZDAC.

：.NEAB=ADAC.

在△E48和4c中，

，AB=AC

<ZEAB=ZDAC)

AE=AD

：./\EAB^ADAC(SAS),

：.BE=CD；

(2)VZDAE=60°,AE=AD,

・・・△EAO为等边三角形.

・・・NAED=60°,

VZBED=50°,

AZAEB=\\0°,

VAEAB^ADAC

AZAEB=ZADC=\\O°.

21.如图，已知抛物线y=f+Zzx+c经过A(-1,0)、8(3,0)两点.

(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)点尸为抛物线上一点，若S△附8=10，求出此时点P的坐标.

【解答】解：⑴把A(-L0)、8(3,0)代入yb+fer+c得1l-b+c=°,解得尸一2

19+3b+c=0Ic=-3

所以抛物线解析式为y=f-2x-3=(x-I)2-4,

顶点的坐标为(1,-4)；

(2)VA(-1,0)、8(3,0),

：.AB=3-(-1)=4,

设P点坐标为(r,尸-2/-3),

10,

.•.工X4X|p-2r-3|=10,

2

当P-2f-3=5,解得八=-2,r2=4,此时P点坐标为(-2,5)或(4,5)；

当尸-2「3=-5,方程没有实数解，

综上所述，P点坐标为(-2,5)或(4,5)；

22.某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶

显示器8台，共需要资金7000元，若购进电脑机箱两台和液晶显示器5台，共需要资金

4120元.

(1)每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？

(2)该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过

22240元，根据市场行情，销售电脑机箱，液晶显示器一台分别可获得10元和160元，

该经销商希望销售完这两种商品，所获得利润不少于4100元，试问：该经销商有几种进

货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？

【解答】解：(1)设每台电脑机箱进价为x元、每台液晶显示器的进价为y元.

根据题意得：(l°x+8尸7°°°,

|2x+5y=4120

解得：卜=6°.

ly=800

答：设每台电脑机箱进价为60元、每台液晶显示器的进价为800元.

(2)设购买电脑机箱“台，则购买液晶显示器(50-a)台.

根据题意得：(60a+800(50-a)<22240)

110a+160(50-a)>4100

解得：24W“W26.

经销商共有三种进货方案：①购买电脑机箱24台，购买液晶显示器26台：②购买电脑

机箱25台，购买液晶显示器25台；③购买电脑机箱26台，购买液晶显示器24台.

第①种进货方案获利最大，最大利润=10X24+160X26=4400兀.

23.如图，AB是。。的直径，C是俞的中点，CELAB于点E,BD交CE于点F.

(1)求证：CF=BF；

(2)若CD=6,AC=8,求。。的半径及CE的长.

【解答】（1）证明：・・・43是。。的直径,

AZACB=90°,

・・・N4=900-ZABC.

*：CELAB.

：.ZCEB=90°,

：.ZECB=90°-/ABC,

：.ZECB=ZA.

又・・・c是标的中点，

・•・a=肩,

AZDBC=NA,

:・NECB=/DBC,

：.CF=BF；

（2）解：TBC=CD，

:.BC=CD=6,

VZACB=90<>,

；•A8=VBC2+AC2=V62+82=13

，OO的半径为5,

"：S&ABC^—AB'CE=^BC'AC,

22

.cg=BC>AC=6X8=24

--ABio-V

24.综合与探究：

如图，已知抛物线丫=1*2号x+6与x轴交于A，B两点、（点A在点8的左边），与y

轴交于点C.直线BC与抛物线的对称轴交于点E.将直线BC沿射线CO方向向下平移

〃个单位，平移后的直线与直线4c交于点凡与抛物线的对称轴交于点。.

（2）当△CQB是以BC为斜边的直角三角形时，求出〃的值;

(3)直线8c上是否存在一点P,使以点。，E,F,P为顶点的四边形是菱形？若存在,

请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)当y=0时，(乂2亭+6=0,

解得工=-2或x=8,

(-2,0),8(8,0),

当犬=0时，y=6,

：.C(0,6),

设直线AC的解析式为》=h+6,

，-2好6=0,

解得々=3,

・•・直线AC的解析式为y=3x+6,

设直线BC的解析式为y=£x+6,

・・・以'+6=0,

解得k'=-1,

4

直线BC的解析式为尸--Ir+6；

4

2+>

⑵Vy=^-x2+^.x+g=-(JC-3)-^-

...抛物线的对称轴为直线x=3,

：.E(3,吗，

4

平移后的直线解析式为y=-lx+6-n,

4

：.D(3,至-“)，

4

.•.CD2=9+(n+-i)2,g》=25+(至-〃)2,BC2=100,

44

•.♦△CD?是以BC为斜边的直角三角形，

.".100=9+(〃+2)2+25+(至-〃)2,

44

解得”=3+8证或〃=.3父强.(舍)；

44

(3)存在点尸，使以点。，E,F,P为顶点的四边形是菱形，理由如下:

当3x+6=-Wr+6-”时，解得x=--^-n,

415

.,.F(--^-n,-—n+6),

155

当EF、尸。为邻边时，ED与FP为菱形的对角线，

：.ED±FP,

.•.尸P〃x轴,

:.P(6+-^-n,-—n+6'),

155

-—n+6=-—(6+-A_n)+6,

5415

解得"=a殳，

2

：.P(8,0)；

当E尸为菱形的对角线时，FP//ED,

:.P(--^-n,A,?+6),

155

"：PE=ED=n,

...E点向左平移鱼?个单位，向上平