2023-2024学年辽宁省沈阳市高二年级下册期中数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年辽宁省沈阳市高二下册期中数学模拟试题

一、单选题

1.已知集合工="|一1<》<3/€用，则/的子集共有()

A.3个B.4个C.8个D.16个

【正确答案】C

【分析】根据题意先求得集合4={0,1,2},再求子集的个数即可.

【详解】由/={x|-l<x<3,xeN},得集合{={0,1,2}

所以集合A的子集有23=8个，

故选：C

2.若命题“VxeR,办2+120"为真命题，则实数。的取值范围为()

A.a>0B.a>0C.a<0D.a<l

【正确答案】B

【分析】结合二次函数的性质来求得。的取值范围.

【详解】依题意命题“VxwR,亦2+]±0"为真命题，

当。=0时，120成立，

当a>0时，ax?+120成立，

当a<0时，函数y=尔+1开口向下，ax2+120不恒成立.

综上所述，a20.

故选：B

3.已知函数/(x)的导函数为了'(X),f(x)=x\nx+3xf(\),则/(e)=()

【正确答案】C

【分析】先求出/'(x)=l+lnx+3/'(l),然后令x=l求出/'⑴，然后即可求出了'(e).

【详解】因为/(x)=xlnx+34'(l)

所以1(x)=l+lnx+3(⑴

令x=i时有/"⑴=1+3/⑴，所以/，(i)=_；

3

所以/(^)=x\nx--x

?1

所以/'(e)=l+lne_/=5

故选：C

4.基本再生数&与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者

传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，

可以用指数模型/(，)=/来描述累计感染病例数/⑺随时间，(单位：天)的变化规律，指

数增长率厂与凡，T近似满足凡=1+”,有学者基于已有数据估计出凡=3.28,7=6.据

此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加2倍需要的时间约为()(参考数据:

ln3-1.098)

A.2天B.5天C.4天D.3天

【正确答案】D

【分析】根据题中所给的函数模型求出指数增长率的值，然后根据济迎+，)=30叱，求出答案

即可.

R,-]328-1

【详解】因为/=3.28,7=6,4=1+”,则指数增长率『==0.38

T6

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加2倍需要的时间为4天

所以/⑺=e”=,则e。网e)=3eo.38,

所以发啊=3,即0.3M=ln3.

In31.098./丁、

所以公而〃言“3(天工

故选：D

5.已知函数/⑶是定义在R上的奇函数，且满足/(x)=-/(x+l),数列｛%｝是首项为1、公

差为1的等差数列，则/(4)+/(%)+/(%)+…+/3J的值为()

A.-1B.0C.1D.2

【正确答案】B

【分析】利用函数的对称性首先求出函数/(x)是以2为周期的函数，且/⑴+/(2)=0,而

数列的通项公式为%=〃，则可将所求转化为25(/。)+/(2))+/⑴=/11),再根据函数的

奇偶性可得"0)=0,从而有/⑴=0,即可求得结果.

【详解】=+：.f(x+2)=-f(x+l)=f(x),

即/(x)是以2为周期的函数，

而/(x)=-/(x+l),A/(1)+/(2)=0,

又•••数列｛〃“｝是首项为1、公差为1的等差数列，二%=n,

二/(4|)+/(。2)+/(4)+…+/(%J

=/(1)+/(2)+/(3)++/(51)

=25(/(1)+/(2))+/(1)=/(1),

又：/⑴是定义在R上的奇函数，.••〃0)=0,

而/'(x)=-〃x+l),.•./(())+/⑴=0,.•./⑴=0,

“(4)+/(%)+〃％)+,“+/(。51)=0.

故选：B.

6.己知均为等差数列的｛叫与｛〃,｝的前〃项和分别为，，T„,且手=孑苧贝I」；詈的

值为()

7„21C13-15

A.-B.—C.——D.—

41067

【正确答案】A

【分析】设5,=而(2〃+3),7＞析(〃+1),由能=55-邑，bH即可求解结果.

q+%_2as_as又因为当=2〃+3

【详解】因为

4+狐耽b6H+1

所以可设S〃=飙(2〃+3),北=加(〃+1),

则％=S5-S4=65k-44k=21k,"="一4=4"-3诙=1"

~421+Qq7

所以,二不，即士/■=[.

412d+?4

故选：A

7.已知/(x)定义在R上的奇函数，当x<0时，〃x)=(x-l)3,当xe[l,3]时,

/(x+w)427/(x)有解，则实数机的最大值()

A.8B.6C.4D.2

【正确答案】A

【分析】由奇函数的性质得x>0时，/(x)=(x+l)3,且在R上单调递增，进而，当分加40

时，/。+〃?)427/(到恒成立：当〃?>0时，结合单调性将问题转化为x+m+143x+3在

xe[1,3]上有解，进而得等<3,再解不等式即可得最大值.

【详解】因为〃x)定义在R上的奇函数，当x<0时，/(x)=(x-l)3,/(O)=O,

所以当x>0时，/(%)=-/(-x)==(x+iy,

所以当x>0时，函数〃x)=(x+l)3单调递增，

x<0时，/(x)=(x-1)3单调递增，/(%)<-1；

所以，由奇函数的性质知，函数TV)在R上单调递增，

所以，当加40时，由于X€[1,3],故x+znWx,/(x)>0,此时/(x+zn)427/(x)恒成立，

当，”>0时，x+m>x,

所以，当xw[l,3]时，/(X+M)V27/(X)有解等价于(x+,+l)3427(x+l)3=(3x+3)3在

xe[1,3]上有解，

所以，由/㈤在R上单调递增得X+/+143X+3在xe[l,3]上有解，即土」在xe[l,引上

2

有解，

所以‘二工43,即机48.

2

所以，实数机的最大值为8.

故选：A

8.已知。为函数/(x)=log2X-：的零点，b=&,c=底，则。、b、c的大小关系正确

的是()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【正确答案】B

【分析】对b、c,同时进行6次方运算，利用y=f的单调性比较大小；

先利用零点存在定理判断出<«<2

对。、C,同时进行3次方运算，利用y=x3的单调性比较大小；

对。、从同时进行平方运算，利用、=/的单调性比较大小.

【详解】因为6=五，c*,

所以加=06=63＞图=15|,d=（沟6="＜（3.2）2=10.24,

所以尸＞。6.

因为y=4在（0,+力）上单增,所以b＞c.

因为。为函数/'（x）=log2X-J的零点，所以/（"）=唳2"：=0

因为y=1082》为增函数，y=-‘为增函数，所以/（x）=log2x-L为增函数，所以

XX

〃x）=log,x-L有且仅有一个零点a.

X

乂/图=唾2图+1°瓦图尚因为.（|厂=（H，2：=4；，所以1＜2：所以

同外闾号也值后一

2

，（工卜°&］，飞=晦（；）彘，因为§=俏）*a43；,2；=32；，所以号＞2，，所以

551⑸」5

霆）=1%（野十地（［"＞0；由零点存在定理，可得.2

55

所以09。3=0^）=乃，所以＞（'）=仁=3.375＞乃=。3.

因为y=%3在（0,+纥）上单调递增，所以

因为5＜。＜于所以=2.56,而为=e*2.71828,所以匕2〉。2.

因为0=4在（0,+8）上单调递增,所以、＞〃.

所以b＞4＞C.

故选：B

二、多选题

9.下列叙述中正确的是（）

A.{0}cN

B.若xeAB,则xe4U8

C.已知awR,则“/〈a?”是“a<6<0”的充要条件

D.命题“VxeZ,x?>0”的否定是“mx°eZ,x：40"

【正确答案】ABD

【分析】对于A,利用子集的定义即可判断；对于B,利用并集和补集的定义即可判断：对

于C,举反例即可判断；对于C,全称量词命题的否定是存在量词命题，即可判断

【详解】对于A：集合N中包括0,故{0}qN,故A正确；

对于B：若xeNB,说明集合N和8中均包括元素x,则xeZUB,故B正确；

对于C已知aeR,当6=1,。=-2时，满足/</,而方>0,所以“2<°2”是"q<b<o"

的充要条件为假命题，故C错误：

对于D：由全称量词命题的否定是存在量词命题，则命题“VxeZ,X?>0"的否定是Tx。wZ,

x：40”，故D正确.

故选：ABD

10.以下结论正确的是（）

A.具有相关关系的两个变量x,y的一组观测数据（七,％）,（X2,%）,L,（x,j,,）,由此得

到的线性回归方程为5=般+机回归直线$=叔+£至少经过点（孙必），（X2，%）,L,（土,”）

中的一个点；

B.相关系数厂的绝对值越接近于1,两个随机变量的线性相关性越强

C.已知随机变量X服从二项分布8（〃,。），若£（X）=30,。（刈=20,贝ljp=；

D.设J服从正态分布N（0,l）,若尸偌>l）=p,则

【正确答案】BCD

【分析】根据回归方程的性质可判断选项A,根据相关系数与相关性的强弱关系可判断选项

B,根据二项分布的特征可判断选项C,根据正态分布的性质判断选项D.

【详解】对于A,由回归直线的特征可知：样本点不一定在回归直线上，故选项A错误；

对于B,相关系数厂的绝对值越接近于1,两个随机变量的线性相关性越强，故选项B正确;

对于C,因为随机变量X服从二项分布8(〃,p),且E(X)=30,Z)(X)=20,则

〃0二30，解得：p=;

故选项C正确;

np(l—p)=20

对于D,若随机变量J服从正态分布N(o,l),则其图象关于歹轴对称，若P《>1)=P，则

P(O<4<1)=；-P，所以尸故选项D正确.

故选.BCD

S28

11.已知S,为等差数列｛4｝的前〃项和，q=l，'记a=(T)"d，q,=[ig““]，其

中卜]是高斯函数,表示不超过X的最大整数，如[lg0.9]=0,[lg99]=l,则下列说法正确

的是()

111n

Aa=nR------1--------F…d------=---------

"4邑S,〃+1

C.4+&+…+4oo=5050D.G+c2+%+…+Gooo=1893

【正确答案】ACD

【分析】根据等差数列的前〃项和公式和等差中项，可的区=：,再根据4=1和等差数列

通项公式，可求出等差数列｛”,｝的公差为"，进而求出％=〃，即可判断选项A正确；根据

4=〃可得S.="加,即!=2f---5-1再利用裂项相消法即可求出!+?+…，

进而判断B是否正确：根据氏=〃可得&,=4〃二为I=-(2〃-I)2,可证数列出“+%-｝是

首项为3,公差为4的等差数列，又4+仄+…+瓯。相当于数列物2“+ae｝前50项和，由此

即可求出结果，进而判断C是否正确；根据知=〃可得c"=[lg〃],分别求出正自然数〃在区

间[1,9],[10,99],[100,999]中的通项公式，以及〃=1000时的值，再求J+c2+G+…+/oo，

即可判断D是否正确.

（q+%）x7

【详解】由E,为等差数列｛%｝的前〃项和，所以1r=（°+：）x5=筌=f|'即詈=3：

2

又q=l,设等差数列｛%｝的公差为d,所以幺所以d=l,

7%〃i+2d3

所以%=",故A正确；

由选项A可知£=号〃所以1丁（^2=2」1二1山1,）

…111

所以一+—+…+—

S\Ss„2[(H)+[3+(匕卜••++(：-〃M|

2

=2「/J2〃

帝’故B错误;

2

由选项A可知2=(-1)"/,所以3=4,/，Z>2„_,=-(2n-l),

所以&+&1T=4〃2-（方-1）2=4〃-1，即数列出,,+却一1｝是首项为3,公差为4的等差数列,

所以4+b2+…+4oo=(6|+b2)+@3+4-…+。99+瓦X))

=(3+4x507)x50=5050,故C正确；

2

由选项A可知c“=[lga„]=[lgn],

当〃叩,9]且〃eN*时,c„=0；

当〃«10,99]且〃eN,时，g=1;

当〃e[100,999]且〃eN*时，g=2；

当〃=1000时，c“=3；

所以q+。2+。3+…+。1000=9x0+90x1+900x2+3=1893,故D正确.

故选:ACD.

12.关于函数/(x)=g之，下列说法正确的是()

A./(1)>/(3)

C.不等式/。)>1的解集为(2,3)

D.若存在实数。也艰囿"6<”"<0)满足/3)=/e)=/(0=/(4=/,),则

q/'(“)+"e)+C/'(c)+力1(d)+勿(e)的取值范围为(0,7)

【正确答案】BCD

【分析】根据给定条件计算判断选项A,B；解不等式/(x)>l判断选项C；作出函数y=/(x)

的图象与直线N=f,数形结合计算判断D作答.

【详解】因函数/(工)=口：出""，01x-2,贝|］/(：)=15出身=1,/⑶=4-3=1,A不正确;

［4-x,x>222

f(；)=|sin?|=孚，/Q)=|sin,卜岑，B正确；

fx>2

当04x42时，O(/")W1,则不等式/(x)>l化为"I>］，解得2Vx<3,/(x)>l的解

集为(2,3),C正确；

因存在实数。,瓦。,4,0(4<6<<:<"<6)满足/(°)=/e)=/©=/(")=/(0),令"a)=t,

则方程〃x)负有4个互异实根。也c,d,e,即函数y=/(x)的图象与直线N=，有4个公共点,

作出函数y=/(x)的图象与直线y=f,如图，

因当04x42时，0《/(x)Wl,贝又/(x)=|sin〃x|在［0,1］上的图象关于直线x=g

对称，

3

在［1,2］上的图象关于直线x=］对称，因此有：a+b=\,c+d=3,e=4-t,

则4⑷+/'0)+4«)+/向升/g)=f(8-f)，而函数-产+&在(0,1)上递增,则有

0</(8—/)<7,

所以4(")+""伍)+^(c)+“(")+ef(e)的取值范围为(0,7),D正确.

故选：BCD

关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综

合考查所有零点是解决问题的关键.

三、填空题

13.设等差数列｛得｝的前〃项和为，，/+%+4=12,则风=.

【正确答案】36

【分析】根据等差数列的性质，可得牝=4,再利用前〃项和公式与等差中项，即可求得品

的值.

【详解】解：因为数列｛%｝为等差数列，所以勺，牝，6成等差数列，所以生+4=2%,

又在+%+例=12,即3%=12,所以%=4,

则S小显警=¥=9%=36.

故答案为.36

14.函数y=：。的零点个数为_.

lgx+2x-3,x>0

【正确答案】2

【分析】当烂0时，令函数值为零解方程即可；当x>0时，根据零点存在性定理判断即可.

===y

【详解】当xWO时，2x—10x^—y/2—x2l2,

x2>0,故此时零点为玉=—-1；

当x>0时，y=lgr+2x-3在(0,+8)上单调递增，

当x=l时，y<0,当x=2时，y>0,故在(1,2)之间有唯一零点；

综上，函数y在R上共有2个零点.

故2.

15.已知各项均为正数的数列也,｝满足：q=1,前〃项和为E,,且屋-%=2S“T("22),

数列也｝满足对于任意正整数〃此2均有鬣T+耙+粼+产％,求数列也｝的前66项和为

【正确答案】737

【分析】根据q,S,的关系求出数列｛%｝通项公式，再利用等差数列求和公式求解.

【详解】由0-a,=2S,T(〃>2)可得-。2=2S”,两式相减得,

-%+「屋+4=2a„,则有(J+a„)(a„+l-a„-l)=O,

因为｛4｝是各项均为正数的数列，所以4川+«„*0,

所以。用---1=0,即a,+「a,=l,

所以数列｛《,｝从第二项起为等差数列，

且姆-4=2囚=2,解得％=2,

所以%=2+(〃-2)="(〃22),首项4=1也满足上式，

所以%=n(neN*),

因为%+〃,+%=a,0，

所以数歹1」也｝的前66项和为(4+62+63)+(4+4+66)++心+砥+%1生+%+«65

c=K22x(2+65)…

=2+5++65=——------=737,

2

故答案为：737.

四、双空题

16.一般地，若/(x)的定义域为&句,值域为画,枷，则称句为/(X)的“彳倍跟随区

间”;特别地,若〃x)的定义域为［“，句，值域也为［a,6］,则称［凡可为/(x)的“跟随区间”.

(1)若口肉为/(力=f-2x+2的跟随区间,则|=.

(2)若函数/(X)=〃LW7T存在跟随区间，则用的最大值是.

【正确答案】2；150

【分析】根据所给的定义，给合二次函数的性质进行求解即可；根据所给的定义，结合函数

/(x)=m-J77T的单调性，通过构造新函数，利用新构成函数的性质进行求解即可.

【详解】因为[1,4为〃x)=--2x+2的跟随区间,

所以函数/(x)=/-2x+2的值域为[1,可，

因为/(幻=/-2工+2=(工一1)2+1,对称轴为x=l,

因此函数/(x)=x2-2x+2在xe[L可上单调递增,

f(b)=b2-2b+2=b

因此根据题中所给的定义有">1=6=2；

/(l)=l2-2xl+2=l

函数/■(X)=〃LJ7TT的定义域为：[-L+8),

因为函数/(x)=〃?-4TT存在跟随区间，设跟随区间为：可(-14a<6),

所以/(x)=机一而T的值域为[a,句，而函数〃x)=m-47T是定义域内的递减函数，因

此有:

f(b)=m-[b+l=a

___=>"+1-Ja+1=h-a

f(a)=m-da+1=b

因为1，所以y/h+1wy/a+1,

综上，"+1-Ja+1=0+1)—(a+1)=(J+1-d+1)(J+1+d+1j=>#+1+d+T=1

所以OwJa+lv〃+lWl，令0=4+1]="+1,

所以OKcvdSl,c+d=1,

则有加=〃+16+1=〃+1—々+1=<2—。，同理〃?=/一d,

设函数〃(x)=x2_x(xw[0J)

因为〃(x)=%2-x=(X-—)2——,X6[0,1],

24

所以〃OOmin=-；，〃(X)max=0，因为加=/一G机=/一〃，

所以方程Y—x=加在X£[0刀时，有两个不相等的实数根.

因此直线V二用与函数h(x)=x2-x(xG[0,1])的图象有两个交点,

因此有口40.

故2；

关键点睛：

一是利用因式分解法由A/6+1-Ja+l=b-a得到“+1+Ja+1=1;

二是由7«=，2-《彼=/_"得到方程产一二川在xw[O,l]时,有两个不相等的实数根.

五、解答题

17.已知函数/(x)=(log3X)2-abgjX?-3,xW[；,9].

(1)当。=0时，求函数7(x)的值域；

(2)若函数人制的最小值为-6,求实数a的值.

【正确答案】⑴卜3,1]

(2)-2或6

【分析】(1)由题意可得〃x)=(log3X)2_3,结合定义域，逐步可得函数的值域：

(2)利用换元法转化为二次函数的值域问题，分类讨论即可得到结果.

【详解】(1)当。=0时，/(X)=(log,X)2-3,9].

.\l0g3xe[-1,2],(log,x)2e[0,4]>

2

.,./(x)=(log3x)-3e[-3,l],

函数兀v)的值域为[-3』；

(2)令，=log、xe[-1,2],

即函数g(。"-2"-3,问-1,2]的最小值为-6,

函数g(r)="-26-3图象的对称轴为

当时，=g(-l)=2a-2=-6,

解得a--2；

当-/<a<2时，g(t)mi„=g(a)=-3-a-=-6,

解得a=V3;

当aZ2H、j,g（Omi„=g（2）=l-4a=-6,

7

解得（舍）；

4

综上，实数a的值为-2或石.

18.为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导.根

据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量V（千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千

克）之间的对应数据如下.

X（千克）24568

y（千克）300400400400500

（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合歹与x的关系，请计算相关系数厂并加以说明

（若卜|>0.75,则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；

（2）求「关于x的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的

增加量约为多少千克？

附：相关系数公式r=//“，参考数据：V10«3.16.

力■<）（乂-3）

回归方程$=卜+£中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为6=J——,

纷-X）

然后利用公式求出相关系，再作判断即可,

（2）根据线性回归方程公式求出回归方程，然后将x=15代入回归方程中可求得西红柿亩产

量的增加量

2+4+5+6+8=

【详解】解：（1）由已知数据可得尤=------------=5,

5

300+400+400+400+500i

y-----------------------=400,

5

所以£(为一，(匕一力)=(-3)x(-100)M-1)x0+0xO+1xO+3xlOO=60C,

2+02+12+32=26,

22222

yi-y(-100)+0+0+0+100=100A/2,

6003

所以相关系数r=i=l0.95

如祗20。。后4o

因为r>0.75,所以可用线性回归模型拟合J与x的关系.

600

(2)b==方=3°，“=400-5x30=250,

所以回归方程为y=30x+250.

当x=15时，^=30x15+250=700，

即当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿由产量的增加量约为700千克.

19.已知数列｛4｝为等差数列，S“是数列｛/｝的前〃项和，且々=3,$5=25,数列也｝满

足a%+a2b2H---hanbn=(2〃-3)x2"+3.

⑴求数列｛““｝、也｝的通项公式；

(2)令c“=；,证明：ct+c2+---+cn<6.

n

【正确答案】bn=2-'

(2)证明见解析

【分析】(1)利用等差数列基本量代换求出%=2〃-1,利用前”项和的定义求出£=2"T；

(2)用错位相减法求和后即可证明.

【详解】(1)设等差数列｛《,｝的公差为4.

电=%+d=3

因为g=3,Ss=25,所以5x4,

Ss=5at+—^-d=25

解得:，所以=at+（n-l）J=2n-1.

因为数列｛〃｝满足岫+a2b2+-+a„b„=（2〃-3）x2"+3,

所以〃=1时，有她=（2xl-3）x?+3=l,解得.4=1

n

当“22时,anb„=［（2n-3）x2"+3］-［（2n-5）x2"''+3］=（2»-1）x2-',

因为a“=2〃-lx0,所以W=2"T.

经检验，〃,=2"T对〃=1也成立，所以4=2"。

（2）由⑴知，g=去=段记是数列｛q,｝的前〃项和.

则=q+c2+…+%+•①，

①式同乘以/得：1=*+*++岁②，

汨112222/7-1

①-②得：/=m+凄+尹++西--

所以7；=2+2x

2

2〃+3

因为〃eNL所以亍->0,所以］=6-亍］<6.

20.2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功

夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6:5惊险战胜日本女足，其中

门将朱铉两度扑出日本队员的点球，表现神勇.

(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三

个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即

使方向判断正确也有g的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在

前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；

(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训

练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地

随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第〃次传球之

前球在甲脚下的概率为P“,易知月=1,2=0.

①试证明为等比数列；

②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为或，比较四。与杀的大小.

【正确答案】（1）分布列见解析，E（X）=；

（2）①证明见解析；②Pm<%。

【分析】（1）先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望;

（2）递推求解，记第〃次传球之前球在甲脚下的概率为H，则当〃22时，第n-l次传球

之前球在甲脚下的概率为K，满足P.=P,i•0+（1-Pi）•；=+；.

【详解】（1）解析1:分布列与期望

依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为P=!x!x3xg=:，

3326

门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0,1,2,3,

P(X=0)=仔⑶啜P(X=1)=C；

P（X=2）=双品目椅P（X=3）金（品目噎,X的分布列为:

X0123

1252551

P

2A6五72216

=—125+lx—25+2x—5+3x—1=1

21672722162

（1）解析2：二项分布

依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为P=!x!x3xg=g,门将在前三次扑出点球

3326

的个数X可能的取值为0,1,2,3,易知尸（丫=心=以、（£|\图"

*=0,1,2,3.X的分布列为:

X0123

1252551

P

2?67272216

期望E（X）=3xJ=!.

62

（2）解析：递推求解

①第〃次传球之前球在甲脚下的概率为P“，则当"N2时，第n-1次传球之前球在甲脚下的

概率为P”T，

第n-1次传球之前球不在甲脚下的概率为1-Pi,则p„=P,i-0+（1-Pi）•；=Pi+；，

从而=-。厂力，又•..,1｝是以抄首项.公比为的等比数

列.

②由①可知p.m+",外=捐）+汨,如=。外）>；,故

21.已知等比数列｛q｝的各项均为正数，2%,%，4%成等差数列，%=4嫉，数列｛4｝

的前〃项和S“=%*2（〃eM）,且4=1.

（1）求｛%｝和｛2｝的通项公式；

⑵设'”=卜eTV-）,记数列｛%｝的前〃项和为4..求证.4<:

也〃+1-1乂。2〃+1+1）2

【正确答案】（1）%"

⑵证明见解析

【分析】⑴设等比数列｛%｝的公比为夕>0,由2%,%，44成等差数列，解得/由4=4〃；,

利用通项公式解得6,可得%.由数歹（I｛b,,｝的前〃项和S“=券”（"eM）,且4=1,〃2时,

bn=S„-Sn_l,化简整理即可得出“；

（2）c_（2"4）・（/_11,利用裂项求和方法、数列的单调性即可证明结论.

"2"Q+2）n-2"（"+1>2""

【详解】（1）设等比数列｛为｝的公比为g>0,2%,%,44成等差数列,

2。4=2。5+4。6,即%=7•g+Mld,化为：212+夕-1=0,解得夕==5,

2

aA=4aj,：.q=4a,,gp|=4xa,x(i-),解得q=g,

数列也,｝的前“项和S,="与("eM),且3=1,

■■n2时，b.==("，％_'如,化为：3=A_!^,

22nn-\

4=i-•'■数歹u｛久｝是每项都为i的常数列，

1n

.■■—=1,化为6,=".

n

、由日⑵，+4)・。”,.

(2)证明：