第7讲 基本不等式（学生版）-高一数学同步讲义

第2课基本不等式

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课程标准课标解读

1.掌握重要的不等式、基本不等式（均

值不等式）的内容，成立条件及公式

通过本节课的学习，要求掌握基本不等式成立的条件，

的证明.

运用基本不等式这一重要的工具解决与最值有关的问

2.利用基本不等式的性质及变形求相关

题，会用基本不等式解决简单问题的证明.

函数的最值及证明.

视知识精讲

宗知识点01重要的不等式

22

如果a,beR,^a+b>2ab（当且仅当a=b时取等号“=”）.

推论：ab工生士（a,beR）.

2

【微点拨】1.公式适用于任何实数范围；2.当且仅当a=b时取等号“="；3.公式来源于（a+0）220.

【即学即练1】下列不等式恒成立的是（）

A.a1+Z?2„2abB.a2+b2...-2abC.〃+A.2、ab|D.a+b,,2J|ab|

【即学即练2］已知a、b、ceR,a+h+c=2.证明：a2+b2+c2>-.

3

£知识点02基本不等式

如果a>0,。>0,则a+0N2而，（当且仅当a=力时取等号"=”）.

比,人/6?+Z?2z八八、ci+/?~a+b2

推论：ah<(----)(a>0,b7>0)；------->(-----).

222

2a+ba2+b2

<\fab<(tz>0,/?>0)

变形：1―r

一+一

ab

【微点拨】基本不等式2兄3>o,b>0)

(1)不等式成立的条件：明人都是正数.

(2)“当且仅当”的含义：

a-\-ba~\-b

①当。=〃时，2K麻的等号成立,即a=b=2

②仅当时，2的等号成立,即2=y［^na=b.

(3)区分均值不等式和重要不等式的成立条件

【即学即练31下列函数中最小值为2的函数是()

f+3D.y=ex+-^-—2

A.y=x+—B.y=(A:>1)C.y=

x6+2

【即学即练4］若。>0,b>0,则下面结论正确的有()

A.2(a2+b2)<(a+b)2B.若，+g=2,则a+b>^

C.若ab+及=2,则。+人之4D.若。+8=1,则必有最大值,

2

宗知识点03利用基本不等式求最值问题

f如识拓展】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一

些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式中，同时含有两个变量的和与

积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解.

注意：形如y=x+2(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的增减

性来求解.

【即学即练5］若尤>1,则无+」一的最小值等于()

x-1

A.0B.1C.2D.3

14

【即学即练6】已知。>0,6>0,〃+b=4,则他的最大值是—,上+；的最小值是

ab

【即学即练7】已知％,ywR,x2-xy+9y2=1,贝ijx+3y的最大值为.

知识点04利用基本不等式证明问题

【即学即练8]已知x>0,y>0,x+y=l,证明：

114

⑴寸寸；

(2)工+上」.

x+1y+13

Q能力拓展

考法01

最值问题：(1)在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件."一正''是说每个项都必

须为正值，"二定''是说各个项的和(或积)必须为定值."三相等''是说各项的值相等时，等号成立.

(2)多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性.

4

【典例1】•函数)=%+——的最小值为

4

【典例2].若x>0,贝IJ2-3%——()

x

A.有最大值2-4百B.有最小值2-46

C.有最大值2+46D.有最小值2+4百

考法02

基本不等式的运用：1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用

基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也

可乘上一个数或加上一个数，"1”的代换法等.

2.利用基本不等式解决实际问题时的一般步骤为：

(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值;

(4)正确写出答案.

【典例3】利用基本不等式证明：已知b、。都是正数，求证：(a+b)S+c)(c+a)28abe

【典例4】若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是()m2

A.5B.10C.20D.25

Q

【典例5】已知不等式2x+，〃+——〉0对一切兀6(1,+8)恒成立，则实数加的取值范围是()

X—1

A.m<-8B.m<-10C.m>-8D.7n>-10

【典例6】若两个正实数满足」+，=2,且不等式x+y<m2-m有解，则实数加的取值范围是()

xy

A.(-1,2)B.(-4,1)C.(-oo,-l)52,+oo)D.(-w,-l)u(4,+oo)

【典例7】若直线二+g=l(a>0,b>0)过点(1,2)厕2a+b的最小值为.

ab

fii分层提分

题组A基础过关练

,1

1.已知x/0,那么函数丁=/+=有（）

X

A.最大值2B.最小值2C.最小值4D.最大值4

2.已知Q>0,Z?>0,若a+4b=4ab,则a+b的最小值是（)

5

A.2B.V2+1C・1D.-

2

3.已知a>0,b>0,且。+8=1,则当7的最大值为（）

3391

A.—B.-C.—D.-

108283

4.【2019年高考浙江卷】若a>0,/?>0,则“a+》V4”是“必44”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.若正数x,y满足x+3y=5Q，当3x+4y取得最小值时，x+4y的值为（）

A.2B.3C.4D.5

6.中国宋代的数学家秦九韶曾提出''三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a/,c,三

角形的面积S可由公式5=，0（0-。）（0一份（〃一0）求得,其中〃为三角形周长的一半，这个公式也被称

为海伦一-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足。+匕=10,。=6,则此三角形面积的最大值为（）

A.10B.12C.14D.16

7.已知x>0,y>0,且x+3y=L-~L,则y的最大值为（）

yx

1

A.1B.一C.2D.-

23

8.已知正数。，b是关于x的方程/-(病+2m+9卜+加二=0的两根，则4+工的最小值为（）

ab

A.8B.4C.9D.6

题组B能力提升练

1.已知实数a>0,b>0,且满足（。一1）（。-1）=4,则下列说法正确的是（)

A.ab有最小值B.ab有最大值

C.有最小值D.有最大值

2.设。>0,h>0,给出下列不等式恒成立的是（）

A.a2+l>aB.a2+9>6a

C-（KM*）"D--I"

3.下列说法正确的有（）

X24-1

A.y的最小值为2

X

4

B.已知x>l,则y=2x+-------1的最小值为4&+1

x-l

C.若正数X、>满足x+2y=3孙，则2x+y的最小值为3

D.设X、>为实数，若9/+产+呼=1,则*+y的最大值为手I.

4.下列说法不正确的是（）

A.若x,y>0,满足x+y=2,则2、+2，的最大值为4

B.若x<L,则函数y=2x+」一的最小值为3

22x-l

C.若O<X<1,则函数y=4+J=的最小值为2

14

D.函数y=—「+——式的最小值为9

sinxcosx

41

5.若两个正实数满足一尸+下且«+4方>/一6帆恒成立，则实数加的取值范围

yjy

是.

6.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y（单位：万元）与机器

运转时间x（单位：年）的关系为）=一3+18x—25（x6N*）,则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值

是万元.

(x+l)(2y+l)

7.【刈9年高考天津卷理数】设x>°,y〉°,x+2y=5'则一^-的最小值为

<^20h~

8.已知。>0,匕>0,a(\-a)+(a-b)2=a3+b\则*—+*_的最小值为