2022年北京市高考数学试题(解析版)

绝密★本科目考试启用前

2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学

本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在

试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中,

选出符合题目要求的一项.

1.己知全集U={x|-3<x<3},集合4={x|-2<xWl},则&/=（）

A.(-2,1]B.(-3,-2)U[l,3)C.[-2,1)

（-3,-2]U（l,3）

【答案】D

【解析】

【分析】利用补集的定义可得正确的选项.

【详解】由补集定义可知：CM={x|-3<xW-2或l<x<3},,即CM=（-3,-2]U（1,3）

故选：D.

2.若复数z满足i-z=3—4i,则|z|=（）

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数四则运算，先求出z,再计算复数的模.

故选：B.

3.若直线2x+y-l=0是圆（》一。）2+丁2=1的一条对称轴，则。=（）

【答案】A

【解析】

【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解.

【详解】由题可知圆心为因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即

第1页，共18页

2tz+O-l=0T解得

2

故选：A.

4.己知函数/(%)=不二，则对任意实数达有()

1+2

A./(-x)+/(x)=0B./(-x)-/(x)=0

C./(-x)+/(x)=lD./(—X)一/*)=(

【答案】C

【解析】

【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误.

11V1

【详解】f(-x)+/(x)=—!—+—!—=-^—+—!—=l.故A错误，c正确:

')')l+2-v1+2、1+2、1+2V

/(—x)—-------.....L_=m=i__二，不是常数，故BD

八)」\)1+2-、1+2、1+2、1+2、2'+12'+1

错误；

故选：C.

5.已知函数/(x)=cos2x-sin2%,贝ij(

(717l\/7T71\

A./(x)在一二，一二上单调递减B."X)在一I，五J上单调递增

I26)

C./(X)在(0,?)上单调递减

D./(x)在五上单调递增

【答案】C

【解析】

【分析】化简得出/(x)=cos2x,利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.

【详解】因为/(x)=cos2x-sin2x-cos2x.

对于A选项，当—5<x<—时，—乃<2x<—§,则/(x)在］—■^,-7)上单调递增，

A错；

对于B选项，当一工<x<三时，一生<2x〈生，则”X)在(一£,二］上不单调，B错;

41226V7I412；

对于C选项，当0<x<。时，0<2x〈当，则/(x)在(0,上单调递减，C对；

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对于D选项，当三<》<2三时，—<2x<,则/(x)在上不单调，D错.

41226<412J

故选：C.

6.设｛4,｝是公差不为0的无穷等差数列，贝心｛4｝为递增数列”是“存在正整数N。，当

〃>乂时,an>0”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】设等差数列｛%｝的公差为d,则drO,利用等差数列的通项公式结合充分条件、

必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】设等差数列｛叫的公差为d,则doO,记［x］为不超过x的最大整数.

若｛%｝为单调递增数列，则d〉0,

若则当〃22时，a„>«,>0；若％<0,则=q,

由=q+(〃-l)d〉0可得〃>1一工，取N()=1-3+1,则当〃〉N。时，>0,

dL〃_

所以，“｛%｝是递增数列“n"存在正整数No，当〃〉N0时，%>0"：

若存在正整数N。，当〃〉N0时，an>0,取％eN'且左>N0,ak>0,

假设d<0,令。“=《+(〃-%)4<0可得〃>左一幺，且左一%>左，

dd

当〃>kq+1时，<0,与题设矛盾，假设不成立，则d>0,即数列｛%｝是递增

数列.

所以，“｛4｝是递增数列”u“存在正整数N。，当〃〉N0时，/>0”.

所以，“｛为｝是递增数列''是"存在正整数N。，当〃>N0时，％〉0”的充分必要条件.

故选：C.

7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，

为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与7和1g2的关

系，其中7表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是()

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A.当7=220,尸=1026时，二氧化碳处于液态

B.当7=270,0=128时，二氧化碳处于气态

C.当7=300,P=9987时，二氧化碳处于超临界状态

D.当7=360,尸=729时，二氧化碳处于超临界状态

【答案】D

【解析】

【分析】根据「与1g尸的关系图可得正确的选项.

【详解】当T=220,P=1026时，lgP>3,此时二氧化碳处于固态，故A错误.

当7=270,尸=128时，2<lgP<3,此时二氧化碳处于液态，故B错误.

当7=300,P=9987时，IgP与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，

另一方面，7=300时对应的是非超临界状态，故C错误.

当7=360,P=729时，因2<lgP<3,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.

故选：D

4432

8.(2x-1)=a4x+a3x+a2x+axx+aa,则4+%+%=()

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

【解析】

【分析】利用赋值法可求4+%的值•

【详解】令X=1,则。4++。0=1，

令x=—1,则为—4+4―q+"o=(—3)=81,

,.1+81..

故。4+&+ao=~-=41,

故选：B.

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9.已知正三棱锥尸-N8C的六条棱长均为6,S是AZBC及其内部的点构成的集合.设集

合T={QeS|PQ45},则T表示的区域的面积为（）

3兀_

A.—B.〃C.2%D.3万

4

【答案】B

【解析】

【分析】求出以尸为球心，5为半径的球与底面48C的截面圆的半径后可求区域的面积.

设顶点尸在底面上的投影为O,连接30,则。为三角形/8C的中心,

且8O=2X6X@=2G，故尸0=。36-12=2痣.

32

因为尸。=5,故。。=1,

故S的轨迹为以。为圆心，1为半径的圆，

而三角形内切圆的圆心为0,半径为2x1x36：],

故S的轨迹圆在三角形Z8C内部，故其面积为乃

故选：B

10.在ANBC中，NC=3,8C=4,NC=90°.P为ANBC所在平面内的动点，且PC=1,

则万•丽的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

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【解析】

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设P（cos仇sin。），表示出苏，PB，根据数量积

的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系,则洋（0,0）,4（3,0）,5（0,4）,

因为尸。=1,所以尸在以。为圆心，1为半径的圆上运动，

设P（cos9,sin。）,0e[O,2^],

所以尸4=（3—cos。,一sin。）,PB-（一cos。,4一sin。）,

所以PAPB=（一cos0）x（3-cos。）+（4-sin^）x（-sin。）

=cos20-3cos。-4sin夕+sin?夕

二1一3cose-4sin。

./\34

=1—5sin（6+o）,其中sin*=y,cos（p=—,

因为一14sin（e+e）41,所以TWl-5sin（e+/）W6,即万.丽w[—4,6]；

故选：D

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数[（x）=1+J匚嚏的定义域是.

X

【答案】（f,0）3。』

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【解析】

【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可;

(、1/---1—xN0

【详解】解：因为/(x)=—+J匚所以〈八，解得且XHO,

v7x[xw0

故函数的定义域为(-＜&o)u(o』；

故答案为：(―OC,0)D(0,1]

12.已知双曲线/+工=1的渐近线方程为y=±@x，则山=.

m3

【答案】-3

【解析】

【分析】首先可得小＜0,即可得到双曲线的标准方程，从而得到。、b,再跟渐近线方程

得到方程，解得即可；

22

【详解】解：对于双曲线_/+二=1,所以加＜0,即双曲线的标准方程为V—工=1,

m-m

则4=1,b=Q，又双曲线产+上=1的渐近线方程为y=±Ylx，

m3

所以@=也，即_==立，解得加=一3；

b3yj-m3

故答案为：—3

13.若函数/(x)=/sinx-抬'cosx的一个零点为?，则/=；

/田=

【答案】①.1②.-V2

【解析】

TT7T

[分析]先代入零点,求得A的值,再将函数化简为/(%)=2sin(x-,代入自变量x=0,

计算即可.

【详解】•.•/(')=曰/一日=0，，/=1

/.f(x)=sinx-V3cosx=2sin(x--)

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故答案为：1,-V2

-ax+1,x<a,

.0若“X)存在最小值，则〃的一个取值为________；a

)(x-2),x>a.

的最大值为.

【答案】①.0(答案不唯一)②.I

【解析】

【分析】根据分段函数中的函数y=-ax+l的单调性进行分类讨论，可知，。=0符合条件,

。<0不符合条件，。〉0时函数>=-依+1没有最小值，故/(X)的最小值只能取y=(x-2)2

的最小值，根据定义域讨论可知+120或+12(4—2)2,解得0<。《]

1<0

【详解】解：若。=0时，/(》)=｛/X、八，，/(X)min=0：

(x-2),x>0

若。<0时，当x<a时，/(x)=-ax+l单调递增，当时，f(x)-oo,故/(x)没

有最小值，不符合题目要求；

若。>0时，

当时，/(x)=-ox+l单调递减，f(x)>f(a)=-a2+1,

,、,0(0<a<2)

当x>a时，/(x)=｛

min(iz-2)2[a>2)

•••-/+120或-/+1»("2)2,

解得0<aWl,

综上可得0WaW1；

故答案为：0(答案不唯一)，1

15.己知数列｛4｝各项均为正数，其前八项和S”满足a,「S“=9(〃=l,2「一).给出下列四

个结论：

①｛叫的第2项小于3：②｛叫为等比数列；

③｛4｝为递减数列；④｛%｝中存在小于击的项.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③④

【解析】

99

【分析】推导出《,=--------,求出%、4的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利

4%

用数列单调性的定义可判断③.

第8页，共18页

【详解】由题意可知，X/neN*，。〃>0，

当〃=1时，a；=9,可得q=3；

9999

当〃22时，由S〃二一可得S,“=——,两式作差可得见=--------,

册%%区1

999

所以，--------an,则----。2=3,整理可得+3%-9=0,

。〃一1Q〃a2

因为。2>0,解得%=W|二2<3,①对；

81

假设数列｛4｝为等比数列，设其公比为久则W—，艮0---

所以，S；=S\Sy可得％2（l+q）2=a；（l+q+q2）,解得q=0,不合乎题意,

故数列｛/｝不是等比数列，②错；

999（a,-a,｝>

当〃之2时，4=-------=-^n~^>0,可得%<%_1,所以，数列｛（/｝为递减数

列，③对；

假设对任意的〃eN*，4之击，则Booo。。.=1000,

_991

<

所以，^100000=7~~To6oloo,与假设矛盾，假设不成立，④对•

3looooo

故答案为：①③④.

【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法

来进行推导.

三、解答题共6小愿，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.在AZBC中，sin2C=^3sinC-

(1)求NC；

（2）若6=6,且AZ8C的面积为6G，求的周长.

【答案】（1）7

（2）6+68

【解析】

【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cosC的值，结合角C的取值范围可求得角C

的值；

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（2）利用三角形的面积公式可求得。的值，由余弦定理可求得C的值，即可求得AZBC的

周长.

【小问1详解】

解：因为Ce（O,%）,则sinC〉O,由已知可得百5沦。=25由。85。，

可得cosC=43,因此，C=-.

26

【小问2详解】

解：由三角形的面积公式可得S“sc=；absinC=|a=6jJ,解得Q=4\Q.

由余弦定理可得C?=a2+b2—2abcosC=48+36—2X4A5X6X*=12，.・.c=2百，

所以，A/IBC的周长为a+6+c=61^+6.

17.如图，在三棱柱中，侧面5CC圈为正方形，平面8CG4_L平面,

AB=BC=2,M,N分别为44，NC的中点.

（1）求证：MN〃平面BCG4；

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求直线与平面8MV所成角

的正弦值.

条件①：AB工MN；

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（1）取48的中点为K,连接MK,NK,可证平面MKN〃平面CBqG,从而可

证MV7/平面

（2）选①②均可证明，平面力8C,从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空

第10页，共18页

间向量可求线面角的正弦值.

【小问1详解】

取的中点为K,连接MK,NK,

由三棱柱ABC-48c可得四边形ABB出为平行四边形，

而B]M=M4,BK=K4,则MK//BB、,

而"K«平面CBB£,BB}u平面CBB©,故MKH平面CBBG,

而CN=NA,BK=KA,则NK//BC,同理可得“〃平面，

而NKCMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKN〃平面C68G,而A/Nu平面MKN,故MN〃平面

【小问2详解】

因为侧面CBB£为正方形，故CB1BB],

而C8u平面CBBg,平面CBB©1平面ABB,A},

平面CBBgc平面ABB,Ay=BB],故C8，平面ABB}A},

因为NKHBC,故NK工平面ABB.A,,

因为平面/3月4,故NK工AB,

若选①，则力而NK工4B,NKCMN=N,

故N8_L平面MVK,而MKu平面M7VK,故/8_LMK，

所以而CBLBBi，CBcAB=B,故平面Z8C,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则3(0,0,0),N(0,2,0),N(l,l,0),M(0』,2),

故而=(0,2,0),丽=(1,1,0),丽=(0,1,2),

设平面BNM的法向量为n=(xj,z),

〃•BN-0fx+y=0

则＜____.，从而＜；八，取z=—l,则〃=(-2,2,-1),

n-BM=0[y+2z=0

设直线Z8与平面8NM所成的角为。，则

42

sing=cos(n,AB

273-3

若选②，因为NK〃8C,故"_L平面N8用4，而KA/u平面MKN,

故.NK上KM,而B'M=BK=l,NK=l,故B、M=NK,

而=MK=2,MB=MN,故ABB、MNAMKN,

第11页，共18页

所以=NMKN=9(T,故A}B,±BB},

而C8_L881,CBc4B=B,故64_1平面Z8C,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则3（0,0,0）,4（0,2,0）,N（l,1,0）,M（0,1,2）,

故初=(0,2,0),丽=(1,1,0),俞=(0,1,2),

设平面BNM的法向量为〃=（x,y,z）,

行•丽=0x+y=0

则《_____.，从而，取z=T则3=(-2,2,-1),

n-BM=0y+2z=0

设直线AB与平面BNM所成的角为6,则

4_2

sineosin,AB

。=M-3

18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含

9.50m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙

以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,935,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙:9.85,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.

（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

（2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E

（X）；

（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证

第12页，共18页

明）

7

【答案】（1）0.4（2）-

（3）丙

【解析】

【分析】（1）由频率估计概率即可

（2）求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.

（3）计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断内夺冠的概率估

计值最大.

【小问1详解】

由频率估计概率可得

甲获得优秀的概率为0.4,乙获得优秀的概率为0.5,丙获得优秀的概率为0.5,

故答案为0.4

【小问2详解】

设甲获得优秀为事件4,乙获得优秀为事件在，丙获得优秀为事件4

------3

P[X=0）=P（4A2A3）=0.6X0.5x0.5=—,

尸（X=1）=尸（4耳㈤+4）+）

P（AXA2

8

=0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=—，

20

p（x=2）=p（444）+p（444）+尸（444）

7

=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=—，

20

2

P{X=3）=尸（444）=0.4X0.5X0.5=—.

【小问3详解】

丙夺冠概率估计值最大.

第13页，共18页

因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为,，甲获得9.80

4

的概率为-L,乙获得9.78的概率为并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数

106

越多，对丙越有利.

22

19.已知椭圆：E：0+q=l（a>b〉0）的一个顶点为工（0,1），焦距为26.

a'b"

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点尸（-2,1）作斜率为々的直线与椭圆E交于不同的两点8,C,直线N8,NC分别与

x轴交于点"，N,当|MN|=2时，求人的值.

r2

【答案】⑴—+/=1

4'

（2）k=—4

【解析】

6=1

【分析】（1）依题意可得<2C=26,即可求出。，从而求出椭圆方程；

c2^a2-b2

（2）首先表示出直线方程，设8（匹,乂）、C（x2,y2）,联立直线与椭圆方程，消元列出韦

达定理，由直线/8、2c的方程，表示出XM、根据恢处|=|七丫一七“|得到方程，解

得即可；

【小问1详解】

解：依题意可得b=l,2c=26,又

2

所以a=2,所以椭圆方程为二+/=1；

4

【小问2详解】

解：依题意过点尸（一2,1）的直线为>一1=左（％+2）,设8（西,弘）、。伍，力），不妨令

-2<%,<x2<2,

k]=攵（工+2）

由<422，消去V整理得（1+4左+06左2+8左）%+16左2+16左=0,

lT+y=1

所以A=（16左2+8左『―40+4左2）（16左2+16左）>0,解得左<0，

第14页，共18页

谢］“16K+8k16左2+16攵

X，X

所以X］+=——j妹2］2

'1+4公

直线”3的方程为^一1=匕］%，令夕=0,解得x.”=产

x,1一必

直线ZC的方程为N—1=为二》，令y=0,解得％=产

超J%

X

所以|跖^=品-%=if2____iX

x2xx

1-［爪+2）+1「1-［左卜］+2）+1］

42।X

-左(超+2)氏(再+2)

（x2+2）M-马（再+2）

k（x2+2）（项+2）

2|%72

|矶工2+2）（XI+2）

所以上一引=附(》2+2)(X］+2),

2

即J（玉+x2）-4X1X2=冏［々玉+2（X2+XJ+4］

16左2+8左1,16左2+16左16左2+16左J16左2+8左、

---------丁-4x---------z—=网----------+2+4

1+4左2J1+4左21+4左2'1+4左2,

即

高）（2二+左）=（1+4公）仔+左）=黑r|）6/+16^-2

。6左2+8左卜4《+4左2

整理得8口=4网，解得左=一4

20.已知函数/(x)=e1n(l+x).

(1)求曲线y=/1)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)设g(x)=/'(x),讨论函数g(x)在［0,+o。)上的单调性；

(3)证明：对任意的s,7e(0,+oo),有/(s+f)>/(5)+/(。.

【答案】(1)歹=》

(2)g(x)在［0,+8)上单调递增.

第15页，共18页

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；

(2)在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；

(3)令皿x)=/(x+f)-/(x),(x,/>0),即证〃?(x)〉加(0),由第二问结论可知Mx)在

[0,+8)上单调递增，即得证.

【小问1详解】

解：因为/(x)=e'ln(l+x),所以/(0)=0,

即切点坐标为(0,0),

又/'(x)=e'(ln(l+x)+J-),

切线斜率左=/"(0)=1

二切线方程为：N=x

【小问2详解】

解:因为g(x)=f'(x)=e'(ln(l+x)+—L),

1+x

所以g'(x)=e'(ln(l+x)+------------)

1+x(1+x)2

1

令h(x)=ln(l+x)4----

1+xQ+X)2

.,122+1

则h(x)x=-----------7-H------r=-----r>0,

1+X(l+x)2(l+x)3(l+x)3

...〃(x)在［0,+oo)上单调递增,

h(x)>h(0)=1>0

g'(x)>0在［0,+8)上恒成立，

g(x)在［0,+8)上单调递增.

【小问3详解】

解：原不等式等价于f(s+/)-/(5)>/(/)-/(0),

令加(x)=/(x+/)-/(x),(x,t>0),

即证m(x)>w(0),

Vw(x)=/(x+/)-/(x)=ex+zln(l+x+z)-e'ln(l+x),

eA

m\x)=ev+,ln(l+x+f)+-------erln(l+x)-----=g(x+t)~g(x)，

1+x+f1+x

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由(2)知g(x)=/i'(x)=e*(ln(l+x)+—L)在［0,+oo)上单调递增，

1+x

二g(x+O>g(x),

m(x)>0

.•・W(x)在(0,+8)上单调递增，又因为X,f>0,

•••m(x)>m(0),所以命题得证.

21.已知。：％,。2,…,为为有穷整数数列.给定正整数，"，若对任意的〃e{l,2,…,〃?},在

a

Q中存在q,4+1,q+2，…，>0),使得《+aM+《+2+…+i+j=〃，则称0为，"一连

续可表数列.

(1)判断。：2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；

(2)若。：6,。2,…，/为8-连续可表数列，求证：人的最小值为4；

(3)若…为20-连续可表数列，且6+。2+…+%<20,求证：k>l.

【答案】(1