中值定理及导数应用

关于中值定理及导数应用一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理拉格朗日中值定理及中值公式§4.1中值定理第2页,共94页，2024年2月25日，星期天

一、罗尔定理xOyCx

设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标相等。ABaby=f(x)提问：f

(x)

？观察与思考：第3页,共94页，2024年2月25日，星期天罗尔定理：如果函数y

f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且有f(a)

f(b)，那么在(a,b)内至少在一点x

，使得f

(x)

0。

简要证明：(1)如果f(x)=f(a)，则f

(x)

0，定理的结论显然成立的。

(2)如果有x

(a,b)，使f(x)

f(a)，不妨设f(x)

f(a)，则函数f(x)的最大值点x必在(a,b)内。于是因此必有f

(x)=0。第4页,共94页，2024年2月25日，星期天应注意的问题：

如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。xOyABf(x)不满足条件(1)abxOyABf(x)不满足条件(3)abxOyABf(x)不满足条件(2)abc罗尔定理：如果函数y

f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且有f(a)

f(b)，那么在(a,b)内至少在一点x

，使得f

(x)

0。第5页,共94页，2024年2月25日，星期天二、拉格朗日中值定理观察与思考：

设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标不相等。

f

(x)

？，f

(h)

？提问：直线AB的斜率k=？答案：

f

(x)

f

(h)

k，C2hxOyABaby=f(x)C1xf(b)

f(a)

f

(x)(b

a)。f(b)

f(a)

？

第6页,共94页，2024年2月25日，星期天

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点x，使得

f(b)

f(a)

f

(x)(b

a)。拉格朗日中值定理的几何意义：拉格朗日中值定理：C2hxOyABaby=f(x)C1x第7页,共94页，2024年2月25日，星期天则函数j(x)在区间[a,b]上满足罗尔定理的条件，于是至少存在一点x

(a,b)，使j

(x)

0，即

简要证明：令由此得

f(b)

f(a)

f

(x)(b

a)。拉格朗日中值定理：

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点x，使得

f(b)

f(a)

f

(x)(b

a)。第8页,共94页，2024年2月25日，星期天f(b)

f(a)

f

(x)(b

a)，

f(x

Dx)

f(x)

f

(x

qDx)Dx(0<q<1)，

Dy

f

(x

qDx)Dx(0<q<1)。拉格朗日中值公式：拉格朗日中值定理：

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点x，使得

f(b)

f(a)

f

(x)(b

a)。第9页,共94页，2024年2月25日，星期天

定理如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。

证明：在区间I上任取两点x1，x2(x1<x2)，应用拉格朗日中值定理，就得

f(x2)

f(x1)

f

(x)(x2

x1)(x1<x<x2)。由假定，f

(x)

0，所以f(x2)

f(x1)

0，即

f(x2)

f(x1)。因此f(x)在区间I上是一个常数。第10页,共94页，2024年2月25日，星期天三、柯西中值定理

函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且F

(x)在(a,b)内恒不为零，那么在(a,b)内至少有一点x，使等式第11页,共94页，2024年2月25日，星期天二、洛必达法则一、未定式§4．2洛必达法则“零比零”型未定式的定值法：“无穷比无穷”型未定式的定值法：其它类型未定式的定值法：第12页,共94页，2024年2月25日，星期天一、未定式

在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在，

其它类型的未定式：0·

、

、00、1

、

0。

例如，下列极限都是未定式：00－或

－。这种极限称为未定式。这种类型的未定式记为第13页,共94页，2024年2月25日，星期天二、洛必达法则

定理如果函数f(x)与g(x)满足如下条件：

(1)当x

a时，函数极限都为零(或都为无穷大)；

(2)函数在点a的某去心邻域内都可导且g

(x)

0；(2)当|x|>N时f

(x)及F

(x)都存在且F

(x)

0；说明：在上述定理中，把x

a换成x

，把条件(2)换成结论仍成立。第14页,共94页，2024年2月25日，星期天“零比零”型未定式的定值法：第15页,共94页，2024年2月25日，星期天“零比零”型未定式的定值法：第16页,共94页，2024年2月25日，星期天“无穷比无穷”型未定式的定值法：第17页,共94页，2024年2月25日，星期天其它类型未定式的定值法：

未定式0

、

、00、1

、

0都可以转化为“零比零”型或“无穷比无穷”型未定式。第18页,共94页，2024年2月25日，星期天其它类型未定式的定值法：

未定式0

、

、00、1

、

0都可以转化为“零比零”型或“无穷比无穷”型未定式。第19页,共94页，2024年2月25日，星期天1．洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但最好能与其它求极限的方法结合使用。例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简捷。应注意的问题：第20页,共94页，2024年2月25日，星期天应注意的问题：2．本节定理给出的是求未定式的一种方法。当定理条件满足时，所求的极限当然存在(或为

)，但定理条件不满足时，所求极限却不一定不存在。所以不能用洛必达法则。但其极限是存在的：第21页,共94页，2024年2月25日，星期天一、函数单调性的判定法二、确定函数单调区间的步骤§4.3函数单调性的判定法第22页,共94页，2024年2月25日，星期天一、函数单调性的判定法观察与思考：函数单调增加函数单调减少

函数的单调性与导数的符号有什么关系？f

(x)>0f

(x)<0第23页,共94页，2024年2月25日，星期天观察结果：

函数单调增加时导数大于零，函数单调减少时导数小于零。函数单调增加函数单调减少f

(x)>0f

(x)<0一、函数单调性的判定法第24页,共94页，2024年2月25日，星期天函数单调性的判定法：

设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导。

(1)如果在(a,b)内f

(x)>0，则f(x)在[a,b]上单调增加；

(2)如果在(a,b)内f

(x)<0，则f(x)在[a,b]上单调减少。由拉格朗日中值公式，有

f(x2)=f(x1)+f

(x)(x2

x1)(x1<x<x2)。因为f

(x)>0，x2

x1>0，所以

f(x2)

f(x1)

f

(x)(x2

x1)>0，即f(x1)<f(x2)，这就证明了函数f(x)在(a,b)内单调增加。

证明：只证(1)。在(a,b)内任取两点x1，x2(x1<x2)，第25页,共94页，2024年2月25日，星期天说明：

判定法中的开区间可换成其他各种区间。函数单调性的判定法：

设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导。

(1)如果在(a,b)内f

(x)>0，则f(x)在[a,b]上单调增加；

(2)如果在(a,b)内f

(x)<0，则f(x)在[a,b]上单调减少。第26页,共94页，2024年2月25日，星期天

例1．判定函数y

x

sinx

在[0,2p]上的单调性。

解：因为在(0,2p)内

y

1

cosx>0，所以函数

y

x

sinx

在[0,2p]上的单调增加。函数单调性的判定法：

设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导。

(1)如果在(a,b)内f

(x)>0，则f(x)在[a,b]上单调增加；

(2)如果在(a,b)内f

(x)<0，则f(x)在[a,b]上单调减少。第27页,共94页，2024年2月25日，星期天二、确定函数单调区间的步骤讨论：

1．设函数y

f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，x1，x2是

f

(x)的两个相邻的零点，问f(x)在[x1,x2]上是否单调？

2．如何把区间[a,b]划分成一些小区间，使函数

f(x)在每个小区间上都是单调的？第28页,共94页，2024年2月25日，星期天(1)确定函数的定义域；

(2)求出导数f

(x)；

(3)求出f

(x)全部零点；

(4)判断或列表判断；

(5)综合结论。二、确定函数单调区间的步骤第29页,共94页，2024年2月25日，星期天

因为在(

,0)内y

<0，所以函数y

ex

x

1在(

,0]上单调减少；

因为在(0,

)内

y

>0，所以函数y

ex

x

1在[0,

)上单调增加。50551015xyy

ex

x

1

解：函数y

e

x

x

1的定义域为(

,

)。

y

e

x

1。

例2．讨论函数y

e

x

x

1的单调性。第30页,共94页，2024年2月25日，星期天3210123412yx

解：函数的定义域为(

,

)。所以函数在[0,

)上单调增加。

因为x>0时，y

>0，所以函数在(

,0]上单调减少；

因为x<0时，y

<0，第31页,共94页，2024年2月25日，星期天xf

(x)f(x)

例4．确定函数f(x)

2x3

9x2

12x

3的单调区间。

解：这个函数的定义域为(

,

)。

f

(x)

6x2

18x

12

6(x

1)(x

2)，导数为零的点为x1

1、x2

2。列表分析：

函数f(x)在区间(

,1]和[2,

)内单调增加，在区间[1,2]上单调减少。(

,1][1,2][2,

)↗↘↗＋－＋2101231086421234yxy

2x3

9x2

12x

3第32页,共94页，2024年2月25日，星期天xyO11y=x3说明:

一般地，如果f

(x)在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处均为正(或负)时，那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的。

例5．讨论函数y

x3的单调性。解：函数的定义域为x

0(

,

)。

y

3x2，当x

0时，y

0。因为当x

0时，y

>0。所以函数y

x3在区间(

,0]及[0,

)内都是单调增加的。因此函数在整个定义域(

,

)内是单调增加的。第33页,共94页，2024年2月25日，星期天0123x1yy=2x-(3-x1)

因为当x>1时，f

(x)>0，所以f(x)在[1,

)上f(x)单调增加。因此当x>1时，f(x)>f(1)=0，即第34页,共94页，2024年2月25日，星期天§4．4函数的极值与最值一、函数的极值及其求法极值的定义取得极值的必要条件、驻点取得极值的第一种充分条件确定极值点和极值的步骤取得极值的第二种充分条件第35页,共94页，2024年2月25日，星期天

设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x0

(a,b)．x1x2x3x4x5x6x7xyOaby=f(x)f(a)和f(b)是否为极值？

x

U(x0)，有f(x)<f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值；。如果

U(x0)，

x

U(x0)，有f(x)>f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一。。。如果

U(x0)，个极小值；一、函数的极值及其求法极值的定义：第36页,共94页，2024年2月25日，星期天

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点．

设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x0

(a,b)．

x

U(x0)，有f(x)<f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值；。如果

U(x0)，

x

U(x0)，有f(x)>f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一。。。如果

U(x0)，个极小值；函数的极值及其求法极值的定义：第37页,共94页，2024年2月25日，星期天取得极值的必要条件：观察极值与切线的关系：在极值点处，如果函数曲线有切线，则切线是水平的．xyOabx1x2x3x4x5x6x7y=f(x)第38页,共94页，2024年2月25日，星期天

定理1（必要条件）设函数f(x)在点x0处可导，且在x0处取得极值，那么f

(x0)

0．证明驻点：使导数为零的点(即方程f

(x)

0的实根)叫函数f(x)的驻点．应注意的问题：可导函数f(x)的极值点必定是函数的驻点．但反过来，函数f(x)的驻点却不一定是极值点．取得极值的必要条件：第39页,共94页，2024年2月25日，星期天

假定f(x0)是极大值，根据极大值的定义，在x0的某个去心邻域内，对于任何点x

，f(x)<f(x0)均成立．于是当x<x0时因此因此从而得到f

(x0)

0．<0,当x>x0时

极小值的情形可类似地证明．必要条件的证明：第40页,共94页，2024年2月25日，星期天

观察函数f(x)

x３在x

0处的导数与极值情况．xyOy=x3在x=0处，f

(0)

0.但函数在x=0无极值．第41页,共94页，2024年2月25日，星期天

定理2（第一种充分条件）设函数f(x)在点x0的一个邻域内连续，在x0的左右邻域内可导．

(1)如果在x0的某一左邻域内f

(x)>0，在x0的某一右邻域内

f

(x)<0，那么函数f(x)在x0处取得极大值；

(2)如果在x0的某一左邻域内f

(x)<0，在x0的某一右邻域内

f

(x)>0，那么函数f(x)在x0处取得极小值；

(3)如果在x0的左右邻域内f

(x)不改变符号，那么函数f(x)在

x0处没有极值．取得极值的第一种充分条件：第42页,共94页，2024年2月25日，星期天取得极值的第一种充分条件的几何意义：x1x2x3x4x5x6x7xyOaby=f(x)f

(x)<0f

(x)>0f

(x)>0f

(x)<0在极小值点附近在极大值点附近第43页,共94页，2024年2月25日，星期天确定极值点和极值的步骤：(1)求出导数f

(x)；

(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点；

(3)列表判断（考察f

(x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况，以便确定该点是否是极值点，如果是极值点，还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值）；

(4)确定出函数的所有极值点和极值．第44页,共94页，2024年2月25日，星期天

函数f(x)的极大值为f(

1)

10，极小值为f(3)

22．

例1

求函数f(x)

x3

3x2

9x

5的极值．

解(1)f

(x)

3x2

6x

9

3(x

1)(x

3)．(2)令3(x

1)(x

3)

0，得驻点x

1

1，x

2

3．(3)列表判断：(3,

)

22(

,

1)

1(

1,3)3f

(x)

00

f(x)10极大极小10123x2010yy=x3-3x2-9x+5第45页,共94页，2024年2月25日，星期天

例2

求函数f(x)

1

(x

2)2/3的极值．解(1)当x

2时，(2)函数无驻点，

x

2是导数不存在的点；(3)列表判断：

f

(x)f(x)(-

，2)2(2，+)+-不存在1极大值函数f(x)在x

2取得极大值，极大值为f(2)

1．101234x1yf(x)

1

(x

2)2/3第46页,共94页，2024年2月25日，星期天应注意的问题：

如果函数f(x)在驻点x0处的二导数f

(x

0)

0，那么点x0一定是极值点，并且可以按二阶导数f

(x0)的符来判定f(x0)是极大值还是极小值．但如果f

(x0)

0，定理3就不能应用．

定理2(第二种充分条件)

设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f

(x0)

0，f

(x0)

0，那么

(1)当f

(x0)<0时，函数f(x)在x0处取得极大值；

(2)当f

(x0)>0时，函数f(x)在x0处取得极小值．证明取得极值的第二种充分条件：第47页,共94页，2024年2月25日，星期天从而知道，对于这去心邻域内的x来说，f

(x)与x

x0符号相反．因此，当x

x0<0即x<x0时，f

(x)>0；当x

x0>0即x>x0时，f

(x)<0．于根据定理2，f(x)在点x0处取得极大值．

在情形(1)，由于f

(x0)<0，按二阶导数的定义有根据函数极限的局部保号性，当x

在x0的足够小的去心邻域内时，但f

(x0)

0，所以上式即

类似地可以证明情形(2)．第二种充分条件的证明：第48页,共94页，2024年2月25日，星期天讨论：函数f1(x)

x4，f2(x)

x3在点x

0是否有极值？f

1(x)4x3，f

1(0)

0，f

1(x)12x2，f

1(0)

0．当x<0时，f

1(x)<0；当x>0时，f

1(x)>0．f1(0)为极小值．f

2(x)3x2，f

2(0)

0，f

2(x)6x

，f

2(0)

0．f

2(x)

0，f2(0)不是极值．1012112xy101x1234y第49页,共94页，2024年2月25日，星期天(2)令f

(x)

0，求得驻点x1

1，x2

0，x3

1．

(3)f

(x)

6(x

2

1)(5x2

1)．

(4)因f

(0)

6>0，所以x

0为极小值点，极小值为f(0)

0．

(5)因f

(

1)

f

(1)

0，用定理3无法判别．

例3

求函数f(x)

(x2

1)3

1的极值．

解法一(1)f

(x)

6x(x2

1)2．同理，f(x)在1处也没有极值．

因为在

1的左右邻域内f

(x)<0，所以f(x)在

1处没有极值；2101x12yf(x)

(x2

1)3

1第50页,共94页，2024年2月25日，星期天f

(x)

f(x)(1)f

(x)

6x(x2

1)2．(2)令f

(x)

0，求得驻点x1

1，x2

0，x3

1．(3)列表判断：(-

，-1)-1(-1，0)0(0，1)1(1，+)-0-0++00无极值无极值极小值f(x)在x

0处取得极小值，极小值为f(0)

0．

例3

求函数f(x)

(x2

1)3

1的极值．

解法二第51页,共94页，2024年2月25日，星期天

二、最大值、最小值问题极值与最值的关系最大值和最小值的求法最大值和最小值的应用最大值、最小值问题特殊情况下的最大值与最小值第52页,共94页，2024年2月25日，星期天最大值、最小值问题极值与最值的关系：x1x2x3x4x5xyOaby=f(x)最大值：f(b)，最小值：f(x3)．

观察：第53页,共94页，2024年2月25日，星期天x1x2x3x4x5xyOaby=f(x)最大值：f(x4)，最小值：f(x3)．最大值、最小值问题极值与最值的关系：

观察：第54页,共94页，2024年2月25日，星期天

设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则函数的最大值和最小值一定存在．函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得，如果最大值不在区间的端点取得，则必在开区间(a，b)内取得，在这种情况下，最大值一定是函数的极大值．因此，函数在闭区间[a，b]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者．同理，函数在闭区间[a，b]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者．最大值、最小值问题极值与最值的关系：第55页,共94页，2024年2月25日，星期天

设f(x)在(a，b)内的驻点和不可导点(它们是可能的极值)为x1，x2，

···

，xn，则比较f(a)，f(x1)，f(x2)，

···

，f(x

n)，f(b)的大小，其中最大的便是函数f(x)在[a，b]上的最大值，最小的便是函数f(x)在[a，b]上的最小值．

求最大值和最小值的步骤：

(1)求出f(x)在(a，b)内的所有驻点和不可导点；

(2)求出函数在上述点处和区间端点处的函数值；

(3)比较上述函数值，找出最大的和最小的．最大值和最小值的求法：第56页,共94页，2024年2月25日，星期天

例1

求函数y

2x3

3x2

12x

14在[

3,4]上的最大值与最小值．

解f(x)

2x3

3x

2

12x

14，

f

(x)

6x2

6x

12

6(x

2)(x

1)，解方程f

(x)

0，得一x1

2，x2

1，由于

f(

3)

2(

3)3

3(

3)2

12(

3)

14

23；

f(

2)

2(

2)3

3(

2)2

12(

2)

14

34；

f(1)

2

3

12

14

7；

f(4)

2·43

3·42

12·4

14

142，比较可得f(x)在x

4取得它在[

3，4]上的最大值f(4)

142,在x

1取得它在[

3，4]上的最小值f(1)

7．第57页,共94页，2024年2月25日，星期天

例2

铁路线上AB段的距离为100km．工厂C距A处为20km，AC垂直于AB．为了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路．已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5．为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处？100kmDABC20km最大值和最小值的应用：第58页,共94页，2024年2月25日，星期天

解设AD

x(km)，则DB

100

x，100kmDABC20km

设从B点到C点需要的总运费为y，那么y

5k·CD

3k·DB(k是某个正数)，即第59页,共94页，2024年2月25日，星期天先求y对x的导数：，解方程y

0，得x

15(km)．其中以y|x

15

380k为最小，因此当AD

x

15km时，总运费为最省．

解设AD

x(km)，则DB

100

x，

设从B点到C点需要的总运费为y，那么y

5k·CD

3k·DB(k是某个正数)，即第60页,共94页，2024年2月25日，星期天

如果f(x)在一个区间(有限或无限，开或闭)内可导且只有一个驻点x0，并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点，那么，当f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x0)是极小值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值．特殊情况下的最大值与最小值：f(x0)Oa

x0

b

xy

f(x

)yf(x0)Oa

x0

b

xy

f(x

)y第61页,共94页，2024年2月25日，星期天

如果f(x)在一个区间(有限或无限，开或闭)内可导且只有一个驻点x0，并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点，那么，当f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x0)是极小值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值．特殊情况下的最大值与最小值：

应当指出，实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数f(x)确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得．这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻点x0，那么不必讨论f(x0)是否是极值，就可以断定

f(x0)是最大值或最小值．第62页,共94页，2024年2月25日，星期天

把一根直径为d

的圆木锯成截面为矩形的梁．问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量W

最大?其中d

hb

解b

与h

有下面的关系：

h2

d2

b2，

例3第63页,共94页，2024年2月25日，星期天

由于梁的最大抗弯截面模量在(0，d)内一定存在，而函数在(0，d)内只有一个驻点，W的值最大．这时，，于是有

把一根直径为d

的圆木锯成截面为矩形的梁．问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量W

最大?其中

解b

与h

有下面的关系：

h2

d2

b2，

例3第64页,共94页，2024年2月25日，星期天§4．5曲线的凹凸、拐点与渐近线曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸性曲线凹凸性的判定定理曲线的拐点确定曲线的凹凸性和拐点的步骤第65页,共94页，2024年2月25日，星期天曲线的凹凸性：那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)；定义设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1，x2，恒有曲线的凹凸与拐点x1

x2

yx

Of(x2)f(x1)y=f(x)x1

x2

yx

Of(x2)f(x1)y=f(x)第66页,共94页，2024年2月25日，星期天那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)．x1，x2，恒有曲线的凹凸性：那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)；定义设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1，x2，恒有曲线的凹凸与拐点

如果对I上任意两点第67页,共94页，2024年2月25日，星期天

连续曲线y

f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点．1012112xyy=x33210123xyy=sinx曲线的拐点：第68页,共94页，2024年2月25日，星期天yx

Oy=f(x)yx

Oy=f(x)

观察切线斜率的变化：曲线凹凸性的判定：第69页,共94页，2024年2月25日，星期天

定理设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有一阶和二阶导数，那么

(1)若在(a，b)内f

(x)>0，则f(x)在[a，b]上的图形是凹的；

(2)若在(a，b)内f

(x)<0，则f(x)在[a，b]上的图形是凸的．确定曲线的凹凸性和拐点的步骤：

(1)确定函数y

f(x)的定义域；

(2)求出在函数二阶导数f`

(x)；

(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点；

(4)判断或列表判断，确定出曲线凹凸区间和拐点；注：根据具体情况（1）（3）步有时省略．曲线凹凸性的判定：第70页,共94页，2024年2月25日，星期天

例1

判断曲线y

lnx

的凹凸性．解(1)函数y

lnx

的定义域为(0，

)；(3)因为当0<x<

时，y

<0，所以曲线y

lnx是凸的．

例2

判断曲线y

x3的凹凸性．解(1)函数y

x3的定义域为(

，

)；

(2)y

3x2，y

6x

；

(3)由y

0，得x

0；(4)判断：因为当x<0时，y

<0，所以曲线在(

，0]内为凸的；因为x>0时，y

>0，所以曲线在[0，

)内为凹的．第71页,共94页，2024年2月25日，星期天(

，0)(0，

)0f

(x)f(x)-+0

曲线在(

，0]内为凸的，在[0，

)内为凹的．(4)列表判断：

例1

判断曲线y

lnx

的凹凸性．解(1)函数y

lnx

的定义域为(0，

)；(3)因为当0<x<

时，y

<0，所以曲线y

lnx是凸的．

例2

判断曲线y

x3的凹凸性．解(1)函数y

x3的定义域为(

，

)；

(2)y

3x2，y

6x

；

(3)由y

0，得x

0；第72页,共94页，2024年2月25日，星期天

例3

求曲线y

2x3

3x2

2x

14的拐点．解(1)函数y

2x3

3x2

2x

14的定义域为(

，

)；第73页,共94页，2024年2月25日，星期天(4)列表判断：(

，-1/2)(-1/2，

)-1/2f

(x)f(x)-+0

41/2

例3

求曲线y

2x3

3x2

2x

14的拐点．解(1)函数y

2x3

3x2

2x

14的定义域为(

，

)；第74页,共94页，2024年2月25日，星期天

例4

求曲线y

3x4

4x

3

1的拐点及凹、凸的区间．解(1)函数y

3x4

4x

3

1的定义域为(

，

)；(4)列表判断：

(

，0)0(0，2/3)2/3(2/3，

)f

(x)

f(x)+0-0+

1

11/27在区间(

，0]和[2/3，

)上曲线是凹的，在区间[0，2/3]上曲线是凸的．点(0，1)和(2/3，11/27)是曲线的拐点．第75页,共94页，2024年2月25日，星期天

例5

问曲线y

x4是否有拐点？解y

4x3，y

12x2．当x

0时，y

>0，在区间(

，

)内曲线是凹的，因此曲线无拐点．(3)无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为x

0；

(4)判断：当x<0当，y

>0；当x>0时，y

<0．因此，点(0，0)曲线的拐点．

解(1)函数的定义域为(

，

)；．第76页,共94页，2024年2月25日，星期天§4．6函数图形的讨论（描绘）复习观察与思考描绘函数图形的一般步骤画图举例函数图形的描绘第77页,共94页，2024年2月25日，星期天f

(x)<0，曲线是凸的．1、函数的单调性与曲线的凹凸性xyO函数单调增加．曲线是凹的．y=f(x)f

(x)>0，f

(x)>0，abxyOy=f(x)ab函数单调增加．f

(x)>0，复习：函数图形的描绘第78页,共94页，2024年2月25日，星期天xyO函数单调减少．曲线是凹的．y=f(x)f

(x)<0，f

(x)>0，abxyOy=f(x)ab函数单调减少．曲线是凸的．f

(x)<0，f

(x)<0，1、函数的单调性与曲线的凹凸性复习：函数图形的描绘第79页,共94页，2024年2月25日，星期天xyOx1x2x3f(x3)(x2,f(x2))极大值极小值极小值点极大值点拐点y=f(x)f(x1)f

(x1)=0f

(x2)=0f

(x3)=02、极值点、极值与拐点第80页,共94页，2024年2月25日，星期天

观察函数的图形，在图形上有哪些关键的点？关键点的两侧(或两点间)曲线有什么特点？函数的图形有无渐近线？有无对称性？21012xy观察与思考：第81页,共94页，2024年2月25日，星期天21012xy

观察函数的图形，在图形上有哪些关键的点？关键点的两侧(或两点间)曲线有什么特点？函数的图形有无渐近线？有无对称性？观察与思考：第82页,共94页，2024年2月25日，星期天21012xy

观察函数的图形，在图形上有哪些关键的点？关键点的两侧(或两点间)曲线有什么特点？函数的图形有无渐近线？有无对称性？观察与思考：第83页,共94页，2024年2月25日，星期天2101212