(8)-二重积分的概念与性质

二重积分的概念与性质一、二重积分的概念1曲顶柱体的体积设有一立体,它的底是xOy面上的闭区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面z=f(x,y),这里f(x,y)0且在D上连续.这种立体叫做曲顶柱体.现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积.首先,用一组曲线网把D分成n个小区域：s1,s2,,sn.分别以这些小闭区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体.在每个si中任取一点(xi,hi),以f(xi,hi)为高而底为si的平顶柱体的体积为：f(xi,hi)si(i=1,2,×××,n).这个平顶柱体体积之和：可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值.为求得曲顶柱体体积的精确值,将分割加密,只需取极限,即其中l是个小区域的直径中的最大值.2.平面薄片的质量.设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D,它在点(x,y)处的面密度为r(x,y),这里r(x,y)0且在D上连续.现在要计算该薄片的质量M.用一组曲线网把D分成n个小区域s1,s2,×××,sn.把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量:r(xi,hi)si.各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值:将分割加细,取极限,得到平面薄片的质量其中l是个小区域的直径中的最大值.定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数.将闭区域D任意分成n个小闭区域s1,s2,×××,sn.其中si表示第i个小区域,也表示它的面积.在每个si上任取一点(xi,hi),作和.如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分,记作,即.f(xy)被积函数,f(xy)d被积表达式,d面积元素,xy积分变量,D积分区域,积分和.直角坐标系中的面积元素:如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D,那么除了包含边界点的一些小闭区域外,其余的小闭区域都是矩形闭区域.设矩形闭区域si的边长为xi和yi,则si=xiyi,因此在直角坐标系中,有时也把面积元素ds记作dxdy,而把二重积分记作其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素.二重积分的存在性:当f(x,y)在闭区域D上连续时,积分和的极限是存在的,也就是说函数f(x,y)在D上的二重积分必定存在.我们总假定函数f(x,y)在闭区域D上连续,所以f(x,y)在D上的二重积分都是存在的.二重积分的几何意义:如果f(x,y)0,被积函数f(x,y)可解释为曲顶柱体的在点(x,y)处的竖坐标,所以二重积分的几何意义就是柱体的体积.如果f(x,y)是负的,柱体就在xOy面的下方,二重积分的绝对值仍等于柱体的体积,但二重积分的值是负的.二.二重积分的性质性质1设c1、c2为常数则.性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和例如D分为两个闭区域D1与D2,则.性质3(s为D的面积).性质4如果在D上,f(x,y)g(x,y),则有不等式.特殊地.性质5设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大