应力状态强度理论和组合变性专家讲座

10.1应力状态10.2强度理论10.3组合变形第十章

强度理论与组合变形返回主目录1应力状态强度理论和组合变性专家讲座第1页拉压扭转弯曲FNymaxs=sCymaxtMToMymaxs压maxs拉Csmaxtmaxsmax截面应力危险点应力状态强度判据][maxtt£][][maxmax压压拉拉ssss££][][maxmax压压拉拉ssss££概述10.1应力状态返回主目录2应力状态强度理论和组合变性专家讲座第2页组合变形：问题：危险点应力状态？强度判据？承受组合变形构件eFBA(a)钻床立柱弯扭组合压弯组合MACFT2(b)皮带传动轴BDFT1返回主目录3应力状态强度理论和组合变性专家讲座第3页思绪：研究力平衡。设单元体厚度为1，有osxtxysytyxsataaanxba最普通状态：有s、s、t=t。xyxyyx问题:任意斜横截面上应力s

、t?aasx普通情况xysxsysytyxtxySFx=snabcosa+tnabsina-sxabcosa+tyxabsina=0SFy=snabsina-tnabcosa-syabsina+txyabcosa=010.1.1平面应力状态返回主目录4应力状态强度理论和组合变性专家讲座第4页注意到txy=tyx，解得：s

=s

cos2a+s

sin2a-2t

sinacosat

=(s

-s)sinacosa+t

(cos2a-sin2a)xyxyxyxynn利用cos2a=(1+cos2a)/2，sin2a=(1-cos2a)/2，sin2a=2sinacosa，得到平面应力状态下普通公式：

s、t是a角函数，a角是x轴与斜截面正法向n夹角，从x轴到n轴逆时针转动时，a为正。nnosxtxysytyxsataaanxbaatasssss2sin2cos22xyyxyxn--++=---(10-1)---(10-2)atasst2cos2sin2xyyxn+-=返回主目录5应力状态强度理论和组合变性专家讲座第5页

s是a函数，极值？n令ds/da=0，有：n在a=a

斜截面上，s

取得极值；且t=0。n0nosxtxysytyxsataaanxbaatasssss2sin2cos22xyyxyxn--++=atasst2cos2sin2xyyxn+-=任一截面应力02cos2sin2=+-atassxyyx---（10-3）---（10-4）yxxytgss2ta--=2010.1.2极限应力与主应力返回主目录6应力状态强度理论和组合变性专家讲座第6页10.1.2极值应力与主应力（10-1）式记tg2a

=x,有sin2a=

x/(1+x)cos2a=

1/(1+x)221/21/20代入(10-1)式：atasssss2sin2cos22xyyxyxn--++=sn取极值条件：yxxytgss2ta--=201ax)1(2x+=x}4)(22/)({2222xyyxxyyxyxntsstsssss+-+-±+=(10-5)式极值应力22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=þýü7应力状态强度理论和组合变性专家讲座第7页10.1.2极限应力与主应力注意到：tg2a0=tg(p+2a0)正应力取得极值角a

有两个，二者相差90

。即s

和s

分别作用在两相互垂直截面上。0maxmin主平面:剪应力为零平面。

a=a

时，t=0，故对应平面是主平面。主应力:主平面上正应力。故极值应力是主应力。0n(10-5)式极值应力22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=þýü极值应力截面方位：yxxytgss2ta--=20(10-4)式8应力状态强度理论和组合变性专家讲座第8页剪应力极值？代入(10-2)式：令dtn/da=0，有(sx-sy)cos2a-2txysin2a=0

一样有sin2a=

x/(1+x)；cos2a=

1/(1+x)221/21/2---(10-2)atasst2cos2sin2xyyxn+-=t取得极值条件：（10-6）xyyxtgtssa221-==x极限剪应力(10-7)式22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=þýü9应力状态强度理论和组合变性专家讲座第9页极限剪应力作用平面？剪应力取得极值平面与主平面间夹角为45

。

(10-6)剪应力取得极值角a

有两个，二者相差90

。即t

和t

分别作用在两相互垂直截面上。1maxmina和a关系？01即有：a1=a0

p/4

xyyxtgtssa221-=主平面方位(10-4)yxxytgss2ta--=20)22(0pamtg=)22(0aptg±-=20actg-=21201aatgtg-=10应力状态强度理论和组合变性专家讲座第10页例1已知某点应力状态为:

s

=30MPa，s

=10MPa，t

=20MPa。求1)主应力及主平面方向；2)最大、最小剪应力。xxyy解：1）主应力与主方向主应力：由（10-5）式有：主方向角：由（10-4）式有：xytyxtxysxsysxsya0a=58.29

n主平面方位:a01=58.28

，a02=148.28

îíì-=+-±+=þýüMPaMPa36.236.4220)21030(2103022minmaxss2a=-63.43

，a

=-31.72

002103020220-=-

-=atg11应力状态强度理论和组合变性专家讲座第11页a=58.28时，由(10-1)式有:a=148.28时有:sn=smax=42.36MPa

在平行xy前后面上，无应力作用，s、t均为零。故此面上还有第三个主应力sz=0。各主平面上应力？(t=0)xytyxtxysxsysxsya0a=58.29

n三个主应力按大小排列。

-++=116.56-20sin116.56cos2103021030ns=-2.36MPa=smin3s1s2s用主应力表示应力状态，简练、清楚。s1s2=0xyzs1s3s3xys1s3s3s1a0=58.28

平面应力状态12应力状态强度理论和组合变性专家讲座第12页3)最大、最小剪应力由（10-7）式有：作用平面方向角：a

=a+p/4=13.28

0a=-31.72

01a=13.28时，由（10-2）式有:注意还有a=103.28时:t=-22.36MPas

=20MPa22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=þýüMPa36.2220]2)1030([22±=+-±=MPaxyyx36.2256.26cos56.26sin2=+-=ootsstMPa2056.26sin20

56.26cos2103021030=°-°-++=s

tmaxxys

s

s

s

-tmaxtmaxa1=13.28

-tmax13应力状态强度理论和组合变性专家讲座第13页求任一截面应力---（10-1）、（10-2）式分析结果汇总与讨论(已知s、s、t

)xyxy求主应力及其方位---（10-5）、（10-4）式主应力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。求极限剪应力---(10-7)式，作用面与主平面相差45。。极限剪应力作用面相互垂直，剪应力互等（大小相等、符号相反，使单元体顺时针转者为正）。注意：极限剪应力作用面上普通s=0。一点应力状态可由三个主应力描述，对于平面应力状态，第三个主应力s

=0。z14应力状态强度理论和组合变性专家讲座第14页讨论一、应力状态第一不变量由(10-5)式显然有：s+s=s+s

maxminxy即过某点任意两相互垂直平面上正应力之和不变。在三向应力状态下，一样能够得到：J---称为表示一点应力状态第一不变量，即过某点任意三个相互垂直平面上正应力之和是不变。122minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=þýü.3211constJzyx=++=++=ssssss15应力状态强度理论和组合变性专家讲座第15页讨论二、主应力与极限剪应力由(10-5)式s

、s平面内，t之值等于二主应力之差1/2。13maxs

、s平面内，t之值等于(s-s

)/2。12max12s

、s平面内，t之值等于(s-s

)/2。23max23还有：二主应力之差二分之一即该平面内最大剪应力22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=þýü假定smin<0平面应力状态sz=0有：2231]2/)[(2xyyxtssss+-=-(10-7)式为22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=þýü显然可知有：231minmaxsstt-±=þýü平面应力状态sz=0若smin<0:t

max=(s1-s3)/2若smin

0:t

max=(s1-0)/2=s1/216应力状态强度理论和组合变性专家讲座第16页讨论三、极限剪应力作用面上s可否为零？若极限剪应力作用面上s均为零，纯剪由(10-7)式知，此时应有：若s=0或s=0，则xy平面上txy不是极限剪应力。xy若s=0且s=0，则极限剪应力面上必有。xys=sxy除纯剪情况外，极限剪应力平面上正应力不为零，且必有sx=sy。xytxys=s=0xytyxtxytxy22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=þýü±=xytxytxys=0xtyxsytyxtxysy17应力状态强度理论和组合变性专家讲座第17页思索题1：图中表示纯剪应力状态是否正确？假如正确，单元体应力状态用主应力怎样表示？ttt(a)(b)(c)剪应力互等？t是极限剪应力，主平面？与极限剪应力面成45。二主应力之和？s+s=s+s

=0。s=-s

13xy13s在哪个面上？多大？1s1s1(s-s)/2=t

s

=t

13118应力状态强度理论和组合变性专家讲座第18页求任一截面应力—(10-1)、(10-2)式求主应力大小和方位—(10-5)、(10-4)式主应力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。一点应力状态可由三个主应力描述，对于平面应力状态，第三个主应力s

=0。zsxxysxsysytyxtxysntnanyxxytgss2ta--=20atasssss2sin2cos22xyyxyxn--++=atasst2cos2sin2xyyxn+-=22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=þýü平面应力状态小结19应力状态强度理论和组合变性专家讲座第19页求极限剪应力--(10-7)式，作用面与主平面相差45

。极限剪应力与主应力关系：t=(s-s)/213max22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=þýü第一不变量：.3211constJzyx=++=++=ssssss除纯剪情况外，极限剪应力平面上正应力不为零，且必有sx=sy。过某点任意三个相互垂直平面上正应力之和不变。返回主目录20应力状态强度理论和组合变性专家讲座第20页线弹性应力-应变关系：s=Ee对于用主应力表示微元，沿主方向应变（主应变）e1

是沿x1方向伸长。有：s1x1x2x3s3s2s2s3s1EEE///3211msmsse--=s

引发伸长1s

引发缩短2s

引发缩短3广义虎克定理---(10-10)ïþïýü+-=+-=+-=)]([)]([)]([213131321232111ssmsessmsessmseEEE10.1.3广义虎克定理与变形比能返回主目录21应力状态强度理论和组合变性专家讲座第21页10.1.3广义虎克定理与变形比能s1x1x2x3s3s2s2s3s1广义虎克定理：ïþïýü+-=+-=+-=)]([)]([)]([213131321232111ssmsessmsessmseEEEe1=[s1+ms1-m(s1+s2+s3)]/E=[(1+m)s1-m(s1+s2+s3)]/E

s1>s2>s3

e1>e2>e3

最大主应变那个应变大？故有：e1=[(1+m)s1-m(s1+s2+s3)]/Ee2=[(1+m)s2-m(s1+s2+s3)]/Ee3=[(1+m)s3-m(s1+s2+s3)]/E22应力状态强度理论和组合变性专家讲座第22页变形比能（讨论线弹性情况）在三向应力状态下，弹性变形能仍等于外力功，且只取决于外力和变形最终值，与中间过程无关。变形比能u：单位体积变形能在单向拉伸情况下，力从0F，变形由0DL，变形能(外力所做功)：U=FDL/2。若变形过程1U；变形过程2U<U；反证121按过程1加载，再按过程2卸载，多出能量？se212=D==ALLFALUuF-DL曲线DLFFDL/223应力状态强度理论和组合变性专家讲座第23页可假定三个主应力按百分比同时从零增加到最终值，则弹性变形比能u可写为：利用广义虎克定理，有：332211212121eseses++=u)]([21)]([2121312121321111ssssmsssmsses+-=+-=EE类似有：)]([212132122222ssssmses+-=E)]([212123132333ssssmses+-=E得到变形比能为：)](2[21133221232221ssssssmsss++-++=Eu--(10-11)24应力状态强度理论和组合变性专家讲座第24页体积改变比能和形状改变比能u=u+u

VS变形比能体积改变比能体积改变比能三向等拉情况(s=s=s=s)：只有体积改变123m普通情况：smsmsmtxytxztyzs—体积改变t—形状改变mijus=?令s=(s+s+s)/3，有：123m由(10-11)式有：2222)21(3)63(21mmmVEEuusmmss-=-==s1s3s2s1s2s3(10-12)25应力状态强度理论和组合变性专家讲座第25页形状改变比能：uS=u-uV普通情况：smsmsmtxytxztyzs—体积改变t

—形状改变mijus=?令s=(s+s+s)/3，有：123ms1s3s2s1s2s3三向等拉(10-11)式给出)](2[21133221232221ssssssmsss++-++=Eu2321)(6)21(sssm++-=E=23219)(2)21(3sssm++·-E=2)21(3m-EuVsm?26应力状态强度理论和组合变性专家讲座第26页最终得到用主应力表示形状改变比能为：])()()[(61213232221ssssssm-+-+-+=-=EuuuVS(10-13)[21232221sss)](2133221ssssssm++-++=-=EuuuVS)](2[6)21(133221232221sssssssssm+++++--E)](3)21([)](6)21(21[133221232221ssssssmmsssm++-+-++--=EEEE)(3)1()(6)1(2133221232221ssssssmsssm+++-+++=EE)222222[6)1(133221232221sssssssssm---+++=E27应力状态强度理论和组合变性专家讲座第27页(a)：思索题：写出图示二应力状态沿x方向正应变

e

、最大正应变e

及变形比能u和u。1xVSEEEyxx/)1(//smmsse-=-=EEE/)1(//211smmsse-=-=体积改变比能：223213)21(2)(6)21(smsssm-=++-=EuV形状改变比能：mm++221323222131])()()[(61sssssssEEuS=-+-+-=(a)Assxy(b)xtssyBs1=s2=s28应力状态强度理论和组合变性专家讲座第28页设0<t<s；则s1=s+t；s2=s-t；s3=0有：(b)xtssyB(b)：tstssssss±=+-±+=þýü22minmax]2/)[(2xyyxyxs1s212EEEyxx/)1(//smmsse-=-=EEEE/)1(/)1(//211tmsmmsse++-=-=体积改变比能：223213)21(2)(6)21(smsssm-=++-=EuV形状改变比能：)2(31])()()[(6122213232221tsmssssssm++=-+-+-+=EEuS返回主目录29应力状态强度理论和组合变性专家讲座第29页广义虎克定理:(10-10)式弹性变形比能u：(10-11)式u为体积改变比能u和形状改变比能u之和。VS三向等拉情况(s=s=s=s

)：只有体积改变123m形状改变比能(普通情况)为：形状改变是剪应力贡献。小结30应力状态强度理论和组合变性专家讲座第30页再见习题:10-1(b)、(c)、(e);10-2(a)、(b)。返回主目录31应力状态强度理论和组合变性专家讲座第31页sxxysxsysytyxtxy前节回顾:平面应力状态s1s2=0xyzs1s3s3主应力;主平面sxsz=0xyzsxsysytxyxys1s3s3s1tmaxxys

s

s

s

-tmaxtmax-tmaxtmax=(s1-s3)/2s

+s

=s1+s3

s1s2xyzs3s1s3s2相差45平面三维三维普通情况10.2强度理论返回主目录32应力状态强度理论和组合变性专家讲座第32页问题：复杂应力状态下强度？研究：危险点应力状态强度判据？MxFT1ACFT2BDyz危险点10.2强度理论sxxysxtyxtxys1s233应力状态强度理论和组合变性专家讲座第33页10.2强度理论单向应力状态：单向拉压试验强度理论:

复杂应力状态下材料破坏或屈服规律假说。破坏延性破坏s

脆性破坏s

bys复杂应力状态？破坏判据s

=s

ors强度条件：s

[s]

11bys要设计不一样s:s试验。12ys1xs1s2s2返回主目录34应力状态强度理论和组合变性专家讲座第34页一、最大拉应力理论（第一强度理论）破坏判据s

=s

1b不论材料处于何种应力状态，脆性材料破坏只取决于其最大拉应力s。1假说试验验证：正确性条件：考虑安全贮备，给出：强度条件：s

[s]=s/n

1b10.2.1脆性材料破坏强度理论返回主目录35应力状态强度理论和组合变性专家讲座第35页二、最大拉应变理论（第二强度理论）脆性材料破坏取决于其最大拉应变e。1假说考虑安全贮备，给出：破坏判据e

=e

1f单向拉伸破坏应变虎克定理破坏判据s

-m(s+s)=s

(应力形式)123b试验验证：或时，更加好一些。强度条件：s-m(s+s)[s]=s/n

1b23返回主目录36应力状态强度理论和组合变性专家讲座第36页一、最大剪应力理论（第三强度理论）屈服判据t

=t

maxs单向拉伸屈服时t屈服判据s-s

=s

(Tresca条件,1864,法)1ys3试验验证：很好地预测了塑性材料屈服。思索：材料滑移剪应力贡献延性材料屈服假说：延性材料屈服取决于其最大剪应力t

。max；；设计：强度条件：s-s

[s]=s

/n

1ys310.2.2延性材料屈服强度理论返回主目录37应力状态强度理论和组合变性专家讲座第37页二、形状改变比能理论（第四强度理论）假说：延性材料屈服取决于其形状改变比能u

。

S滑移改变形状思索：Tresca条件与s无关2？能量？屈服判据u

=u

Ssc单向拉伸屈服时us；屈服判据(s

-s)+(s-s)+(s-s)

=2s1ys322132222Mises条件,1913,德38应力状态强度理论和组合变性专家讲座第38页试验验证：对延性金属屈服，预测比最大剪应力理论预测更加好，但二者相差不大。10.2.2延性材料屈服强度理论二、形状改变比能理论（第四强度理论）屈服判据(s

-s)+(s-s)+(s-s)

=2s1ys322132222即Mises条件:yssssssss=-+-+-213232221)()()(21设计：强度条件nys/][)()()(21213232221ssssssss=£-+-+-39应力状态强度理论和组合变性专家讲座第39页强度理论汇总：s

=s

1r1s理论1s=s-m

(s+s)

1r232e理论1s=s-s

1r33t

理论maxs={[(s

-s)+(s

-s)+(s

-s)]/2}1r4331222221/2u理论S破坏屈服惯用

s>s,s<0311惯用相当应力s

[s]

r强度条件普通形式：工作应力

许用应力脆性破坏[s]=s/nb塑性屈服[s]=s/nys40应力状态强度理论和组合变性专家讲座第40页例2低碳工字钢梁截面尺寸H=200mm，h=180mm，

B=100mm，a=92mm，[s]=200MPa。若截面受

M=30kN.m，FS=100kN作用，试校核其强度。解：1)截面弯曲正应力：s=M

y/IzI=(BH–ah)/12=2.19510mz33-54y=0处：s=0y=h/2处：s=30000

0.09/2.195

10=123(MPa)h/2-5y=H/2处：

s=s

=M

y/I

=30000

0.1/2.195

10=137(MPa)max-5H/2maxzzya/2Ha/2Bh41应力状态强度理论和组合变性专家讲座第41页例2低碳工字钢截面尺寸H=200mm，h=180mm，

B=100mm，a=92mm，[s]=200MPa。若截面M=30kN.m，FS=100kN，试校核其强度。y=H/2处：Sz=0；tH/2=0解：2)截面剪应力：t=FS

Sz/IzbI=2.19510m;S见例9-13z-54zy=0处：Sz=12.7410-5m3；b=0.008

t0=tmax=FS

Sz/Iz(B-a)

=10010312.74/(2.1950.008)=72.5(MPa)y=h/2处：Sz=9.510-5m3；b=0.1；

th/2+=4.3(MPa)翼缘y=h/2处：Sz=9.510-5m3;b=0.008;

th/2-=54(MPa)腹板zya/2Ha/2Bh42应力状态强度理论和组合变性专家讲座第42页解：3)强度校核截面各可能危险点应力状态：zyABCD低碳钢延性屈服第三强度理论xysmaxAxsBtyxCtmaxyxys1A用主应力表示s=s1maxs=s

=023xCys1s3s=-s=t1max3s=02xsBsy13s-s

[s]13D?s=02)4(212231tssss+±=þýü43应力状态强度理论和组合变性专家讲座第43页解：3)强度校核第三强度理论:s=s-s

[s]

13r3B点：=s-s

=(s+4t

)=164<[s]=2001r33221/2=123t=54A点：s=137MPas=s-s

=137<[s]=2001r33maxC点：t=72.5MPas=s-s

=145<[s]=2001r33maxxys1As=s1maxs=s=023xCys1s3s=-s=t1max3s=02xsBsy13s=02)4(212231tssss+±=þýüzyABC讨论：A处；与梁弯曲正应力强度条件一致；C处：与梁弯曲剪应力强度条件一致；B处：正、剪应力同时存在，也可能是危险点。44应力状态强度理论和组合变性专家讲座第44页讨论一：某脆性材料应力状态如图，怎样选取适当强度理论？3060405060402010403040601221s=s-s

=1001r33t理论maxr4={[(s1-s2)2+(s2-s3)2+(s3-s1)2]/2}1/2={[(s1-s2)2+s22+s12]/2}1/2uS理论讨论二：s1=100MPa，s3=0，若s2=20，50，80MPa，问sr3与sr4相差多大？

s2

sr42091.655086.68091.6545应力状态强度理论和组合变性专家讲座第45页再见习题:10-3，10-4。返回主目录46应力状态强度理论和组合变性专家讲座第46页前节回顾：s1理论:sr1=s1

e1理论:sr2=s1–m(s2+s3)tmax

理论:

sr3=s1-s3

uS理论:sr4={[(s1-s3)2+(s1-s3)2+(s1-s3)2]/2}1/2强度条件:sr[s]sxxysxsysytyxtxy复杂应力状态用主应力表示强度条件主应力xys1s3s3s1讨论组合变形问题10.3组合变形返回主目录47应力状态强度理论和组合变性专家讲座第47页10.3组合变形研究思绪基本变形组合变形内力应力应变位移组合变形构件，危险点应力状态线弹性小变形叠加法强度计算、设计选择适当强度理论10.3.1拉(压)弯组合变形xyzoABMyFNMz剪切、扭转暂不考虑。内力FN沿x轴拉或压；弯矩M

xy面内弯曲；z弯矩M

xz面内弯曲。y48应力状态强度理论和组合变性专家讲座第48页截面正应力：s=s

+s

+s

=FN/A+Mzy/Iz+Myz/Iy

s是截面坐标(y,z)函数，何处应力最大？FN作用下，各处应力相同；Mz作用下，AC受拉，BD受压；My作用下，AD受拉，BC受压；A处：s

=FN/A+M

y/I+M

z/I

zzyymax拉maxmaxB处：s

=FN/A-My/I

-M

z/I

zzyymax压maxmax截面上只有沿x方向正应力，是单向应力状态。强度条件为：

s

[s];s

[s]max拉max压拉压应力轴力FN

s

=FN/A弯矩Mz

s

=Mz

y/Iz′′弯矩My

s

=Myz/IyxyzABMyFNMzCD10.3.1拉(压)弯组合变形返回主目录49应力状态强度理论和组合变性专家讲座第49页例3：正方形截面立柱，边长为2a，开槽截面为边长a

2a矩形。求开与未开槽截面最大应力值之比。aF2aa/2FFNMA2)开槽部分横截面应力:截取研究对象，求截面内力。

解：1)未开槽部分横截面应力:

s=FN/A=F/4a2

(压应力)FN=F；M=Fa/2压弯组合变形且A处压应力最大。由叠加法有：222max26/22/2aFaa

FaaF=+=+=弯压开槽sss3)最大应力值之比为：84//222==aFaFl50应力状态强度理论和组合变性专家讲座第50页例4：矩形截面梁宽b=40mm，高h=60mm，

L=0.5m。已知[s]=120MPa，试校核其强度。2)作梁内力图a=30

LABF=10kNLCFCFAyFAx解：1）求约束力。平衡方程：

SFx=FAx-FCcos30

=0

SMA=FC

2Lsin30

-FL=0

SMB=FL-FAy

2L=03)危险截面点在距A为L处，上端危险点压应力最大，且剪应力为零。解得：FC=10kN；

FAx=8.66kN；FAy=5kN-FN-8.66kN-+FS5kN-5kN2.5kN.m+M51应力状态强度理论和组合变性专家讲座第51页矩形截面梁宽b=40mm高h=60mm[s]=120MPa梁轴线上剪应力最大：且

tmax=3FS/2bh=35103/(24060)=3.12MPa该处：s弯=0；

s压=8660/2400=3.6MPa。应力小一个量级，强度足够。应力状态危险点压应力：MPaWMAFzN120][8.1076040105.266040

1066

.8263maxmax=<=

+=+=ss强度足够a=30

LABF=10kNLCFCFAyFAx2.5kN.m+M-FN-8.66kN-+FS5kN-5kN52应力状态强度理论和组合变性专家讲座第52页例5立柱在A(y，z)处受力F作用，求柱中最大应力。解：截面法求内力：

最大压应力：最大拉应力：兰点处绿点处最大应力在何处？

FN=F轴向压缩；

My=Fz在xz平面内弯曲；

Mz=Fy在xy平面内弯曲。FxyzcAhbFN=FMy=FzMz=Fy22max66hbFzbhFybhFWMWMAFyyzzN++=++=压s22max66hbFzbhFybhFWMWMAFyyzzN++-=++-=拉s53应力状态强度理论和组合变性专家讲座第53页这是yz平面内直线方程：y=0时，z=h/6；z=0时，y=b/6；截面关键：偏心压缩载荷作用在截面关键内，则截面上无拉应力。FxyzcAhbyzh/6b/6若不允许受拉(混凝土立柱)，A极限位置？截面最大拉应力应为零，即：06622max=++-=hbFzbhFybhF拉s得到：6F

yb+6F

zh-F

bh=0

by+hz=bh/654应力状态强度理论和组合变性专家讲座第54页讨论一：矩型截面柱关键是菱形，圆形柱关键？zy设压缩载荷如图：FN=F；

M=F

rrF截面关键：

圆截面柱截面关键是直径为d/4圆。由s=0，有：32Fr/d=4F

r=d/8

max拉z

d/4最大拉应力：32max324dFdFWMAFzNprps+-=+-=¢拉返回主目录55应力状态强度理论和组合变性专家讲座第55页扭矩T=Mx弯矩Mz弯矩My弯曲剪应力通常较小，暂不考虑；拉/压弯组合已讨论。内力MxxyzMzoMy应力合成弯矩MxyMzoMyz扭转：t=T/WTmax弯曲：s=M/Wz

max危险点：A、B处。s=-s=s;t=t=t

maxmaxBAABAB22zyMMM+=zABMxyoz

10.3.2圆轴弯扭组合变形返回主目录56应力状态强度理论和组合变性专家讲座第56页10.3.2圆轴弯扭组合变形强度条件对于圆轴，有：WT=2Wz

=2W=pd3/16;W=pd3/32Bsstt应力状态危险点应力：s=M/Wz

；t=T/WT；T=Mx22zyMMM+=)4(21221tsss++=02=s)4(21223tsss+-=主应力：][122s£+TMW][422313stssss£+=-=r第三强度理论][3224stss£+=r第四强度理论][75.0122s£+TMW57应力状态强度理论和组合变性专家讲座第57页弯、扭方法归纳--圆轴弯扭组合变形研究思绪基本变形组合变形内力应力组合变形构件，危险点应力状态线弹性小变形叠加法MxxyzMzoMy圆轴合成弯矩MzABMxyo强度理论相当应力s/s

r3r4s=M/Wt=T/WTBsstt主应力？s、s、s

123强度条件:][122s£+TMW][0.75T122s£+MW58应力状态强度理论和组合变性专家讲座第58页例6传动轴AB直径d=40mm，AC=CD=DB=200mm，C轮直径d=160mm，D轮直径d=80mm，

=20

，已知力F1=2kN，[s]=120MPa，试校核轴强度。12解：1)受力分析,SFx=FAx

=0SMx=F2cosa

d2/2-F1cosa

d1/2=0

F2=4kNSMy=F1sina

AC-F2cosa

AD-FBz

AB=0

FBz=-2.28kNSMz=F1cosa

AC-F2sina

AD+FBy

AB=0

FBy=0.286kNSFZ=FAz-F1sina+F2cosa+FBz=0

FAz=-0.8kNSFy=FAy+F1cosa-F2sina+FBy=0

FAy=-0.8kNaAF1F2xyzBCDaFByFBzFAyFAxFAz有平衡方程：59应力状态强度理论和组合变性专家讲座第59页TMyMz0.150.160.05720.160.456ABCD2)求轴内力，3)危险截面：可能是C或者D。再考查合成弯矩。绕x轴扭转：CD段扭矩为：T=F1cosa

d1/2=0.15kN.mxy面内弯曲：无分布载荷，弯矩是各段线性，且：

MyC=FAy

AC=-0.16kN.m

MyD=FBy

DB=0.0572kN.mxz面内弯曲：有：

MzC=FAz

AC=-0.16kN.m

MzD=FBz

DB=-0.456kN.m画内力图aAF1F2xyzBCDaFByFBzFAyFAxFAz60应力状态强度理论和组合变性专家讲座第60页3)危险截面：可能