平面与平面平行 高二下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第六章立体几何初步平面与平面平行1.借助长方体，通过直观感知、操作确认，理解平面与平面平行的判定定理，并会初步运用；2.能运用有关平行的判定定理和性质定理，论证线线平行、线面平行、面面平行；3.让学生在发现中学习，培养学生抽样概括、推理论证等素养．平面与平面平行的判定定理.平面与平面平行的判定定理的应用.如何判断一条直线与一个平面平行？线面平行的判定定理：

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.如何判断两个平面平行？从定义看，两个平面无交点即可不方便！线面平行

al线线平行面面平行一个平面内的一条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？平面A′B′C′D′∥平面ABCDABCDA′D′C′B′长方体中，A′D′∥平面ABCD，那么过A′D′的平面与平面ABCD平行吗？

不一定一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？平面A′B′C′D′∥平面ABCDABCDA′D′C′B′当两条直线平行时

不一定一个平面内的两条直线可能平行，也可能相交，故要分情况讨论①如图，长方体中，A′D′，B′C′∥平面ABCD，A′D′∥B′C′②如图，长方体中，A′D′，EF∥平面ABCD，A′D′∥EFEFl平面A′B′C′D′∥平面ABCDABCDA′D′C′B′当两条直线相交时平行

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？一个平面内的两条直线可能平行，也可能相交，故要分情况讨论

证明：直接证明不好证,可采用反证法

abAc

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.符号语言平面与平面平行的判定定理

abA

缺一不可①②③线面平行线线平行面面平行线面平行的判定线面平行的性质面面平行的性质面面平行的推论面面平行的判定

判断下列命题是否正确，并说明理由.

运用面面平行的判定定理时，一定注意三个条件是否都满足，缺一不可.线不在多，重在相交.

解：分别讨论必要性与充分性.

②充分性不成立．

如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，平面AA′C′C中有不共线的三个点A、A′、C到平面BB′D′D的距离相等，但平面AA′C′C与平面BB′D′D相交，不平行，故充分性不成立.ABCDA′D′C′B′必要不充分条件

ABCDA′D′C′B′

面面平行的判定定理

利用判定定理证明两个平面平行的一般方法：要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可；判定面面平行与判定线面平行一样，应遵循“先找后作”的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.

如图，点P在SA上，从点P处将三棱锥形木块S-ABC锯开，使得截面与底面ABC平行，怎么在侧面上画线？ABCSP“面面平行”“线面平行”“线线平行”面面平行的判定定理线面平行的判定定理过P的截面∥底面ABC过P作两直线与底面平行过P作两直线分别与AB、AC平行EF

如图，点P在SA上，从点P处将三棱锥形木块S-ABC锯开，使得截面与底面ABC平行，怎么在侧面上画线？ABCSP解：如图，过点P在侧面SAB上作AB的平行线，交SB于点E；再过点P在侧面SAC上作AC的平行线，交SC于点F，连接EF.则截面PEF就是所求.

下面证明平面PEF∥平面ABC：

判断面面平行常用两种方法：①定义法，②判定定理（线不在多，重在相交）A选项，无数条直线可能都是平行的，不能保证有相交的两条直线，错误；B选项，线线之间平行可以传递，面面之间平行可以传递，但是线面之间不可传递，错误；C选项，选项中两条直线不一定相交，面面平行的判定定理不成立，错误；

D在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E、F分别是棱BB′和棱CC′的中点.（1）求证：平面B′DF∥平面ACE；（2）试问平面B′DF截正方体所得的截面是什么图形？并说明理由.

ABCDA′D′C′B′EF“线面平行”DF∥平面ACE，B′F∥平面ACE“线线平行”DF∥AE，B′F∥CE“面面平行”平面B′DF∥平面ACE在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E、F分别是棱BB′和棱CC′的中点.（1）求证：平面B′DF∥平面ACE；（2）试问平面B′DF截正方体所得的截面是什么图形？并说明理由.（2）取AA′的中点G，连接DG，B′G，可得B′G∥AE且B′G=AE，由（1）知，DF∥AE且DF=AE，则B′G∥DF且B′G=DF，∴四边形DGB′F为平行四边形，又B′G=B′F，∴四边形DGB′F为菱形.ABCDA′D′C′B′EFG

由面面平行的性质定理可知，平面B′DF与平面AA′B′B的交线与AE平行，所以取AA′的中点G，连接B′G、GD，则四边形B′FDG即所截图形.（1）要证“线面平行”，先证“线线平行”.

连接BM，根据三角形中位线可得EF∥BM.ABDCEFA′B′D′C′M

如图，在四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，点M是线段B′D′上的一个动点，E、F分别是BC、CM的中点.（1）求证：EF∥平面BDD′B′；（2）设G是棱CD上的一点，问：当G在什么位置时，平面GEF∥平面BDD′B′.

如图，在四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，点M是线段B′D′上的一个动点，E、F分别是BC、CM的中点.（1）求证：EF∥平面BDD′B′；（2）设G是棱CD上的一点，问：当G在什么位置时，平面GEF∥平面BDD′B′.

ABDCEFA′B′D′C′MG

（2）取CD中点G，连接EG、MG，根