2024年中考数学复习（全国版）重难点13 几何最值问题2种题型（将军饮马与蚂蚁爬行,16种模型）（原卷版）

重难点13几何最值问题2种题型（将军饮马与蚂蚁爬行，16种模型）目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型01将军饮马题型02蚂蚁爬行题型01将军饮马模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营.问如何行走才能使总的路程最短.模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短.模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离.方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长.【将军饮马之模型一专项训练】1．（2021·海南海口·统考一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+A．52 B．3 C．4 D．2．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PEA．43 B．23 C．6 D3．（2020·山东泰安·中考真题）如图，点A，B的坐标分别为A(2,0),B(0,2)，点C为坐标平面内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则

A．2+1 B．2+12 C．24．（2022·安徽蚌埠·统考一模）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=6，P是△ABCA．325 B．2 C．213-5．（2020·广东深圳·南山实验教育集团南海中学校考一模）如图，AC,BD在AB的同侧，AC=2,BD=8,AB=8，点M为AB模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离.方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长.【将军饮马之模型二专项训练】1．（2022·湖南湘潭·校考模拟预测）如图，菱形草地ABCD中，沿对角线修建60米和80米两条道路AC<BD，M、N分别是草地边BC、CD的中点，在线段BD上有一个流动饮水点P，若要使PM+PN2（2021下·河南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，在直角坐标系中，点A（2，2），C（4，4）是第一象限角平分线上的两点，点B的纵坐标为2，且BA＝CB，在y轴上取一点D，连接AB，BC，AD，CD，使得四边形ABCD的周长最小，则这个周长的最小值为．3．（2022下·广东湛江·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（

）A．4 B．42 C．25 D4．（2022·湖北黄石·统考中考真题）如图，等边△ABC中，AB=10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF=5．（2022上·福建莆田·八年级莆田二中校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点C在直线MN上，∠BCN=30°，点P为MN上一动点，连接AP，6．（2020·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A1,0、B4,0，与y轴交于点C0,3，点D为OC的中点，点E、F分别为x轴正半轴和抛物线对称轴上的动点，连接DE7．（2015·贵州贵阳·统考中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．（1）求MP的值；（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）8．（2022·山东烟台·统考一模）问题提出：在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是4km和3km，AB=akm(a方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA(km)（其中BP⊥l于点P）；图2是方案二的示意咨图，设该方案中管道长度为d2，且d2(1)在方案一中，d1=______km（用含(2)在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=_______km(3)①当a=4时，比较大小：d1_______d2（填“＞”、“＝”或“②当a=7时，比较大小：d1______d2（填“＞”、“＝”或“(4)请你参考方框中的方法指导，就a（当a>1方法指导当不易直接比较两个正数m与n的大小时，可以对它们的平方进行比较：∵m2-n∴(m2-当m2-n2>0当m2-n2=0当m2-n2<0模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离.数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小.方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P’、P’’，连接P’P’’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’P’’的长.【将军饮马之模型三专项训练】1．（2020·全国·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，（1）如图①，AB=AD，∠BAD=120°，

（2）如图②，∠BAD=120°，当△AEF（3）如图③，若四边形ABCD为正方形，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，若BE=3，DF2．（2019下·河南南阳·七年级统考期末）（1）【问题解决】已知点P在∠AOB内，过点P分别作关于OA、OB的对称点P1、①如图1，若∠AOB=25∘②如图2，连接P1P2分别交OA、OB于C、D，若∠③在②的条件下，若∠CPD=α度（90<α<180），请直接写出∠（2）【拓展延伸】利用“有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形”这个结论，解答问题：如图3，在ΔABC中，∠BAC=30∘，点P是ΔABC内部一定点，AP=8，点E、F分别在边AB、AC上，请你在图3中画出使ΔPEF周长最小的点E3．（2021上·江苏南京·九年级校联考期中）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝°．模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离.数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小.方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P’、Q’，连接P’Q’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P’Q’)的长.【将军饮马之模型四专项训练】1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A（a，3）、B（b，1）都在双曲线y=3x上，点C、D分别是x，y轴上的动点，则四边形ABCD的周长最小值为2．（2023下·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）如图，正方形ABCD中，点G是BC边上一定点，点E、F、H分别是边AD、AB、CD上的动点，若CG=14BC=1，则四边形

3．（2023上·黑龙江大庆·九年级校考期中）如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC

(1)直接写出点E、F的坐标；(2)连接EF交BD于点G，求△BGE(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值和直线MN的函数解析式；如果不存在，请说明理由．4（2019·天津西青·校联考一模）如图①，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点A的坐标是3,0，点C的坐标是0,2，点O的坐标是0,0，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F（1）求点E、F的坐标；（2）如图②，若点P是线段DA上的一个动点（点P不与点D，A重合），过点P作PH⊥DB于点H，设OP的长为x，△DPH的面积为S，请求出S（3）如图③，在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？若存在，请求出四边形MNFE周长的最小值及此时点M、N的坐标；若不存在，请说明理由模型五、模型六的理论依据：垂线段最短.模型五：已知点P在直线AB、BC的外侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值方法：如右图，过点P作PN⊥BC，垂足为点N，PN与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段PN的长.模型六：已知点P在直线AB、BC的内侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值方法：如右图，作点P关于直线AB的对称点P’，过点P’作P’N⊥BC，垂足为点N，P’N与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’N的长.【将军饮马之模型五与模型六专项训练】1．（2015·山东泰安·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E、F18．（2022·湖南娄底·统考一模）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=75°，AB=5．点E为边AC上的动点，点F2．（2020·新疆乌鲁木齐·校考一模）如图，在矩形ABCD中，BC=10，∠ABD=30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM

3．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，直线y=43x+4交两坐标轴于A，B两点，点P

4．（2023·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐八一中学校考一模）菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+5．（2022下·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考阶段练习）如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（

）A．2 B．3 C．2 D．16．（2021上·河南南阳·八年级南阳市第十三中学校校考阶段练习）如图所示，在△ABC中，AB=AC，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，△ABC的面积为12，BC=4模型七、模型八的理论依据：在三角形中两边之差小于第三边.模型七（两点在同侧）：在直线L上求一点P，求|PA-PB|的最大值方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB模型八（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值.方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’【将军饮马之模型七与模型八专项训练】1．（2020上·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF是BC的垂直平分线．点P是EF上的动点，则|PA-PB|的最大值为29．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线AC、BD交于点O，BD=8，点E为OD的中点，点F为AB上一点，且AF=3BF，点P为AC

2．（2023·山东菏泽·统考二模）如图，直线y1=kx+2与反比例函数y2=3

(1)若y1>y(2)动点Pn,0在x轴上运动．当n为何值时，3．（2023·贵州遵义·统考一模）如图，二次函数y=ax2-2ax+c的图象与x(1)求二次函数的解析式；(2)若点P是对称轴上一动点，当PB-PC有最大值时，求点4．（2020·广东东莞·东莞市长安培英初级中学校考二模）如图，点A（－2，n），B（1，－2）是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝mx（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出，当kx＋b<mx时，x（3）若C是x轴上一动点，设t＝CB－CA，求t的最大值，并求出此时点C的坐标．5．（2016·广东揭阳·统考二模）如图，抛物线y=x2+bx+c过点A3,0,B1,0，交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A(1)求抛物线的解析式；(2)求点P在运动过程中线段PD长度的最大值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M使MA-MC最大?若存在，请直接写出点

6．（2021上·四川自贡·八年级四川省荣县中学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1）请在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△DEF(A,B,C（2）求△ABC（3）在x轴上找一点P，使｜PA－PB｜最大．(在图中标出点P，保留作图痕迹)．模型九在直线L上求一点P，求|PA-PB|的最小值.方法：如右图，作线段AB的垂直平分线与直线L相交于点P，|PA-PB|最小值为0.模型九的理论依据：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等.【将军饮马之模型九专项训练】1．（2023·广东广州·统考二模）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，DC=5BD＝5，且△ADC的面积为

A．10 B．12 C．14 D．162．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC、AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，若三角形CDM的周长的最小值为13，则等腰三角形ABC的面积为（

）A．78 B．39 C．42 D．303．（2022·安徽六安·校考模拟预测）某数学探究小组探究一个动点问题，如图，在△ABC中，P为边AC上一个动点，点D在边AB上，已知ADBD=15

请完成下列探究：（1）当PD=AD时，PAAC（2）连接PB，若AB=12，则△PBD周长的最小值为4．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BC边上的高AD为4，则△

模型十：如图，一条宽度相同的河流两侧有A、B两个营地，将军令下属在河流间搭建一座垂直于河岸的桥梁MN，使得AM+MN+NB之和最短，在何处搭建桥梁才能完成任务呢？方法：如右图，将点A向下平移MN的单位长度得到点A’，连接A’B，交n于点N，过点N作MN⊥m，垂足为点M，点M和点N即为所求，最短距离为A’B+MN模型十一：线段MN在直线L上可移动，且MN=a，当MN移动到什么位置时，求AM+MN+NB最小值.方法：如右图，将点A向右平移a个单位长度得点A’，作B关于直线L的对称点B’，连接A’B’，交直线L于点N，将点N向左平移a个单位长度得点M，点M和点N即为所求，最短距离为A’B’+MN模型十、十一的理论依据：平行四边形的性质+两点之间线段最短.【将军饮马之模型十与模型十一专项训练】1．（2023·江苏盐城·统考三模）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=9，M、N分别是AD、BC边上的动点，且∠ABC=∠MNB

2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，▱ABCD中，AB=3，AD=2，∠DAB=60°，DF⊥AB，BE⊥CD；垂足分别为点F和E．点G和H分别是DF

3（2022上·广东广州·八年级统考期末）在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．4．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点，求△CDE(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.5（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）在▱ABCD中，AB⊥AC，点E在边AD

(1)如图1，AC交BE于点G，GH⊥AE，若BE平分∠ABC，且∠(2)如图2，点F在对角线AC上，且AF=AB，连接BF，过点F作FH⊥BE于点H，连接(3)如图3，线段PQ在线段BE上运动，点R在BC上，连接CQ，PR．若BE平分∠ABC，∠DAC=30°题型02蚂蚁爬行蚂蚁爬行模型的概述：蚂蚁在某几何体的一个顶点，爬行到另外一个相对的顶点去吃食物，求所走的最短路径是多少。蚂蚁爬行模型的实质：两点之间，线段最短。模型一：蚂蚁沿着长方体表面爬行，从点A到点B的最短距离：解题方法：在长方体问题中，我们需要将长方体展开，然后利用两点之间线段最短画图求解。如果长方体的长、宽、高各不相同，一般分三种情况讨论。分类讨论示意图展开图最短距离小结前+上AB=a最小值取决于ab，bc，ac的大小左+上AB=b前+右AB=c【蚂蚁爬行之模型一专项训练】1．（2023·江苏常州·校考一模）如图，是一个棱长为1的正方体纸盒，若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是（

）A．3 B．2 C．5 D．32．（2020·陕西西安·校考模拟预测）如图，长方体的长EF为3cm，宽AE为2cm，高CE为4cm，B是GF的中点，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点D爬到点B，那么它需要爬行的最短距离是（

）A．5cm B．29cm C．(22+3)3．（2020·内蒙古呼伦贝尔·统考二模）如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动路程最短时，CD的长是（

）

A．1 B．12 C．13 D4．（2014·全国·九年级统考专题练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（

）

A．521 B．25 C．105+55．（2019·山东·山东省青岛第二十六中学校考中考模拟）棱长分别为4cm，3cm两个正方体如图放置，点P在E1F1上，且E1P=13E1F1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是6．（2021·山东枣庄·校考一模）如图，一个无盖的正方体，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，经过计算发现，它的最短路径是20cm，则这个正方体的棱长为cm．7．（2012·湖南衡阳·统考一模）如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为cm．

8．（2024上·山西晋城·八年级统考期末）某校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱（如图），学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点A绕三棱柱侧面一周到顶点A'安装灯带，已知此三棱柱的高为5m，底面边长为1m，则灯带的长度至少为

9．（2023上·贵州贵阳·八年级校联考期中）如图是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中长AB=80cm，宽BH=60cm，高AD=60cm，水深AE=30cm，在鱼缸内水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线上，且FG10．（2019·浙江台州·校考二模）如图1是长方体模型，棱长如图所示，图2是它的一种表面展开图．（1）①在图2中，表示出Cˈ可能的位置；②在图3中画出长方体的一种展开图（不同于图2）；（2）图1中，一只在顶点A的蚂蚁，要吃到Cˈ处的甜食，求它沿长方体表面爬行的最短距离；（3）在满足AB+BC+BBˈ=9的条件下，当AB为何值时，蚂蚁从A沿长方体表面爬行到Cˈ距离最短，并写出其中的一种方案．模型二：蚂蚁沿着圆柱表面爬行，求最短距离：解题方法：在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形分类讨论示意图展开图最短距离爬行半圈最短距离=（爬行一圈最短距离=（【蚂蚁爬行之模型二专项训练】55．（2021·湖南株洲·统考模拟预测）如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝6，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱侧面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（）A．31+π2 B．61+π2 C56．（2021·山东·统考三模）如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱侧面爬到与A相对的上底面的B点，圆柱底面直径为4，母线为6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（

）A．36+16π2 BC．36+π2 D57．（2022上·九年级课时练习）如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC上有一点D，且BC=10cm，DC=2cm．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（A．14 B．12 C．10 D．8模型三（蚂蚁吃蜂蜜问题）：求蚂蚁从点A沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到点B蜂蜜处的最短距离。示意图展开图作法最短距离点A’为点A关于圆柱上沿的对称点，若点A’与点B的垂直距离为h，则问题转化为将军饮马问题求解AB=（【蚂蚁爬行之模型三专项训练】58．（2023·陕西西安·校考二模）如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点模型四：蚂蚁爬楼梯问题问题示意图展开图最短距离如图，三级台阶的每一级的长，宽，高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，求最短路程AB=[(=25【蚂蚁爬行之模型四专项训练】1．（2022下·广西百色·八年级统考期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？2．（2023·吉林·模拟预测）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）A．15dm B．17dm C．20dm D．25dm3．（2012下·浙江台州·八年级统考期中）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是