2024年中考数学复习（全国版）专题20 全等三角形【十六大题型】（举一反三）（原卷版）

专题20全等三角形【十六大题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用全等三角形的性质求解】 2【题型2添加一个条件使两个三角形全等】 3【题型3结合尺规作图的全等问题】 4【题型4全等三角形模型-平移模型】 6【题型5全等三角形模型-对称模型】 7【题型6全等三角形模型-旋转模型】 8【题型7全等三角形模型-一线三等角模型】 10【题型8全等三角形模型-手拉手模型】 11【题型9构造辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法】 13【题型10构造辅助线证明两个三角形全等-截长补短法】 14【题型11构造辅助线证明两个三角形全等-作平行线】 16【题型12构造辅助线证明两个三角形全等-作垂线】 17【题型13利用角平分线的性质求解】 18【题型14角平分线的判定定理】 19【题型15利用全等三角形的性质与判定解决测量问题】 21【题型16利用全等三角形的性质与判定解决动点问题】 22【知识点全等三角形】1.全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。2.全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。3.三角形全等的判定(1)边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等。(2)边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。(3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。(4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。(5)斜边.直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。4.全等变换只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。【题型1利用全等三角形的性质求解】【例1】（2023·四川德阳·统考二模）如图△AOB≌△ADC，∠O=∠D=90°，记∠OAD=α，∠ABO=β，当AO∥BC时，α与A．α+β=90° B．α+2β=180°【变式1-1】（2023·河南·模拟预测）已知下图中的两个三角形全等，则∠α等于（

A．72° B．58° C．60° D．50°【变式1-2】（2023·北京海淀·校考模拟预测）图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MFQ，则点Q

【变式1-3】（2023·浙江·模拟预测）如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF绕着斜边AB的中点D旋转，DE

【题型2添加一个条件使两个三角形全等】【例2】（2023·湖南长沙·统考中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：已知：△ABC求作：△A'B'C作法：如图．（1）画B'（2）分别以点B'，C'为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点（3）连接线段A'B'，A请你根据以上材料完成下列问题：（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：证明：由作图可知，在△A'BB∴△A'（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）①AAS；②ASA；③SAS；④SSS【变式2-1】（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点．请从以下三个条件：①BD=CE；②∠B

(1)你添加的条件是______（填序号）；(2)添加了条件后，请证明AD=【变式2-2】（2023·河南·模拟预测）如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【变式2-3】（2023·广西柳州·统考中考真题）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．

(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．【题型3结合尺规作图的全等问题】【例3】（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，交于∠BAC内一点F.连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG.添加下列条件，不能使

A．AB=AC B．AG⊥BC C．【变式3-1】（2023·河南·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，BC=3．分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交A．22 B．4 C．3 D．【变式3-2】（2023·广东广州·统考二模）如图，四边形ABCD是矩形，以点B为圆心，BA长为半径的半圆，交BC于点M．

(1)作线段BC的垂直平分线交BC于点O；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)以点O为圆心，以OB为半径作⊙O，交弧AM于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），证明：BE(3)在（2）的条件下，延长线段CE交AD于点F，从条件①或者条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求cos∠条件①：AF:条件②：S△注明：如果选择条件①与条件②分别作答，按第一个解答计分．【变式3-3】（2023·福建福州·福建省福州屏东中学校考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC(1)将线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点D的对应点E，使得BE=(2)在（1）的条件下，过点C作CF⊥AB于点F，连接EF，BE，若sin∠【题型4全等三角形模型-平移模型】【例4】（2023·江苏常州·统考一模）如图，将Rt△ABC沿BC所在直线平移得到△DEF．(1)如图①，当点E移动到点C处时，连接AD，求证：△CDA≌△ABC；(2)如图②，当点E移动到BC中点时，连接AD、AE、CD，请你判断四边形AECD的形状，并说明理由．【变式4-1】（2023上·河南南阳·八年级统考期末）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠ABC=∠DEF．给出下列三个条件：①AC=DF(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件序号为______，你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或(2)请用（1）中所选条件证明△ABC(3)△DEF可看作是由△ABC沿AC方向平移得到的，过B作BM⊥AC于M，当AB=10，BM=8，【变式4-2】（2023·云南德宏·统考模拟预测）如图，将△ABC沿射线AB平移4cm后能与△BDE完全重合，连接CE、CD交BE于点O，OB＝OC．(1)求证：四边形CBDE为矩形；(2)若S△BOC＝433cm2，求∠【变式4-3】（2023·北京门头沟·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC延长线上，且DC=AC，将△ABC延BC方向平移，使点C移动到点D，点A移动到点E，点B移动到点F，得到△EFD，连接CE

(1)依题意补全图形；(2)求证：CG=(3)连接BG，用等式表示线段BG，EF的数量关系，并证明．【题型5全等三角形模型-对称模型】【例5】（2023·云南昆明·统考三模）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD

(1)求证：△ABC(2)若AB=4，CD=3，求【变式5-1】（2023·重庆渝中·统考二模）如图，已知∠C=∠F=90°，AC=DF，（1）求证：Rt△（2）若∠A=50°，求∠【变式5-2】（2023·浙江湖州·统考二模）如图，点A、E、B、D在一条直线上，∠A=∠D，AC=DF【变式5-3】（2023·辽宁大连·统考二模）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于点O．求证：OC＝OD．【题型6全等三角形模型-旋转模型】【例6】（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA'，线段DA'交AB于点E，作

(1)求证：△ADE(2)求证：AF⋅(3)若AC=8，tanA=12，当A【变式6-1】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE<AB），∠EDF=90°，DE(1)如图1，求证：△ADE≌△(2)直线AE与CF相交于点G．①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点②如图3，连接BG，若AB=4，DE=2，直接写出在△DEF【变式6-2】（2023·广西·统考中考真题）已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是；（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．

【变式6-3】（2023·湖南·统考中考真题）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l(1)特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB=AC=2，分别求出线段(2)规律探究：①如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α0<α<45°，请探究线段BD、CE②如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α45°<α<90°，与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE=3，DE=1，求【题型7全等三角形模型-一线三等角模型】【例7】（2023·四川成都·统考二模）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（模型呈现）（1）如图1，∠BAD=90°,AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D．又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到

（模型应用）（2）如图2，∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE，连接BC,DE（深入探究）（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1,△DCE的面积为S2，则有S1_____________S2（填【变式7-1】（2023·重庆·统考二模）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作

(1)当∠BDA=115°时，∠EDC=°，∠DEC=°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“(2)当DC等于多少时，△ABD(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠【变式7-2】（2023·山西晋中·统考一模）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：[模型呈现]如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作[模型应用]如图2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥[深入探究]如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点【变式7-3】（2023下·山东威海·一模）已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F是直线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD．①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，EF，AF间的等量关系：．②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系．（2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．【题型8全等三角形模型-手拉手模型】【例8】（2023·江苏扬州·统考二模）点D为△ABC外一点，∠ACB=90°(1)如图1，∠DCE=90°，CD=(2)如图2，若∠CDB=45°，AE∥BD，(3)如图3，若∠ADC=15°，CD=2，BD=【变式8-1】（2023·山东淄博·模拟预测）如图，△ABC是一个锐角三角形，分别以AB、AC为边向外作等边三角形△ABD、△ACE，连接BE、CD交于点F(1)求证：△ABE≌△(2)求∠EFC(3)求证：AF平分∠DFE【变式8-2】（2023下·陕西咸阳·模拟预测）△ABC和△ADE如图所示，其中(1)如图①，连接BE、CD，求证：(2)如图②，连接BE、CD、BD，若∠BAC=∠DAE=60°，【变式8-3】（2023上·山东临沂·二模）已知在△ABC中，AB=AC，过点B引一条射线BM，D【问题解决】(1)如图1，若∠ABC=60°，射线BM在∠ABC内部，∠ADB=60°，求证：∠BDC=60°，小明同学展示的做法是：在BM【类比探究】(2)如图2，已知∠ABC①当射线BM在∠ABC内，求∠②当射线BM在BC下方，如图3所示，请问∠BDC的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出∠【题型9构造辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法】【例9】（2023上·北京通州·二模）如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝180°．（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝22，求OB（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．【变式9-1】（2023·湖北十堰·统考一模）如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF=∠FAE，BE=4，EF=1.6【变式9-2】（2023上·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，△ABC中，点D在AC上，AD=3,AB+AC=10，点E是BD【变式9-3】（2023上·湖北武汉·一模）（1）如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB（2）如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB（3）如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE【题型10构造辅助线证明两个三角形全等-截长补短法】【例10】（2023上·四川南充·二模）(1)阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC上截取BM=BA，连接方法2：延长BA到点N，使得BN=BC，连接结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．(2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当∠DAC=60°时，探究线段AB，BC，(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，过点D作DE⊥BC【变式10-1】（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD

(1)求证：CD=(2)若∠B=75°，求【变式10-2】（2023上·辽宁抚顺·三模）如图，在平面直角坐标系中，A-2,0，C6,0，B为y轴正半轴上一点，D在第四象限，且BC⊥CD，CA(1)直接写出B点坐标；(2)求证：AB=(3)求四边形ABCD的面积．【变式10-3】（2023下·辽宁阜新·一模）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；（直接写结论，不需证明）探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1【题型11构造辅助线证明两个三角形全等-作平行线】【例11】（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在△ABC中，AB=AC，点E在BC上，点H在AC上，连接AE和BH交于点F

(1)如图1，求证：∠AFB(2)如图2，连接FC，若FC平分∠EFH，求证：AH(3)如图3，在（2）的条件下，点D在BH的延长线上，连接CD，∠ACD+3∠EFC=180°时，若AE+【变式11-1】（2023上·福建龙岩·一模）如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交BC求让：MD【变式11-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边CB的延长线上，且ED

(1)当点E为AB的中点时（如图1），则有AE______DB（填“>”“<”或“=”）；(2)猜想如图2，AE与DB的数量关系，并证明你的猜想．【变式11-3】（2023·山东·统考二模）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．(1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．【题型12构造辅助线证明两个三角形全等-作垂线】【例12】（2023·山西晋中·三模）如图，直线l1:y=12x+2和直线l2与x轴分别相交于A，B(1)求点A的坐标及直线l2(2)求△ABC(3)试探究在x轴上是否存在点P，使得∠BDP=45°，若存在，请直接写出点【变式12-1】（2023上·陕西西安·二模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，点D为AC中点，点P为AB上的动点，将点P绕点D逆时针旋转90°得到点Q，连接CQ【变式12-2】（2023·湖北鄂州·一模）如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.求证：BF＝AC．【变式12-3】（2023·湖北·一模）定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．

(1)如图1所示，∠E是△ABC中∠A的遥望角，直接写出∠E与(2)如图1所示，连接AE，猜想∠BAE与∠(3)如图2，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E在BD的延长线上，连CE，若己知DE=DC=【题型13利用角平分线的性质求解】【例13】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8．连接AC，在AC和AD上分别截取AE，AF，使AE=AF．分别以点E和点F为圆心，以大于12EF的长为半径作弧，两弧交于点G．作射线

【变式13-1】（2023·广东广州·统考中考真题）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE=12，DF=5，则点E

【变式13-2】（2023·四川·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，点B(0,-3)，点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC=1

【变式13-3】（2023·山东·统考中考真题）已知：射线OP平分∠MON,A为OP上一点，⊙A交射线OM于点B,C，交射线

(1)如图1，若AD∥OM，试判断四边形(2)如图2，过点C作CF⊥OM，交OP于点F；过点D作DG⊥ON，交OP于点【题型14角平分线的判定定理】【例14】（2023·安徽亳州·校考模拟预测）在△ABC中，∠ABC=60°，AB=4，BC=6，P为AB上一点，Q为△ABC内部一点，且S△A．4 B．33 C．2 D．【变式14-1】（2023·福建泉州·校考模拟预测）（1）如图1，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D为BC边上一点，

（2）如图2，矩形ABCD中，AB=5，BC=4，点E是CD边上一点，DE=2，连接AE，请用无刻度的直尺和圆规在AB边上找一点F

【变式14-2】（2023·江西·中考真题）在图1，2，3中，已知▱ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF=（2）如图2，连接AF．①填空：∠FAD_________∠EAB（填“>”，“<”，②求证：点F在∠ABC（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求BCAB【变式14-3】（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+4x经过坐标原点，与x（1）如图1，当m>0，n>0，且①求点M的坐标：②若点B154,y在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作CD//MO，交x轴于点（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点Ex,73在对称轴上，当m>2，n>0，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为0,185，连接【题型15利用全等三角形的性质与判定解决测量问题】【例15】（2023·陕西榆林·统考三模）如图，数学实践小组想要测量某公园的人工湖两端A、B之间的距离，由于条件限制无法直接测得，请你用学过的数学知识帮他们按以下要求设计一种测量方案．

(1)画出测量示意图；(2)写出测量的数据，线段长度用a、b、c…表示，角度用α、β、γ…表示；((3)根据你测量的数据，计算A、B之间的距离．(用含a、b、c…或α、β、γ…【变式15-1】（2023·广西·中考真题）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)求草坪造型的面积．【变式15-2】（2023·山东临沂·校考二模）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼AB的高度．首先他们在