2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）专题10 8字型相似模型含解析

2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练专题108字型相似模型1．如图，正方形的面积为1，是的中点，则图中阴影部分的面积是A． B． C． D．2．如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴负半轴上，轴，，分别交轴于点，．若，，则的值为A．20 B．18 C．9 D．3．如图所示，是的直径，弦，相交于，则等于A． B． C． D．4．如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转90度得矩形，连接交于点，则为A． B． C． D．5．如图，直角梯形中，，，，为梯形内一点，且，将绕点旋转使与重合，得到，连交于．已知，，则的值为A． B． C． D．6．如图，在平行四边形中，是的中点，和交于点，设的面积为，的面积为，则下列结论中正确的是A． B． C． D．7．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于，交的延长线于，于，，则的周长为A．11 B．10 C．9 D．88．如图，中，是边的中点，已知的面积为，则的面积为A． B． C． D．9．如图，已知点为中边的中点，，交于点，交的延长线于点，若，，则的长为．10．如图，在矩形中，分别交，于点，，若，，则的长为．11．如图，在中，为边的中点，连接并延长，交于点，交的延长线于点．若，则的长为．12．如图，在平行四边形中，点在的延长线上，，、交于点．，则的长为．13．如图，已知，，，点、分别为、的中点，与相交于点，则的值为．14．如图，直线与双曲线在第一象限内的交点，与轴、轴的交点分别为、．过作轴，为垂足，若与的面积相等，则的值等于．15．如图，在平行四边形中，是边上的点，交于点，如果，那么．16．如图，直线与双曲线在第一象限内的交点为，与轴的交点为，与轴的交点为；作轴于点，若与的面积是，则等于．17．如图，在正方形中，为边的中点，的垂直平分线分别交，，于点，，，求的值．18．如图，在中，，于点，为的中点，且交的延长线于，若，，求的长．19．如图，点是双曲线上一动点，且、为关于的一元二次方程的两根，动直线与轴、轴正半轴分别交于点、，过点与垂直的直线交轴于点，点是的中点，的延长线交过点与垂直的直线于点．（1）求双曲线的解析式；（2）求的最小值；（3）若点到的距离等于的最小值，求的值．专题108字型相似模型1．如图，正方形的面积为1，是的中点，则图中阴影部分的面积是A． B． C． D．【解答】解：设与的交点为，，．．的面积为．因此图中的阴影部分的面积是；故选：．2．如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴负半轴上，轴，，分别交轴于点，．若，，则的值为A．20 B．18 C．9 D．【解答】解：过点作轴，垂足为，设点的坐标为，，，轴，，，，，，，，，，，，，，故选：．3．如图所示，是的直径，弦，相交于，则等于A． B． C． D．【解答】解：连接，则．，，（圆周角定理）．．在中，．故选：．4．如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转90度得矩形，连接交于点，则为A． B． C． D．【解答】解：，．由图中可得，那么，则．故选：．5．如图，直角梯形中，，，，为梯形内一点，且，将绕点旋转使与重合，得到，连交于．已知，，则的值为A． B． C． D．【解答】解：由题意知绕点顺时转动了90度，，，，，，，，，，．故选：．6．如图，在平行四边形中，是的中点，和交于点，设的面积为，的面积为，则下列结论中正确的是A． B． C． D．【解答】解：，，又是的中点，，，即，解得．故选：．7．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于，交的延长线于，于，，则的周长为A．11 B．10 C．9 D．8【解答】解：在中，，，的平分线交于点，，，，，，，，是等腰三角形，是等腰三角形，，是等腰三角形，且，，，在中，，，，，，的周长等于16，又，相似比为，的周长为8．故选：．8．如图，中，是边的中点，已知的面积为，则的面积为A． B． C． D．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，，是边的中点，，，，的面积为，的面积为，故选：．二．填空题（共8小题）9．如图，已知点为中边的中点，，交于点，交的延长线于点，若，，则的长为4．【解答】解：，，，，，即，又，．故答案为：4．10．如图，在矩形中，分别交，于点，，若，，则的长为．【解答】解：，，，四边形是矩形，，，，，设，则，，四边形是矩形，，，，，，，，故答案为：．11．如图，在中，为边的中点，连接并延长，交于点，交的延长线于点．若，则的长为12．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，为边的中点，，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：12．12．如图，在平行四边形中，点在的延长线上，，、交于点．，则的长为4．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，故答案为：4．13．如图，已知，，，点、分别为、的中点，与相交于点，则的值为．【解答】解：延长、交于点，连接，设，，，，，，，，点为的中点，，，，，，，，点是的中点，，，，，，，故答案为：．14．如图，直线与双曲线在第一象限内的交点，与轴、轴的交点分别为、．过作轴，为垂足，若与的面积相等，则的值等于．【解答】解：，当时，，当时，，解得，所以点，，点，所以，，轴，，与的面积相等，与的相似比为1，即，，，所以点，，双曲线经过点，，即，解得，（舍去）．故答案为：．15．如图，在平行四边形中，是边上的点，交于点，如果，那么．【解答】解：是平行四边形，，．16．如图，直线与双曲线在第一象限内的交点为，与轴的交点为，与轴的交点为；作轴于点，若与的面积是，则等于．【解答】解：对于，令，则，的坐标为，即；令，则，点坐标为，，即；，而与的面积是，，，，，点的坐标为，，．故答案为．三．解答题（共3小题）17．如图，在正方形中，为边的中点，的垂直平分线分别交，，于点，，，求的值．【解答】解：如图，分别延长、交于点；四边形为正方形，，，为边的中点，，；平分，，；，，．18．如图，在中，，于点，为的中点，且交的延长线于，若，，求的长．【解答】解：为的中点，为中点，，为中点中，，．19．如图，点是双曲线上一动点，且、为关于的一元二次方程的两根，动直线与轴、轴正半轴分别交于点、，过点与垂直的直线交轴于点，点是的中点，的延长线交过点与垂直的直线于点．（1）求双曲线的解析式；（2）求的最小值；（3）若点到的距离等于的最小值，求的值．【解答】解：（1）、为关于的一元二次方程的两根，，点是双曲线上一动点，，双曲线的解析式为；（2）点的坐标为，，当时，有最小值为，即的最小值为；（3）作于，由（2）知，，设，点是的中点，，，，，，，，，又，，，，，，即，，又，，即，，，．专题11A字型相似模型1．已知：如图，在中，，则下列等式成立的是A． B． C． D．2．如图，，分别是的边，上的点，且，连接，相交于点．若，则下列说法错误的是A． B． C． D．3．如图，将一个大三角形剪成一个小三角形及一个梯形．若梯形上、下底的长分别为6，14，两腰长为12，16，则剪出的小三角形是A． B． C． D．4．如图，中，，，，是边上一点，作于，于，设，则A． B． C． D．5．如图，以线段为直径的半圆上有点，，且为的中点，作于，交延长线于点，弦，交于点，若，，则的长为．6．如图，直线，且每两条相邻平行线之间距离相等，点，，分别在直线，，上，分别交直线，于点，，交直线于点，交直线于点，若的面积为4，则四边形的面积为．7．如图，已知的面积．在图1中，若，则；在图2中，若，则；在图3中，若，则；按此规律，若，．8．如图，、两点分别在的边、上，与不平行，当满足条件（写出一个即可）时，．9．如图，、两点分别在的边、上，与不平行，当满足条件（写出一个即可）时，．10．如图，已知的直径为10，将一块三角板如图放置，使它的直角顶点在上，两直角边与交于点，，使得．过点作于点，交于点，则线段．11．如图，在中，，，，为的中点，沿过点的直线折叠，折痕与交于点，若与相似，则的长为．三．解答题（共9小题）12．如图，中，点，，分别在边，，上，，交于点，求证：．13．如图，为的直径，、为上两点，且点为弧的中点，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．若的半径的长为3，，求的长．14．某公园一角有一盏地面射灯照在一棵树上，树的影子投在墙上．已知树高，树与墙之间的距离为，与射灯之间的距离为．求树在墙上的影长．15．如图，，射线和线段互相垂直，点是上的一个动点，点在射线上，，作并截取，连接并延长交射线于点．设，，求关于满足的函数关系式．16．如图，在中，，点是的中点，，点，同时从点出发，以相同的速度分别沿射线、射线运动，以为边向内部作正方形．当点到达点时，点，同时停止运动，设，正方形与重叠部分的面积为．当点运动至上时，．（1）的长为；（2）求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．17．如图，已知小丽的身高是1.6米，她在路灯下的影长为2米，此时她与路灯的距离为3米，且，，求路灯的高度．18．如图，一条东西走向的笔直公路的北侧，在间隔150米的点，处有两棵树，点表示电视塔所在的位置．小王沿着公路南侧行走，当他到达点的位置时，观察到树恰好可以挡住电视塔（即点，，在同一直线上）．当他继续向前走180米到达点的位置时，观察到树也恰好挡住电视塔．假设，且公路的宽为60米，求电视塔到公路南侧的距离．19．小军和小丽准备测量学校旗杆的高度，如图，小军站在点处时，他的影子顶端恰好与旗杆的影子顶端重合，小丽测得小军的影子，小军向前走到达点处时，测得旗杆顶端的仰角为，已知小军的身高，点，，，在同一个水平直线上，，，，求旗杆的高度．20．如图，在中，，，．点从点出发，沿向终点运动，运动速度为1单位长度秒；同时点从点出发，沿以1单位长度秒的速度向终点运动，当点经过中点处时，停止1秒，然后继续运动．连结，以为边作正方形．设正方形的面积为，点的运动时间为秒．（1）当时，求的长．（2）当为等腰三角形时，求的值．（3）求与之间的函数关系式．（4）直接写出线段在整个运动过程中的最小值．专题11A字型相似模型1．已知：如图，在中，，则下列等式成立的是A． B． C． D．【解答】解：在中，，，，．故选：．2．如图，，分别是的边，上的点，且，连接，相交于点．若，则下列说法错误的是A． B． C． D．【解答】解：、，，，，，，故选项正确，不符合题意；、，，，，故选项正确，不符合题意；、，，，，．，，，，故选项错误，符合题意；、，．故选项正确，不符合题意．故选：．3．如图，将一个大三角形剪成一个小三角形及一个梯形．若梯形上、下底的长分别为6，14，两腰长为12，16，则剪出的小三角形是A． B． C． D．【解答】解：如图，，，，，，，，，解得：，．故选：．4．如图，中，，，，是边上一点，作于，于，设，则A． B． C． D．【解答】解：在中，，，，由勾股定理得，，，，，，，，，．故选：．二．填空题（共7小题）5．如图，以线段为直径的半圆上有点，，且为的中点，作于，交延长线于点，弦，交于点，若，，则的长为．【解答】解：设半圆圆心为，的半径为，连接交于，，，是半圆的直径，，，，，是的中位线，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，（舍去），，，，．故答案为：．6．如图，直线，且每两条相邻平行线之间距离相等，点，，分别在直线，，上，分别交直线，于点，，交直线于点，交直线于点，若的面积为4，则四边形的面积为6．【解答】解：直线，且每两条相邻平行线之间距离相等，，分别是，的中点，，，，，，同理可证，，，，四边形的面积为：．故答案为：6．7．如图，已知的面积．在图1中，若，则；在图2中，若，则；在图3中，若，则；按此规律，若，．【解答】解：对图（2）进行分析：可以标出每条边的所有分点的字母，从开始，逆时针为、、，可以得到△，且面积比为，也就可以得到，而△和△同底等高，面积相等，所以，，同样道理，可得到，，，那么．根据上述分析可以得到，如果是的等分点，是的等分点，是的等分点，那么，当时，则．8．如图，、两点分别在的边、上，与不平行，当满足条件（写出一个即可）时，．【解答】解：满足条件即可，为公共角，．故答案为：．9．如图，、两点分别在的边、上，与不平行，当满足条件（写出一个即可）时，．【解答】解：满足条件即可，为公共角，．故答案为：（答案不唯一）．10．如图，已知的直径为10，将一块三角板如图放置，使它的直角顶点在上，两直角边与交于点，，使得．过点作于点，交于点，则线段2．【解答】解：是的直径，，，，，，，，设，，的直径为10，，在中，，，或（舍去），，，11．如图，在中，，，，为的中点，沿过点的直线折叠，折痕与交于点，若与相似，则的长为2.5或．【解答】解：在中，，，，，为的中点，，分两种情况：当时，，，，当时，，，，综上所述：的长为2.5或，故答案为：2.5或．三．解答题（共9小题）12．如图，中，点，，分别在边，，上，，交于点，求证：．【解答】证明：，，，，，，，，，，．13．如图，为的直径，、为上两点，且点为弧的中点，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．若的半径的长为3，，求的长．【解答】解：连接，如图，点为弧的中点，弧弧．，，．，，，，，，，，．，．在中，，．14．某公园一角有一盏地面射灯照在一棵树上，树的影子投在墙上．已知树高，树与墙之间的距离为，与射灯之间的距离为．求树在墙上的影长．【解答】解：根据题意知，，则，故，即．解得．答：树在墙上的影长为3米．15．如图，，射线和线段互相垂直，点是上的一个动点，点在射线上，，作并截取，连接并延长交射线于点．设，，求关于满足的函数关系式．【解答】作于，，，在与中，，，，，，，，，，，即，，16．如图，在中，，点是的中点，，点，同时从点出发，以相同的速度分别沿射线、射线运动，以为边向内部作正方形．当点到达点时，点，同时停止运动，设，正方形与重叠部分的面积为．当点运动至上时，．（1）的长为；（2）求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．【解答】解：（1）如下图，当点在上时，，，点是的中点，，，，，，，即，解得，，故答案为：；（2）当时，，当时，设交于，交于，如下图，此时正方形的面积三角形的面积，由题知，同理（1）知，，，，又，，综上，与的函数关系式为．17．如图，已知小丽的身高是1.6米，她在路灯下的影长为2米，此时她与路灯的距离为3米，且，，求路灯的高度．【解答】解：，，，，，，，米，路灯的高度为4米．18．如图，一条东西走向的笔直公路的北侧，在间隔150米的点，处有两棵树，点表示电视塔所在的位置．小王沿着公路南侧行走，当他到达点的位置时，观察到树恰好可以挡住电视塔（即点，，在同一直线上）．当他继续向前走180米到达点的位置时，观察到树也恰好挡住电视塔．假设，且公路的宽为60米，求电视塔到公路南侧的距离．【解答】解：过点作，垂足为，延长交于点，由题意得：米，米，米，，，，，，，米，电视塔到公路南侧的距离为360米．19．小军和小丽准备测量学校旗杆的高度，如图，小军站在点处时，他的影子顶端恰好与旗杆的影子顶端重合，小丽测得小军的影子，小军向前走到达点处时，测得旗杆顶端的仰角为，已知小军的身高，点，，，在同一个水平直线上，，，，求旗杆的高度．【解答】解：过点作，垂足为，由题意得：，，设，在中，，，，，，，，，，，，，，，经检验：是原方程的根，，旗杆的高度为．20．如图，在中，，，．点从点出发，沿向终点运动，运动速度为1单位长度秒；同时点从点出发，沿以1单位长度秒的速度向终点运动，当点经过中点处时，停止1秒，然后继续运动．连结，以为边作正方形．设正方形的面积为，点的运动时间为秒．（1）当时，求的长．（2）当为等腰三角形时，求的值．（3）求与之间的函数关系式．（4）直接写出线段在整个运动过程中的最小值．【解答】解：（1）点到达点所需的时间为（秒，点到达中点所需的时间为（秒，点到达点所需的