新疆部分学校2024届高三4月（二模）大联考数学试题（含答案）

届高三4月大联考（新课标卷）数学本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．已知抛物线，点在抛物线上，则（）A．1或2 B．2 C．2或 D．3．已知非零向量的夹角为，且，，则（）A． B． C． D．4．若数据的平均数为，方差为，则数据的方差为（）A． B． C． D．5．已知等差数列的前项和为，若，则（）A． B． C． D．6．已知函数的部分图象如图所示，图象的一个最高点为，图象与轴的一个交点为，且点M，N之间的距离为5，则（）A． B． C． D．27．过双曲线的右焦点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，线段FD与双曲线交于点，过点向另一条渐近线作垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．8．已知函数满足且，当时，，则函数在区间上的零点个数为（）A．0 B．1 C．5 D．10二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设为复数，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则与互为共轭复数是的充要条件D．若，，则10．如图，在平行四边形中，，且，为的中线，将沿BF折起，使点到点的位置，连接AE，DE，CE，且，则（）A．平面 B．AE与平面所成角的正切值是C．BC与DE所成的角为 D．点到平面的距离为11．设函数，则（）A．在上单调递增 B．在上的最大值为C．方程只有一个实根 D．，都有成立三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知圆锥的底面周长为，其侧面积与半径为的球的表面积相等，则该圆锥的体积为__________．13．的展开式中x项的系数是_________．（用数字作答）14．已知函数满足其导函数为偶函数，，，在如下三个函数：①；②；③中，共有6个参数a，b，c，d，k，m．请在集合中，取出合适的数赋予上面6个参数．使其满足题目要求，则a，b，c，d，k，m的值分别是__________（按对应的参数顺序写）；此时，在函数③中，的极小值__________．（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，恒成立，求实数的最大值．16．（15分）目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播，在第1天的直播中有超过100万次的观看．则当天观看虚拟主播的直播的概率为，若前一天没有观看虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播的直播的概率为，求小李第2天与第3天至少有一天观看虚拟主播的直播的概率；（2）若未来10天内虚拟主播的直播每天有超过100万次观看的概率均为，记这10天中每天有超过100万次观看的天数为．①判断为何值时，最大；②记，求．17．（15分）如图，三棱锥的所有棱长都是，为CD的中点，且为FG的中点．（1）求证：平面平面；（2）若，平面与平面夹角的余弦值为，求FG的长．18．（17分）已知直线与平面所成的角为，动点在平面内，如果点到直线的距离总是，则点的轨迹为椭圆，如图所示．以该椭圆的中心为坐标原点，长轴所在直线为轴建立平面直角坐标系．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，动点在直线上，直线QA交椭圆于另一点，直线QB交椭圆于另一点，探究：直线MN是否经过一定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．19．（17分）我们把满足下列条件的数列称为数列：①数列的每一项都是正偶数；②存在正奇数m，使得数列的每一项除以m所得的商都不是正偶数．（1）若a，b，c是公差为2的等差数列，求证：a，b，c不是数列；（2）若数列满足对任意正整数p，q，恒有，且，判断数列是否是数列，并证明你的结论；（3）已知各项均为正数的数列共有100项，且对任意，恒有，若数列为数列，求满足条件的所有两位数k值的和．2024届高三4月大联考（新课标卷）数学·全解全析及评分标准1234567891011BCACADABACDABBCD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B【解析】由题意，知，，所以．故选B．2．C【解析】因为点在抛物线上，所以，整理，得，解得或．故选C．3．A【解析】由，得．由，得，所以，所以．因为，所以．故选A．4．C【解析】因为数据的平均数为，方差为，所以，，所以数据的平均数为，方差为．故选C．5．A【解析】因为，所以，所以．因为，所以．故选A．6．D【解析】易知函数的最大值为4．设的最小正周期为，依题意，得，解得，所以，解得，所以．又点在函数的图象上，所以，结合图象，知，解得，所以，所以．故选D．7．A【解析】由题意，知双曲线的渐近线方程为．设双曲线的半焦距为，则右焦点到渐近线的距离．设点，则，即．又，所以，解得．故选A．8．B【解析】由题意，知4为函数的一个周期且函数的图象关于直线对称．当时，由函数的解析式，两出函数的大致图象如图所示．当时，函数的图象与函数的图象有且仅有一个交点；当时，总有．而函数在区间上单调递增且，，所以函数的图象与函数的图象在区间上没有交点．综上，函数在区间上的零点个数为1．故选B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．ACD【解析】对于A，，故A正确；对于B，虚数不能比较大小，当为虚数时不满足题意，故B错误；对于C，若，则，充分性成立．若，则，即．又，所以，必要性成立．综上，当时，与互为共轭复数是的充要条件，故C正确；对于D，由，，知在复平面内，与对应的向量的夹角为，所以，故D正确．故选ACD．10．AB【解析】因为，且，所以，．又为的中线，所以，．因为，所以．由题意，知，所以．又，且，平面，所以平面，故A正确；因为，，，所以平面．又，所以平面．所以与平面所成的角为．在中，，．所以，故B正确；因为，所以或其补角即为与所成的角，连接，在中，，，，所以由余弦定理，得．在中，由勾股定理，得．所以在中，，．由余弦定理的推论，得，所以，所以与所成的角为，故C错误；因为，且，所以．又，所以．因为点到平面的距离为，所以由等体积法，得点到平面的距离为，故D错误．故选AB．11．BCD【解析】，令，则，当时，，所以，在上单调递减．又，所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上，．当时，，所以在上的最大值为，故A错误，B正确；，即，由图象，知与的图象只有一个交点，故C正确；令，则，当时，，单调递增，当时，，当时，，所以在上先增后减．又，，所以成立，故D正确．故选BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【解析】设该四錐的底而半径为，母线长为，则，解得．因为半径为的球的表面积为，所以，解得．所以圆锥的高．所以该圆锥的体积．故填．13．【解析】由选意，知展开式的近项为，．展开式的通项为，，所以当时，可配凑出项，此时项的系数为．故填．14．，1，，0，，；【解析】对于①，因为，所以，显然为偶函数，因为，所以．又，所以．对于②，因为，所以．因为为偶函数，所以，显然．又，所以．对于③，因为，所以，易知为偶函数．又，所以．又，所以．所以a，b，c，d，k，m的值分别为．此时，③中，．方法一：由，得，结合图象，得，所以当时，，单调递增，当，时，，单调递减，所以函数的极小值为．故填．方法二：令，则，令，得．（或：因为当时，，所以，构造函数，因为，所以单调递减．又，）结合图象，知当时，，单调递增，当时，，单调递煘，所以．又，所以当时，，单调递增，当，时，，单调递减，所以函数的极小值为．故填．说明：1．第12题，结果为，未化简也给5分．2．第13题，未化筒不给分．3．第14题，第一