《自动控制原理》课件第2章

第一节微分方程第二节非线性微分方程线性化第三节传递函数第四节典型环节及其传递函数第五节动态结构图第六节用梅逊公式求传递函数第七节自动控制系统的传递函数第二章控制系统数学模型第一节微分方程

微分方程是自动控制系统数学模型最基本的形式。传递函数、动态结构图和频率特性函数都可由它演化而来。用解析法列写微分方程的一般步骤:

(1)根据系统或元件的工作原理,确定系统和各元件的输入、输出变量及内部中间变量。

(2)从输入端开始,按照信号的传递顺序,依据各变量所遵循的物理或化学定律,按技术要求忽略一些次要因素,并考虑相邻元件的彼此影响,列出微分方程,一般为微分方程组。

(3)消去中间变量,求得描述输入量与输出量关系的微分方程式。

(4)标准化。将与输入变量有关的各项放在等号右侧,与输出变量有关的各项放在等号左侧,并按降幂排列。最后将系数归化为具有一定物理意义的形式。

例2-1

试列写图2-1所示的RC无源网络的微分方程。给定输入量为ur,输出量为uc。图2-1RC网络

解根据克希霍夫定律,可写出

(2-1)

(2-2)式中,i为流经电阻R和电容器C的电流。从上面两式中消去中间变量i,得

(2-3)

令RC=T,上式可写作

(2-4)

例2-2

图2-2所示为一由弹簧、质量、阻尼器组成的

机械振动系统。试写出系统的数学模型。已知输入量为外力F,输出量为位移y。图2-2机械振动系统

解根据牛顿定律,有

(2-5)

式中,∑Fi为作用在物体m上的合力,∑Fi=F－Fv－FK。其中阻尼器的黏滞摩擦阻力

(2-6)弹簧力

(2-7)

将式(2-6)、式(2-7)代入式(2-5),并标准化,得机械系统的动态运动方程式为

(2-8)

它为一个二阶常系数微分方程。

例2-3

求图2-3所示的有源网络的微分方程。给定

ur为输入量,uc为输出量。图2-3有源网络

解运算放大器工作时,uB≈0(称B点为虚地),故

i1=i2。根据电流定律,有

(2-9)

或

(2-10)

例

2-4

试列写电枢控制的它激直流电动机的微分方程。

以电枢电压为输入量,以电机转角为输出量。图2-4直流电动机原理图

解因为激磁电流为固定值,故激磁磁通为常量。由克希霍夫定律,得到电枢回路的微分方程为

(2-11)

电动机电枢反电势Eb与电枢角速度成正比,即

(2-12)根据刚体转动的牛顿定律,得电枢力矩平衡微分方程式

(2-13)

电动机电磁转矩M正比于电枢电流ia,即

(2-14)由以上四个公式得

(2-15)

直流电动机的运动方程式为三阶常数微分方程。通常,电枢绕组的电感La较小,若忽略不计,则运动方程简化为

(2-16)令电动机机电时常数为

电动机增益系数为

则式(2-16)可简化为

(2-17)

例2-5

某位置随动系统的原理图如图2-5所示。系统

输入轴角位移为r,输出轴角位移为c。列写系统的微分方

程。图2-5位置随动系统

解

(1)误差检测器的输出电压正比于输入轴与输出轴的角偏差

(2-18)

式中,Ke为检测器的比例系数。

(2)放大器的输出电压正比于输入电压(忽略放大器时常数)

(2-19)

(3)根据例2-4的结果,直流伺服电动机的运动方程式为

(2-20)

(4)减速器的运动方程式为

(2-21)

(5)将式(2-18)~(2-21)合并,消去中间变量e、ea、θm,得

(2-22)

令K=KeKfKan/Ra为系统的增益常数,F=fm+(KaKb/Ra)为系统的阻尼系数,ωn=为系统的无阻尼自然频率,

为系统的阻尼比,则式(2-22)可改写为

(2-23)第二节非线性微分方程线性化

严格地讲,控制系统元部件的输入-输出特性几乎不同程度地都具有非线性关系。只是在很多情况下,非线性因素较弱,被近似看做线性特性。但是有一些元部件,非线性程度比较严重,其动态数学模型为非线性微分方程,而非线性微分方程求解非常困难。基本方法如下所述。

(1)设元件的输入量x(t)和输出量y(t)的非线性函数为

y=f(x)

(2-24)

在系统工作点(x0,y0)的邻域内,式(2-24)中的y(t)可表示成台劳级数,即

(2-25)式中,因为变量x偏离工作点x0

的范围较小,所以增量(x－x0)的高次项可以忽略不计,故可近似得到

即

(2-26)式中

式(2-26)表达了非线性元件在工作点处进行小偏差线性化的基本方程。

(2)设多变量系统的输入量x1、x2

和输出量y的非线性函数为

(2-27)

则系统在工作点(y0,x10、x20)的邻域内,式(2-27)的台劳级数为

(2-28)同理,由于各变量在工作点处偏离很小,忽略高阶无穷小项,近似得

(2-29)

式中,

例2-6

图2-6所示为两相交流伺服电动机工作原理图。

u~为固定交流电压,为激磁电压;ur为控制电压,即输入变量,

ur=Ursinωt。改变控制电压的大小和相位,就可控制电动机的转矩Mm和转向、输出变量为θm，列写交流伺服电动机的微分方程。图2-6交流伺服电动机

解(1)两相交流伺服电动机的力矩平衡方程为

(2-30)

(2)伺服电动机的电磁力矩Mm是控制电压幅度Ur和角

速度Ω=dθm/dt的非线性函数,即Mm=f(Ur,Ω),特性如图2-7所示。图2-7交流伺服电动机力矩特性设伺服电动机处于平衡工作状态时,相应的各值为Mm=Mm0、Ur=Ur0、Ω=Ω0。并假定在工作点的邻域内,

Mm=f(Ur,Ω)是连续函数,则在工作点展开的台劳级数(忽略高次项)近似为

(2-31)若在图2-7的特性曲线的工作点处作切线,则

Kr、KΩ均为正常数,将其代入式(2-31),得

(2-32)若取工作点值为(0,0),则有

(2-33)

将式(2-33)代入式(2-30),并消去中间变量,得交流伺服电动机的微分方程式

(2-34)第三节传递函数

一、传递函数的定义

线性定常系统在零初始条件下,输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,称为该系统的传递函数。

设描述系统或元件的微分方程一般表示形式为

(2-35)设初始条件为零,对式(2-35)两边进行拉氏变换,得

则该系统或元件的传递函数为

(2-36)二、关于传递函数的几点讨论三、传递函数的两种表示形式

1.零、极点表示法（简称首1法）

式(2-36)是传递函数的最基本的形式，它可改写成如下形式：

(2-37)

2.时常数表示法(简称尾1法)

时常数表示法又叫传递系数表示法。

传递函数G(s)也可写成如下形式：

(2-38)第四节典型环节及其传递函数

1.比例(放大)环节

比例环节的微分方程式为

c(t)=Kr(t)

传递函数为

G(s)=K

(2-39)

式中，K为比例系数、传递系数或放大系数。比例环节方框图如图2-8所示。图2-8比例环节

2.惯性环节

惯性环节的微分方程式为

传递函数为

(2-40)

惯性环节方框图如图2-9所示。图2-9惯性环节

3.积分环节

积分环节微分方程式为

传递函数为

(2-41)

积分环节方框图如图2-10所示。图2-10积分环节

例2-7

试求图2-4直流电动机的传递函数,并讨论其组成环节。

解由例2-4中的式(2-17)得直流电动机的微分方程式为对上式两边进行拉氏变换

传递函数为

(2-42)

由式(2-42)知,直流伺服电机由三个典型环节组成,即比例环节、积分环节、惯性环节。

4.振荡环节

振荡环节的微分方程式为

传递函数为

(2-43)

振荡环节方框图如图2-11所示。例2-2中的机械系统的传递函数由一个比例环节和一个振荡环节组成。图2-11振荡环节

5.微分环节

微分环节在传递函数中有三种类型,即理想微分环节、一阶微分环节、二阶微分环节。它们的微分方程式分别为相应传递函数分别为

(2-44)

(2-45)

(2-46)

微分环节的方框图如图2-12所示。图2-12微分环节

6.延迟环节

延迟环节又称滞后环节。延迟环节的输出经一个延迟时间τ后,完全复现输入信号,其输入/输出关系是

根据拉氏变换延迟定理可得其传递函数为

例2-8

求图2-13所示RC网络的传递函数。

解由电路知识写出微分方程

(2-47)

(2-48)

(2-49)图2-13RC网络设初始条件为零,对上三式分别进行拉氏变换得消去联立方程组中的中间变量I1(s)、I2(s),得

(2-50)

由上式可得出,两级高通滤波器的传递函数由二阶纯微分环节和振荡环节组成。

例2-9

图2-14是由电阻R、电感L和电容C组成的无源网络，试列写:

(1)以ur(t)为输入量，以uc(t)为输出量的网络微分方程;

(2)求该无源网络的传递函数Uc(s)/Ur(s)。图2-14RLC无源网络

解

(1)设回路电流为i(t)，由克希霍夫定律可写出回路方程为消去中间变量i(t),便得到描述网络输入/输出关系的微分方程为

(2-51)

显然，这是一个二阶线性微分方程，也就是图2-14所示无源网络的时域数学模型。

(2)在零初始条件下，对方程(2-51)中各项求拉氏变换，并令Uc(s)=L

［uc(t)］,Ur(s)=L

［ur(t)］,可得s的代数方程为

由传递函数定义，得网络传递函数为

(2-52)图2-14的RLC无源网络用复数阻抗表示后的电路如图

2-15所示。图中，Z1=R+Ls,Z2=1/(Cs)。由图可直接写出电路的传递函数为图2-15用复数阻抗表示的RLC电路应该注意，求取无源网络传递函数时，一般假设网络输出端接有无穷大负载阻抗，输入内阻为零，否则应考虑负载效应。例如在图2-16中，两个RC网络不相连接时，可视为空载，其传递函数分别是图2-16负载效应示例若将G1(s)与G2(s)两个方框串联连接，如图2-16右端所示，则其传递函数为但是，若将两个RC网络直接连接，则由电路微分方程可求得连接后电路的传递函数为第五节动态结构图

一、动态结构的组成

控制系统的结构图不论多么复杂或多么简单,它有且仅有四个基本要素。图2-17结构图组成基本要素二、系统动态结构图的建立

建立系统结构图的一般步骤:

(1)列写控制系统各元件的微分方程。

(2)对各元件的微分方程进行拉氏变换,求取传递函数,标明各元件的输入量与输出量。

(3)按照系统中各变量的传递顺序,依次将各元件的结构图连接起来,输入变量置于左端,输出变量置于右端,便得到系统的结构图。

例2-10

位置随动系统如图2-5所示,试建立系统的结

构图。

解该位置随动系统应用直流伺服电动机作执行元件,将例2-4和例2-5的微分方程在零初始条件下进行拉氏变换,得到以下方程:图2-18方程组各式方框图图2-19随动系统结构图三、结构图等效变换

1.环节的合并

1)串联方框等效

设有三个方框串联,如图2-20所示。一个方框的输出量是后一个方框的输入量。假定各方框间不存在负载效应,则有从上三式中消去X1(s)和X2(s)，得

(2-53)

式(2-53)说明,多个串联方框的等效传递函数等于各方框传递函数的乘积。图2-20串联方框等效

2)并联方框等效

两个或多个方框具有同一个输入,而以各方框输出的代数和为总输出,这种结构形式称为并联连接,如图2-21所示。由图可知

所以

(2-54)

上式表明,并联连接的等效传递函数等于各方框传递函数之和。图2-21并联方框等效

3)反馈连接

图2-22(a)所示为反馈连接。输出信号经反馈方框与输入信号相比较,各变量的关系为由上述方程得

等效传递函数为

(2-55)Φ(s)表示闭环传递函数。若是正反馈连接,则等效传递函数为

(2-56)

若是单位负反馈系统,即H(s)=1,则等效传递函数为

(2-57)图2-22反馈连接

2.信号相加点和分支点的移动和互换

1)信号相加点的移动

信号相加点移动的原则是,原信号不变,移动后保证相加结果不变。图2-23清楚地表示出相加点移动的等效方法,图(a)表示相加点往前移，图(b)表示相加点往后移。图2-23相加点移动

2)信号分支点移动

信号分支点移动的原则是,原各点信号不变,信号分支点移动后要保证该分支信号不变。分支点移动的等效结构图如图2-24所示。其中,图(a)表示分支点前移,图(b)表示分支点后移。图2-24分支点移动

3)信号相加点互换

根据加法交换律,两个或多个相邻相加点位置互换时,互换前后的结果不变,即在结构图简化过程中,可以根据需要,交换相邻的相加点的位置。

4)信号分支点的互换

若干个引出点相邻,表明是同一个信号送到多处。因此,相邻分支点互换位置完全不改变信号的性质,即这种变换不需作任何传递函数的变换。

必须强调,相邻的分支点和相加点位置是不能交换的,否则会引出错误的结果。

表2-1汇集了结构图简化(等效变换)的常用基本规则，可供查用。四、结构图简化示例

根据结构图等效变换的基本规则,就可将复杂的结构图简化,求出系统的传递函数。

例2-11

控制系统如图2-25(a)所示,简化结构图并求出

系统的闭环传递函数C(s)/R(s)。图2-25结构图简化

解简化过程及结果如图2-25(b)、(c)、(d)、(e)所示,下面简要说明简化次序。

(1)将含有H2负反馈支路的分支点,移到G4的输出点,则应在反馈支路中串加1/G4的传递函数,如图2-25(b)所示。

(2)由G3、G4和H3构成的局部反馈回路,以传递函数

代替,如图2-25(c)所示。

(3)把G2、所组成的局部反馈回路,等效为如图2-25(d)所示。

(4)根据反馈回路的等效规则,得系统的闭环传递函数为

以上将G1(s)、G2(s)等写成G1、G2纯属为了简便。

例2-12

系统结构图如图2-26(a)所示,简化结构图,并计算传递函数C(s)/R(s)。图2-26结构图简化过程

解结构图简化过程如图2-26(b)、(c)、(d)、(e)所示,最后的计算结果为

例2-13

图2-27(a)所示是一个多环系统结构图，试对其进行化简并求闭环传递函数。

此系统中有多个交错连接的回路，可将所有信号引出

点均移至G4的输出端，即可得到若干相互独立的回路，如图2-27(b)所示。

再利用基本简化公式，就可得到系统的闭环传递函数为图2-27例2-13图(a)多环系统结构图;(b)变换后的多环系统结构图

例2-14

控制系统的结构图如图2-28(a)所示。试化简系统的结构图并求出系统的传递函数。

解经过分离点后移、反馈回路等效变换、串联等效变换等步骤，可得出系统的传递函数Φ(s)为图2-28例2-14图

第六节用梅逊公式求传递函数

梅逊公式的一般形式为

(2-58)式中,G(s)为待求的总传递函数;Pk为从输入端到输出端第k条前向通路的总传递函数,Δk为与第k条前向通路不接触部分的Δ值,也就是不接触部分的系数行列式,称为第k条前向通路的余因子,Δ为特征式,且有

(2-59)

例2-15

控制系统结构图如图2-29所示。

不经结构图简化,用梅逊公式求系统的传递函数。图2-29系统结构图

解从图中可见有两条前向通路:第一条前向通路的传递函数P1=G1G2G3,第一条前向通路的余因子Δ1=1;第二条前向通路的传递函数P2=G1G4,第二条前向通路的余因子

Δ2=1。反馈回路有五个,各回路传递函数分别是且各回路互相接触,因而特征式

由梅逊公式得系统的传递函数第七节自动控制系统的传递函数

自动控制系统在工作过程中受到两类信号的作用:一类是有用信号,称做输入信号r(t);另一类是扰动,称做干扰信号n(t)。输入信号r(t)通常加在系统输入端,而干扰信号n(t)一般是作用在受控对象上或其他元部件上。闭环控制系统典型结构图可用图2-30表示。图2-30闭环系统典型结构一、系统的开环传递函数

图2-30中,将H(s)的输出通路断开,这时前向通路传递函数G1(s)G2(s)与反馈通路传递函数H(s)的乘积G1(s)G2(s)H(s)称为该系统的开环传递函数。这里的开环传递函数并不是绪论中所述的开环控制系统的传递函数,而是指闭环系统的开环传递函数，即

(2-60)二、系统的闭环传递函数

如不加特殊说明,闭环传递函数是指在输入信号作用下

［n(t)=0］的闭环传递函数,用Φ(s)表示。图2-30表示的系统,其闭环传递函数为

(2-61)

对应的系统输出为三、干扰信号n(t)作用下的闭环传递函数

为研究干扰对系统的影响,需求出c(t)对n(t)之间的传递函数,即n(t)作用下的闭环传递函数。令r(t)=0,求得图2-31所示系统的干扰作用下的闭环传递函数为

(2-62)

对应的系统输出为

(2-63)当|G1(s)G2(s)H(s)|>>1时,有