《自动控制原理》课件Ch3-Time-domain-method

线性系统的三大分析方法：时域(Timedomain)分析法；频域(Frequencydomain)分析法【频率响应法】

；根轨迹(Rootlocus)法。

时域分析方法，是一种最基本、最直接的分析方法，具有直观、准确的优点；随着计算机技术的发展，时域分析法不再局限于低阶系统，几乎可以解决各种系统的分析和综合问题。第三章时域分析法时域法流程：根据系统的模型和典型输入信号，利用拉普拉斯逆变换求出系统的时域响应，进而按照响应曲线来分析系统的性能。典型输入控制系统（传递函数）Laplace逆变换稳定性绝对、相对静态误差暂态性能指标输出响应快速性准确性3.1典型输入信号3.2线性定常系统的稳定性和劳斯判据3.3控制系统的时域性能指标3.4一阶系统响应3.5二阶系统响应3.6高阶系统的响应3.7控制系统的稳态误差第三章时域分析法意义鲜明表达简单便于分析和处理易于实验室获得类型脉冲信号阶跃信号速度信号加速度信号正弦信号特点3.1典型输入信号（P40）

（Typicalinput/testsignals）

D为常量，D=1的脉冲信号称为单位脉冲信号，记：1.脉冲（冲激）信号(impulsesignal)2.位置（阶跃）信号(position/stepsignal)A为常量，A=1的阶跃信号称为单位阶跃信号。3.速度（斜坡）信号(velocity/rampsignal)A为常量，A=1的速度信号称为单位速度信号。判断题：速度信号曲线上的点表示当前的运动速度值。A为常量，A=1的加速度信号称为单位加速度信号。4.加速度（抛物线）信号(Acceleration/parabolicsignal)5.正弦信号(sinusoidalsignal)

分析一个系统时需要采用哪种信号，要根据系统实际输入信号的性质而定。冲激信号位置信号速度信号加速度信号正弦信号思考题：3.1典型输入信号3.2线性定常系统的稳定性和劳斯判据3.3控制系统的时域性能指标3.4一阶系统响应3.5二阶系统响应3.6高阶系统的响应3.7控制系统的稳态误差第三章时域分析法一、稳定性的基本概念稳定平衡态不稳定的平衡态AB任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状态而产生初始偏差。所谓稳定性就是指当扰动消除后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的能力。若系统可恢复平衡状态，则称系统是稳定的，否则是不稳定的。

稳定性是系统的固有特性，对线性系统来说，它只取决于系统的结构和参数，而与初始条件及外部输入无关。3.2线性定常系统的稳定性和劳斯判据（P43）线性系统稳定性的定义(1)

若线性系统在扰动撤消后，其初始偏差逐渐衰减并趋于零（回到平衡状态），则称系统为渐近稳定，简称稳定。反之，若在扰动撤销后，系统的偏差逐渐发散，则称其不稳定。若在扰动撤销后，系统状态保持恒定或等幅振荡，则系统临界稳定。大范围（渐近）稳定：无论初始扰动引起的初始偏差有多大，系统在扰动取消后均可恢复到平衡状态。小范围（渐近）稳定：要求初始扰动引起的初始偏差小于某个值。Note：只有非线性系统才会有小范围稳定而大范围不稳定的情况。对线性系统，必定是大范围和小范围都稳定的。BIBO稳定：若系统对于任意有界输入，只能产生有界输出，则该系统为BIBO稳定系统。如果闭环传递函数能够完全表征系统，即系统没有零极点相消，或者相消的极点具有负实部，则BIBO稳定等价于渐近稳定。线性系统稳定性的定义(2)线性系统稳定的充要条件李雅普诺夫（1857-1918）

线性系统的稳定性是系统的固有特性，与外界条件无关。按照李雅普诺夫稳定性理论，当系统的脉冲响应h(t)满足：，系统渐近稳定。，系统临界稳定。，系统不稳定。r(t)y(t)设闭环传递函数有个实极点,对复极点，脉冲响应:分析上式：（1）若，即所有闭环极点具有负实部，则，系统稳定。（2）若有任一个大于零，则，系统不稳定。（3）只要中有一个为零，即系统有一对纯虚根，则，系统临界稳定。结论：欲使系统稳定，闭环传递函数的极点必须全部位于s的左半平面。线性系统稳定的充要条件：闭环传递函数的极点全部位于s的左半平面。稳定区不稳定区临界稳定课堂练习李雅普诺夫第一方法（间接法，求解方程）

第一定理：若微偏线性化后系统的闭环极点全在s左半平面，则原系统渐近稳定；被忽略的高阶项不会使系统变为不稳定。

第二定理：若微偏线性化后的系统只要有一个闭环极点不在s左半平面，则原系统的运动不稳定；被忽略的高阶项也不会使系统变成稳定。二、劳斯稳定判据(P44)由LTI系统稳定性充要条件可知，必须求出闭环传递函数的所有极点，方能判断系统的稳定性。在计算机不发达的时期，三阶以上系统的极点难以求解。因此,人们希望不求解高阶方程而进行稳定性的间接判断。1877年，劳斯（Routh）提出了利用特征方程的系数进行代数运算，得到全部极点具有负实部的条件，以此判断系统是否稳定。EdwardJohnRouth(1831–1907)Residence UnitedKingdomNationality EnglishFields MathematicianInstitutions UniversityofLondonUniversityofCambridge(Routhstabilitycriterion)回顾：线性系统稳定的充要条件：闭环传递函数的极点全部位于s的左半平面。稳定区不稳定区临界稳定因为所有根都在s的左半平面，即

证：特征方程：式中所有系数均为实数，并设设系统传递函数有q个实根：r

对共轭复根：系统稳定的必要条件:特征方程的系数同号且不缺项。劳斯判据1、列出系统的特征方程：初步观察：特征方程系数若缺项或异号，则系统不稳定。2、列写劳斯表，共n+1行：3、考察劳斯表,分析稳定性。若劳斯表中第一列元素均为正，则系统稳定，否则系统不稳定；且第一列元素的变号次数等于右根（正实部根）的个数。【例3-1】劳斯判据三、两种特殊情况(Specialcases)1、劳斯表中某行的首列元素为0，其余各元素不为0。

解决方法：用小正数ε来代替0，继续运算。

若ε上下两行首列元素符号相反，则系统有右根（不稳定）；若符号相同，则系统有一对纯虚根。（临界稳定，等幅振荡。可由ε

上一行元素构造辅助方程求解振荡频率）。【例3-4】【例】

2、劳斯表中某一行元素全为0。（说明有对称于原点的根。）这时应构造一个辅助方程继续进行分析，求解方法是：（a）用全0行的上一行元素构造辅助多项式Q(s);（b）对辅助多项式Q(s)求导，用的系数代替全0行元素，继续运算;（c）可由方程Q(s)=0求解原系统中对称于原点的根。【例3-3】四、三阶系统的稳定判据充分必要条件：闭环特征方程的系数为正，且满足。【例】【例】五、稳定裕度的检验

应用劳斯判据可以判断系统稳定与否，即绝对稳定性。还可以判断系统的是否具有一定的稳定裕度，即相对稳定性。这时可以移动s平面的坐标系，然后再应用劳斯判据。如图：

将上式代入原方程，得到以s’为变量的新的特征方程，再检验其稳定性。此时系统如果仍然稳定，则说系统具有稳定裕度。例：系统特征方程为判断系统的稳定性，并检验有几个根在s=-1的右边。解：根据三阶系统稳定的充要条件可知，系统是稳定的。将s=s’-1代入原方程得：新列劳斯表：故系统有一个根在s=-1的右边。P48【例3-5】欲使闭环系统的极点全部位于s=-1之左，求KI六、参数的稳定域分析例：解：特征方程为：故，当0<K<30时，系统稳定。，求使系统稳定的K值范围。根据三阶系统稳定的充要条件，要使系统稳定，则有：多参数的稳定域（P49）【例3-6】分析K及T1,T2的大小对系统稳定性的影响。——controllerplant解：闭环传递函数为：例：单位反馈系统开环传递函数求使系统稳定的K值范围。特征方程为：根据三阶系统稳定的充要条件，得：作业：3.0—3.53.3控制系统的时域性能指标(P42)对于线性定常（LTI）系统：systemr(t)y(t)时域响应暂态过程

—

从初始态到接近稳态的响应。稳态过程

—

t趋于无穷大时的输出状态。分析方法：建模得如果和是互异的，那么系统的零状态响应为：系统的时域性能指标可以从零状态响应中求取。

为的极点。为的极点。系统的输出：稳态响应暂态响应强迫响应自由响应稳态误差ess0y(t)1超调量overshoottr上升时间risetimetp峰值时间peaktime误差带Allowabletolerancets调整时间settlingtime阶跃响应输出单位阶跃响应的性能指标（P42）Steadyspec.tTransientspec.1

上升时间tr：指y(t)第一次上升到稳态值（有振荡），或从稳态值的10%上升到90%所需的时间（无振荡）。2峰值时间tp：y(t)第一次达到峰值所需的时间。3超调量%：y(t)的偏离稳态值的最大百分比：4调整时间ts：y(t)和y()之间的偏差达到允许范围（2%或5%）时的暂态过程时间。单位阶跃响应暂态性能指标（P42）：3.4一阶系统的响应(P50)典型一阶系统：_

r(t)y(t)机电液热闭环传递函数：uiucT0Tehy(t)r(t)一、单位脉冲响应(Unit-impulseresponse)李雅普诺夫ty(t)1T2T3T4T0稳绝对稳定性：BIBO稳定非振荡特性，相对稳定性好快

t=T,y(t)=0.632;

t=2T,y(t)=0.865;

t=3T,y(t)=0.950;

t=4T,y(t)=0.982;准阶跃响应静差为零。Note：一阶系统可以无差跟踪阶跃信号。0.6320.8650.9500.982二、单位阶跃响应(Unit-stepresponse)调整时间上升时间Note：一阶系统可以有差跟踪速度信号。三、单位速度响应(Unit-rampresponse)稳态误差T0TTT2T2T3T3T4T4ty(t)四、单位加速度响应(Unit-parabolicresponse)r(t)y(t)Note：一阶系统不能跟踪加速度信号。r(t)y(t)思考题：五、一阶系统的典型响应归纳⒈单位脉冲响应：⒉单位阶跃响应：

⒊单位速度响应：⒋单位加速度响应：微分积分微分积分微分积分微分积分微分积分微分积分小结1.稳定性取决于系统的结构与参数（传递函数）；2.一阶系统阶跃响应滞后、快速性差，但无超调；3.静态误差与系统的结构、参数和外界输入；4.一阶系统跟踪能力有限（理论指导实践）。作业：3.6时间（s）0510152025温度（℃）2017.816.114.713.712.9作业3.6提示：气象温度计的输入输出动态关系可以视为一阶系统，当它从20℃的环境突然移至10℃环境时，其温度示数随时间变化关系如表所示：试确定其传递函数。提示：r(t)y(t)现象（感觉）理论（本质）3.5二阶系统的响应

Responseofthe2nd-ordersystem机械电气二阶系统(2nd-ordersystem)的研究意义数学角度：二阶数学模型；物理角度：两个独立储能元件；研究意义：工程中比较常见，而且许多高阶系统也可以转化为二阶系统来研究，还能引出控制理论的诸多概念，因此研究二阶系统的响应具有理论和现实的双重意义。阻尼响应：旧日朋友岂能相忘？高等数学大学物理电路信号与系统机械振动开环系统的阻尼响应反馈系统的阻尼响应自动化定位系统闭环传递函数：闭环特征方程：为阻尼系数，无量纲。

为无阻尼自然振荡角频率或固有频率，单位：rad/s。二阶微分方程的特征值问题特征根的形式→响应齐次解形式①当时，无阻尼系统(Undamped)二阶系统的特征根：

此时输出将以频率做等幅振荡，所以，称为无阻尼振荡角频率。1、二阶系统的阻尼响应

二阶系统的特征根：②当时，欠阻尼系统（underdamped）阻尼角阻尼振荡角频率s域输出响应：时域响应：

欠阻尼系统的单位阶跃响应（）暂态分量随时间衰减振荡，振荡频率为：③当

=1时，临界阻尼系统(criticallydamped)系统的闭环特征根：

s域响应为：

时域响应为：

④当时：过阻尼系统(overdamped)系统的特征根：s域响应：时域响应：

上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根（闭环极点）、特征根分布和单位阶跃响应如下表所示：单位阶跃响应特征根分布特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根

衰减振荡一对共轭复根(左半平面）

等幅振荡一对共轭虚根

y(t)02468101200.20.40.60.811.21.41.61.82z=00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0z=21.5t二阶系统的阻尼响应曲线最佳阻尼比最佳阻尼比的概念及应用阻尼比最佳阻尼系统调和了快速性和相对稳定性的矛盾，两者兼顾！中庸之美！Tradeoff?折衷闭环极点的坐标与阻尼比的关系：2、二阶欠阻尼系统暂态响应性能指标与系统参数的关系(P56)(1)上升时间trtr

d-z

n

n(2)峰值时间tptp(3)超调量

%%的大小完全取决于，越小，%越大。tp反映了系统的平稳性（相对稳定性）。(3)超调量

%%的大小完全取决于，越小，%越大。反映了系统的平稳性（相对稳定性）。(4)调整（节）时间ts按定义：同时反映了系统的快速性和平稳性。(4)调整（节）时间ts典型例题P58，例3-8例3-9(P59)例3-10(P60)作业：3.7，3.9典型例题温故二阶系统的阶跃响应知新1）具有零点的系统响应如何？2）其他典型输入信号的响应？3）高阶系统的响应？3、含零点的二阶系统响应分析(P60)无零点二阶系统：含零点二阶系统：单位阶跃响应：单位阶跃响应：3、含零点的二阶系统响应分析(P60)3、含零点的二阶系统响应分析(P60)4、二阶系统对其他典型输入信号的响应(P61)若y(t)为单位阶跃响应，则LSr(t)y(t)单位脉冲响应单位速度响应单位加速度（抛物线）响应3.6高阶系统的响应(P62)用高阶数学模型描述的系统为高阶系统（n>2）；工程中的实际系统大都为高阶系统；分析高阶系统的最有效工具是数值方法（软件）；高阶系统的解析解比较复杂，但有时高阶系统可以近似为低阶系统（利用主导极点）,从而可以运用一、二阶系统的研究结论。闭环传递函数1、高阶系统（n>2）的响应分析高阶系统的单位阶跃响应：经拉普拉斯反变换系统稳定的充要条件：闭环极点位于s左半平面。远离虚轴的极点，小，对应响应分量衰减快；极点在虚轴上，单位阶跃响应有等幅振荡。2、高阶系统的近似分析（P62）主导（优势）极点：稳定的高阶系统中，若离虚轴最近的闭环极点附近无闭环零点，同时其他闭环极点离虚轴的距离是其5倍以上，则该极点是高阶系统的主导极点。高阶系统可以忽略非主导极点，近似为低阶系统。Note：1）主导极点可以是实极点、共轭复极点或它们的组合。2）工程中，通常采用共轭复极点作为主导极点，兼顾系统的快速性和准确性。

例:作业：3.8,3.103.1典型输入信号3.2线性定常系统的稳定性和劳斯判据3.3控制系统的时域性能指标3.4一阶系统响应3.5二阶系统响应3.6高阶系统的响应3.7控制系统的静态误差第三章时域分析法3.7控制系统的静（稳）态误差（P63）对控制系统的基本要求：稳、快、准。静态误差衡量系统的准确性，为稳态性能指标。讨论稳态误差的前提：系统是稳定的。控制系统的误差包括：①原理性误差，由系统模型和输入信号决定；②扰动引起的误差；③系统机械结构、非线性误差。卫星通讯地面站和射电望远镜，射电信号非常微弱，一般采用大型高增益针状波束天线，对精度要求高，使目标处于主波束的中心附近，偏开距离不超出主波束顶部比较平坦的范围（主瓣宽度的1/10左右）。一、原理性静态误差的概念1、定义（两种方法）①从输入端：参考输入信号与主反馈信号之差。e(t)=r(t)–b(t)②从输出端：期望值与实际输出值之差。e(t)=r(t)–y(t)Note：对单位反馈系统（H(s)=1），两种定义等同。_y(t)r(t)e(t)b(t)2、误差传递函数误差传递函数_①单位反馈系统一、原理性静态误差的概念_②非单位反馈系统误差传递函数一、原理性静态误差的概念3、静态误差的计算例：一阶系统在单位速度信号作用下的静态误差（ess=T）._一、原理性静态误差的概念二、扰动引起的静态误差G1(s)G2(s)H(s)R(s)B(s)Y(s)E(s)N(s)扰动作用下的误差传递函数扰动作用下的静态误差系统的总误差设系统的开环传递函数为：三、系统的类型（型数，typenumber），0型系统。，Ⅰ型系统。按照开环传递函数中积分环节的个数进行分类：，Ⅱ型系统。

III型及其以上系统难稳定，很少采用。误差传递函数_四、典型输入信号作用下系统的静差误差信号象函数1、位置（阶跃）误差定义为静态位置误差系数，有0型系统：Ⅰ型及以上系统：_2、速度误差0型系统：Ⅰ型系统：Ⅱ型系统：定义为静态速度误差系数，有_3、加速度误