2024年初中升学考试真题模拟卷四川省巴中市中考数学试卷

第1页（共1页）2023年四川省巴中市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑）1．（4分）（2023•巴中）下列各数为无理数的是（）A．0.618 B．227 C．5 D．3−272．（4分）（2023•巴中）如图所示图形中为圆柱的是（）A． B． C． D．3．（4分）（2023•巴中）下列运算正确的是（）A．x2+x3＝x5 B．3×C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．|m|＝m4．（4分）（2023•巴中）下列说法正确的是（）A．多边形的外角和为360° B．6a2b﹣2ab2＝2ab（3a﹣2b） C．525000＝5.25×103 D．可能性很小的事情是不可能发生的5．（4分）（2023•巴中）一次函数y＝（k﹣3）x+2的函数值y随x增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＞0 B．k＜0 C．k＞3 D．k＜36．（4分）（2023•巴中）某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“红”的对面是（）A．传 B．承 C．文 D．化7．（4分）（2023•巴中）若x满足x2+3x﹣5＝0，则代数式2x2+6x﹣3的值为（）A．5 B．7 C．10 D．﹣138．（4分）（2023•巴中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则∠BAO＝（）A．25° B．50° C．60° D．65°9．（4分）（2023•巴中）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（）A．6 B．8 C．12 D．1610．（4分）（2023•巴中）如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D、E分别为AC、BC中点，连接AE、BD相交于点F，点G在CD上，且DG：GC＝1：2，则四边形DFEG的面积为（）A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm211．（4分）（2023•巴中）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了（a+b）n展开式的系数规律．当代数式x4﹣12x3+54x2﹣108x+81的值为1时，则x的值为（）A．2 B．﹣4 C．2或4 D．2或﹣412．（4分）（2023•巴中）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与抛物线y=14x2交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y①x1•x2＝﹣4．②y1+y2＝4k2+2．③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2．④若点N（0，﹣1），则AN⊥BN．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．将正确答案直接写在答题卡相应的位置上）13．（3分）（2023•巴中）在0，（−13）2，﹣π，﹣2四个数中，最小的实数是14．（3分）（2023•巴中）已知a为正整数，点P（4，2﹣a）在第一象限中，则a＝．15．（3分）（2023•巴中）这组数据1，3，5，2，8，13的中位数是．16．（3分）（2023•巴中）关于x的分式方程x+mx−2+12−x=17．（3分）（2023•巴中）如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点G在AD上，GF与CD交于点H，tan∠ABG=12，正方形ABCD的边长为8，则BH的长为18．（3分）（2023•巴中）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y＝x+3与y＝﹣x+3互为“Y函数”．若函数y=k4x2+（k﹣1）x+k﹣3的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为三、解答题（本大题共7个小题，共84分．请将解答过程写在答题卡相应的位置上）19．（16分）（2023•巴中）（1）计算：|3−12|+（13）﹣1﹣4sin60°+（2）（2）求不等式组5x−1＜3(x+1)①x+1（3）先化简，再求值（1x+1+x﹣1）÷x2x2+2x+1，其中20．（10分）（2023•巴中）如图，已知等边△ABC，AD⊥BC，E为AB中点．以D为圆心，适当长为半径画弧，交DE于点M，交DB于点N，分别以M、N为圆心，大于12MN为半径画弧，两弧交于点P，作射线DP交AB于点G．过点E作EF∥BC交射线DP于点F，连接BF、AF（1）求证：四边形BDEF是菱形．（2）若AC＝4，求△AFD的面积．21．（10分）（2023•巴中）2023年全国教育工作会议提出要把开展读书活动作为一件大事来抓，引导学生爱读书，读好书，善读书．某校为了推进这项工作，对全校学生一周内平均读书时间进行抽样调查，将调查结果的数据分成A、B、C、D、E五个等级并绘制成表格和扇形统计图如下．等级周平均读书时间t（单位；小时）人数A0≤t＜14B1≤t＜2aC2≤t＜320D3≤t＜415Et≥45（1）求统计图表中a＝，m＝．（2）已知该校共有2800名学生，试估计该校每周读书时间至少3小时的人数为．（3）该校每月末从每个班读书时间在E等级的学生中选取2名学生参加读书心得交流会，九年级某班共有3名男生1名女生的读书时间在E等级，现从这4名学生中选取2名参加交流会，用画树状图或列表的方法求该班恰好选出1名男生1名女生参加交流会的概率．22．（10分）（2023•巴中）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过D作DF⊥AC于点E，交BA延长线于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若CE=3，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用π23．（12分）（2023•巴中）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y=mx（m≠x）的图象交于A、B两点，A的横坐标为﹣4，（1）求反比例函数的表达式．（2）观察图象，直接写出不等式kx＜m（3）将直线AB向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接OD、BD，若△OBD的面积为20，求直线CD的表达式．24．（12分）（2023•巴中）综合与实践．（1）提出问题．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AB＝AC，AD＝AE，连接BD，连接CE交BD的延长线于点O．①∠BOC的度数是．②BD：CE＝．（2）类比探究．如图2，在△ABC和△DEC中，∠BAC＝∠EDC＝90°，且AB＝AC，DE＝DC，连接AD、BE并延长交于点O．①∠AOB的度数是；②AD：BE＝．（3）问题解决．如图3，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上（不与A重合），以AE为边在AD的左侧构造等边△AEF，将△AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M为EF的中点，N为BE的中点．①说明△MND为等腰三角形．②求∠MND的度数．25．（14分）（2023•巴中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1．（1）求抛物线的表达式．（2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值．（3）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．

2023年四川省巴中市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑）1．（4分）（2023•巴中）下列各数为无理数的是（）A．0.618 B．227 C．5 D．【分析】明确无理数是无限不循环小数；有理数分为整数和分数．【解答】解：∵3−27∴0.618；227；3−27均为有理数，故选：C．【点评】本题考查实数的分类，明确无理数是无限不循环小数；有理数分为整数和分数．题目难度较小，多为考卷中第一题．2．（4分）（2023•巴中）如图所示图形中为圆柱的是（）A． B． C． D．【分析】根据圆柱的特点进行判断即可．【解答】解：由圆柱的特征可知，B选项是圆柱．故选：B．【点评】本题主要考查的是认识立体图形，认识常见几何图形是解题的关键．3．（4分）（2023•巴中）下列运算正确的是（）A．x2+x3＝x5 B．3×C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．|m|＝m【分析】根据二次根式的乘法、合并同类项、完全平方公式、绝对值的性质计算，判断即可．【解答】解：A、x2与x3，不是同类项，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意；B、3×C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项计算错误，不符合题意；D、当m≥0时，|m|＝m，故本选项计算错误，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是二次根式的乘法、合并同类项、完全平方公式、绝对值的性质，掌握相关的运算法则和性质是解题的关键．4．（4分）（2023•巴中）下列说法正确的是（）A．多边形的外角和为360° B．6a2b﹣2ab2＝2ab（3a﹣2b） C．525000＝5.25×103 D．可能性很小的事情是不可能发生的【分析】根据多边形的外角和等于360°，提公因式法分解因式，科学记数法的方法以及随机事件的定义逐一分析解答即可．【解答】解：A、多边形的外角和等于360°，故选项符合题意；B、6a2b﹣2ab2＝2ab（3a﹣b），故选项不符合题意；C、525000＝5.25×105，故选项不符合题意；D、可能性很小的事情是有可能发生的，故选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了多边形的外角和定理，提公因式法分解因式，科学记数法以及随机事件的定义，熟练掌握相关的定理以及定义是解题的关键．5．（4分）（2023•巴中）一次函数y＝（k﹣3）x+2的函数值y随x增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＞0 B．k＜0 C．k＞3 D．k＜3【分析】根据一次函数y＝（k﹣3）x+2的函数值y随x增大而减小得到k﹣3＜0，从而求出k的取值范围．【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣3）x+2的函数值y随x增大而减小，∴k﹣3＜0，∴k＜3，故选：D．【点评】本题主要考查了一次函数图象的性质，熟知：对于一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0），当k＞0，y随x增大而增大；当k＜0时，y随x增大而减小．6．（4分）（2023•巴中）某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“红”的对面是（）A．传 B．承 C．文 D．化【分析】根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点，结合展开图很容易找到与“红”字所在面相对的面上的汉字．【解答】解：根据图示知：“传”与“文”相对；“承”与“色”相对；“红”与“化”相对．故选：D．【点评】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，解决本题的关键是根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点．7．（4分）（2023•巴中）若x满足x2+3x﹣5＝0，则代数式2x2+6x﹣3的值为（）A．5 B．7 C．10 D．﹣13【分析】首先将已知条件转化为x2+3x＝5，再利用提取公因式将2x2+6x﹣3转化为2（x2+3x）﹣3，然后整体代入即可得出答案．【解答】解：∵x2+3x﹣5＝0，∴x2+3x＝5，∴2x2+6x﹣3＝2（x2+3x）﹣3＝2×5﹣3＝7．故选：B．【点评】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握提取公因式，整体代入求值．8．（4分）（2023•巴中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则∠BAO＝（）A．25° B．50° C．60° D．65°【分析】由圆周角定理求得∠AOB的度数，再根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理可得结论．【解答】解：连接OB，∵∠C＝25°，∴∠AOB＝2∠C＝50°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO=180°−50°故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．解题时，借用了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理．9．（4分）（2023•巴中）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（）A．6 B．8 C．12 D．16【分析】设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为2x个，底面的数量为3y个，然后根据等量关系：底面数量＝侧面数量的2倍，列出方程组即可．【解答】解：设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，由题意得，x+y=142×2x=3y解得x=6y=8∴用6张卡纸做侧面，用8张卡纸做底面，则做出侧面的数量为12个，底面的数量为24个，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．还需注意本题的等量关系是：底面数量＝侧面数量的2倍．10．（4分）（2023•巴中）如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D、E分别为AC、BC中点，连接AE、BD相交于点F，点G在CD上，且DG：GC＝1：2，则四边形DFEG的面积为（）A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2【分析】连接DE，由D、E分别为AC、BC中点，可得DE=12AB＝3cm，DE∥AB，即得△DEF∽△BAF，故S△DEFS△ABF=（DEAB）2=14，EFAF=DEAB=12，可得S△ABF=23S△ABE=23×12AB•BE＝8（cm2），故S△DEF=14S△ABF＝2（cm2），又S△DEC=12DE•CE＝6（cm2），DG：GC【解答】解：连接DE，如图：∵D、E分别为AC、BC中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AB＝3cm，DE∥∴△DEF∽△BAF，∴S△DEFS△ABF=（DEAB）∴S△BEF∴S△ABF=23S△ABE=23×12AB•BE∴S△DEF=14S△ABF＝2（cm∵S△DEC=12DE•CE=12×3×4＝6（cm2∴S△DEG=13S△DEC＝2（cm∴S四边形DFGE＝S△DEF+S△DEG＝4（cm2），∴四边形DFEG的面积为4cm2，故选：B．【点评】本题考查相似三角形判定与性质，三角形中位线及应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质及应用．11．（4分）（2023•巴中）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了（a+b）n展开式的系数规律．当代数式x4﹣12x3+54x2﹣108x+81的值为1时，则x的值为（）A．2 B．﹣4 C．2或4 D．2或﹣4【分析】观察题中的图表，表示出（a+b）4，根据已知代数式的值为1，确定出x的值即可．【解答】解：根据题意得：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，∴x4﹣12x3+54x2﹣108x+81＝x4+4x3•（﹣3）+6x2•（﹣3）2+4x•（﹣3）3+（﹣3）4＝（x﹣3）4，∴（x﹣3）4＝1，开四次方得：x﹣3＝1或x﹣3＝﹣1，解得：x＝2或4．故选：C．【点评】此题考查了完全平方公式，以及数学常识，弄清杨辉三角中的展开式规律是解本题的关键．12．（4分）（2023•巴中）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与抛物线y=14x2交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y①x1•x2＝﹣4．②y1+y2＝4k2+2．③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2．④若点N（0，﹣1），则AN⊥BN．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意，将问题转化成一元二次方程问题去解决即可得解．【解答】解：由题意得x1，x2满足方程14x2﹣kx﹣1＝0；y1，y2满足方程y2﹣（2+4k2）y依据根与系数的关系得，x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣4，y1+y2＝4k2+2，y1•y2＝1，∴①、②正确．由两点间距离公式得，AB=(x1−∴当k＝0时，AB最小值为4．∴S△AOB=12×∴③正确．由题意，kAN=y1+1x1∴kAN•kBN=y1+1x1∴当k＝0时，AN⊥BN；当k≠0是，AN与BN不垂直．∴④错误．故选：C．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与一次函数图象的交点问题，解题时要能将问题转化成一元二次方程问题解决是关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．将正确答案直接写在答题卡相应的位置上）13．（3分）（2023•巴中）在0，（−13）2，﹣π，﹣2四个数中，最小的实数是﹣π【分析】先计算(−1【解答】解：(−1∵−π＜−2＜0＜1即−π＜−2＜0＜(−1∴最小的实数是﹣π，故答案为：﹣π．【点评】本题考查了实数的大小比较．熟知：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．14．（3分）（2023•巴中）已知a为正整数，点P（4，2﹣a）在第一象限中，则a＝1．【分析】根据平面直角坐标系中第一象限内的点的横、纵坐标都为正数，得到2﹣a＞0，即可求出a的取值范围，再根据a为正整数即可得到a的值．【解答】解：∵点P（4，2﹣a）在第一象限，∴2﹣a＞0，∴a＜2，又a为正整数，∴a＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟知：第一象限内的点的坐标特征是（+，+），第二象限内的点的坐标特征是（﹣，+），第三象限内的点的坐标特征是（﹣，﹣），第四象限内的点的坐标特征是（+，﹣）．15．（3分）（2023•巴中）这组数据1，3，5，2，8，13的中位数是4．【分析】先将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可．【解答】解：将这组数据重新排列为1，2，3，5，8，13，所以这组数据的中位数为12故答案为：4．【点评】本题考查了中位数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握中位数的定义．16．（3分）（2023•巴中）关于x的分式方程x+mx−2+12−x=【分析】先去分母，再根据增根的意义列方程求解．【解答】解：方程两边同乘（x﹣2）得：x+m﹣1＝3（x﹣2），由题意得：x＝2是该整式方程的解，∴2+m﹣1＝0，解得：m＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了分式方程的增根，理解增根的意义是解题的关键．17．（3分）（2023•巴中）如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点G在AD上，GF与CD交于点H，tan∠ABG=12，正方形ABCD的边长为8，则BH的长为【分析】根据同角的余角相等可得∠DGH＝∠ABG，进而得到tan∠DGH＝tan∠ABG=12，在Rt△ABG中，AG＝AB•tan∠ABG＝4，于是可求得BG=AG2+AB2=45，DG＝4，在Rt△DGH中，DH【解答】解：∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，∴∠A＝∠BGF＝∠D＝90°，∴∠AGB+∠DGH＝90°，∵∠AGB+∠ABG＝90°，∴∠DGH＝∠ABG，∴tan∠DGH＝tan∠ABG=1∵正方形ABCD的边长为8，∴AB＝AD＝8，在Rt△ABG中，AG＝AB•tan∠ABG＝8×1∴BG=A∴DG＝AD﹣AG＝4，在Rt△DGH中，DH＝DG•tan∠DGH=4×1∴GH=D在Rt△BGH中，BH=B故答案为：10．【点评】本题主要考查正方形的性质、解直角三角形、勾股定理，利用同角的余角相等推出∠DGH＝∠ABG，再根据锐角三角函数和勾股定理求出相应线段的长度是解题关键．18．（3分）（2023•巴中）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y＝x+3与y＝﹣x+3互为“Y函数”．若函数y=k4x2+（k﹣1）x+k﹣3的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为【分析】根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求出它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标．【解答】解：当k＝0时，函数解析式为y＝﹣x﹣3，它的“Y函数”解析式为y＝x﹣3，它们的图象与x轴都只有一个交点，∴它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（3，0）；当k≠0时，此函数为二次函数，若二次函数y=k4x则二次函数的顶点在x轴上，即4×k解得k＝﹣1，∴二次函数的解析式为y=−1∴它的“Y函数”解析式为y=−1令y＝0，则−1解得x＝4，∴二次函数的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（4，0），综上，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（4，0）．故答案为：（3，0）或（4，0）．【点评】本题考查了新定义，二次函数与x轴的交点坐标，坐标与图形变换﹣﹣﹣﹣轴对称，求一次函数解析式和二次函数解析式，理解题意，采用分类讨论的思想是解题的关键．三、解答题（本大题共7个小题，共84分．请将解答过程写在答题卡相应的位置上）19．（16分）（2023•巴中）（1）计算：|3−12|+（13）﹣1﹣4sin60°+（2）（2）求不等式组5x−1＜3(x+1)①x+1（3）先化简，再求值（1x+1+x﹣1）÷x2x2+2x+1，其中【分析】（1）根据绝对值的定义，负整数指数幂，特殊角的三角函数，计算即可；（2）根据不等式组的解法解不等式组即可；（3）根据整式的混合运算化简后代入x的值计算即可．【解答】解：（1）|3−12|+（13）﹣1﹣4sin60°+（2＝23−3+3﹣4×＝23−23＝2；（2）解不等式①得，x＜2；解不等式②得，x≥﹣3，∴原不等式组的解集为﹣3＜x≤2；（3）（1x+1+x=x＝x+1，解方程x2﹣2x﹣3＝0得x1＝3，x2＝﹣1，∵x2（x+1）2≠0，∴x≠0，x≠﹣1，∴x＝3，∴原式＝3+1＝4．【点评】本题考查了一元二次方程的解，实数的运算，分式的化简和求值，解一元一次不等式，正确地进行运算是解题的关键．20．（10分）（2023•巴中）如图，已知等边△ABC，AD⊥BC，E为AB中点．以D为圆心，适当长为半径画弧，交DE于点M，交DB于点N，分别以M、N为圆心，大于12MN为半径画弧，两弧交于点P，作射线DP交AB于点G．过点E作EF∥BC交射线DP于点F，连接BF、AF（1）求证：四边形BDEF是菱形．（2）若AC＝4，求△AFD的面积．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到D是BC的中点，求得△BED是等边三角形，得到BE＝BD＝DE，由作图知，DF平分∠EDB，根据角平分线的定义得到∠EDF＝∠FDB，根据平行线的性质得到∠EFD＝∠FDB，求得∠EFD＝∠RDF，推出四边形BDEF是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠C＝60°，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，根据菱形的性质得到AG⊥FD，FG＝GD，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∵AD⊥BC，∴BD=12BC=∵E为AB中点．∴DE=1∴BD＝DE，∴△BED是等边三角形，∴BE＝BD＝DE，由作图知，DF平分∠EDB，∴∠EDF＝∠FDB，∵EF∥BC，∴∠EFD＝∠FDB，∴∠EFD＝∠EDF，∴EF＝ED，∴EF∥BD，∴四边形BDEF是平行四边形，∵DE＝BD，∴四边形BDEF是菱形；（2）解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴∠C＝60°，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，∵AC＝4，∴AD=AC⋅sin60°=4×32=∵四边形BDEF是菱形，∴AG⊥FD，FG＝GD，在Rt△AGD中，∵∠BAD＝30°，∴DG=1∴FD=23∴S△AFD【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的定义，菱形的判定，解直角三角形，平行四边形的判定和性质等边三角形的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．21．（10分）（2023•巴中）2023年全国教育工作会议提出要把开展读书活动作为一件大事来抓，引导学生爱读书，读好书，善读书．某校为了推进这项工作，对全校学生一周内平均读书时间进行抽样调查，将调查结果的数据分成A、B、C、D、E五个等级并绘制成表格和扇形统计图如下．等级周平均读书时间t（单位；小时）人数A0≤t＜14B1≤t＜2aC2≤t＜320D3≤t＜415Et≥45（1）求统计图表中a＝6，m＝40．（2）已知该校共有2800名学生，试估计该校每周读书时间至少3小时的人数为1120人．（3）该校每月末从每个班读书时间在E等级的学生中选取2名学生参加读书心得交流会，九年级某班共有3名男生1名女生的读书时间在E等级，现从这4名学生中选取2名参加交流会，用画树状图或列表的方法求该班恰好选出1名男生1名女生参加交流会的概率．【分析】（1）先根据D等级人数及其所占百分比求出样本容量，再根据各等级人数之和等于总人数可求得a的值，用C等级人数除以总人数看求得m的值；（2）用总人数乘以样本中D、E组人数和占被调查人数的比例即可得出答案；（3）列表得出所有等可能结果，从表格中找到选出1名男生1名女生参加交流会的结果，再根据概率公式列式计算即可．【解答】解：（1）∵样本容量为15÷30%＝50，∴a＝50﹣（4+20+15+5）＝6，m%=2050×故答案为：6，40；（2）估计该校每周读书时间至少3小时的人数为2800×15+5故答案为：1120人；（3）根据题意列表如下：男1男2男3女男1﹣﹣男2男1男3男1女男1男2男1男2﹣﹣男3男2女男2男3男1男3男2男3﹣﹣女男3女男1女男2女男3女﹣﹣由表格可知，共有12种等可能出现的结果，其中该班恰好选出1名男生1名女生参加交流会的结果有6种，所以该班恰好选出1名男生1名女生参加交流会的概率为612【点评】此题考查的是用列表法求概率以及频数分布表、扇形统计图等知识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（10分）（2023•巴中）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过D作DF⊥AC于点E，交BA延长线于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若CE=3，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用π【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质证明AC∥OD，进而可以得到结论；（2）连接AD，根据勾股定理求出ED＝1，根据锐角三角函数可得∠AOD＝60°，然后证明OD是△ABC的中位线，求出r=233，根据阴影部分的面积＝四边形AODE【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴AC∥OD，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；（2）解：如图，连接AD，设⊙O的半径为r，在Rt△CED中，CE=3，CD∴ED2＝CD2﹣CE2＝4﹣3＝1，∴ED＝1，∵cos∠C=CE∴∠C＝30°，∴∠B＝30°，∴∠AOD＝60°，∵AC∥OD，O为AB的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴D是BC中点，∴CD＝BD＝2，∵AB是⊙O的的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD=12AB＝∴BD=3AD=3∴r=2∴AB＝2r=4∴AE＝AC﹣CE＝AB−3∴阴影部分的面积＝四边形AODE的面积﹣扇形AOD的面积=12（33+233=3【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，圆周角定理，扇形面积计算等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．23．（12分）（2023•巴中）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y=mx（m≠x）的图象交于A、B两点，A的横坐标为﹣4，（1）求反比例函数的表达式．（2）观察图象，直接写出不等式kx＜m（3）将直线AB向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接OD、BD，若△OBD的面积为20，求直线CD的表达式．【分析】（1）利用利用反比例函数中心对称性，可求出A、B的坐标，进而可求出反比例函数的表达式；（2）观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式kx＜m（3）方法一：连接BE，作BG⊥y轴于点G，求得直线AB的解析式，根据平行线间的距离相等得出S△OBD＝S△OBE＝20，即可求得OE＝10，从而求得直线CD为y=−32方法二：连接BF，作BH⊥x轴于H，求得直线AB的解析式，根据平行线间的距离相等得出S△OBD＝S△OBF＝20，即可求得F（203，0），从而求得直线CD为y=−3【解答】解：（1）∵正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y=mx（m≠x）的图象交于A、∴A、B关于原点对称，∵A的横坐标为﹣4，B的纵坐标为﹣6，∴A（﹣4，6），B（4，﹣6），∵点A（﹣4，6）在反比例函数y=mx（m≠∴6=m∴m＝﹣24，∴反比例函数的表达式为y=−24（2）观察函数图象，可知：当﹣4＜x＜0或x＞4时，正比例函数y＝kx的图象在反比例函数y=mx（m≠∴不等式kx＜mx的解集为﹣4＜x＜0或（3）方法一：连接BE，作BG⊥y轴于点G，∵A（﹣4，6）在直线y＝kx上，∴6＝﹣4k，解得k=−3∴直线AB的表达式为y=−32∵CD∥AB，∴S△OBD＝S△OBE＝20，∵B（4，﹣6），∴BG＝4，∴S△OBE=1∴OE＝10，.E（0，10），∴直线CD为y=−32方法二：连接BF，作BH⊥x轴于H，∵A（﹣4，6）在直线y＝kx上，∴k=−3∴直线AB的表达式为y=−32∵CD∥AB，∴S△OBD＝S△OBF＝20，∵B（4，﹣6），∴12OF∴OF=20∴F（203设直线CD的表达式为y=−32x+代入F点的坐标得，−32解得b＝10，∴直线CD为y=−32【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数的对称性，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，平行线间的距离相等，三角形的面积，根据三角形面积求得E、F点的坐标是解题的关键．24．（12分）（2023•巴中）综合与实践．（1）提出问题．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AB＝AC，AD＝AE，连接BD，连接CE交BD的延长线于点O．①∠BOC的度数是90°．②BD：CE＝1：1．（2）类比探究．如图2，在△ABC和△DEC中，∠BAC＝∠EDC＝90°，且AB＝AC，DE＝DC，连接AD、BE并延长交于点O．①∠AOB的度数是45°；②AD：BE＝1：2．（3）问题解决．如图3，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上（不与A重合），以AE为边在AD的左侧构造等边△AEF，将△AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M为EF的中点，N为BE的中点．①说明△MND为等腰三角形．②求∠MND的度数．【分析】（1）（2）从图形可辩知，这个是手拉手全等或相似模型，按模型的相关结论解题．（3）稍有变化，受前两问的启发，连接BF、CE完成手拉手的构造，再结合三角形中位线知识解题．【解答】解：（1）①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝∠ABD+∠OBC+∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠OBC+∠ACB＝90°，即：∠BCE+∠OBC＝90°，∴∠BOC＝90°．故∠BOC的度数是90°．②由①得△BAD≌△CAE，∴BD＝CE．故BD：CE＝1：1．（2）①∵AB＝AC，DE＝DC，∴ABDE又∵∠BAC＝∠EDC＝90°，∴△ABC∽△DEC，∴∠ACB＝∠DCB，BCAC∴∠ACE+∠ECB＝∠DCA+∠ACE，∴∠ECB＝∠DCA．∴△ECB∽△DCA，∴∠CBE＝∠CAD，∴∠AOB＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO＝180°﹣∠ABO﹣∠CAD﹣∠BAC＝180°﹣∠ABO﹣∠CBE﹣90°＝180°﹣45°﹣90°＝45°．故∠AOB的度数是45°．②由①得：△ECB∽△DCA．∴AD：BE＝DC：EC，∵∠EDC＝90°，且DE＝DC，∴∠DCE＝45°，∴DCEC=cos45°∴AD：BE=1：2（3）①解：连接BF、CE，延长CE交MN于点P，交BF于点O．在等边△ABC中AB＝AC，又∵AD⊥BC于点D，∴D为BC的中点，又∵M为EF的中点，N为BE的中点，∴MN、ND分别是在△BEF、△BCE的中位线，∴MN=12BF，DN=∵∠FAE＝∠BAC＝60°，∴∠FAE+∠EAB＝∠BAC+∠EAB．∴∠FAB＝∠EAC．在△ACE和△ABF中，AF=AE∠FAB=∠EAC∴△ACE≌△ABF（SAS）．∴BF＝EC．∴MN＝DN．∴△MND为等腰三角形．②∵△ACE≌△ABF，