2024一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型立体几何-讲义

立体几何——讲义8.1立体几何图形一、空间几何体的相关概念1、空间几何体：在我们的周围存在着各种各样的物体，他们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。例如：我们日常接触到的足球、篮球等，吐过只考了他们的形状和大小，他们都是球体，还有其他几何体如长方体、正方体等。2、多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.（1）多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；（2）多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱；（3）多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。3、旋转体：一条平面曲线（包括直线）绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴。二、棱柱1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。（1）有两个互相平行的面叫做棱柱的地面，它们是全等的多边形；（2）其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形；（3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；（4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。【注意】（1）有两个面互相平行，并不代表只有两个面互相平行，如长方体有三组对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面。（2）棱柱的另外一种定义一般地，由一个平面沿着某一方向平移形成的空间几何体叫做柱体，平移起止位置的两个面叫做柱体的底面，缩变形的边平移所形成的的面叫做柱体的侧面2、棱柱的分类：（1）按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等；（2）按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱．正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱．三、棱锥1、定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。（1）这个多边形面叫做棱锥的底面；（2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；（3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；（4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥、四棱锥和五棱锥。【注意】底面为正多边形的棱锥叫做正棱锥，如正三棱锥、正四棱锥……四、棱台1、定义：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。（1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；（2）其他各面叫做棱台的侧面；（3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；（4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点。【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形；（2）侧面都是梯形；（3）各侧棱的延长线交于一点。2、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……五、圆柱定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体角圆柱。（1）旋转轴叫做圆柱的轴；（2）垂直于轴的变旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；（3）平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；（4）无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。【注意】（1）底面是互相平行且全等的圆面；（2）母线有无数条，都平行与轴；（3）轴截面为矩形。六、圆锥定义：以直角三角形的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。（1）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；（2）直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；（3）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。【注意】（1）底面是圆面，横截面是比底面更小的圆面，轴截面是等腰三角形；（2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线；（3）母线有无数条，且长度相等，侧面由无数条母线组成。（4）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥。七、棱台1、第一种定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。2、第二种定义：以直角题型处置与底面的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。【注意】（1）圆台上、下底面是半径不相等且互相平行的圆面；（2）母线有无数条且长度相等，各母线的延长线交于一点；（3）轴截面为等腰梯形。八、球定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。（1）球心：半圆的圆心叫做球的球心；（2）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径；（3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。九、组合体的定义现实世界中物体表示的是几何体，除了柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成，这些几何体称作组合体。组合体可以由几何体拼接、截去或挖去一部分形成。8.2立体图形的直观图一、空间几何体的直观图的概念直观图是观察者在某一点观察一个空间几何体获得的图形；直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形。二、立体图形的直观图的画法1、斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．（1）“斜”：在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x'轴承45°或135°（2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于x'轴或z'轴的线段长度不变；平行于y'轴的长度变成原来的一半，2、平面图形直观图的画法及要求第一步建系：在已知图中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把他们弧长对应的x'轴和y'轴，两轴相交于O'，且使∠x'O'y第二步平行不变：已知图形中平行与x轴和y轴的线段，在直观图中分别画出平行与x'轴或y'第三步长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，3、空间几何体直观图的画法（1）与平面图形的直观图相比，多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴；（2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面；（3）已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．（4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．4、直观图与原图之间的“变”与“不变”“三变”：（1）坐标轴的夹角改变；（2）与y轴平行的线段长度变为原来的一半；（3）图形改变。“三不变”：（1）平行性不改变；（2）与x轴和z轴平行的线段长度不改变；（3）相对位置不改变。三、直观图与原图多边形面积之间的关系若一个多边形的面积为S原，它的直观图的面积为S直，则有S举个例子：以三角形为例，如图，设元三角形的底为a，高为ℎ，则其面积为S直在直观图中，a'=a，在直观图中，S8.3.2圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积一、圆柱、圆锥、圆台的表面积1、侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l2、圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤;解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：(1)得到空间几何体的平面展开图．(2)依次求出各个平面图形的面积．(3)将各平面图形的面积相加．二、圆柱、圆锥、圆台的体积1、圆柱、圆锥、圆台的体积公式：（1）圆柱的体积公式：V（2）圆锥的体积公式：V（3）圆台的体积公式：V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h2、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系三、球的表面积和体积1、球的体积公式：V=2、球的表面积公式：S=4π四、球的截面的性质（1）球的轴截面（过球心的截面）是将球的问题（立体几何问题）转化为平面问题（圆的问题）的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．（2）用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d＝eq\r(R2－r2).8.4空间点、直线、平面的位置关系一、平面1、平面的表示：（1）在立体几何中，通常以用平行四边形来表示平面。（2）可写成平面α，平面ABCD，平面AC或平面BD（对角线）2、平面的画法：（1）当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍；（2）当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线。3、特点：（1）平面是平的；（2）平面是无限延展的没有边界的；（3）平面是没有厚度的。4、点与直线（平面）、直线与平面的位置关系（1）点与直线（平面）的位置关系只能用“∈”或“∉”，（2）直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．二、平面的基本事实1、基本事实1（1）内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（2）图形：（3）符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α（4）作用：确定一个平面或判断“直线共面”的方法2、基本事实：（1）内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内（2）图形：（3）符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α（4）作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内3、基本事实：（1）内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（2）图形：（3）符号表示：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l（4）作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线4、三个推论：推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．三、空间点、直线、平面位置关系1．直线与直线的位置关系（1）共面与异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线．异面直线的画法：①②（2）空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点2、直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示3、两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示α∥βα∩β＝l图形表示8.4空间点、直线、平面的位置关系一、平面1、平面的表示：（1）在立体几何中，通常以用平行四边形来表示平面。（2）可写成平面α，平面ABCD，平面AC或平面BD（对角线）2、平面的画法：（1）当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍；（2）当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线。3、特点：（1）平面是平的；（2）平面是无限延展的没有边界的；（3）平面是没有厚度的。4、点与直线（平面）、直线与平面的位置关系（1）点与直线（平面）的位置关系只能用“∈”或“∉”，（2）直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．二、平面的基本事实1、基本事实1（1）内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（2）图形：（3）符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α（4）作用：确定一个平面或判断“直线共面”的方法2、基本事实：（1）内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内（2）图形：（3）符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α（4）作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内3、基本事实：（1）内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（2）图形：（3）符号表示：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l（4）作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线4、三个推论：推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．三、空间点、直线、平面位置关系1．直线与直线的位置关系（1）共面与异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线．异面直线的画法：①②（2）空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点2、直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示3、两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示α∥βα∩β＝l图形表示8.4空间点、直线、平面的位置关系一、平面1、平面的表示：（1）在立体几何中，通常以用平行四边形来表示平面。（2）可写成平面α，平面ABCD，平面AC或平面BD（对角线）2、平面的画法：（1）当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍；（2）当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线。3、特点：（1）平面是平的；（2）平面是无限延展的没有边界的；（3）平面是没有厚度的。4、点与直线（平面）、直线与平面的位置关系（1）点与直线（平面）的位置关系只能用“∈”或“∉”，（2）直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．二、平面的基本事实1、基本事实1（1）内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（2）图形：（3）符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α（4）作用：确定一个平面或判断“直线共面”的方法2、基本事实：（1）内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内（2）图形：（3）符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α（4）作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内3、基本事实：（1）内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（2）图形：（3）符号表示：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l（4）作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线4、三个推论：推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．三、空间点、直线、平面位置关系1．直线与直线的位置关系（1）共面与异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线．异面直线的画法：①②（2）空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点2、直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示3、两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示α∥βα∩β＝l图形表示8.5.2直线与平面平行一、空间直线与平面的位置关系有以下三种：1、直线在平面内：如果一条直线a与平面α有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面内，记作a⊂α.2、直线与平面相交：直线a与平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，记作a∩α＝A，公共点A叫做直线a与平面α的交点．3、直线与平面平行：如果一条直线a与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行，记作a∥α.二、直线与平面平行的判定定理：1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行2、符号：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊄α，,m⊂α，,且l∥m))⇒l∥α3、图形：三、直线与平面平行的性质定理1、文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．2、符号语言：l∥α，l⊂β，β∩α＝m⇒l∥m.3、图形语言：8.5.3平面与平面平行一、平面与平面平行的判定定理1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)2、符号语言：∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α∴α∥β3、图形：4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．二、平面与平面平行的性质定理1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行2、符号语言：∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b3、图形：4、性质定理推论：推论1：如果两个平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．推论2：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例8.6.1直线与直线垂直一、两条直线所成的角1、两条直线所成的角：平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角）.2、异面直线所成角：（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．（2）角的范围：异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.（3）当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．3、判定两条直线是异面直线的方法①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．二、求两异面直线所成的角的步骤1、作角：根据异面直线所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；2、证角：证明作出的角就是要求的角，即证明所作角的两边分别与两条异面直线平行3、计算：求角的值，常利用解三角形得出。可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角范围是0°＜θ≤90°.4、结论：若求出的角时锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角。三、证明异面直线垂直的步骤：1、作出两异面直线所成的角；2、求出两异面直线所成角的余弦值或在特殊在三角形中说明垂直关系；3、得出结论，8.6.2直线与平面垂直一、直线与平面垂直的定义1、文字语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直2、符号语言：l⊥α3、有关概念：直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足4、图形语言：5、画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.6、点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点到垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做叫做这个点到该平面的距离。【注意】过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.二、直线与平面垂直的判定定理1、文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直2、符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α3、图形语言：5、作用：证明线面垂直三、直线与平面垂直的性质定理1、文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.2、符号语言：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b3、图形语言：4、作用：①线面垂直⇒线线平行②作平行线5、推论：（1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.（3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/（4）垂直于同一条直线的两个平行平行.四、直线和平面所成的角1、有关概念：（1）斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA（2）斜足：斜线和平面的交点，图中点A（3）射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为AO2、直线与平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.（2）规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角3、取值范围：[0°，90°]五、三心问题结论设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影（1）若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB的中点．（2）若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．（3）若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心．8