2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题81 数列求和（原卷版）-2023一轮数学讲义+题型细分与精练

专题81数列求和【题型归纳目录】题型一：通项分析法题型二：公式法题型三：错位相减法题型四：分组求和法题型五：裂项相消法题型六：倒序相加法题型七：并项求和题型八：先放缩后裂项求和题型九：分段数列求和【典例例题】题型一：通项分析法例1．（2022·全国·高三专题练习）求和．例2．数列9，99，999，的前项和为A． B． C． D．例3．求数列1，，，，，的前项之和．【方法技巧与总结】先分析数列通项的特点，再选择合适的方法求和是求数列的前项和问题应该强化的意识．题型二：公式法例4．已知等差数列中，，．（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和．例5．如图，从点做轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，再从做轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：，；，；，，记点的坐标为，，2，，．（Ⅰ）试求与的关系；（Ⅱ）求．【方法技巧与总结】针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式求解．题型三：错位相减法例6．（2022·全国·高三专题练习）“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍《庄子·天下》，其中蕴含着等比数列的相关知识.已知长度为4的线段，取的中点，以为边作等边三角形（如图①），该等边三角形的面积为，在图①中取的中点，以为边作等边三角形（如图②），图②中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则___________；___________.例7．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知数列的前n项和，记，则数列的前n项和_______.例8．（2022·全国·高三专题练习）在平面四边形中，的面积是面积的倍，又数列满足，当时，恒有，设的前项和为，则所有正确结论的序号是___________.①为等比数列；②为递减数列；③为等差数列；④例9．（2022·云南师大附中高三阶段练习）已知数列的前n项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前n项和．例10．（2022·全国·模拟预测（文））若数列满足，，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．例11．（2022·全国·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，且，．(1)求数列，的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．例12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足．(1)求{}和{}的通项公式；(2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围．【方法技巧与总结】错位相减法求数列的前n项和（1）适用条件若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．（2）基本步骤（3）注意事项①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．①②得：．整理得：．题型四：分组求和法例13．（2022·广西柳州·模拟预测（理））已知数列{}满足，．(1)证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；(2)求数列的前n项和．例14．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知正项数列满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．例15．（2022·上海松江·二模）在等差数列中，已知，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和．【方法技巧与总结】（1）分组转化求和数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和．（2）分组转化法求和的常见类型题型五：裂项相消法例16．（2022·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．例17．（2022·全国·高三专题练习）记为数列的前项和，已知，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知数列满足________，记为数列的前项和，证明：．从①

②两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.例18．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正项数列{}中，，是其前n项和，且满足(1)求数列{}的通项公式：(2)已知数列{}满足，设数列{}的前n项和为，求的最小值.例19．（2022·浙江·模拟预测）已知数列的首项为正数，其前项和满足．(1)求实数的值，使得是等比数列；(2)设，求数列的前项和．例20．（2022·湖南·一模）已知等差数列中，前项和为，，为等比数列且各项均为正数，，且满足，.(1)求与；(2)设，，求的前项和.例21．（2022·全国·高三专题练习）已知数列前n项和为，且，记.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求.例22．（2022·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．例23．（2022·山西大同·高三阶段练习）已知数列的前n项和满足.(1)证明：数列是等比数列；(2)设数列的前n项和为，求证：.例24．（2022·江西九江·三模（理））已知数列的前项和为，且满足，.(1)求；(2)求数列的前项和.例25．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且是等比数列的前3项.(1)求；(2)设，求的前n项和.例26．（2022·全国·高三专题练习）等比数列中，首项，前项和为，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．例27．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，且，；数列的前n项和，且，数列的，．(1)求数列、的通项公式；(2)若数列满足：，当时，求证：．例28．（2022·广东惠州·高三阶段练习）记是公差不为零的等差数列的前项和，若，是和的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前20项和.例29．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足，数列满足，，.(1)求数列，的通项公式；(2)设，且数列的前n项和为，若，恒成立，求常数k的最小值.例30．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列公比为正数，其前项和为，且.数列满足：.(1)求数列的通项公式：(2)求证：.例31．（2022·广东佛山·二模）已知数列{}的前n项和为，且满足(1)求、的值及数列{}的通项公式：(2)设，求数列{}的前n项和例32．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列的前n项和为，且满足，，，数列满足．(1)求出，的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求证：．例33．（2022·天津南开·三模）已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项．(1)求和的通项公式；(2)已知，数列满足，求数列的前2n项和；(3)设，求数列的前n项和．【方法技巧与总结】裂裂项相消法求和（1）基本步骤（2）裂项原则一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．（3）消项规律消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．题型六：倒序相加法例34．（2022·河北·高三阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若，则的前n项和_________．例35．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（文））已知数列的前n项和为，且，设函数，则______．例36．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列，满足，，.（1）证明为等比数列，并求的通项公式；（2）求.例37．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.(1)求数列的通项公式；(2)求的值；(3)令，求数列的前2020项和.例38．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，正项等比数列满足，则值是多少？.例39．（2022·全国·高三专题练习）已知函数对任意的，都有，数列满足….求数列的通项公式.例40．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．（1）求数列的通项公式；（2）若函数，令，求数列的前2020项和．【方法技巧与总结】将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．题型七：并项求和例41．（2022·全国·高三专题练习）已知的通项公式为，求的前n项和．例42．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知数列的前项和，，，．(1)计算的值，求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．例43．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知数列为等差数列，为其前n项和，若．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前18项和．例44．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且满足.(1)求的通项公式；(2)在和中插入个相同的数，构成一个新数列，，，，，，，，，，，求的前项和．例45．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））在数列中，，且.(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；(2)令，求数列的前项和.例46．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，.(1)证明：数列为等比数列.(2)求数列的前n项和.【方法技巧与总结】两两并项或者四四并项题型八：先放缩后裂项求和例47．（2022·天津市宝坻区第一中学二模）已知为等差数列，前n项和为是首项为2的等比数列，且公比大于0，．(1)和的通项公式；(2)求数列的前8项和；(3)证明：．例48．（2022·浙江·效实中学模拟预测）设各项均为正数的数列的前项和为，满足.(1)求的值：(2)求数列的通项公式：(3)证明：对一切正整数，有.例49．（2022·广东汕头·一模）已知数列的前n项和为，.(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；(2)设，证明：.例50．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知等差数列的首项为，且，数列满足．(1)求和；(2)设，记，证明：当时，．例51．（2022·天津·一模）已知数列是等差数列，其前n项和为，，；数列的前n项和为，.(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前n项和；(3)求证：.例52．（2022·全国·高三专题练习）求证:.【方法技巧与总结】先放缩后裂项，放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标．题型九：分段数列求和例53．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前15项的和.例54．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知是数列的前n项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.例55．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知数列满足，.(1)记，证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；(2)求数列的前项和.例56．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）已知数列中，满足对任意都成立，数列的前n项和为．(1)若是等差数列，求k的值；(2)若，且是等比数列，求k的值，并求．例57．（2022·湖南·高三阶段练习）已知数列中，，，令.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前14项和.例58．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，(1)令，求，及的通项公式；(2)求数列的前2n项和.例59．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前20项和．例60．（2022·重庆·高三阶段练习）已知数列的前项和，且，正项等比数列满足：，.（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【方法技巧与总结】（1）分奇偶各自新数列求和（2）要注意处理好奇偶数列对应的项：①可构建新数列；②可“跳项”求和【过关测试】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）数列的前2022项和等于（

）A． B．2022 C． D．20192．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知数列的通项公式为为数列的前n项和，（

）A．1008 B．1009 C．1010 D．10113．（2022·四川·射洪中学模拟预测（文））已知首项为1的等差数列的前项和为，满足，则（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·高三专题练习）己知数列满足，在之间插入n个1，构成数列：，则数列的前100项的和为（

）A．178 B．191 C．206 D．2165．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知数列满足，，，数列满足，则数列的前2021项的和为（

）A． B．C． D．6．（2022·全国·高三专题练习）已知公比为2的等比数列满足，记为在区间（为正整数）中的项的个数，则数列的前100项的和为（

）A．360 B．480 C．600 D．1007．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，用表示不超过的最大整数，则（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知数列满足，则数列的前5项和为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）已知下图的一个数阵，该阵第行所有数的和记作，，，，，数列的前项和记作，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．10．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列的首项为2，前项和为，且，，数列的前项和为，若，则的值可以为（

）A．543 B．542C．546 D．54411．（2022·全国·高三专题练习）我们把()叫作“费马数”(费马是十七世纪法国数学家).设，，表示数列的前项和，则使不等式成立的正整数的值可以是（

）A．7 B．8 C．9 D．1012．（2022·河北·模拟预测）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则下列说法正确的有（

）A．数列为等差数列 B．数列为等比数列C． D．数列的前n项和为三、填空题13．（2022·四川成都·模拟预测（理））杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形.帕斯卡（1623-1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年.这是我国数学史上的又一个伟大成就.其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位.中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页.下图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了.该表中，从上到下，第次出现某行所有数都是奇数的行号记为，比如，则数列的前10项和为___________.第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行

1

5

10

10

5

1第6行

1

6