2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题52 事件的相互独立性-2023一轮数学讲义+题型细分与精练(解析版)

专题52事件的相互独立性题型一事件独立性的判断【例1】下列事件A，B是独立事件的是（）A．一枚硬币掷两次，A=“第一次为正面向上”，B=“第二次为反面向上”B．袋中有两个白球和两个黑球，不放回地摸两球，A=“第一次摸到白球”，B=“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A=“出现点数为奇数”，B=“出现点数为偶数”D．A=“人能活到20岁”，B=“人能活到50岁”【答案】A【解析】对于A选项，A，B两个事件发生，没有关系，故是相互独立事件.对于B选项，A事件发生时，影响到B事件，故不是相互独立事件.对于C选项，由于投的是一个骰子，A，B是对立事件，所以不是相互独立事件.对于D选项，能活到20岁的，可能也能活到50岁，故A，B不是相互独立事件.综上所述，本小题选A.【变式1-1】现有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．事件“第一次取出的球的数字是3”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（）A．与相互独立B．与相互独立C．与相互独立D．与相互独立【答案】A【解析】根据题意得，，，，所以，，，，所以A与C相互独立.故选：A【变式1-2】下列事件A，B是相互独立事件的是（）A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数”D．A表示“一个灯泡能用1000小时”，B表示“一个灯泡能用2000小时”【答案】A【解析】A：一枚硬币抛两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”，因为，故事件A、B是相互独立事件；B：袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两次，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”，表示“第一次摸到白球，第二次摸到白球”事件，则，，故事件A、B不是相互独立事件；C：掷一枚骰子，A表示“出现的点数为奇数”，B表示“出现的点数为偶数”，故事件A、B是互斥事件，，故事件A、B不是相互独立事件；D：A表示“一个灯泡能用1000小时”，B表示“一个灯泡能用2000小时”，是条件概率.故选：A.【变式1-3】（多选）下列事件中，，不是相互独立事件的是（）A．一枚硬币抛两次，A为“第一次为正面”，为“第二次为反面”B．不透明的袋中装有除颜色外完全相同的2个白球、2个黑球，不放回地摸2个球，A为“第一次摸到白球”，为“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A为“出现的点数为奇数”，为“出现的点数为偶数”D．A为“人能活到70岁”，为“人能活到100岁”【答案】BCD【解析】对于A：一枚硬币抛两次，每次都是相互独立的，其结果没有影响，则A为“第一次为正面”与为“第二次为反面”相互独立；对于B：是不放回摸球，显然与不相互独立；对于C：事件A，B是互斥事件，不相互独立；选项D：事件B受事件A的影响，不相互独立.故选：BCD【变式1-4】下列关于概率的命题，正确的有（）A．若事件满足，则为对立事件B．若事件A，B满足，则A，B相互独立C．若对于事件，则两两独立D．若对于事件与相互独立，且，则【答案】BD【解析】A：因为，是为对立事件的必要条件，不是充分条件，如单位圆的一条直径把圆分成两部分，即区域M和区域N（不包括边界），向这两个区域投一枚绣花针，如针尖落在区域M内记为事件A，针尖落在区域N内记为事件B，满足，但A，B不是对立事件，因为针尖还有可能落在直径上，故错误；B：若，则A，B相互独立，故正确；C：若A，B，C两两独立，则，，故错误；D：若事件A与B相互独立，则，，故正确；故选：BD【变式1-5】下列各对事件中，为相互独立事件的是（）A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”【答案】ABD【解析】在A中，样本空间，事件，事件，事件，∴，，，即，故事件M与N相互独立，A正确.在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，B正确；在C中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C错误；在D中，从甲组选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，D正确.故选：ABD.题型二相互独立事件的概率计算【例2】甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队贏得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为.若前两局中乙队以领先，则下列结论正确的是（）A．甲队获胜的概率为B．乙队以3:0获胜的概率为C．乙队以3:1获胜的概率为D．乙队以3:2获胜的概率为【答案】B【解析】对于A，在乙队以领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队取胜，所以甲队获胜的概率为，故A错误；对于B，若乙队以获胜，即第3局乙获胜，概率为，故B正确；对于C，若乙队以获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为，C错误；对于D，若乙队以获胜，则第五局为乙队取胜，第三、四局乙队输，所以乙队以3:2获胜的概率为，故D错误．故选：B．【变式2-1】甲、乙两人破译一份电报，甲能独立破译的概率为0.3，乙能独立破译的概率为0.4，且两人是否破译成功互不影响，则两人都成功破译的概率为（）A．0.5B．0.7C．0.12D．0.88【答案】C【解析】由题意，甲、乙分别能独立破译的概率为和，且两人是否破译成功互不影响，则这份电报两人都成功破译的概率为.【变式2-2】一只不透明的口袋内装有5个小球，其中3个白球､2个黑球.现有放回地从袋中依次摸出1个球，则前三次摸出的球均为白球的概率是（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意从袋子中摸1个球，摸出的是白球的概率，现有放回地从袋中依次摸出1个球，则前三次摸出的球均为白球的概率为故选：C【变式2-3】已知事件A，B相互独立，且，，则（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】∵事件A，B相互独立，且，，∴，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D正确.故选：ACD.【变式2-4】袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，下列结论正确的是（）A．第一次摸到红球的概率为B．第二次摸到红球的概率为C．两次都摸到红球的概率为D．两次都摸到黄球的概率为【答案】AB【解析】因为袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，所以第一次摸到红球的概率为，故A正确；若第一次摸到红球，则第二次摸到红球的概率为，故C不正确；若第一次摸到黄球，则第二次摸到红球的概率为，所以第二次摸到红球的概率为，故B正确；两次都摸到黄球的概率为，故D错误，故选：AB【变式2-5】概率论起源于赌博问题．法国著名数学家布莱尔帕斯卡遇到两个赌徒向他提出的赌金分配问题：甲、乙两赌徒约定先赢满局者，可获得全部赌金法郎，当甲赢了局，乙赢了局，不再赌下去时，赌金如何分配？假设每局两人输赢的概率各占一半，每局输赢相互独立，那么赌金分配比较合理的是（）A．甲法郎，乙法郎B．甲法郎，乙法郎C．甲法郎，乙法郎D．甲法郎，乙法郎【答案】A【解析】甲赢得法郎的概率为，乙赢得法郎的概率为，因此，这法郎中分配给甲法郎，分配给乙法郎.故选：A.题型三事件的独立性、互斥性、对立性综合【例3】一个口袋内装有大小相同的红、篮球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题设，每次摸到红、篮球的概率均为，则三次都摸到篮球的概率为，所以至少摸到一次红球的概率是.故选：B【变式3-1】1．从甲地开车到乙地共有，，三条路线可走，路线堵车的概率为0.06，路线堵车的概率为0.09，路线堵车的概率为0.12，且三条路线是否堵车相互独立，若小李从这三条路线中随机选一条，则堵车的概率为（）A．0.06B．0.09C．0.12D．0.27【答案】B【解析】因为路线是随机选的，所以选择每条路线的概率都是．选择走路线且堵车的概率为，选择走路线且堵车的概率为，选择走路线且堵车的概率为，所以堵车的概率为．故选：B【变式3-2】甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如表：购买A种医用口罩购买B种医用口罩购买C种医用口罩甲0.10.4乙0.30.2则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（）A．0.24B．0.28C．0.30D．0.32【答案】B【解析】由表知：甲购买A口罩概率为，乙购买B口罩概率为，所以甲、乙购买同一种口罩的概率.故选：B【变式3-3】某大学的“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核挑选新社员，已知大一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核的概率依次为、、，且他通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，所以，即，解得.故选:D.【变式3-4】甲口袋内装有除颜色外均相同的8个红球和4个白球，乙口袋内装有除颜色外均相同的9个红球和3个白球，从两个口袋内各摸出一球，那么等于（）A．两个球都是白球的概率B．两个球中恰好有一个是白球的概率C．两个球都不是白球的概率D．两个球不都是红球的概率【答案】B【解析】记事件A为甲摸出白球，事件B为乙摸出白球，则，两个球都是白球的概率为，故A错；两球中恰好有一球是白球的概率为：，故B正确；两个球都不是白球的概率为，故C错误；两个球都是红球的概率为：，故两个球不都是红球的概率为，故D错.故选：B【变式3-5】甲袋中有个白球，个红球，乙袋中有个白球，个红球，这些小球除颜色外完全相同.从甲、乙两袋中各任